Bevis og argumentasjon

0105 Del1Kapittel5.fm Page 651 Tuesday, August 23, 2011 10:33 AM 5 Bevis og argumentasjon Bevis og argumentasjon er et tema som har fått større plass i LK06 enn i tidligere norske læreplaner. Plassen temaet har i LK06 ses spesielt tydelig gjennom at resonnementskompetanse (del II, kapittel 2.2.4.4) er en av de matematiske kompetansene som det pekes på i veiledningen til LK06. Siden heller ikke videregående skole behandler bevis systematisk, er det derfor sannsynlig at du ikke tidligere har fått noen grundig innføring i hva bevis og matematisk argumentasjon er. En viktig hensikt med dette kapitlet er derfor å gi deg faglige kunnskaper om temaet. I størst mulig grad er eksemplene valgt slik at de også kan brukes med elever på ungdomstrinnet. Naturlig nok er de mest tilgjengelige bevisene de som er visuelle eller på annen måte intuitive. De flinkeste elevene kan gå noe lenger og arbeide med algebraiske bevis eller teoretiske geometriske bevis. Eksemplene som gis og kommentarene til disse, forteller deg en del om læring av bevis, men de didaktiske aspektene tas spesielt opp i kapittel 5.10. I hverdagen møter vi ordet bevis i forbindelse med rettssaker. I en straffesak snakkes det om bevis for at en tiltalt er skyldig. Fingeravtrykk kan være et bevis for at tiltalte har vært på åstedet. Hvis politiet også finner tiltaltes fingeravtrykk på det antatte drapsvåpenet, styrker det antagelsen om at tiltalte er skyldig. Bevis i juridisk forstand er aldri helt sikre, selv om for eksempel DNA-bevis regnes som svært pålitelige. En person kan både ha vært på åstedet og tatt i et drapsvåpen uten å være morder. Vedkommende kan ha prøvd å avverge mordet, snarere enn å ha utført det. Også i naturvitenskap snakkes det om bevis. Når det sies at Einsteins relativitetsteori er bevist, betyr det at vitenskapsfolk har utført mengder av eksperimenter som gikk slik teorien forutsa. Teorier om fortiden, som den biologiske evolusjonsteorien, baserer seg på en form for bevis som kan sammenlignes med puslespillbiter som danner en helhet. Alt fra ytre likhet mellom dyrearter og likhet av gener til funn av fossiler får en samlende forklaring gjennom denne teorien. Heller ikke bevisene i naturvitenskapen garanterer at det som bevises er sant. Gjennom historien har en rekke vitenskapelige teorier blitt forkastet

0105 Del1Kapittel5.fm Page 652 Tuesday, August 23, 2011 10:33 AM 652 KAPITTEL 5 BEVIS OG ARGUMENTASJON eller endret, til tross for at teoriene var ansett for å være bevist. Et eksempel er Newtons fysikk. Dette var en svært vellykket teori som blant annet ga en samlet forklaring på hvordan epler faller mot jorda, og hvordan planeter går i bane rundt sola. Mange trodde at denne teorien ga den hele og fulle sannhet om hvordan ting beveger seg, men Einstein snudde senere opp ned på dette. Han påviste at Newtons teori ikke holder mål når noe beveger seg svært raskt. Ved lave hastigheter forklarer den derimot det som skjer, på en god måte. Bevis i matematikken har noe til felles med juridiske og naturvitenskapelige bevis, men skiller seg også klart fra disse. Mange vanskeligheter elever har med matematisk argumentasjon og bevis, er knyttet til det som skiller matematiske bevis fra andre typer av begrunnelser elever møter. 5.1 Hensikten med og sikkerheten til bevis Bevis i matematikken har flere hensikter. Historisk er grekeren Euklid sentral for å forstå den plass bevis har hatt og fortsatt har i matematikken. Han organiserte all kjent matematikk i sin samtid i det vi kaller et aksiomatisk system. Det betyr at han skilte ut noen påstander og prinsipper som han anså for opplagt sanne. Disse ble kalt for henholdsvis postulater og aksiomer. Dessuten definerte han en del grunnleggende begreper som punkt, linje og vinkel. Fra dette grunnlaget utledet han samtidens kjente matematiske resultater eller proposisjoner som de ble kalt. Dette ble gjort på en samvittighetsfull måte der bevisene bygde på postulater, aksiomer, definisjoner og tidligere beviste proposisjoner. Euklids bok «Elementene» ble i stor grad brukt som lærebok i matematikk helt fram til 1800-tallet. Grunnen er at Euklid fremstiller matematikken oversiktlig og systematisk. Det er bare noen få ting som man trenger å lære utenat. Resultater du ikke husker helt, kan utledes fra det du er sikker på. Dermed er bevis og utledninger med på å få matematikken til å henge sammen for dem som skal lære. Slike sammenhenger er en av kildene til forståelse av matematikk. En annen viktig funksjon ved bevis er å skape sikkerhet for at matematiske resultater er riktige. Dette behovet oppstod historisk etter hvert som både omfanget og kompleksiteten av kjent matematikk økte. Tenk deg at matematikk brukes i forbindelse med at en romsonde skal sendes til planeten Mars. Det er svært kjedelig om sonden havarerer fordi ingeniørene baserer seg på feilaktig matematikk. Mange matematikere og filosofer har hevdet at matematisk kunnskap er sikrere enn naturvitenskap og rettslige avgjørelser. Som

0105 Del1Kapittel5.fm Page 653 Tuesday, August 23, 2011 10:33 AM 5.2 HVA ER MATEMATISK ARGUMENTASJON? 653 andre mennesker gjør imidlertid også matematikere feil av og til. Noen matematiske proposisjoner eller setninger som de ofte kalles, har blitt ansett for å være sanne i opptil flere år før noen oppdaget at beviset var feil. Likevel er dette unntaket. Matematikkens strenge krav til bevisføring og organisering av kunnskapen begrenser feil til et minimum. Når hensikten med å finne et bevis først og fremst er å forsikre seg om at noe er sant, tillates bevismetoder der beviset ikke gir leseren noen innsikt i eller forståelse for hvorfor en setning er sann. Utstrakt bruk av algebraiske regler er en faktor som kan hindre at bevis gir innsikt. Matematikernes første bevis av et nytt matematisk resultat er sjelden forklarende. Etterpå prøver de vanligvis å finne kortere, enklere og mer forklarende bevis. I skolen er det mest sentralt at bevis skal forklare og få matematikken til å henge sammen for elevene. Disse aspektene gir mening for mange elever. I tillegg kan bevis gi et innblikk i matematikkens egenart. For noen formidler bevis en estetikk som kan inspirere dem til videre studier i faget. 5.2 Hva er matematisk argumentasjon? Det er en glidende overgang mellom matematisk bevis og matematisk argumentasjon. Alle matematiske bevis er også matematisk argumentasjon, men ordet bevis reserveres ofte for finslepne og strukturerte begrunnelser av matematiske setninger. I grunnskolen er matematiske bevis først og fremst et ungdomsskoletema, men matematisk argumentasjon skal elevene arbeide med også på barneskolen. Vi bruker matematisk begrunnelse synonymt med matematisk argumentasjon. Definisjon 1 Begrunn, vis og bevis Når vi etterspør matematisk argumentasjon eller matematisk begrunnelse for en påstand, sier vi «begrunn at» eller «vis at». Et bevis etterspørres med «bevis at» eller «vis at». Uttrykkene «vis at» og «bevis at» brukes ikke i elevenes dagligtale. De kan derfor ikke forventes å forstå hva som menes med dette uten at det forklares for dem. Derimot er «begrunn at» mye brukt også utenfor matematikken. Det elevene legger i dette behøver imidlertid ikke å tilfredsstille kravene til matematisk begrunnelse. Sistnevnte type argumentasjon skiller seg en del

0105 Del1Kapittel5.fm Page 654 Tuesday, August 23, 2011 10:33 AM 654 KAPITTEL 5 BEVIS OG ARGUMENTASJON fra andre begrunnelser elevene møter i skole og hverdag. Dessuten er det mange av de matematiske påstandene som begrunnes ganske abstrakte. Vi skal nærme oss matematiske argumentasjon ved først å se på et eksempel som er mer praktisk enn matematiske setninger vanligvis er. Eksempel 1 Begrunnelse og diskusjon Likt antall hår på hodet Begrunn at i Oslo finnes det til enhver tid minst to innbyggere som har like mange hår på hodet. Gjennomsnittlig antall hår på hodet i en befolkning er om lag 100 000. Oslo hadde 600 000 innbyggere i januar 2011 6. Vi kan være temmelig sikre på at mer enn 400 000 av innbyggerne har 400 000 hår eller færre på hodet. Tenk deg at 400 000 av disse har forskjellig antall hår på hodet. Hvis enda en innbygger har 400 000 eller færre hår på hodet, må denne innbyggeren ha like mange hår som en av de første 400 000. Dermed er påstanden begrunnet. Påstanden i Eksempel 1 er i praksis umulig å kontrollere ved å telle hårstrå på folks hoder. Et matematisk bevis begrunner en påstand teoretisk uten å undersøke en rekke enkelttilfeller. Hårstråeksemplet kan gi elever en forståelse av hva en teoretisk begrunnelse kan være, og at ikke alt kan begrunnes på praktiske måter. Det finnes mange typer av matematikk og mange slags matematiske påstander. Derfor er det stor variasjon mellom ulik matematisk argumentasjon. Vi begynner med å se på en enkel type matematiske påstander, nemlig de som sier noe om et bestemt tall. Matematiske definisjoner er sentrale både i bevis og argumentasjon. Eksempel 2 Matematisk begrunnelse Definisjoner i begrunnelser I Tallet 7 er et primtall. Et primtall er definert som et naturlig tall forskjellig fra 1 som kun er delelig med 1 og seg selv, se kapittel 2.12. For å begrunne påstanden må vi vise at tallet 7 oppfyller denne definisjonen. Det innebærer å stadfeste at 7 ikke er 6 Kilde: http://www.utrop.no/nyheter/innenriks/2011

0105 Del1Kapittel5.fm Page 655 Tuesday, August 23, 2011 10:33 AM 5.2 HVA ER MATEMATISK ARGUMENTASJON? 655 delelig med noen av tallene fra 2 til 6. Vi kontrollerer lett at ingen av brøkene 7 7 7 7 7,,, eller er hele tall, så vi har vist at 7 er et primtall. 2 3 4 5 6 Dette beviset er ikke ulikt det som gjøres i botanikk når en plante artsbestemmes. I mange tilfeller kan vi bestemme arten til en plante ved å kontrollere noen egenskaper. Det kan for eksempel være antall og form av kronblader, begerblad og pollenbærere. I Eksempel 2 er delelighet og primiskhet egenskaper ved tall, på samme måte som kronbladenes antall og form er egenskaper ved planter. Matematiske egenskaper er ofte bestemt av definisjoner. En annen egenskap tall kan ha, er å være fullkomment. Et naturlig tall er fullkomment hvis summen av tallets ekte divisorer er lik tallet selv. Et tall går alltid opp i seg selv, for eksempel går 100 opp i 100. En ekte divisor er en divisor som er forskjellig fra tallet selv. Det minste fullkomne tallet er 6. Divisorene til 6 er 1, 2, 3 og 6. De tre første er ekte divisorer. Siden 1 + 2 + 3 = 6, er tallet 6 fullkomment. Definisjon 2 Ekte divisor De ekte divisorene til et naturlig tall n er de divisorene som er mindre enn n. Definisjon 3 Fullkomne tall (Perfekte tall) Et naturlig tall er fullkomment dersom summen av tallets ekte divisorer er lik tallet selv. Eksempel 3 Matematisk begrunnelse Definisjoner i begrunnelser II Tallet 28 er fullkomment. 2 Siden 28 = 2 7, har 28 disse divisorene: 1, 2, 4, 7, 14 og 28, se kapittel 2.12.3. Alle bortsett fra 28 er ekte divisorer. Vi har 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, så definisjonen av fullkomment tall er oppfylt.

0105 Del1Kapittel5.fm Page 656 Tuesday, August 23, 2011 10:33 AM 656 KAPITTEL 5 BEVIS OG ARGUMENTASJON Oppgaver 1. Begrunn at tallet 2 011 gir resten 2 når det deles på 7. 2. Begrunn at tallet 13 er et primtall. 3. Vis på to måter at 777 777 777 er delelig med 9, både ved å bruke regelen om tverrsum og ved å utføre divisjonen. 4. Vis at 496 er et fullkomment tall. 5. 2 Vis at x = 5 er en løsning av ligningen x 20 = 10 x. 6. Begrunn at det finnes en rettvinklet trekant med sidelengdene 5, 12 og 13. 7. 1 Begrunn at sannsynligheten er for at summen av øynene blir 5 ved 9 et kast med to rettferdige terninger. 5.3 Bevis av generelle påstander I matematikken er vi opptatt av generelle påstander. Sanne generelle matematiske påstander blir kalt for setninger. De fleste matematiske bevis går ut på å begrunne setninger. Selv om matematiske bevis er ungdomsskolematematikk, er uformelle eller intuitive bevis aktuelle også i barneskolen. For eksempel er det mulig å gi uformelle intuitive begrunnelser for at summen av to partall er et partall (del II, kapittel 4.4), eller at addisjon er kommutativ (kapittel 1.4.1). Eksempel 4 Eksempel 5 Matematisk setning Alle primtall større enn 2 er oddetall. Nå påstår vi at en hel klasse av tall har en bestemt egenskap. Det er langt mer krevende å begrunne enn å gjøre det samme for enkelttall. For elever er det naturlig å begrunne setninger gjennom eksempler. Primtallene 3, 5, 7, 11 og 13 er oddetall. Med så mange eksempler mener de at påstanden må være riktig. Matematikkens begrunnelser er av en annen type: Bevis av matematisk setning Primtall er bare delelige med 1 og seg selv. At alle primtall større enn 2 er oddetall, vil si at primtall ikke kan være partall. Partall er tall som er delelige med 2. Hvis et partall er større enn 2, er det delelig med et tall større enn 1

0105 Del1Kapittel5.fm Page 657 Tuesday, August 23, 2011 10:33 AM 5.3 BEVIS AV GENERELLE PÅSTANDER 657 som er forskjellig fra partallet, nemlig 2. Dermed er ingen slike partall primtall. Primtall større enn 2 må derfor være oddetall. Figur 1 #TEMP# Eksempel 6 Moteksemplers betydning 2 Gir andregradsfunksjonen P( n)= n n+ 41 primtall for alle n? ( ) = ( ) =, ( ) = + =, Diskusjon Vi kan kontrollere at P 0 P 1 41 som er et primtall. 2 P 2 2 2 41 43 er også et primtall. Dette er de 10 første tallene vi får: Tabell 1 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P(n) 41 43 47 53 61 71 83 97 113 131 ( ) Det kan kontrolleres at Pn er primtall for alle tall fra 1 til 10. Med så mange eksempler skulle vi tro at denne formelen alltid gir primtall. Vi får faktisk primtall for alle n opp til 40. Likevel tar denne rekka av primtall slutt. 2 2 Tallet P ( 41) er ikke et primtall, for P( 41) = 41 41+ 41 = 41. Dette tallet har en faktor mellom 1 og tallet, nemlig faktoren 41. Et moteksempel er nok til å velte det som virket som en lovende antagelse. Eksempel 6 kan brukes til å utfordre elevenes tendens til å begrunne ved hjelp av eksempler. I dagliglivet tror vi ofte på noe dersom vi ser nok eksempler på det. Vi har bare sett svarte kråker og er derfor tilbøyelige til å tro at alle kråker er svarte. Likevel kan det tenkes at det finnes moteksempler, for

0105 Del1Kapittel5.fm Page 658 Tuesday, August 23, 2011 10:33 AM 658 KAPITTEL 5 BEVIS OG ARGUMENTASJON eksempel albinokråker. I trafikken kan vi også fristes til å generalisere fra det vi erfarer. Hver dag passerer du en sidevei på veg til jobben. Du har aldri sett noen bil komme ut der. Kanskje vil oppmerksomheten mot denne vegen sløves. Det kan bli fatalt dersom en bil plutselig kommer en dag likevel. I matematikken tar vi ikke slike sjanser. Generelle påstander krever bevis. Eksempel 7 Regel for delelighet med 5 Hvis det siste sifferet til et naturlig tall er 5, er tallet delelig med 5. Bevis Alle hele tall kan skrives på formen 10t + k, hvor t er et helt tall, og k er et helt tall mellom 0 og 9. Tallet k er tallets siste siffer skrevet i titallsystemet. Hvis k = 5, er tallet på formen 10t + 5. Siden 10t+ 5 = 2t 5 + 5 = 5( 2t+ 1), følger det at tallet er delelig med 5. Setningen sier at alle tall som har sistesiffer 5, er delelige med 5. Et eksempel er tallet 575. Vi kan ikke skrive ned alle slike tall og må derfor forholde oss til egenskaper som er felles for dem. Alle tall er en sum av et tall delelig med 10 og tallets siste siffer. For eksempel er 575 = 10 57 + 5. Tall kan skrives som et visst antall enere, et visst antall tiere, hundrere, tusener osv. Av disse er det bare enerne som ikke er delelige med 10. Når vi legger sammen tall som alle er delelig med 10, får vi også et tall delelig med 10, se setning 16 i kapittel 2.12.2. Vi kan oppsummere dette med at alle naturlige tall kan skrives på formen 10t + k. Spesielt kan tallet skrives 10t + 5 når tallets siste siffer er 5. I beviset er 10t + 5 faktorisert til 52 ( t + 1). Dermed ser vi at tallet er delelig med 5. Beviset bruker definisjonen av delelighet og at alle naturlige tall kan skrives som 10t + k. Det siste kan vi se som en setning om naturlige tall. Tidligere beviste setninger brukes ofte i et bevis. Eksempel 8 Bevis Produktet av to oddetall er odde Produktet av to oddetall er alltid et oddetall. Produktet av to tall er svaret når tallene multipliseres. Alle oddetall kan skrives på formen 2n + 1. Siden vi har to tall, kan det ene skrives 2n + 1 og det andre 2m + 1. Når disse tallene multipliseres, får vi ( 2n + 1) ( 2m+ 1) = 4nm+ 2n+ 2m + 1. Dette er også et oddetall, for 4nm + 2n + 2m + 1= 2( 2nm + n + m)+ 1.

0105 Del1Kapittel5.fm Page 659 Tuesday, August 23, 2011 10:33 AM 5.3 BEVIS AV GENERELLE PÅSTANDER 659 Vi trenger to variabler, n og m, fordi de to oddetallene kan være forskjellige. En vanlig elevfeil er å bruke n i begge tilfeller, se Oppgave 11. Tilfellet n = 3 og m = 5 gir 711 = ( 23 + 1) ( 25 + 1). Vi får 711 = 2235 ( + 3+ 5)+ 1= 238 + 1. Det siste viser at 711 oppfyller definisjonen av et oddetall. De algebraiske utregningene i beviset er temmelig abstrakte for de fleste elever i grunnskolen. Derfor lønner det seg å begynne med mer intuitive bevis, se Eksempel 9 og Eksempel 12. En utfordring ved formelle matematiske bevis er at tegnene som inngår, ikke refererer til noe konkret. Tegnene n og m står for vilkårlige tall. Det er langt mer krevende enn at ordet «sau» står for et dyr med krøllete ull som sier bæ. Læren om sammenhengen mellom tegn og det de står for, kalles semiotikk og tas opp i del II, kapittel 5. I matematikken generelt er det en viktig oppgave å hjelpe elevene til å se mening gjennom de matematiske tegnene. I forbindelse med bevis er dette spesielt krevende. Beviset i Eksempel 8 argumenterer ved hjelp av algebraiske tegn og regler for hvordan algebraiske uttrykk omformes. I kapittel 2.2 og 2.4 ser vi på hvordan du som lærer kan hjelpe elevene å skape mening i algebraens tegn og uttrykk. Oppgaver 8. En tallfølge X n begynner slik: 1, 2, 4, 8, 15, Hvorfor er ikke tall nummer n alltid lik 2 n 1? Differansene mellom tallene er 1245,,,, Kan du finne et system i disse tallene ved å se på andredifferansene? Hva er det sjette tallet, X 6? 9. For n = 1 er 2 n 1= 2 n 1. Forklar forskjellen mellom uttrykkene på venstre og høyre side. Hvorfor er ikke denne likheten alltid riktig? 10. Eksempel 7 gjelder bare titallsystemet. Kontroller at tallet 15 ni ikke er delelig med 5. Undersøk om tall i nitallsystemet som slutter på 3, er delelige med 3, for eksempel 13 ni. Bevis at tall skrevet i nitallsystemet, er delelige med 3 hvis tallet slutter på 3. 11. Hvorfor må vi velge to forskjellige variabler n og m i beviset i Eksempel 8? Hvilken setning bevises hvis du bare bruker variabelen n?

0105 Del1Kapittel5.fm Page 660 Tuesday, August 23, 2011 10:33 AM 660 KAPITTEL 5 BEVIS OG ARGUMENTASJON 5.4 Intuitive bevis Som vi har vært inne på, er bevis begrunnelser eller argumentasjon for at matematiske påstander eller setninger er korrekte. I tillegg ønsker vi om mulig at beviset også skal forklare setningen, sette den i sammenheng med annen kunnskap og bidra til forståelse. I Eksempel 7 og Eksempel 8 er bevisene skrevet i et ganske kortfattet og formelt språk. Strukturen og tankegangen i bevisene kommer da ofte klarere frem for den som har nok matematisk erfaring. Både elever og studenter trenger oftest mer forklaring for å forstå. Vi har skrevet utfyllende forklaringer under selve bevisene. Et alternativ er å presentere selve bevisføringen i et mer hverdagslig eller ordrikt språk. Selv om dette ofte kalles intuitive bevis, regnes det som matematisk argumentasjon snarere enn bevis. La oss se på en intuitiv versjon av Eksempel 8: Eksempel 9 Intuitivt bevis Bevis gjennom fortelling Når vi multipliserer to oddetall, er svaret alltid et oddetall. Begge oddetallene består av et visst antall par og en singel. Tenk deg at det kommer et odde antall busser til en konsert. Bussene står to og to i bredden, bortsett fra en buss som står for seg selv. I hver av bussene er det et fast antall par og en singel person. Da er det totale antallet mennesker i bussene svaret på multiplikasjonen av de to oddetallene. Vi ønsker å vise at også produktet av tallene er et visst antall par og en singel. Derfor forsøker vi å plassere flest mulig av menneskene i par. De som allerede utgjør par, forblir par. Siden det er like mange mennesker i hver buss, kan de single i to busser ved siden av hverandre gå sammen og danne par. Da gjenstår den ene bussen som står for seg selv. Den ene single personen i den bussen vil fortsatt være singel. Dermed har vi vist at det totale antallet mennesker i bussene er et oddetall. Dette beviset gir en helt annen type forklaring av setningen enn beviset i Eksempel 8. Fordelen med tankegangen i Eksempel 8 er at det er lettere å kontrollere at den er matematisk korrekt, men sjansen er mindre for at elevene sitter igjen med en følelse av innsikt eller forståelse. Konteksten med busser og personer er gjenkjennelig og visualiserbar. En ulempe er at det er mye tekst som må oppfattes. En tegning av bussene og personene kan redusere det problemet. Å la elevene gjenfortelle for hverandre er gunstig. En fare er at konteksten har mange mulige distraherende elementer. Elevenes fantasi kan lede dem til mye annet enn matematikk. Skal det intuitive beviset lykkes,

0105 Del1Kapittel5.fm Page 661 Tuesday, August 23, 2011 10:33 AM 5.4 INTUITIVE BEVIS 661 må læreren spille en aktiv rolle. Læreren kan gjennom gode spørsmål og bruk av tegninger, diagrammer og symboler hjelpe elevene til å strukturere eksemplet og trekke frem de sentrale poengene. Tro ikke at det intuitive beviset automatisk blir forstått. Det krever en innsats fra deg som lærer, men innsatsen kan bli rikt belønnet når elevene forstår tankegangen. Eksempel 10 Intuitivt bevis Delelighet med 5, bevist intuitivt Tall med sistesiffer 5 er alltid delelige med 5. Alle naturlige tall kan skrives som en sum av enere, tiere, hundrere, tusener osv. Bortsett fra enerne, er alle tierpotenser delelige med 10. Den betyr at summen av et visst antall tiere, hundrere, tusener osv. også er delelig med 10. Tall som er delelige med 10, er også delelige med 5. Når vi legger sistesifferet 5 til et tall delelig med 5, får vi enda et tall delelig med 5. Dermed er påstanden bevist. Eksempel 10 er en intuitiv versjon av Eksempel 7. Også Eksempel 10 kan gi større innsikt enn et formelt bevis, men som i Eksempel 9 må det både arbeides med helheten og de ulike stegene i tankegangen. Eksempler, figurer og symboler er virkemidler som også her kommer til nytte for læreren. Forenklet sagt må intuitive bevis ofte følges opp av noe mer formelt etterpå. Formelle bevis må derimot følges opp av noe intuitivt og forklarende. Hva som er best å begynne med, avhenger av elevene du har. I grunnskolen vil de fleste elevene tjene på å starte intuitivt, men elever er forskjellige. Eksempel 11 Diskusjon og bevis Bevis og utforskning Det finnes uendelig mange primtall. Hva vil det si at det finnes uendelig mange primtall? Den vanlige betydningen er at det ikke er noen grense for hvor mange primtall som finnes. Tallet 372 839 er et primtall. Selv om dette er et ganske stort tall, eksisterer det enda større primtall, blant annet 31 918 577. Eksempler på store primtall kan finnes ved å bruke dataprogrammer som kan faktorisere tall. Selv om vi på denne måten finner mange store primtall, kunne det tenkes at primtallene tar slutt når et eller annet enormt tall passeres. Grekeren Euklid oppdaget en metode til å finne et primtall større enn primtallene i en gitt mengde slike tall. Tenk deg at du bare vet om primtallene 2, 3 og 5. Tallet 235 + 1= 31er ikke delelig med verken 2, 3 eller 5. Det kan du kontrollere direkte. Siden alle naturlige tall større enn 1 er delelige

0105 Del1Kapittel5.fm Page 662 Tuesday, August 23, 2011 10:33 AM 662 KAPITTEL 5 BEVIS OG ARGUMENTASJON med et primtall, må 31 være delelig med minst et primtall som verken er 2, 3 eller 5. Tallet 31 er selv et primtall, så nå kjenner du primtallene 2, 3, 5 og 31. Vi gjør tilsvarende med disse fire primtallene: 23531 + 1= 931 Fortsatt går det greit å bruke skolematematikkens delelighetsregler, se kapittel 2.12.2, for å se at 931 ikke er delelig med noen av de fire primtallene 2, 3, 5 og 31. Det er imidlertid mulig å argumentere generelt for at tallet som er en større enn et produkt, aldri er delelig med noen av tallets faktorer. Hvis for eksempel 31 hadde gått opp i 931, ville 931 også gått opp i differansen 931 23531, se setning 16 i kapittel 2.12.2. Denne differansen er lik 1. Siden 1 ikke er delelig med 31, må antagelsen om at 31 går opp i 931 være feil. Tallet 931 er delelig med minst ett primtall, og dette primtallet kan ikke være verken 2, 3, 5 eller 31. Det viser seg at 931 = 7 7 19. Både 7 og 19 er primtall. Vi har nå i alt seks primtall: 2, 3, 5, 7, 19 og 31. Neste skritt er 2 3 5 7 19 31+ 1 = 123691 Svaret er et temmelig stort tall. Også denne gangen har vi fått et tall som ikke er delelig med noen av de seks primtallene vi kjenner, men som må være delelig med et primtall forskjellig fra alle disse. Ved hjelp av et dataprogram for faktorisering 7 av tall får vi primtallsfaktoriseringen 123 691 = 37 3 343. Denne gangen fikk vi to «nye» primtall. Prosessen kan fortsette så lenge som ønskelig, selv om vi etter hvert får så store tall at også kraftige datamaskiner får problemer med å faktorisere tallene. Denne praktiske vansken ser vi bort fra i matematiske bevis. Siden vi har en metode til å finne så mange primtall vi måtte ønske, må det finnes uendelig mange primtall. Påstanden er dermed bevist. Beviset i Eksempel 11 er egnet for ungdomsskolen. En stor fordel er at elevene selv kan utforske metoden og store primtall ved å bruke et dataprogram som faktoriserer primtall. Dette kan ses som et undersøkelseslandskap innenfor «ren» matematikk, se del II, kapittel 3.2. Det er lettere for elever å forstå et bevis hvis de får nærme seg bevisideen gjennom utforskning. Intuitive bevis gjør ofte denne typen utforskning mulig. Det gjelder også bevisene i Eksempel 9 og Eksempel 10, se oppgave 16. 7 Et slikt program er http://home.online.no/~tofurnes/java/primtall/prim.htm

0105 Del1Kapittel5.fm Page 663 Tuesday, August 23, 2011 10:33 AM 5.5 VISUELLE BEVIS 663 Oppgaver 12. Gi et fortellende bevis for at summen av et partall og et oddetall alltid er et oddetall. 13. Ta for deg det fortellende beviset i Eksempel 9. Tegn bussene og menneskene. Lag en oversikt over de ulike stegene i beviset. Bruk gjerne piler og bokser for å tydeliggjøre dette. 14. Ta for deg oppgaven fra kapittel 1.4.1 om å kjøre langs Mjøsa 5 og 7 mil nordover og 7 og 5 mil sørover. Diskuter om dette er et fortellende «bevis» for den kommutative lov for addisjon. Kan argumentasjonen gjøres mer generell? 15. Gjennomfør et intuitivt bevis tilsvarende det i Eksempel 10 for at tall skrevet i nitallsystemet er delelige med 3 når tallets siste siffer er tre. 16. Diskuter med andre studenter hvordan elever kan foreta utforskning knyttet til bevisene i Eksempel 9 og Eksempel 10. Hvilke typer undersøkelseslandskap (se del II, kapittel 3.2) svarer de til? 17. Gjennomfør to skritt til for beviset i Eksempel 11 og finn på den måten flere primtall. 5.5 Visuelle bevis Vi har allerede nevnt verdien av diagrammer og tegninger i bevisføring. Visuell tankegang er ofte en del av intuisjonen bak et bevis, men blir sjelden vektlagt i matematikkbøker. Uttrykket visuelt bevis brukes vanligvis når visuell tankegang spiller en sentral rolle i et bevis. Det betyr imidlertid ikke at slike bevis utelukkende er basert på det visuelle. I likhet med formelle bevis trenger oftest også de visuelle bevisene en utfyllende forklaring med ord. Visuelle bevis pleier å være intuitive, men behøver ikke å være det. Bruk av figurer og diagrammer kan også kombineres med en formell presentasjon med kompakt og formelt matematisk språk. Eksempel 12 Bevis basert på rutenett Når vi multipliserer to oddetall, er svaret alltid et oddetall.

0105 Del1Kapittel5.fm Page 664 Tuesday, August 23, 2011 10:33 AM 664 KAPITTEL 5 BEVIS OG ARGUMENTASJON Visuelt bevis Til to gitte oddetall svarer det et rektangel der lengden og bredden er disse to tallene. Figur 2 Både lengden og bredden er et helt antall toere og en ener. Arealet av rektanglet er lik produktet av de to oddetallene. Dette arealet er delt opp i 2 x 2 kvadrater, 1 x 2 rektangler, 2 x 1 rektangler og et 1 x 1 kvadrat nederst til høyre. Alle disse har partall areal bortsett fra 1 x 1 kvadratet som har areal 1. Dermed er det vist at arealet er et oddetall, så også produktet er odde. Fremstillingen i Eksempel 12 er intuitiv, men vi kan også supplere beviset med algebraisk notasjon. Hvis det ene oddetallet er 2n + 1 og det andre 2m + 1, har vi nm kvadrater av 2 x 2-typen. Figuren viser n = 3 og m = 5. Dessuten er det n rektangler av 2 x 1-typen og m rektangler av 1 x 2-typen. Vi kan derfor på rent geometrisk grunnlag skrive opp ( 2n + 1) ( 2m+ 1) = 4nm+ 2n+ 2m+ 1. Dette gir en visuell forståelse av formelen som vi fant ved bruk av algebraiske regler i Eksempel 8. Eksempel 13 Bevis Første kvadratsetning for positive tall For positive desimaltall a og b gjelder ( ) = + + 2 2 2 a+ b a 2 ab b. Tallene a og b svarer til lengden av to linjestykker. Disse linjestykkene utgjør til sammen siden i et kvadrat med sidelengde a + b. Vi kan tenke oss at a er den korteste og b den lengste av de to linjestykkene, men det spiller ingen rolle hvilket av dem som er lengst. De to kan også være like lange.

0105 Del1Kapittel5.fm Page 665 Tuesday, August 23, 2011 10:33 AM 5.5 VISUELLE BEVIS 665 Figur 3 Arealet av kvadratet med sidelengde a+ b er a+ b Det utgjør venstresiden i første kvadratsetning. Høyresiden er summen av tre ledd, se kapittel 2.5.1. Vi gjenkjenner a 2 og b 2 som arealene til kvadratene med sider henholdsvis a og b. I tillegg er det to rektangler inne i kvadratet. Hvert av disse har areal ab. Til sammen er arealene av disse to rektanglene lik 2ab. Dermed har vi vist at arealet av kvadratet med sider a+ b også kan skrives 2 2 a + 2ab+ b. Altså er høyresiden lik venstresiden, og påstanden er bevist. Oppgaver ( ) 2. 18. Gi et visuelt bevis for at summen av et oddetall og et partall alltid er et oddetall. 19. Ta for deg de visuelle bevisene for de kommutative og assosiative lovene for addisjon i kapittel 1.4.1. Beskriv tankegangen i bevisene skriftlig med ord. 20. Ta for deg det visuelle beviset av Pytagoras setning i kapittel 4.13. a) Skriv ned en forklaring med ord av tankegangen i beviset. Hvordan kan du vite at de grå figurene er kvadrater? Beskriv også hvilke parallellforskyvninger og rotasjoner som brukes. b) Hvilken funksjon har bruken av ulike farger? Lag bevisfiguren i papp og gjennomfør beviset som puslespill. Diskuter fordeler og mulige ulemper ved dette. 21. Ta utgangspunkt i det visuelle beviset for #( A B) = # A+ # B #( A B) i kapittel 7.6. Lag et tilsvarende diagram og finn en tilsvarende formel for #( A B C). Gi et visuelt bevis for denne.

0105 Del1Kapittel5.fm Page 666 Tuesday, August 23, 2011 10:33 AM 666 KAPITTEL 5 BEVIS OG ARGUMENTASJON 5.6 Algebraiske og formelle bevis En fordel med algebraiske bevis er at de gjelder for alle typer av tall. Det visuelle beviset av første kvadratsetning i Eksempel 13 gjelder for positive tall, men setningen gjelder også for fortegnstall. I Eksempel 14 skal vi se at et algebraisk bevis av første kvadratsetning ivaretar også det tilfellet. Algebraiske bevis er ofte relativt korte, og det er overkommelig å kontrollere at bevisene er riktige for den som kan reglene i algebraen. En ulempe med algebraiske bevis er at de ikke alltid gir en forklaring på det som bevises. Du kan føle at du kan følge hvert skritt i beviset, men synes ikke at du forstår hvorfor det som bevises, er sant. Eksempel 14 Bevis Første kvadratsetning for reelle tall 2 For alle reelle tall a og b gjelder a+ b 2 a 2 ab 2 b. ( ) = + + For alle reelle tall a, b, c og d gjelder den distributive lov ( a + b) ( c + d) = ac + ad + bc + bd. Brukes denne loven på 2 ( a+ b) = ( a+ b) ( a+ b), får vi ( a+ b) = ( a+ b) ( a+ b)= a a+ a b+ b a+ b b= a + 2ab+ b 2 2 2 Vi har også brukt den kommutative lov ab = ba og definisjonen aa = a 2. Som du ser, bygger beviset på allerede kjente regler eller setninger og definisjonen av potenser. Den kommutative loven (kapittel 2.3.5.1) sier at svaret på en multiplikasjon er uavhengig av rekkefølgen det multipliseres i. Også fortegnstall oppfyller dette. En utfordring for elever er å avgjøre hva som kan antas kjent i et bevis. Noen tror at også den kommutative loven må bevises. En mulig praktisk løsning er at setninger som er aksepterte i klassen, skrives ned i elevenes regelbok. Hva som skal til for å akseptere en setning, er ikke åpenbart. Et bevis er matematisk sett det ideelle, men det kan være praktisk nødvendig å godta setninger som elevene ikke tviler på, selv uten bevis. Som lærer må du ta ansvar for å bevisstgjøre elevene om de reglene de bruker. Du kan spørre elevene om de tror eller tviler på regelen, og om de forstår den. Etter at tvil og mangel på forståelse med din hjelp har blitt vesentlig redusert, kan dere for eksempel stemme over om regelen skal føres inn i regelboka som akseptert.

0105 Del1Kapittel5.fm Page 667 Tuesday, August 23, 2011 10:33 AM 5.6 ALGEBRAISKE OG FORMELLE BEVIS 667 Når elever ikke forstår, spør de ofte læreren om hensikten med det de skal lære. Det er en grunn for at du bør lære det algebraiske beviset for første kvadratsetning. Så lenge elevene bare skal regne med positive tall, er det visuelle beviset i Eksempel 13 godt nok. Mange elever godtar også generaliseringen av første kvadratsetning til fortegnstall uten spørsmål. Noen elever godtar ikke alt uten videre. Det algebraiske beviset lar deg ivareta også dem. Eksempel 15 Uendelig mange primtall, bevist formelt Det finnes uendelig mange primtall. Bevis Hvis tallene p 1, p 2, p 2,, p n er primtall, er tallet tn = p1 p2 p2 pn+ 1 ikke delelig med noen av dem. Hvis et av disse primtallene p k går opp i t n, vil nemlig p k også gå opp i differansen tn p1 p2 p2 pn = 1, se setning 16 i kapittel 2.12.2. Ingen primtall kan gå opp i tallet 1, så t n er ikke delelig med p k. Tallet t n er større enn 1 og er derfor delelig med et primtall forskjellig fra alle primtallene p 1, p 2, p 2,, p n. La p n+1 være det minste av muligens flere primtall som går opp i t n. Da har vi en mengde med n +1 primtall. Siden prosessen kan gjentas for alle mengder av primtall, kan det ikke finnes noe største primtall, og påstanden er bevist. Det formelle beviset i Eksempel 15 har både fordeler og ulemper i forhold til det intuitive beviset i Eksempel 11 basert på konkrete talleksempler. Vi så at det sistnevnte er mulig å forstå for elever. De kan bruke et dataprogram for faktorisering og utforske hva som skjer. Beviset i Eksempel 15 er kortere og fremhever at tankegangen ikke er avhengig av hvilke tall som velges. Når den intuitive ideen er forstått, kan det formelle beviset styrke forståelsen og gjøre beviset lettere å huske. De små tallene til høyre nede for p, som i p 1, kalles indekser, se kapittel 2.9. I grunnskolen brukes indekser lite. Har ikke elevene sett dette før, så forklar hva dette er og knytt det til eksempler, for eksempel p 1 = 2 og p 2 = 3 hvis mengden består av primtallene 2 og 3. Dessuten må du forklare hva de tre prikkene i p 1, p 2, p 2,, p n betyr. Som en overgang til det formelle beviset kan du bruke notasjonen fra det formelle beviset sammen med de konkrete utregningene i Eksempel 11. Det formelle beviset er først og fremst aktuelt for spesielt flinke elever.

0105 Del1Kapittel5.fm Page 668 Tuesday, August 23, 2011 10:33 AM 668 KAPITTEL 5 BEVIS OG ARGUMENTASJON Oppgaver 22. Bevis algebraisk at summen av to oddetall er et partall. 23. Bevis algebraisk at: a) ( a+ b) ( a b)= a 2 b 2 2 2 b) a+ b a b 4ab ( ) ( ) = 5.7 Generiske bevis Da vi så på bevis av generelle påstander i kapittel 5.3, understreket vi at enkelteksempler ikke er nok for å bevise påstander som gjelder for alle tall. Likevel finnes det en metode som får frem en generell bevisidé gjennom bare ett eksempel. Visuelle bevis som beviser en generell setning om naturlige tall, er ofte av denne typen. I Eksempel 12 kan vi se av figuren at ( 23 + 1) ( 25 + 1) er et oddetall. Selve argumentasjonen er imidlertid ikke knyttet til at akkurat n = 3 og m = 5 er valgt. Fremstillingen gjør det klart at en tilsvarende figur og samme type tankegang kan gjennomføres for alle valg av n og m. Denne typen bevis kalles generiske bevis. Generiske eksempler lar oss se det generelle gjennom det spesielle, se Mason og Pimm (1984). Skal du forklare noen hva en mangekant er, tegner du kanskje en sekskant eller sjukant. Trekanter og firkanter er for spesielle. Motsatt er det for tungvint å tegne en femtenkant. Dessuten er det uheldig å tegne en regulær mangekant, se kapittel 4.2.4. Da kan oppmerksomheten bli rettet mot den typen mangekanter i stedet for hvilken som helst mangekant. Den generiske mangekant må få frem hva som er typisk for en mangekant, uten å inkludere egenskaper som bare gjelder for noen mangekanter. Neste eksempel på et generisk bevis dreier seg om trekanttall. Vi så på trekanttallene i kapittel 2.9. Trekanttallene er summene 1, 1+ 2, 1+ 2+ 3, 1+ 2+ 3+ 4, Grunnen til at det kalles trekanttall, er at disse tallene geometrisk kan illustreres med prikker som danner trekanter. Figur 4

0105 Del1Kapittel5.fm Page 669 Tuesday, August 23, 2011 10:33 AM 5.7 GENERISKE BEVIS 669 Eksempel 16 Generisk bevis ( ) Eksplisitt formel for trekanttall For alle naturlige tall n gjelder T = nn+ 1 n 2 For alle valg av n kan vi sette to kopier av trekanttall nummer n sammen til et rektangel med sider n og n+1. Vi viser dette for n = 4 med en litt annerledes representasjon: Figur 5 I dette tilfellet er to kopier av trekanttall 4 lagt inntil hverandre slik at de danner et 4 x 5 rektangel. Tilsvarende kan gjøres for alle valg av n. Det dobbelte av trekanttall nummer 4 er dermed 44 ( + 1). Generelt får vi 2 Tn = n( n+ 1), så vi får setningen ved å dividere med 2. Legg merke til at argumentasjonen er generell, men at et bestemt eksempel brukes for å visualisere dette. En slik figur kan også lages for alle andre valg av n. Noen ganger er det på sin plass å forklare med ord hvordan figuren generelt kan lages. I dette tilfellet legges en gul brikke oppå den høyeste røde søylen. Det gir en søyle med høyde n + 1. Den andre gule søylen legges oppå den nest høyeste røde søylen, den tredje gule legges oppå den tredje høyeste røde, osv. Siden de gule øker med én og de røde avtar med én i høyde for hver gang, blir alle de sammenlagte søylene like høye, nemlig n + 1. I et så enkelt eksempel er så mange ord fra læreren kanskje unødvendig, men husk at elevene ikke alltid tolker en figur slik læreren gjør det. For at elevene skal forstå, bør de tegne eller bygge flere tilfeller og sette ord på hva de gjør og finner ut. Elevene kan begynne med å forklare til hverandre i grupper, for deretter å skrive det ned. Til slutt følges dette opp av deg som lærer gjennom en oppsummerende diskusjon i plenum. Oppgaver 24. Ta for deg beviset i kapittel 4.2 for setningen om summen av de indre vinklene i en mangekant. Begrunn at dette er et generisk bevis. Gjennomfør beviset for n = 5.

0105 Del1Kapittel5.fm Page 670 Tuesday, August 23, 2011 10:33 AM 670 KAPITTEL 5 BEVIS OG ARGUMENTASJON 25. I første oppgave i kapittel 2.9 finnes et generisk bevis for at summen av de n første oddetall er lik kvadrattall nummer n. Figur 6 17 18 19 20 21 16 15 14 13 22 5 6 7 12 23 4 3 8 11 24 1 2 9 10 25 a) Forklar skriftlig med ord hvordan figuren beviser påstanden. b) Diskuter mulige innvendinger mot beviset, og hvordan de kan møtes. 26. Vi har 15 2 = 1 2 100 + 25, 25 2 = 2 3 100 + 25, 35 2 = 3 4 100 + 25. Hvorfor er ikke dette et generisk bevis? Gi et visuelt generisk bevis ved å tegne et kvadrat og dele dette inn i rektangler og kvadrater på en passende måte. 5.8 Implikasjoner Mange påstander både i matematikken og hverdagslivet er betingede. Det vil si at påstandene er av typen «Hvis A, så B». Denne type påstander kaller vi implikasjoner. Definisjon 4 Implikasjon Gitt to påstander eller utsagn A og B. Påstanden «Hvis A, så B» skrives A B og leses A» impliserer B».

0105 Del1Kapittel5.fm Page 671 Tuesday, August 23, 2011 10:33 AM 5.8 IMPLIKASJONER 671 Eksempel 17 Diskusjon Eksempel 18 Eiendomsskatt Hvis huset ditt er mer enn fem år gammelt, så må du betale eiendomsskatt. Det er mange misoppfatninger knyttet til implikasjoner. Mange tenker at hvis du betaler eiendomsskatt, så er huset ditt mer enn fem år gammelt. Slik er det vanligvis også når utsagnet stammer fra dagliglivet. Hvis vi kaller utsagnet «Huset ditt er mer enn fem år gammelt» for A og utsagnet «Du må betale eiendomsskatt» for B, kan vi skrive formuleringen i oppgaveteksten som A B. Påstanden som starter med at huset ditt er mer enn fem år gammelt, er derimot B A. I dette tilfellet gjelder derfor både A B og B A. La nå C være utsagnet «Huset ditt er mer enn seks år gammelt». Da er også A C sann. Det er eiendomsskatt på et hus som er mer enn seks år gammelt. Men det motsatte gjelder ikke. Hvis du må betale eiendomsskatt, kan huset ditt være akkurat seks år gammelt. Dermed gjelder ikke C A. Utsagnet i eksempelteksten underforstår at fem år er grensen mellom når eiendomsskatt skal betales eller ikke. Min hatt den har tre kanter «Min hatt den har tre kanter, tre kanter har min hatt. Og har den ei tre kanter, så er den ei min hatt.» Diskusjon Figur 7 Min hatt Tre kanter Ikke tre kanter Ikke min hatt Denne kjente sangen gir oss et viktig logisk prinsipp, nemlig at når utsagnet A B er sant, så har vi også ( ikke B) ( ikke A). Er det min hatt, har hatten tre kanter. Altså, hvis en hatt ikke har tre kanter, kan den ikke være min hatt. Det er underforstått at jeg bare har én hatt.

0105 Del1Kapittel5.fm Page 672 Tuesday, August 23, 2011 10:33 AM 672 KAPITTEL 5 BEVIS OG ARGUMENTASJON Setning 1 Å snu en implikasjon Gitt to påstander eller utsagn A og B. Hvis implikasjonen sann, så er også implikasjonen ( ikke B) ( ikke A) sann. A B er Denne regelen blir ofte brukt i matematikken. Det er imidlertid ganske vanlig at elever snur implikasjoner uten å sette «ikke» foran utsagnene. Ikke bare elever, men folk flest gjør dette. I matematikken er konsekvensene av slike feil større enn i dagliglivet. Vi trenger et presist språk når vi snakker om tall og matematiske figurer. Eksempel 19 Vanlig feilslutning Figur 8 Tverrsummen av et tall er 9 Tallet er delelig med 9 Diskusjon Tallet er delelig med 9 for eksempel 99 Tverrsummen av tallet er 9 En kjent regel fra skolematematikken sier at hvis tverrsummen av et tall er delelig med 9, så er også tallet selv delelig med 9, se kapittel 2.12.2. For eksempel er tverrsummen av 702 lik 7 + 0 + 2 = 9. Dette medfører at tallet 702 er delelig med 9. Et tall kan likevel være delelig med 9 uten at tverrsummen er lik 9. Tverrsummen av 99 er 9 + 9 = 18. Tallet 99 er delelig med 9, men tverrsummen er ikke lik 9. Den er bare delelig med 9. Derimot kan vi bruke Setning 1. Hvis et tall ikke er delelig med 9, så er tverrsummen ikke lik 9. Vi avslutter diskusjonen med et mer hverdagslig eksempel: Figur 9 Katt fanger mus fanger mus katt

0105 Del1Kapittel5.fm Page 673 Tuesday, August 23, 2011 10:33 AM 5.8 IMPLIKASJONER 673 Det neste eksemplet beviser Setning 20 i kapittel 2.12.3. Dette resultatet forteller oss at for å kontrollere om et tall er et primtall, så trenger vi bare å undersøke primtall opp til kvadratrota av tallet. Eksempel 20 Testing av primiskhet for tall n > 1 Hvis det naturlige tallet n ikke er delelig med noe primtall primtall. Bevis og diskusjon Det lønner seg å bevise dette ved å skrive påstanden som ( ikke B) ( ikke A) og deretter bevise A B i stedet. p n, så er n et Figur 10 n sammensatt n har primfaktor n n har ikke primfaktor n n er ikke sammensatt, dvs. n er primtall For å klargjøre lar vi: A: «n er et sammensatt tall» B: «Det naturlige tallet n er delelig med et primtall p n.» Vi skal altså bevise ( ikke B) ( ikke A) ved å bevise A B. Et sammensatt tall er et tall som kan skrives som et produkt av to tall som er større enn 1, se kapittel 2.12. Dette er et naturlig tall som verken er primtall eller lik 1. Her har vi antatt at n er større enn 1. Derfor er ( ikke A) det samme som at n er et primtall. Figur 11 Sammensatt tall (A) Primtall (ikke A) ( ) Hva så med B og ikke B? Det motsatte av at n har en primfaktor av den typen vi snakker om, er at n ikke har en slik primfaktor. Da er vi klar til å bevise A B: Hvis n er sammensatt, er n = a b, der a >1 og b >1.

0105 Del1Kapittel5.fm Page 674 Tuesday, August 23, 2011 10:33 AM 674 KAPITTEL 5 BEVIS OG ARGUMENTASJON Figur 12 Et av tallene a eller b må være mindre eller lik n, for hvis både a> n og b> n, vil ab > n n= n, som strider mot at ab = n. Dette kan fremstilles visuelt slik: Det sammensatte tallet n kan ses som arealet av et kvadrat med sider n. Her er dette illustrert med n = 6. Siden tallet er sammensatt, er det også arealet av et rektangel med heltallige sider større enn 1. For at rektanglet skal ha samme areal som kvadratet, må en av sidene være kortere enn siden i kvadratet. Vi bestemmer oss for at a n. Eventuelt kan vi skifte navn mellom a og b for at det skal gjelde. Som alle andre hele tall større enn 1, har n en primtallsfaktorisering. Hvis p er en av primfaktorene til a, er p a, så p n. Dermed er setningen i eksempelteksten bevist. Oppgaver 27. Skriv påstandene på formen A B og begrunn dem. Formuler utsagnet ( ikke B) ( ikke A) med ord. a) Enhver nordmann er en europeer. b) Alle kvadrater er rektangler. c) Alle parallellogrammer er trapeser. d) Alle naturlige tall er rasjonale tall. e) Alle likebeinede rettvinklede trekanter har to 45 graders vinkler. 28. Det finnes et alternativt bevis for Setning 20 fra kapittel 2.12.3. Hvis n er et sammensatt tall, er n = a b, der a >1 og b >1. Hvis vi velger a minst mulig, er a b og aa ab. a) Hvorfor må a være et primtall? Fullfør beviset. b) Diskuter om dette beviset eller det i Eksempel 20 gir mest innsikt, og hvilket av bevisene som er best egnet for elever i skolen.

0105 Del1Kapittel5.fm Page 675 Tuesday, August 23, 2011 10:33 AM 5.9 BEVIS AV AT NOE ER UMULIG 675 5.9 Bevis av at noe er umulig Overraskende nok lar det seg gjøre å bevise at enkelte matematiske konstruksjoner er umulige. Et slikt berømt resultat er at det er umulig å tredele en generell vinkel ved hjelp av passer og umerket linjal. Noen vinkler som 90 graders vinkler, kan tredeles, men for eksempel ikke 60 graders vinkler. Beviset for dette krever imidlertid matematikk som går langt ut over det som tas opp i denne boka. I stedet skal vi bevise et annet like berømt resultat som går tilbake til pytagoreerne (kapittel 1.1). Dette resultatet sier at 2 ikke kan skrives som en brøk der både teller og nevner er hele tall. En annen måte å si dette på er at 2 er et irrasjonalt tall. Eksempel 21 Bevis Kvadratrota av 2 er irrasjonalt 2 a Det finnes ingen naturlige tall a og b slik at b = 2. Vi kan skrive om påstanden til at det ikke finnes naturlige tall a og b slik at 2 2 a = 2b. Med andre ord skal vi vise at ingen kvadrattall kan være det dobbelte av et annet kvadrattall. For å bevise dette antar vi som et tankeeksperiment at det likevel er mulig. Vi velger a minst mulig med denne egenskapen. Figur 13 = To kvadrater med heltallige sider har samme areal som ett større kvadrat. Arealet av kvadratet til venstre er derfor et partall. Sidene må være partall, for som vi så i Eksempel 12, er arealet et oddetall dersom sidene er oddetall. Når siden i kvadratet er et partall, kan kvadratet deles i fire mindre kvadrater: Figur 14 = Dette betyr at halvparten av kvadratet til venstre er lik et av kvadratene til høyre: Figur 15 =

0105 Del1Kapittel5.fm Page 676 Tuesday, August 23, 2011 10:33 AM 676 KAPITTEL 5 BEVIS OG ARGUMENTASJON Dermed er arealet av kvadratet til høyre en sum av to kvadrater, og siden til det høyre kvadratet er mindre enn a. Dette strider mot at a var valgt minst 2 2 mulig, slik at a = 2b for hele tall a og b. Dermed må antagelsen i tankeeksperimentet være feil, så påstanden er bevist. Beviset vi har gitt, er visuelt og dermed lettere å forstå for mange elever. Likevel er det en utfordring å få elevene til midlertidig å tenke på noe som senere viser seg ikke å eksistere. I oppgave 29 skal vi se et mer dagligdags eksempel på den type tankegang. Det kan hjelpe elevene til å foreta tankeeksperimenter i forestilte verdener som er nærmere hverdagen deres. Oppgaver 29. Avstanden mellom Oslo og Trondheim er 495 km. Martin påstår at han har kjørt denne strekningen med bil på 1 time. Begrunn at det er umulig. Hva sier dette deg om bevis av at noe er umulig? 30. Bevis at det ikke finnes noen trekant som har sider 3, 4 og 8. 31. Bevis at det ikke finnes noen rettvinklet trekant hvor sidene er 3, 4 og 6. 32. Her skal vi se på et ikke-visuelt bevis for at det ikke finnes naturlige tall 2 2 a og b slik at a = 2b. Også nå antar du at a er valgt minst mulig med denne egenskapen. Siden primtallet 2 går opp på høyre side, må 2 gå opp i a 2. Dermed må 2 også gå opp i a. Det er en konsekvens av aritmetikkens fundamentalsetning (kapittel 2.12.3). Skriv a= 2c og utled en selvmotsigelse fra dette. 33. Et tredje bevis for påstanden i Eksempel 21 er å bruke at både a og b kan faktoriseres som produkter av primtallspotenser. Hvorfor må 2 2 eksponenten til 2 på venstre side i a = 2b være forskjellig fra den på høyresiden? 34. Bevis at 3 er et irrasjonalt tall. 35. 3 Bevis at 2 er et irrasjonalt tall. Kan du tenke deg hvorfor dette resultatet blir omtalt som umuligheten av å fordoble en kube? 36. Bevis at et primtall større enn 3 ikke kan gi 3 i rest når det deles på 6.

0105 Del1Kapittel5.fm Page 677 Tuesday, August 23, 2011 10:33 AM 5.10 BEVISDIDAKTIKK 677 5.10 Bevisdidaktikk Vi har utsatt bevisdidaktikk som tema fordi det er nødvendig at du selv vet hva et matematisk bevis er, før det gir mening å snakke om elevers læring av dette. Bevisdidaktikken vi tar for oss her, kan deles inn i fire spørsmål som elevene gjennom læringen skal få svar på: 1. Hva slags påstander krever matematisk bevis eller argumentasjon? 2. Hva er matematisk bevis og argumentasjon? 3. Hvordan bevise og argumentere matematisk? 4. Hva er hensikten med matematisk bevis og argumentasjon? Langt på veg må læringen av bevis og argumentasjon forholde seg til alle spørsmålene samtidig. De henger nøye sammen. Likevel skal vi si noe om hvert spørsmål. Punkt 1 kan knyttes til en matematisk kompetanse som i veiledningen til LK06 kalles tankegangskompetanse (del II, kapittel 2.2.4.1). Denne kompetansen dreier seg om hva slags spørsmål som stilles i matematikkfaget, og hva slags svar som forventes. Svært ofte er det generelle påstander som bevises i matematikken. Utforskning eller arbeid med ren matematikk i et undersøkelseslandskap (del II, kapittel 3.4.1) åpner både for at eleven oppdager påstander som trenger bevis, og for at eleven forstår hva disse påstandene går ut på. Utforskning og bevis er aktiviteter som utfyller og forsterker hverandre, se Hanna (2000, s. 14). Innenfor tall og algebra kan utforskning dreie seg om blant annet tallmønstre, regneregler og primtallsfaktorisering. I geometri er bruk av GeoGebra godt egnet til utforskning, se kapittel 4.15 og 5.11.3. Kompetansen som etterspørres i punkt 2 og 3 kalles i veiledningen til LK06 for resonnementskompetanse (del II, kapittel 2.2.4.4). Elevene skal både forstå andres matematiske bevis og argumentasjon og selv kunne argumentere og bevise. Dessuten skal de kunne skille slike resonnementer fra en tankegang som ikke er av denne typen. For å lære hva matematisk bevis og argumentasjon er, trenger elevene å få noen bevis ferdig presentert. Strukturerte og godt tilrettelagte presentasjoner kan hjelpe dem til å forstå hva et bevis er, og hva som er hensikten. Bevislæring krever imidlertid aktive elever. Reproduktiv læring der elevene bare får presentert ferdige bevis fra læreren, fungerer dårlig, se Pedemonte (2008, s. 25). Hvis elevene utelukkende ser læreren bevise, vil dette kunne oppfattes som et slags ritual uten særlig betydning for dem. Om elevenes oppgaver aldri dreier seg om bevis og argumentasjon, er det ikke rart om elevene ber læreren å kutte beviset, og vise