OPPGÅVE 1 a) Deriver funksjonane: 1) f( x) = 3tan( x) ) g( x) = x sinx b) Bestem integrala: 1) x cos x dx x ) x + 3 dx c) Løys likninga ved rekning: sin x+ 3cosx = x 0, π d) Ein halvsirkel med radius r og sentrum i origo er gitt ved f ( x) = r x Vi roterer halvsirkelen360 om x-aksen. Bruk integrasjon til å finne volumet av omdreiingslekamen uttrykt ved r. Kommenter svaret. Eksamen AA654 Side 4 av 17
e) Vi har gitt likninga x + y + 6x 1y + 9 = 0 1) Vis ved rekning at dette er likninga for ein sirkel med radius 4 og sentrum i ( 3, 6). ) Vis at denne sirkelen kan skrivast som vektorfunksjonen r( t) = 3+ 4cos t, 6 + 4sin t [ ] t 0, π 3) Bruk formelen for bogelengd, og finn ved rekning omkretsen av sirkelen. Kommenter svaret. OPPGÅVE Funksjonen f er gitt ved f( x) = 3sin(6 x) a) Kva er amplituden og perioden til f? I resten av denne oppgåva vil vi studere funksjonen g gitt ved x gx ( ) = 3e sin(6 x) for x 0, b) Teikn grafen til g. c) Finn g ( x). d) Finn ved rekning koordinatane til topp- og botnpunkta på grafen til g. e) Skisser grafane til hx ( ) = 3e x og ix ( ) = 3e x i same koordinatsystem som g. Forklar korleis du av funksjonsuttrykket til g( x ) ser at grafen til g må liggje mellom grafane til h og i. Eksamen AA654 Side 5 av 17
OPPGÅVE 3 Anne vil kjøpe nytt fjernsynsapparat. Ho har valet mellom tre ulike betalingsmåtar: 1) Ho betaler 4 000 kr kontant. ) Ho betaler 500 kr per månad i 1 månader. Det første beløpet skal betalast straks. 3) Ho betaler 10 000 kr kontant og deretter 800 kr per månad i 4 månader. Det første beløpet skal betalast om ein månad. Avgjer kven av disse betalingsmåtane som vil bli dyrast for Anne dersom renta er,0 % per månad. Eksamen AA654 Side 6 av 17
alternativ OPPGÅVE 4 Du skal svare på UantenU alternativ I Ueller U II. Dei to alternativa er likeverdige ved vurderinga. (Dersom svaret inneheld delar av begge, vil berre det du har skrive på alternativ I, bli vurdert.) Alternativ I z C(0, 0, c) y B(0, b, 0) O A(a, 0, 0) x 1 a) Arealet av trekanten OAB på figuren ovanfor F1 = ab. Finn areala F og F 3 av trekantane OAC og OBC. b) Skriv opp koordinatane til vektorane AB og AC. c) Vis at n = [ bc, ac, ab] er ein normalvektor til planet som går gjennom punkta A, B og C. 1 Det kan visast at arealet F 4 av trekanten ABC er gitt ved F4 = d) Finn eit uttrykk for F 4. n. e) Ein samanheng mellom dei fire areala er kalla Pytagoras arealsetning. Finn denne samanhengen. Eksamen AA654 Side 7 av 17
Alternativ II Ein partikkel beveger seg langs ein ellipse med store halvakse a = 3 og vesle halvakse b =. Posisjonen er gitt ved vektorfunksjonen r() t = 3cos,sin t t ] der t er tida. Banefarten er gitt ved v() t = v() t = r () t. a) Finn eit uttrykk for vt (). b) Kvar på ellipsen er banefarten størst, og kvar er han minst? c) Bruk lommereknaren og formelen for bogelengd til å finne omkretsen av ellipsen. Den indiske matematikaren Ramanujan presenterte (1913 14) ein tilnærmingsformel for omkretsen p av ein ellipse: 3h p π ( a+ b) 1+ 10 + 4 3 h a og b er store og vesle halvakse. der a b h = a + b d) Bruk Ramanujans formel, og finn p når a = 3 og b =. Samanlikn med svaret i c). e) Undersøk Ramanujans formel i det spesialtilfellet at ellipsen er ein sirkel. Kommenter. Visste du at --- Srinivasa Ramanujan var en av Indias største matematiske genier. Han ble født i 1887 og døde av tuberkulose i 190, bare 3 år gammel. Da Ramanujan var blitt syk, dro vennen Hardy for å besøke ham. Han visste ikke hva han skulle si innledningsvis, så han kommenterte nummeret på drosjen som brakte ham til sykehuset. Det var nummer 179 et kjedelig tall, mente Hardy. Ramanujan kviknet til: På ingen måte, Hardy, det jo det minste 3 3 3 3 tallet som kan skrives som en sum av to kubikktall på to forskjellige måter: 179 = 10 + 9 = 1 + 1. Hardy sa at tallene var Ramanujans personlige venner! Kjelde: Matematisk etymologi av Ragnar Solvang Eksamen AA654 Side 8 av 17
OPPGÅVE 5 Idrettslaget Friskus har fått lov til å setje opp ein speleautomat hos den lokale kjøpmannen for å skaffe inntekter til barneidretten. Automaten gir gevinstar på anten 0, 0, 50 eller 50 kroner. Vi lèt X stå for den gevinsten ein spelar får utbetalt når han spelar éin gong. Sannsynsfordelinga til X er gitt i tabellen Gevinst k (kroner) P(X = k) 0 0 50 50 189 56 54 56 1 56 1 56 a) Finn forventningsverdi og varians til X. Innsatsen for å spele éin gong på automaten er 10 kroner. Fortenesta Y til idrettslaget i eitt spel er da gitt ved Y = 10 X. b) Vis at Y har forventningsverdien,46 kroner og standardavviket 19,7 kroner. Styret i Friskus reknar med at det i løpet av eitt år vil bli spela 5000 gonger på automaten. I punkta c) og d) legg vi denne føresetnaden til grunn. c) Kva er sannsynet for at toppgevinsten på 50 kroner vil bli utbetalt minst 5 gonger i løpet av eitt år? d) Kva er sannsynet for at den samla fortenesta til idrettslaget vil bli minst 15 000 kroner, det vil seie i gjennomsnitt minst 3 kroner for kvart av dei 5000 spela? Barneidretten i Friskus har eit budsjett på 0 000 kroner for eitt år. e) Kor mange gonger må det spelast i løpet av eitt år, for at det skal vere 90 % sannsynleg at inntektene frå automaten minst vil dekkje utgiftene til barneidretten? Eksamen AA654 Side 9 av 17