Kinematikk i to og tre dimensjoner 4.2.216 Innleveringsfrist oblig 1: Tirsdag, 9.eb. kl.18 Innlevering kun via: https://devilry.ifi.uio.no/ Devilry åpnes snart. YS-MEK 111 4.2.216 1
v [m/s] [m] Eksempel: En masse er festet til en fjær og beveger seg uten friksjon og luftmotstand. kraft fra fjær til massen: k N2L: a d dt 2 k m 2 initialbetingelser: ( t v( t ) m ) 1m/s.2.1 Svingning: -.1 -.2.5 1 1.5 2 t [s] 2 1 v ( t) sin( t) v( t) v cos( t) -1-2.5 1 1.5 2 t [s] Svingningsfrekvens: k m YS-MEK 111 4.2.216 2
Eksempel: bungee jump En person av masse m = 7 kg hopper med en strikk av lengde d = 5 m fra en bro av høyde h = 1 m. Vi kan beskrive strikken med en fjærkonstant k = 2 N/m og en viskøs koeffisient k v = 3 kg/s. or luftmotstanden kan vi bruke D =.22 kg/m. Treffer han bakken? Vi beskriver bevegelsen til hopperen. Vi måler posisjonen med (t) oppover fra bakken. Initialbetingelser: ( t v( t t ) ) v s 1m m/s Kontaktkrefter: kraft fra strikken til hopperen luftmotstand D langtrekkende krefter: gravitasjon G YS-MEK 111 4.2.216 3
Kraftmodell: gravitasjon: luftmotstand: G = mgi D = Dv v i d Kraften fra strikken virker bare hvis den er stram. elongasjon: L ( h d) fjærkraft: S = +k Li L > L < viskøs kraft avhenger av endingsraten for L: d dt d L ( h d ) dt d dt v = k h d i k vvi < h d > h d N2L: + G + D =, v i mgi Dv v i = mai YS-MEK 111 4.2.216 4
YS-MEK 111 4.2.216 5
Når slutter bevegelsen? YS-MEK 111 4.2.216 6
http://pingo.upb.de/ access number: 891289 I hvilket tilfelle er tauspenningen større? Snordraget i tau 1 er større enn i tau 2 Snordraget i tau 1 er like stort som i tau 2 Snordraget i tau 1 er mindre enn i tau 2 YS-MEK 111 4.2.216 7
Newtons tredje lov: Enhver virkning har alltid og tilsvarende en motvirkning, eller den gjensidige påvirkning av to legemer på hverandre er alltid lik, og motsatt rettet. fra A påb fra B påa Newtons tredje lov forbinder krefter mellom legemer: Hvis jeg dytter på veggen, dytter veggen tilbake på meg med like stor kraft. essensiell for å beskrive systemer som består av flere legemer krefter kommer i par: kraft og motkraft kreftene i paret virker på forskjellige legemer YS-MEK 111 4.2.216 8
Eksempel: En kloss ligger i ro på bakken. N fra J på K Oppskrift: kloss tegn alle legemer som separate systemer finn alle krefter på alle objekter W fra K på J uttrykk kreftene som A på B finn kraft motkraft par sjekk: hver kraft har en unik motkraft W fra J på K jorden N fra K på J YS-MEK 111 4.2.216 9
Eksempel: Mann som går W og N er ikke et kraft-motkraft par. bevegelse fremover på grunn av friksjonskraft: mannen dytter jorden bakover jorden dytter mannen fremover YS-MEK 111 4.2.216 1
YS-MEK 111 4.2.216 11 Eksempel: En bil dytter en lastebil med konstant kraft. kinematisk betingelse: biler er i kontakt a a a v v v L A B A B A B N2L for A: B påa a m g m N a m A A A y A y A W A N A B på A y B W B N B A på B N2L for B: A påb a m g m N a m B B B y B y N3L: A påb påa B a m m B A B A på B påa ) ( System oppfører seg som ett legeme med masse m A +m B Vi trenger ikke se på indre krefter, bare på krefter mellom systemet og omgivelsen.
http://pingo.upb.de/ access number: 891289 En kvinne trekker med = 1 N i en 6-kilos eske som igjen er forbundet med en 4-kilos eske med en lett strikk. Begge strikkene forblir stramm og overflaten er friksjonsfritt. Sammenliknet med 6-kilos esken er 4-kilos esken: utsatt for en større netto kraft. utsatt for samme netto kraft. utsatt for en mindre netto kraft. YS-MEK 111 4.2.216 12
v1 v ; a a strikkene forblir stramm 2 1 2 vi ser bare på horisontale krefter: m 1 = 4 kg m 2 = 6 kg T 1 T 1 = 1 N tauspenning T 1 : T1 1 m a T1 m2a m m ) a ( 1 2 ( m m 1 2) T1 m 1 T m 4 1 1 1 m1 m2 4 N T 1 6 N YS-MEK 111 4.2.216 13
Bevegelse i to og tre dimensjoner YS-MEK 111 4.2.216 14
Bevegelsesdiagram i to dimensjoner bevegelsen er todimensjonal, vi kan beskrive posisjon med: r t = t i + y t j = (t) y(t) med enhetsvektorer i, j i i = j j = 1 i j = posisjon i tre dimensjoner: r t = t i + y t j + z(t)k = (t) y(t) z(t) med enhetsvektorer i, j, k i i = j j = k k = 1 i j = j k = k i = YS-MEK 111 4.2.216 15
todimensjonal bevegelsesdiagram: vi analysere bevegelsen videre: hastighet? akselerasjon? vi kan se på (t) og y(t) hver for seg r t = t i + y t j = (t) y(t) hastighet og akselerasjon i og y retning: v t = d dt t, v y t = d y t dt v t = v t i + v y t j = v (t) v y (t) a t = d dt v t, a y t = d dt v y t a t = a t i + a y t j = a (t) a y (t) YS-MEK 111 4.2.216 16
4 s 5 s 3 s 6 s 7 s v v 1 v 2 s s v 1 s v 1 r( ti 1) r( ti ) v( ti ) t a v( ti ) v( ti ) ti ) t ( 1 YS-MEK 111 4.2.216 17
hastighetsvektor: v t = lim t r t + t r(t) t = dr dt = d dt t i + y t j + z(t)k = d dt i + dy dt j + dz dt k = v t i + v y t j + v z (t)k hastighet: v(t) fart: v t = v(t) akselerasjonsvektor: a t = lim t v t + t v(t) t = dv dt = d dt v t i + v y t j + v z (t)k = dv dt i + dv y dt j + dv z dt k = a t i + a y t j + a z (t)k YS-MEK 111 4.2.216 18
Bevegningsligninger i tre dimensjoner La oss anta at vi har gitt a( t) og v( t) v akkurat de samme som i én dimensjon bare at vi må bruke vektorer og det er gyldig for hver komponent YS-MEK 111 4.2.216 19
http://pingo.upb.de/ access number: 891289 En pendel svinger frem og tilbake med et maksimalutslag på 45 fra vertikalen. Hvilken pil angir retningen på akselerasjonen til pendelloddet i punktet Q (det laveste punktet i banen)? Pil #2 Pil #4 45 45 Enten pil #1 eller pil #3 avhengig av hvilken vei pendelen svinger P #1 #2 Q #3 R #4 YS-MEK 111 4.2.216 2
http://pingo.upb.de/ access number: 891289 En pendel svinger frem og tilbake med et maksimalutslag på 45 fra vertikalen. Hvilken pil angir retningen på akselerasjonen til pendelloddet i punktet P (punktet lengst til venstre i banen)? Pil #1 Pil #2 Pil #3 #1 #2 45 45 Pil #4 Pil #5 akselerasjonen i P er null P #5 #4 #3 Q R YS-MEK 111 4.2.216 21
Skalarer og vektorer skalar: størrelse, men ingen retning eksempel: masse, temperatur, lengde, fart,... notasjon: m, T, l, v vektor: størrelse og retning eksempel: posisjon, hastighet, akselerasjon, kraft,... r, v, a, vektorkomponenter: A A y y z i kartesisk koordinatsystem: A = A i + A y j + A z k = A = A 2 +A y 2 +A z 2 A A y A z i = j = k = 1 1 1 Vi kommer å bruke også sfæriske og sylindriske koordinatsystemer senere. YS-MEK 111 4.2.216 22
Regne med vektorer: addisjon: a b b c a c kommutativ: a b b a assosiativ: a b c a b c c b a multiplikasjon med en skalar: b 2a a a b i Matlab: YS-MEK 111 4.2.216 23
Skalarprodukt (=indreprodukt) a b = a b cos α lineær: kommutativ: a + b c = a c + b c a b b a i komponenter: a b a b a y b y a z b z a = a i, a y = a j, a z = a k i Matlab: a a a YS-MEK 111 4.2.216 24
tidssekvenser av vektorer matriser v: 3d-vektor konstant over tiden (13) matrise n: antall tidsskritter skalar r: 3d-vektor evaluert ved n tider (n3) matrise t: skalar evaluert ved n tider (n1) matrise r(1,:) første tid (linje) i (n3) matrise = 3d-vektor dt: tidsskritt skalar linje i (n3) matrise = vektor = vektor + vektor * skalar linje i (n1) matrise = skalar = skalar + skalar YS-MEK 111 4.2.216 25
http://pingo.upb.de/ access number: 891289 Du kaster en ball i en vinkel på 45 i forhold til horisontal. Vi ser bort fra luftmotstanden. Hvilket utsagn er riktig i høyeste punkt på banen? y A. art og akselerasjon er null. B. arten er på et minimum, men ikke null, og akselerasjonen er konstant. C. arten er null, og akselerasjonen er konstant, men ikke null. D. arten er på et minimum, men ikke null, og akselerasjonen øker. eneste kraft: gravitasjon a g ˆj fart: v v 2 2 v v y ingen kraft i retning: v v i høyeste punkt: v y, YS-MEK 111 4.2.216 26