Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 1 Lineære transformasjoner kan sammenliknes med vanlig funksjonslære. X x 1 x 2 x 3 f Y Gitt to tallmengder X og Y. y 1 En funksjon f er her en regel som y 2 knytter hvert element x i i mengden X til y 3 et unikt element y i i mengden Y, dvs. X kalles domenet til funksjonen f, og Y kalles codomenet. En lineær transformasjon er en spesiell funksjon hvor både inngang og utgang er vektorer. I stedet for f brukes gjerne T. R m T Funksjonen T er her en regel som R n knytter hver vektor til en vektor, dvs. Funksjonen T er ikke nødvendigvis lineær. Det behøves noen tilleggskriterier. Definisjon 1: En funksjon T fra R m til R n kalles en lineær transformasjon hvis det finnes en ( n m )-matrise A slik at: for alle Definisjon 2: En transformasjon T fra R m til R n er lineær hvis og bare hvis: 1) for alle R m og 2) for alle R m og R (skalar) ( De 2 definisjonene er likeverdige )
Ved å jamføre de 2 definisjonene, kan vi også sette for en lineær transformasjon at: og Merk! Vi har allerede støtt på flere lineære transformasjoner (for eksempel lineære likningssett av type ). Eksempel 1 (grafisk) La for alle R 2, dvs. funksjonen T dobler lengden av hver vektor den opererer på. Vi ser at dette er en lineær transformasjon iht. def. 2, siden: Ut i fra def.1 kunne vi også satt Her Eksempel 2 Gitt. Er dette en lineær transformasjon? Svar: Nei! Bevis: La k være en skalar ( R ) Det gir, mens Altså har vi Transformasjonen er derfor ikke lineær iht. def. 2
Eksempel 3 Gitt en lineær transformasjon fra R 3 til R 3 hvor. For en vilkårlig vektor kan vi sette. Bestem transformasjonsmatrisen A. Svar: Vi har, men det kan skrives, og dermed: Mye enklere, vi kan sette opp A direkte! : Eksempel 4 Gitt en lineær transformasjon fra R 2 til R 3 hvor Finn transformasjonsmatrisen A. Svar: Her finner vi ikke A direkte som i eks.3, men vi kan bruke samme prinsipp. Her: og dermed:
Geometriske transformasjoner Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 2 Med den litt upresise overskriften menes lineære transformasjoner i R 2 eller R 3 av type speiling, rotasjon, skalering, projeksjon, etc. Hvordan ser disse operasjonene ut uttrykt med transformasjonsmatriser (A)? Rotasjon i R 2 Vi skal rotere en vilkårlig vektor, hvor A er en ( 2 2 ) matrise. Dette er en lineær transformasjon, dvs. v v 2 j v 1 u i Resultatet vi ønsker å komme fram til kan utledes på mange måter, men anta at begge enhetsvektorene i og j roteres (samme vinkel). Da har vi iht. figuren:, men også Dermed må (jamfør eks. 3):, men også Denne transformasjonsmatrisen har vi sett før (Emne 3). Setter vi inn en positiv vinkel altså produktet gi en rotasjon mot urviser av vektoren., vil Med en negativ vinkel får vi rotasjon med urviser. Det må bety at ( Rotasjon, deretter bringer oss tilbake til utgangspunktet, ergo ) Transformasjonen er altså invertibel,
Rotasjon i R 3 Rotasjon om z-aksen: Kun x og y-koordinatene endres, z=konstant. Da kan vi bruke resultatet fra R 2, dvs. Tilsvarende : Rotasjon om y-aksen: Om x-aksen: Skalering: Dette så vi på i eksempel 1., dvs., hvor Nærmere bestemt: gir forstørrelse (dilasjon) av vektoren, mens gir forminsking (kontraksjon). Det er ikke vanskelig å se at transformasjonsmatrisen blir, siden Denne transformasjonen er også invertibel,, og vi innser lett at
Projeksjon og speiling i R 2 Dette har vi sett på flere ganger allerede (Emne 2, Vektoralgebra), men hvordan uttrykke det med transformasjonsmatriser? 1) Projeksjon og speiling om x-aksen y 1 y Ved projeksjon og speiling endres kun y-koordinaten. Vi finner transformasjonsmatrisene direkte av figuren: x 1 x -y 1 Tilsvarende om y-aksen må gi transformasjonsmatrisene: Merk! I likhet med rotasjon og skalering er speiling en invertibel prosess, men det er ikke projeksjon. Det finnes en unik projeksjonsvektor for hver, dvs., men vi har uendelig mange for hver. y y 2 y 1 x 1 x 2) Projeksjon og speiling om en linje L gjennom origo. (Innebærer at origo er et punkt på linjen) y L Fra tidligere (Emne 2) vet vi at : Men siden dette er en lineær transformasjon vet vi også at: x Med en liten omskrivning: Projeksjonsmatrisen kan altså skrives:
Speiling finner vi med vektoraddisjon : Speilingsmatrisen kan altså skrives: Eksempel 5 Foreta projeksjon og speiling om linjen Svar: Her må åpenbart være en retningsvektor for linja, og da har vi en tilhørende enhetsvektor: Det gir: Projeksjonsmatrise: Speilingssmatrise: Med for eksempel, får vi og. Resultatet stemmer overens med figuren! Kommentar: Matrisene i 2) dekker selvsagt også tilfellene i 1). For eksempel speiling om x-aksen betyr bare at, dvs. som gir
Projeksjon og speiling i R 3 Emne 6. Lineære transformasjoner. Del 3 Projeksjon og speiling om et plan gjennom origo. e N d z u v y Plan (P) e N = enhets-normalvektor til planet u = vilkårlig valgt vektor d = projeksjonen av u ned på e N v = projeksjonen av u ned på planet w x w = speiling av u om planet Egentlig samme sak som linjen i R 3, men vi må gå via vektoren d. Fra tidligere: Som jamført forrige side kan omskrives til: Projeksjon på planet gir da (vha. vektoraddisjon): Og speiling: Eksempel 6 Finn projeksjonen og speilingen av om xy-planet. Svar: Vi innser (intuitivt) at og Men vi kan kontrollere likningene vi kom fram til. Siden z-aksen står vinkelrett på xy-planet må, som gir, og dermed. som forventet!
Affine transformasjoner Eksempel 7 Translasjon (forskyvning) Gitt en figur F. Denne kan beskrives på matriseform, f.eks. vha. hjørnekoordinatene. Det vil si, hjørnepunktet kolonnevektoren, osv. tilsvarer Med 4 hjørnepunkter gir det (moturs) : I neste omgang ønsker vi å finne sammenhengen mellom F og G. Vi ser at figurene er formlike, men hvert punkt på G er forskjøvet med en avstand som tilsvarer vektoren (Dette kalles translasjon). Vi kunne derfor satt: Problemet er at dette ikke er en lineær transformasjon, dvs. det finnes ingen (2 2)-matrise A slik at Men vi kan omgjøre til en lineær transformasjon ved å innføre en 3.dimensjon Vi kan sette og Kontroll: Merk 1! Vi gjenkjenner forskyvningen i siste kolonne av translasjonsmatrisen A Merk 2! 3.rad i F og G angir ikke z-koordinaten til figurene, men er bare en dummy,. Vi ser derfor helt bort fra raden når vi skal tolke sluttresulatet, de 2 første radene angir koordinatene.
Resultatet i eksempel 7 kan enkelt utvides til R 3 ved å innføre en 4.dimensjon, og kan også brukes på rotasjon, skalering, etc. For eksempel Translasjon:, hvor gir ønsket forskyvning Rotasjon om z-aksen: Skalering :, Speiling om yz-planet : Dette virker sikkert unødvendig tungvint, det blir jo bare mer arbeid å regne med (4 4)-matriser i stedet for (3 3)-matriser. Fordelen er at alle geometriske transformasjoner, inklusive translasjon kan utføres som en lineær transformasjon, dvs. at det finnes en transformasjonsmatrise A som gjør jobben for oss.