Derivasjon Halvor Aarnes, UiO, 2014 Innhold Derivasjon... 1 l Hôpitals regel og grenseverdier... 7 Funksjoner... 7 Rett linje... 9 Parabel... 11 Polynomfunksjoner... 12 Kvadratiske funksjoner... 14 Kubisk funksjon... 15 Kontinuerlige rotfunksjoner... 19 Kvartfunksjoner... 19 Rasjonale funksjoner... 20 Eksponentialfunksjon... 20 Taylorpolynomer og feilanalyse... 21 Derivasjon Leibniz definerte den deriverte til en funksjon (f (x)) som: lim lim Hvis f(x) er deriverbar i et punkt a så vil tangenten i punkt (a, f(a)) ha stigning lik f (a) og ligningen for tangentlinjen blir: 1
Den deriverte av en funksjon y=f(x) kan skrives på forskjellige måter: Den deriverte av noen enkle funksjoner: f(x) f (x) C (konstant) 0 x 1 x 2 2x 1 0 1 0 2 x a x Selv om man kan derivere numerisk, kan det være greit å minne om følgende derivasjonsregler: 1 : : : : : : 2
Hvis f(x) og g(x) er kontinuerlige funksjoner så vil også følgende være kontinuerlige f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x) g(x), f(x)/g(x) hvis g(x) ikke lik 0, og f(g(x)) Den deriverte til differansen til to deriverbare funksjoner u og v (tilsvarende for en sum): Den deriverte til et produkt av to funksjoner: Den deriverte av en brøk: Kjerneregel for sammensatte funksjoner: Hvis h er en deriverbar funksjon sammensatt av de deriverbare funksjonene f og g: h(x)=f(g(x)),så vil h (x) være den deriverte av den ytre funksjonen mhp kjernen ganger den deriverte av kjernen: Både hastighet og aksellerasjon kan uttrykkes som den deriverte. Innen økonomi er marginalkostnader ved produksjon definert som den deriverte. Isaac Newton (1642-1727) publiserte i 1687 Philosophiae naturalis principia matematica (matematiske prinsipper i naturfilosofien), et grunnleggende verk for moderne eksakt vitenskap som dannet grunnlaget for mekanikk og gravitasjonsteori. 3
Newton tenkte seg en funksjon f(x,y) som var møtepunktet for en vertikal linje dy/dt og en horisontal linje dx/dt som beveget seg med tiden hvor tangenten som er diagonalen i paralellogrammet blir hastighetsvektoren. Forholdet mellom de to linjene blir dy/dx. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Skrev i 1714 Historia et origo calculi differentialis (Historien om opprinnelsen til differensialregningen). Ifølge Leibniz kunne man nå tenke seg meget små (infinitesimale) linjestykker ds på kurven y=f(x) til å være hypotenusen i en trekant. Deretter kunne man bruke Pythagoras teorem på trekanten med sider dx og dy slik at: 1 Lagrange var den første som innførte betegnelsen f som den deriverte av funksjonen f. Leibniz introduserte en differenskvotient: 4
Hvor Δ er den greske bokstaven Delta som ble brukt til å uttrykke bittesmå forskjeller. Leibniz tenkte at når Δx ble uendelig liten og Δy tilsvarende liten så ble Δx og Δy uendelige små, infinitesimale, og disse infinitesimale betegnet han dx og dy. Deretter kunne man summere opp (integrere) alle de infinitesimale. Mengdene dx og dy kalte han differensialer, d i kalkulus (småstein) betyr en infinitesimal endring. Derved ble den deriverte en differensialkvotsient dy/dx. lim Grenseverdien betegnes lim (limes). Leibniz hadde derved skapt differensialkvotienten dy/dx som symbol for den deriverte. Leibniz mente at infinitesimale var uendelige små tall, men allikevel større enn 0. Etter hvert oppga man tanken om infinitesimale som egne uendelige små tall, men fremdeles kalles derivasjon og integrasjon for infinitesimalregning. Egentlig er det et tankekors at man dividerer på null. Imidlertid førte Leibniz tenkemåte til en geometrisk tolkning: den deriverte er egentlig en tangentlinje til en kurve. Differenskvotienten blir en tangentlinje, og den deriverte sier noe om hvor bratt kurven stiger og i hvilken retning den går. Differensialligningen omhandler tangentlinjer, mens integralregningen tar for seg arealer under kurver. Den franske matematikeren Pierre de Fermat (1601-1665) fant at når tangentlinjene var horisontale dvs. ingen stigning på tangenten så hadde han maksimums- eller minimumspunkter på en grafisk figur. Har den deriverte en positiv verdi stiger kurven, har den deriverte en negativ verdi synker kurven, og er den deriverte lik 0 verken stiger eller synker kurven. I funksjonen som danner en sirkel vil tangentlinjen alltid stå normalt (vinkelrett) på radius i ethvert punkt på sirkelen. Disse tangentlinjene kunne brukes til å beregne endringer i hastighet i fysikken, eller generelt hvor rask hastighetsendring en funksjon har. Betegnelsen f brukes på den førstederiverte og f på den andrederiverte. Ofte skriver man y i 5
stedet for f (x), og y =dy/dx hvor dx er differensialet til x Den andrederiverte skrives som y eller y (x) Leibniz notasjon for den deriverte: Lagranges notasjon for den deriverte bruker en apostrof. For den første og andrederiverte: Den Newtonske notasjon bruker en prikk: Den nære sammenhengen mellom integrasjon og derivasjon. En del differensialligninger kan løses ved integrering, men i mange praktiske anvendelser er differensialligningene ikke analytisk løsbare og kan bare løses numerisk med en datamaskin. Integrering er det samme som antiderivasjon, og beskrives av Fundamentalteoremet i kalkulus: For en kontinuerlig funksjon f(x) fra x 0 til x: Hvis Så er 6
l Hôpitals regel og grenseverdier Hvis vi ønsker å finne grenseverdien av uttrykket: lim 1 Vi ser først hva som skjer med teller og nevner når x går mot 0, det vil si vi får et uttrykk [0/0] Vi kan benytte l Hôpital som sier: Hvis vi har to deriverbare funksjoner f og g over et åpent intervall [a,b] og g (x) 0 og vi har: lim lim 0 og lim så vil: lim Funksjoner En funksjon er en avbildning hvor for eksempel verdien y varierer på en angitt måte med verdien x, dvs. y er en funksjon av x (y=f(x)). Vi kan også si at f er en avbildning av definisjonsmengden X i verdimengden Y, f:x Y. Den enkleste måten å se hvordan f(x) varierer med x er å lage en grafisk framstilling. Når en 3D kuleflate skal projiseres ned i et 2D plan er dette en avbildning. Vi har en entydig avbildning hvis det til ethvert element i X finnes bare et element i Y. Vi har en invers avbildning hvis vi kan avbilde begge veier, dvs. vi har også f -1 :Y X og ff -1 =1. x Funksjonen f(x)=e har den inverse funksjonen g(x)=ln(x) ln Når man skal finne maksimums- og minimumspunkter for en funksjon f(x)med en variabel finnes først punktene for den førstederiverte av funksjonen er lik 0 (f (x) = 0). For å avgjøre hvem av dem som er maksimum og minimum benyttes gen andrederiverte f (x). Vi har et lokalt minimum når f (x) > 0 og et lokalt maksimum når f (x) < 0. Hvis f (x) = 0 kan man ikke trekke noen slutning. Vi ønsker også å kunne finne maksimums- og minimums- og sadelpunkter hvis vi har flere variable. En måte å gjøre dette på er Lagranges multiplikator. 7
Lagranges multiplikatormetode kan hjelpe oss i å løse dette problemet, oppkalt etter den berømte franske matematikeren Joseph- Louis Lagrange (1736-1813). Generelt er problemet å finne ekstremalverdiene for en funksjon f(x,y,z), eller i vårt tilfelle f(x,y,a). Hvis z kan uttrykkes som en funksjon av x og y, z = h(x, y) så består problemet i å finne maksimum av en ny funksjon F(x,y) = f(x,y,h(x,y). Imidlertid er det ikke sikkert at z kan uttrykkes som funksjon av x og y. Maksimumspunktet ligger på en kurve C som kan tenkes angitt som skjæring mellom to flater g 1 (x,y,z) = 0 og g 2 (x,y,z)=0. Hvis vi lar t være en parameter som beveger seg langs kurven C hvor vi skal finne maksimum blir problemet nå forenklet til F(t)=f(x,y,z), og maksimumspunktet må finnes der hvor den førstederiverte er lik 0. F (t)=0. Vi har nå tre skalarligninger som må løses hvor konstantene λ1 og λ2 kalles Lagrange multiplikatorer. Uttrykt som vektorfelt (partiellderiverte),, Funksjonen har et sadelpunkt:, 8
Figur. Sadelpunkt for funksjonen z= x 2 -y 2. Et sadelpunkt blir det største blant de laveste punktene. I spillstrategi blir sadelpunktet den optimale strategi. Rett linje En rett linje har funksjonen: eller: hvor b 0 (a) er et konstantledd som angir skjæring med y-aksen (intercept) og b 1 (b) er stigningstallet (stigningskoeffisienten). Generelt hvis en linje går gjennom punktene (x 1,y 1 ) og (x 2,y 2 ) så er stigningskoeffisienten b1: Vi ser først på den enkle linjen 1 som er en linje med stigningstall =1 og skjæringspunkt =1 9
Figur. Rett linje y= 1+x Vi kan finne arealet av trekanten for x=[-1,0], det vil si integralet avgrenset av dette området, areal =0.5, halvparten av kvadratet 1x1. Den deriverte f (x)= 1, det vil si stigningstallet for linjen. Figur. Linjen og funksjonen y= β 0 + 0.5x, stigningstallet er lik 0.5 for alle linjene, men hvor skjæringspunktet med y-aksen, β1, er -4, -3,-2, -1, 0, 1, 2, 3 og 4. Den førstederiverte til linjen blir 0.5, det vil si stigningstallet. 10
Figur. Starter med punktene (-1,-2) og (2, 3). Beregner stigningstallet slope<-(3-(-2))/(2-(-1)) 32 21 5 3 1.67 Beregner intercept ved å la linjen gå gjennom punktet (2,3) b0<-3-slope*2;b0 3 2 0.33 Parabel Vi ser på funksjonen: 1 som har røtter for x=1 og x=-1 11
Figur. Funksjonen f(x)=1-x2, den førstederiverte 2 som er en rett linje med stigningstall -2 og som går gjennom origo (0,0). Når den deriverte =0 ser vi her at maksimumspunktet for funksjonen blir ved punktet (1,0). Vi trekker tangenter til parabelen ved røttenex=1 og x=-1 (grønne linjer) og trekker en tangent i maksimumspunktet. Tangenten er en rett linje y=y0 -beta(x-x0) hvor beta er den deriverte, og x0=1 for den ene tangenten, x0=-1 for den andre. 0 20 0 Vi kan også se at integrerer vi funksjonen i området [-1,0] så blir dette arealet 0.67, som er større enn halvparten av kvadratet 1 x 1. Polynomfunksjoner Polynomfunksjoner er kontinuerlige, hvor n er et naturlig tall og a n er konstanter, og kalles et n-te grads polynom Og går mot pluss uendelig ( ) eller minus uendelig (- ) når x går mot uendelig, avhengig av om an er større eller lik 0: 0 lim 0 12
På begynnelsen av 1500-tallet i Italia forsøkte man å finne eksakte løsninger av ligninger for eksempel andregradsligninger er av typen: 0 som vi nå vet har følgende løsninger, røtter i form av rotuttrykk: Euler viste at hvis vi har ligningen: 4 2 1 0 1 så blir røttene ± kvadratroten til ±1. Dette var en type ligninger som i begynnelsen virket absurde, på lignende måte som cos(x)=2 eller e x =-1. Vi kan se nærmere på ligninger av typen: 10 For 1 0 1 Euler fant at for for n=3 er det tre røtter: 1 1 1 0 x=1 og de to andre finner man fra formelen for kvadratiske røtter: For 1 3 2 10 er røttene 1, -1, 1, og 1. For n=5 er det fire imaginære røtter i tillegg til 1. Generelt har vi: 1 Denne kan faktoriseres: 1 Man kan vise at: 22 Som fører fram til De Moivres teorem (Abraham De Moivre 1667-1754): cos 1 Generelt vil ligningen 10 13
dele opp en sirkel med n komplekse røtter: 2 2 0,1,2,, 1 og de komplekse røttene blir liggende på enhetssirkelen i kompleksplanet: n Figur. Røttene for x 1 = 0 for n = 50 blir liggende på enhetssirkelen i kompleksplanet. Kvadratiske funksjoner Andregradsligningen eller den kvadratiske funksjonen f(x): Denne følgende løsninger (røtter): 4 2 2 Vi ser på fortegnet for b -4ac som også kalles diskriminanten til kvadratiske ligningen. 0 ø 4 0 ø 0 ø Hvis vi lar koeffisientene a,b og c være i feltet F og røttene i funksjonen f(x) er lik r 1 og r 2 så finnes det symmetriske rasjonale funksjoner hvor a=-(r 1 +r 2 ) og b=r 1 r 2 14
Vi kan se på kvadratligningen: 41 Vi finner røttene ved å sette inn i uttrykket over: Vi kan lage algebraiske funksjoner av røttene: 4 1 Galoisgruppen til f(x) er to permutasjoner. En spesiell ligning er: 41 hvor resultatet av f(x) blir et primtall for x=[0,39] For ligningen over er a=1,b=1 og c=41, dvs. b 2-4ac=1-164=-163 og det blir to komplekse røtter: 1 1 163 2 2 Tallet 163 har spesielle egenskaper. Vi har sett at andregradsligninger har løsninger med rottegn og tredjegradsligninger har også slike løsninger: gjengitt av Girolama Cardano i Ars Magna (1545). Fjerdegradsligningen kan reduseres til 2 andregradsligninger. Kvintligningen (femtegradsløsningen) ble undersøkt av Niels Henrik Abel i 1824. En symmetrigruppe med fem elementer er ikke løsbar og derfor kan ikke en femtegradsligning løses ved rotutrykk. Kubisk funksjon Generelt er en kubisk funksjon (tredjegradspolynom, tredjegradsligning) følgende: hvor a, b, c og d er reelle tall. Vi finner røttene til funksjonen ved f(x)=0. 0 0 Kubiske funksjoner med reelle koeffisienter har minst en løsning som er reell. 15
Den deriverte av en kubisk funksjon blir en kvadratisk funksjon (andregradspolynom): 3 2 Integralet av den kubiske funksjonen blir et kvartfunksjon (fjerdegradspolynom. Kubiske funksjoner var allerede kjent i det gamle Babylonia, Egypt, India, Persia, Kina og i Grekenland (Diofantus, Arkimedes) Vi skal se på noen tredjegradspolynomer: 12 1 og finne maksimumspunktene via den førstederiverte og finne røttene i den førstederiverte: 3 12 Det er foretatt numerisk beregning av røttene til funksjonen f(x) : 3.50503709 0.08338865 3.42165396, og røttene til den førstederiverte er -2 og 2. Figur. Funksjonen f(x)=x 3-12x + 1 og røttene av denne som røde prikker, samt den førstederiverte f (x)=3x 2-12. Vi ser at den førstederiverte =0 for maksimums- og minimumspunktene. Vi skal studere den kubiske funksjonen: 16
2 32 3 2 Figur. Funksjonen f(x)= x -2x -3x+2 med røtter -1.3429231 0.5293368 2.8136067, den førstederiverte og andrederiverte, samt vendetangenten (prikket rød linje). Vi ser at den førstederiverte er lik 0 ved maksimums- og minimums- punkt. Den andrederiverte er positiv for minimumspunkt og negativ for maksimumspunkt til funksjonen. Finner vendetangenten til den kubiske funksjonen, dvs. hvor den andrederiverte skifter fra synkende til stigende. Publiseringen av løsningen av kubiske ligninger er en berømt historie fra vitenskapen i renessansen. Det var den italienske matematikeren Scipione del Ferro (1465-1526), professor i geometrisk algebra ved universitetet i Bologna, som utviklet en metode for å finne røttene til kubiske funksjoner. Oppdagelsen holdt han hemmelig, men overlot den til sin student Antonio Maria Fiore. Var man professor måtte man vise sin kompetanse, og man kunne bli utfordret. Niccolò Fontana Tartaglia (1500-1577) hevdet han hadde funnet en løsningsmetode for tredjegradsligninger og kom i disputt med Fiore hvor det endte i konkurranse mellom dem om en pengepremie. Hver av dem skulle bidra til pengepremien, og hver av dem skulle gi den andre et problem som skulle løses. Fiore laget spørsmålet om løsning av, en kube + noe er lik et tall 17
og Tartaglia laget spørsmålet om til Fiore. Tartaglia vant. Tartaglia holdt fremdeles måten å løse på hemmelig, men røpet den for Gerolamo Cardano (1501-1576) under forutsetning av at Cardano skulle fortsette å holde det hemmelig, og hvis han skulle skrive en bok om kubiske ligninger skulle Tartaglia få beskjed slik at han kunne rekke å publisere. Cardano ble kjent med hva Ferro hadde funnet, og valgte å publisere løsningen i Ars Magna 1545, med argument at det var Ferros metode som ble vist. Det ble ny duell, Cardano ville ikke stille opp mot Tartaglia, men sendte sin student Lodovico Ferrari (1522-1565) som til slutt vant over Tartaglia. Ferrari bidro til løsningen av fjerdegradsligninger, måtte gå veien om tredjegradsligninger, men også dette ble publisert i Ars Magna. Cardano var også interessert i spill og gambling og skrev i 1526 Liber de ludo aleae (Bok om spill og tilfeldighet). Euler kunne vise at løsningen på en ligning av typen: har løsningen: 2 4 27 2 4 27 Joseph Louis Lagrange publiserte i 1770 Réflextions sur la résolution algébrique des équations en metode som fungerte for tredje- og fjerdegradsligninger. Han analyserte ligningene til Cardano og Ferrari ved å betrakte dem som permutasjoner av røtter, men fikk det ikke til å virke for femtegradsligninger. Niels Henrik Abel kunne vise at det var umulig å løse generelle femtegradsligninger med vanlig rotuttrykk (Abel- Ruffiniteoremet). Imidlertid finnes det noen femtegradsligninger som er løsbare som 1 0 Hvorfor det finnes noen femtegradspolynomer og polynomer av høyere orden som er løsbare kunne Évariste Galois vise ved Galois-grupper (permutasjonsgrupper). Galois-teori viser symmetrien i røttene til n- tegradspolynomer. 18
Kontinuerlige rotfunksjoner Generelt har vi: 0 lim 0 0 0 Kvartfunksjoner Kvartfunksjoner (fjerdegradsligninger) er av følgende type: Dette er den høyeste orden av funksjoner som kan løses med rotuttrykk. Galois-teori med kobling mellom gruppeteori og feltteori viser hvorfor det må være slik. Koeffisientene a,b, c,d og e er i feltet F. Det som er avgjørende er om Galoisgruppen (permutasjonsgruppen) er løsbar eller ikke. Galois fant at røttene i en ligning kan beskrives av en algebraisk ligning, og at røttene kan omstokkes (permuteres). Galois startet med å studere symmetriske funksjoner. I moderne termer er det lettere å vise dette ved feltteori. Et algebraisk felt er en lukket gruppe av tall, for eksempel de rasjonale tallene, ved de vanlige regneoperasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. Heltallene danner ikke et felt fordi deling av et heltall med et annet heltall ikke nødvendigvis gir et heltall. Det kan foretas utvidelser av et felt og en-til-en avbildninger (automorfi) slik at egenskapene til addisjon og multiplikasjon bevares. Grunnlaget for Galois-grupper er videreutviklet av Emil Artin (1898-1962) (artins resiprositetssats) bl.a. basert på arbeid til Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916),kjent for dedekinske snitt og idealteori og Emmy Amalie Noether (1882-1935). 19
Rasjonale funksjoner Rasjonale funksjoner er kontinulerige og er en kvotient av to polynomer Hvis n>m: Hvis n<m: Eksponentialfunksjon lim lim 0 0 0 Vi har en funksjon 3 Vi plotter funksjonen, finner den første- og andrederiverte, plotter disse. Finner røttene til funksjonen, samt maksimums- og minimumspunktene til funksjonen. Trekker vendetangenten. Røttene til funksjonen finner vi ved numerisk løsning: 0.000000, -1.622131 og 1.622131 Den førstederiverte til funksjonen blir: 3 og har røttene -0.9624237 og 0.9624237 Den andrederiverte til funksjonen blir: Vendetangenten med farge cyan 20
Taylorpolynomer og feilanalyse Mange ganger finner man ikke eksakte løsninger fra funksjoner, men må klare seg med tilpassete løsninger som blir riktige innen toleransegrenser for feil. Tangenten til en funksjon y=f(x) ved punktet x=a viser hvordan grafen oppfører seg nær punktet (a,f(a)). I numerisk analyse kan man bruke enkle funksjoner, vanligvis polynomer (P n ), som tilpasning (approksimasjon) til en gitt funksjon f(x) ved punktet x=a. I sin enkleste form kan vi lage en lineær tilpasning med et polynom av første grad (P 1 ), som blir lik tangentlinjen: hvor vi har samme funksjon og derivert: Errorfunksjonen E(x) til denne tilpasningen er: og feilen blir minst når x er i nærheten av a. Minner om definisjonen av den deriverte, som er lik tangenten og sier noe som stigningen til kurven i tangeringspunktet: lim noe som gir tilnæringen hvor x ligger nær a: 21
En bedre tilpasning får vi med et polynom av andre grad: 2 Generelt har vi et Taylorpolynom med grad n for den n-deriverbare funksjonen f(x) ved x=a gitt som 1! 2! 3!! Som nevnt finner man ofte ikke eksakte løsninger, men nedenfor er det brukt eksempler med kjente funksjoner som viser prinsippet for Taylorpolynomer. Navn etter den engelske matematiker Brook Taylor (1685-1731). Minner om Taylorformler og rekkeutvikling for noen kjente funksjoner for x x=0 som e, sin(x),cos(x), og ln(x) 1 1! 2! 3!! Litteratur: Apostol, T. M. Calculus (Vol I + II). Blaisdell Publ. Comp. 1962. R Development Core Team (2011). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. ISBN 3-900051-07-0, URL http://www.r-project.org/. Rottmann, Karl: Matematische Formelsammlung. Bibliographisces Insitutt. Hochschultaschenbücher-Verlag. 1960. Wikipedia 22
23