KAPITTEL. DE RASJONALE TALLENE FØR GREKERNE Egyptisk brøkregning. Både babylonere og egyptere kjente naturlige tall og brøker. Egypterne regnet ikke med brøker på samme måte som vi gjør, men med stambrøker. En stambrøk er en brøk med som teller. Det er forsket en del på det arkeologiske materialet som foreligger, og flere relativt godt begrunnede hypoteser er fremsatt om hvorledes egypterne arbeidet med brøkregning; i den forbindelse har man søkt å forklare hvorfor og hvordan egypterne arbeidet med brøker. Det er foruten stambrøker også brøker med som teller som er interessante. Særlig gjelder dette fraksjonene / og /. For oss kan det virke litt forunderlig at egypterne så å si konsekvent regnet i stambrøker. Vi må imidlertid være oppmerksom på at vi har et helt annet algoritmisk apparat til rådighet, noe som spesielt kommer til uttrykk i multiplikasjons- og divisjonsalgoritmene. Eypterne utarbeidet nummeriske tabeller over bestemte sammenhenger. Jeg skal senere illustrere dette nærmere i moderne notasjon. Poenget er at vi ut fra de tabellene og beregningene som foreligger må prøve å gjette oss til hvordan egypterne tenkte. Jeg skal videre forsøke å gi en begrunnelse for hvorfor en organisasjon bygget på stambrøker synes å gi seg naturlig ut fra det vi vet om egypternes multiplikasjons- og divisjonsalgoritmer. Det er en sammenheng mellom representasjon av tall, algoritmer og oppstilling. Egypterne benyttet et additivt prinsipp i sitt tallsystem. De hadde symboler for, 0, 00, 000 osv og et tall ble angitt ved at symbolet for et antall ble gjengitt så mange ganger som nødvendig. Symbolet står for, for 0 og ϑ for 00. Tallet ble dermed skrevet ϑϑ, i det at tegnene med størst symbolverdi ble skrevet lengst til høyre. Tallene ble altså notert motsatt av hva vi gjør, fra høyre mot venstre. Man ser dermed lett at fordobling kunne utføres enkelt ved at antall symboler dobles og halvering tilsvarende. Selvsagt måtte symbolene konverteres til høyere eller lavere enheter når dette var nødvendig. Stambrøk ble angitt ved en oval eller et punkt over tallsymbolet. / ble skrevet som, mens / som Dessuten hadde egypterne et symbol for /, Min oppfatning er at det additive systemet ligger vel til rette for multiplikasjons- og divisjonsalgoritmer bygget på systematisk dobling / halvering. Og min påstand er videre at denne typen algoritmer legger til rette nettopp for et system med stambrøker. Systematisk halvering av brøker vil da skje ved at nevner stadig fordobles. Noe mer problematisk blir det når en brøk skal dobles, da må den konverteres. Det er derfor interessant at det foreligger flere tabeller som viser konvertering til summer av stambrøker nettopp av brøker med som teller. Det vi har av arkeologisk materiale er spesielt den såkalte Rhindpapyrus og den såkalte Egyptiske matematiske lærrull, begge funnet av A.H.Rhind i. Begge skriver seg fra perioden omkring 60 f.kr. Videre den såkalte Reissnerpapyrus som ble funnet av Georges Reissner i 906 og som stamme fra 0 f.kr. Omstendighetene omkring Rhindpapyrus forteller samtidig litt kulturhistorie. Skriveren som nedtegnet papyrusen, Ah.Mose eller Ahmes, forteller at han skrev den ca 60 f.kr etter et eldre manuskript som stammer fra 0 00 f.kr. Utenom de hieroglyfiske tegnene som er vist nedenfor og som var det offisielle tallsystem, hadde egypterne også et hieratisk notasjonssystem. Eli Maor: Ahmes the Scribe. Princeton 00.
Eksempel Vi ser på multiplikasjonen 7 x 7 7 / 6 / 9 /. 6 6 /. 97 7 Det vi gjør her, er for hvert trinn å doble den ene (største) faktoren. Dermed får vi en rekke multipla av faktoren,,,, osv. Vi summerer så opp de aktuelle multipla vi trenger for å få den andre faktoren, 7. Vi ser da at vi får ett 6, ett ingen, ett og ett multippel. Vi ser da umiddelbart at 0 er 7 skrevet i totallssystemet. I dette systemet benyttet bare sifrene 0 og. Eksempel Vi bruker algoritmen på en brøkmultiplikasjon, der vi har / 0 / 0 /. 0.. 0 0 0, multiplisert med 0. Den samme teknikken kan brukes i divisjon. Vi ser først på en heltallig divisjon. Eksempel Vi ser på divisjonen 6 : 7. 7 / 6. 6 /. 6 Hva når divisor eller dividend er en brøk? Vi ser på et eksempel der vi har heltallig kvotient.
Eksempel Vi ser på divisjonen / /.. 0 Eksempel Vi ser på divisjonen dividert med. Her summerer vi (brøk)multipla på samme måte dividert med.. Disse eksemplene har vist oss det fordelaktige i å arbeide med stambrøker når man hadde multiplikasjons- og divisjonsalgoritmer som bygget på gjentatt fordobling - gjentatt halvering. Hvordan går vi så frem i dag for å spalte opp en brøk i stambrøker? Eksempel 6 Vi starter med å undersøke om en gitt brøk er større enn. Er den det, subtraherer vi fra brøken. I neste omgang undersøker vi om resten er større enn. Dersom brøken er mindre enn, undersøker vi om den er større enn. Slik fortsetter vi.
La oss se på. Vi finner. Nå er: < og <, men >. Dette gir oss i 7 7 neste omgang. Dermed er: 70 7 70 Imidlertid er ikke summen av stambrøker for en gitt brøk entydig gitt. Dette kan vi overbevise oss om ved at: 7 6 Det finnes ingen spesiell algoritme for å finne kjeder av stambrøker. Vi kan ut imidlertid sette opp en systematisk algoritme for én av disse summene. Denne algoritmen kan også brukes som del av en algoritme for å finne andre representasjoner av en bestemt brøk Anta at vi starter med brøken M N og finner den største stambrøken B mindre enn denne, da finner vi restleddet Q P ut fra sammenhengen: teller blir NB - M og ny nevner blir BM. P N som gir oss: Q M B P Q NB M. Dvs ny MB Problemet blir nå egentlig å bestemme den neste stambrøken. Det er ikke spesielt vanskelig, N M vi har jo: slik at nevner i stambrøken blir M M. N N M Vi kan imidlertid, som vi skal se, velge å bruke en nevner større enn N Eksempel 7 Vi nevnte innledningsvis at egypterne utarbeidet tabeller over / av stambrøker. F eks finner vi i Rhindpapyrus disse eksemplene av av En vei å gå for å etablere en slik tabell, er ved hjelp av: Dette betyr igjen at vi har:. Tilsvarende, 6 () a a 6a a a a Det er en annen eiendommelighet vi ser ved flere av disse tabellene og som er en direkte konsekvens av at nevnerne i brøksummene i () er delelig med ; nevnerne i de stambrøkutviklingene som egypterne brukte i sine tabeller, er partall. Dette ville som vi har vært inne på tidligere, gjort det lettere å doble slike stambrøkutviklinger. Gilling: op.cit s
Jeg viser først noen enkle sammenhenger som stammer fra den såkalte Rhind papyrus. Disse er ikke vist ved moderne algebra som nedenfor, men ved en rekke talleksempler. () n n n( n ) () 6n ( ) ( ) n n () n n De neste sammenhengene er ikke fullt så åpenbare, () (6) n 6n n 6n n n n Ved å betrakte divisjon med naturlige tall som brøkmultiplikasjon kan visse divisjoner utføres ut fra tabellkunnskap. Ut fra () har: (7) : n n n 6n Vi skal imidlertid se på hvordan egypterne kan ha utnyttet den såkalte G-regelen 6 som vi finner som en tabell 7 : Vi skal se på to eksempler: () 7 6 6 0 0 Vi ser her eksempler på en regel vi kan skrive slik i algebraisk notasjon (9) a m a m m a Generelt har vi at dersom vi har a (m )b, finner vi (0) a m a b Et eksempel på dette er () der summen av nevnerne i de to ensnevnte brøkene er. Gillings. Mathematics in the Time of the Pharaos. s. 7 Gillings. Op. Cit. s. 6 Gillings Op. Cit.. s 9 7 Egyptisk matematisk lærrull - British Museum. London
() G-regelen sier at dersom den ene brøken i en sum er den doble av den andre, er summen en ny stambrøk hvis og bare hvis går opp i fellesnevner. Generelt har vi også denne regelen som vi kan se er brukt () n 6n n Tilsvarende har vi i fall vi har en sum av tre brøker der hver nevner er en fordobling av den foregående og nevnerne inneholder 7 som faktor: () 7n n n n n Slike tabeller ble åpenbart laget på et rent empirisk grunnlag. Ved utprøving har man kommet til klarhet over sammenhenger som dem som er nevnt ovenfor. Disse reglene ble formulert som tabeller, sikkert for at de skulle brukes av beregnere som ikke kjente generelle metoder, men som arbeidet via tabeller. Dette ser vi stadig går igjen i tidligere tiders matematikk. Det er i alle fall sikkert at egyptiske matematikere hadde stor oversikt over lovmessige sammenhenger mellom nevnere i summer og differenser. Det vi vet mindre om, er om egypterne oppfattet brøker som tall eller som forhold. Vi skal imidlertid gå tilbake til () og se hvordan egypterne behandler brøker der nevner er multipla av 7. I Rhindpapyrus viser skriveren først at () 7 Og med utgangspunkt i dette, har man straks () 7 Likheten () for det tilfelle at n, kan også oppnås ved gjentatt fordobling dvs en multiplikasjonsalgoritme som viser 7. 7 Gillings. Op.cit. s. 0
For å se hvor effektivt egypternes system egentlig var, kan vi studere deres teknikk for å løse ligningen. For å løse en førstegradsligning med én ukjent, benytter de en regula falsi metode. Vi skal se på et eksempel. Problemet er gitt slik 9, en størrelse og dens syvendedel er til sammen lik 9, hva er størrelsen? Egypterne starter med en utgangsverdi, nesten alltid nevner - i dette tilfelle 7 og finner (6) 7 7 Nå vet man at siden verdien på høyre side er 9/ av hva den skal være, må utgangsverdien økes tilsvarende: (7) 9 Vi finner nå ved bruk av multiplikasjonsalgoritmen: * 7 * *.. 6 Det vi ser er at selv om denne metoden forekommer oss svært omstendelig, er den ganske patent og lett å praktisere for den som bare har fordoblings/halveringsalgoritmer for hånden. Vi skal nå vise en alternativ fremgangsmåte som stammer fra den såkalte Moskvapapyrus 0 Problemet 9 i denne papyrusen lyder, en størrelse tillagt halvparten og gir oss i alt 0. Løsningen er ført slik, 0 er 6 mer enn fire, følgelig er størrelsen tillagt halvparten lik 6. Så stiller skriveren spørsmålet, hvilken brøkdel av er? Skriveren vet svaret på dette, /. Svaret på oppgaven sier skriveren, blir dermed / av 6, nemlig. Vi ville ha skrevet dette: () x x 6 ( ) x 6 ( ) x 6 x 9 Problemene i Rhind Papyrus 0 Funnet i 9 av V.S.Golenistsjev og daterer seg sannsynligvis til perioden 900 00 f.kr
Noe av det mest forbausende ved egyptisk matematikk, er at de klarte å løse ligninger av annen grad med to ukjente. Dette berodde på at de hadde kjennskap til kvadratrøtter av noen tall. Sannsynligvis hadde de kjennskap til dette ut fra tabeller over kvadrater. I litteraturen finnes ikke referanser til beregning av kvadratrøtter Vi skal se på et problem som er referert fra den såkalte Berlinpapyrus. Problemet er formulert som følger, arealet av et kvadrat er 00 og er lik summen av to mindre kvadrater. Siden av et av disse kvadratene er summen av en halvdel og en fjerdedel av det andre. Vi ville ha formulert problemet slik med x og y som sider i kvadratene. (9) x y 00 y x Løsningen angis slik, vi starter med et kvadrat med side, siden av det andre blir da. Kvadratet av det siste blir da: og summen av kvadratene blir. Nå vet 6 6 skriveren at kvadratroten av denne summen blir:. Han vet også at kvadratroten av 00 er 0. Ved å dividerer 0 med, finner han som er den ene siden. Dette finner han enkelt ved systematisk fordobling. Til sist finner han den andre siden som av 6. Vi kjenner ikke til at egypterne hadde algoritmer for å finne kvadratrøtter. Derimot vet vi at de hadde tabeller over kvadrater. Disse tabellene ga dem selvsagt også en tilsvarende oversikt over kvadratrøtter til visse tall. Vi skal senere komme litt tilbake til egyptisk matematikk. Egypterne hadde en viss innsikt i geometri og volumregning. De klarte f eks å beregne volum både av en pyramide og en avkortet pyramide med kvadratisk grunnflate. Videre fant de en approksimasjon til π. De fant en approksimasjon til arealet av en sirkel med diameter d som A d, som gir en tilnær- 9 met verdi for π.6. Vi kan si at egypterne tilnærmet klarte å løse problemet med 'sirkelens kvadratur'. Hvordan de gikk frem her, skal vi vise senere. Gilling. Op.cit. 7 Stammer sannsynligvis fra 00 f.kr. Restaurert av H.Schack-Shackenburg 900. Måleenheter er her sløyfet da de ikke har interesse. Gillings. Op.cit. 6. Maor. Op cit. Gillings. Op.cit. 9.