Kom i gang med GeoGebra Barnesteget
Innhald GeoGebra... 2 1 Geometri med GeoGebra... 4 2 Utforsking av geometriske samanhengar... 6 2.1 Geometriske former... 6 2.2 Kvadrat Rombe... 7 2.3 Trekantar ulike orienteringar... 8 2.4 Vinkelsummen i ein trekant... 8 2.5 Toppvinklar... 10 2.6 Periferivinkel og sentervinkel (sentralvinkel)... 12 3 Oppgåver frå Læringsstøttande prøvar... 13 3.1 Oppgåve 5 - Høgda i trekantar... 13 3.2 Oppgåve 2 Areal av trekantar... 14 3.3 Oppgåve 9 Vinkelstorleik... 15 3.4 Oppgåve 7 Areal... 16 4 Flyttingar og perspektiv... 16 4.1 Flyttingar... 16 4.2 Perspektiv... 17 5 Til vidare arbeid... 18 5.1 Kopiera frå GeoGebra til Word... 18 5.2 Ressursar... 19 Vedlegg... 19 1
GeoGebra GeoGebra er eit dynamisk matematikkprogram som omhandlar geometri, algebra og funksjonslære. GeoGebra er gratis og er omsett til nynorsk og bokmål av Sigbjørn Hals, som arbeider ved Måløy vidaregåande skule. Programmet er Java-basert slik at det kan køyra både på Linux og Windows. For å installera GeoGebra må maskina di ha installert Java Runtime Environment (Java RTE) Sjekk om maskina di har Java Runtime Environment ved å gå til nettsida http://java.com/en/download/help/testvm.xml. Dei fleste maskiner har dette programmet installert. Java RTE kan lastast ned gratis frå http://java.com/en/download/ Installera GeoGebra Gå inn på nettsida til GeoGebra: http://www.geogebra.org/cms/nn/ Klikk på: Vel den utgåva som passar for di datamaskin: 2
Når vi startar GeoGebra får vi fram skjermbiletet nedanfor. Her finn vi ei menylinje, ei verktøylinje, eit algebravindauge, ei teikneflate og eit skrivefelt Menylinja er oppbygd som i andre Windowsprogram. Her kan du velja Fil, Rediger, osv. Hjelp-funksjonen inneheld ei svært god rettleiing med mange nyttige døme. Ved å klikka på trekanten framfor Grafikkfelt får vi fram ei ny menylinje. Der kan vi velja om vi vil ha aksar, rutenett eller ei blank teikneflate: 3
På Vis-menyen kan vi merka av for rekneark, då kjem det opp ved sida av teikneflata: 1 Geometri med GeoGebra GeoGebra er godt eigna til å utforska geometriske samanhengar. Dette gjeld både som eit demonstrasjonsverktøy for læraren, og som eit hjelpemiddel når elevane skal utforska samanhengar på eiga hand. Aktuelle kompetansemål er (frå udir.no): Geometri Kompetansemål etter 4. årssteget Mål for opplæringa er at eleven skal kunne kjenne att, beskrive trekk ved og sortere sirklar, mangekantar, kuler, sylindrar og polyeder teikne, byggje, utforske og beskrive geometriske figurar og modellar i praktiske samanhengar, medrekna teknologi og design kjenne att, bruke og beskrive spegelsymmetri og parallellforskyving i konkrete situasjonar lage og utforske geometriske mønster og beskrive dei munnleg lese av, plassere og beskrive posisjonar i rutenett, på kart og i koordinatsystem, både med og utan digitale verktøy Kompetansemål etter 7. årssteget Mål for opplæringa er at eleven skal kunne analysere eigenskapar ved to- og tredimensjonale figurar og beskrive fysiske gjenstandar innanfor daglegliv og teknologi ved hjelp av geometriske omgrep byggje tredimensjonale modellar, teikne perspektiv med eitt forsvinningspunkt og diskutere prosessane og produkta beskrive og gjennomføre spegling, rotasjon og parallellforskyving 4
beskrive plassering og flytting i rutenett, på kart og i koordinatsystem, med og utan digitale hjelpemiddel, og bruke koordinatar til å berekne avstandar parallelt med aksane i eit koordinatsystem Måling Mål for opplæringa er at eleven skal kunne bruke målestokk til å berekne avstandar og lage og samtale om kart og arbeidsteikningar, med og utan digitale verktøy Under menylinja finn du verktøylinja, med knappar for ymse verktøyboksar. Dersom du set markøren på den vesle pila nede i det høgre hjørnet på desse knappane, kjem det fram menyar. Merk: Utsjånaden til ein knapp vil variera alt etter kva bruk du sist gjorde av knappen! Ved å leggja pila på ein knapp, kan du få fram ei rettleiing om kva du skal gjera: Når vi skal bruka geometridelen i programmet, bør vi ta vekk aksane. Om vi ynskjer rutenett, merkar vi av for det. 5
2.1 Geometriske former 2 Utforsking av geometriske samanhengar Med GeoGebra kan vi laga figurar med faste former, og deretter dreia og flytta på dei. Klikk på Linjestykke med bestemt lengde (knapp 3) Marker eit punkt og oppgi kort langt du vil ha linjestykket, til dømes 6 cm. Dette skal vera sida i kvadratet. Klikk på Regulær mangekant (knapp 5) Klikk først på punktet A og så på B. På spørsmålet om kor mange hjørne, skriv du 4. Du har no fått eit kvadrat med fast storleik. Dette kan du flytta rundt på teikneflata Klikk på Flytt (knapp 1) Denne pila kallar vi og for ein peikar Legg peikaren på punktet A, eller inne i kvadratet, og flytt kvadratet rundt på teikneflata. Du kan og dreia det i ein anna stilling ved å flytta på punktet B. Drøft korleis dette kan nyttast i samband med van Hiele sine teoriar. 6
Du kan nytta den same framgangsmåten til å studera andre regulære mangekantar. 2.2 Kvadrat Rombe Med GeoGebra kan vi laga eit kvadrat som kan endrast til ein rombe. Bruk Linjestykke med bestemt lengde, slik at du får eit linjestykke AB som er om lag 6 cm. Bruk kommandoen ein gong til, no med B som startpunkt. Du får då eit nytt punkt C. Bruk peikaren, og flytt punktet C litt lenger opp på teikneflata. Bruk kommandoen Parallell linje (knapp4) og legg ein parallell med AB gjennom C og ein parallell med BC gjennom A. Bruk kommandoen Skjering mellom to objekt (knapp 2) til å få fram det fjerde hjørnet i romben, punktet D. Vi vil gjerne fjerna overflødige linjer. Sjå i algebrafeltet, til venstre i skjermbildet. Der finn du uttrykk for dei to linjene, her kalla c og d: Klikk på den grøne «ballen» framfor kvart av uttrykka, då vert linjene usynlege. Bruk så kommandoen Linjestykke mellom to punkt (knapp 3) til å teikna opp att sidene BC og AD. Bruk peikaren til å flytta på punktet C, og vis korleis romben kan endra form, og jamvel omdannast til eit kvadrat. 7
På same måten kan du studera samanhengen mellom rektangel og parallellogram, og trapes som kan ha ulike former. 2.3 Trekantar ulike orienteringar Bruk kommandoen Definert mangekant (knapp 5) til å laga ein trekant som liknar på i) på figuren nedanfor i) ii) iii) Ved å bruka peikaren på punktet A kan du parallellforskyva figuren, og ved å flytta på B kan du dreia den. Kan dette hjelpa elevane til forstå at ein og same figur kan ha ulike orienteringar? 2.4 Vinkelsummen i ein trekant Klikk på Mangekant (knapp 5) Marker tre punkt, klikk så på startpunktet og trekanten kjem fram. 8
Bruk peikaren til å flytta bokstavane som er brukte til å setja namn på hjørne og sider, slik at du får ein fin figur. - Peik på hjørnet A og dra dette med peikaren dit du vil. Legg merke til kva som skjer med trekanten. - Gjer det same med hjørnet B og hjørnet C. - Peik på trekanten og prøv om du kan flytta han Klikk på Vinkel (knapp8). Peik og klikk inni trekanten. No får du fram storleiken på vinklane. Flytt på hjørna og sjå kva som skjer. Feltet til venstre i skjermbiletet vert kalla Algebravindauget. Følg med på kva som står der. 9
I skrivefeltet nedst på skjermbiletet skriv du inn, du finn symbola heilt til høgre: Trykk på Enter. Følg med på kva som skjer i algebravindauget. Flytt på hjørna i trekanten og følg med på kva som skjer. I algebravindauget kan det til dømes sjå slik ut: Vi kan få fram vinkelsummen i grafikkfeltet, og sjå korleis summen held seg konstant sjølv om vi endrar vinkelstorleiken. Til dette brukar vi kommandoen Tekst (Knapp 10): Peikaren vert no omgjort til eit lite kryss, og du klikkar der du vil ha teksten i grafikkfeltet. Då får du opp eit redigeringsfelt, og du skriv det du vil ha som tekst. Du skriv i redigeringsfeltet, og ser korleis det vil sjå ut i feltet for førehandsvisning. 10
Du finn symbola α, β, γ og δ ved å klikka på nedtrekksmenyen for Objekt No kan det sjå slik ut på skjermen: Ved å ta tak i eitt av hjørna og flytta det, vil vi sjå at vinkelstorleiken endrar seg, og at dette og kjem fram i tekstfeltet. Tekstfeltet kan redigerast ved hjelp av verktøylinja nedanfor. Eitt klikk på tekstfeltet får fram denne linja, medan dobbeltklikk får fram redigeringsvindauget der ein kan gjera endringar. 11
2.5 Toppvinklar Klikk på Linjestykke mellom to punkt (knapp 3). Teikn to linjestykke som skjer kvarandre, dei vert kalla AB og CD. Finn skjeringspunktet mellom linjestykka ved hjelp av kommandoen Skjering mellom to objekt. (Knapp 2) Dette punktet vert kalla E. Få fram storleiken på vinklane AEC og BED. Dra i punktet A slik at vinkelstorleiken endrar seg. Kva ser du? 2.6 Periferivinkel og sentervinkel (sentralvinkel) Teikn ein sirkel med radius 4, ved å klikka på Sirkel definert ved sentrum og radius (knapp 6) Plasser tre punkt på sirkelen. Trekk opp to radiar og to kordar slik figuren nedanfor viser: 12
- Skriv på mål på vinklane ABC og AOC. - Flytt punktet B rundt på sirkelbogen og sjå kva som skjer. - Flytt punktet A rundt på sirkelbogen og sjå kva som skjer 3 Oppgåver frå Læringsstøttande prøvar sjå vedlegg 3.1 Oppgåve 5 - Høgda i trekantar Her kan det vera greitt å bruka rutenett. Døme på framgangsmåte: Lag ei linje gjennom 2 punkt, punkta får namna A og B og linja får namnet a. Lag eit punkt, og ein parallell med linja gjennom dette punktet, om lag 6 cm over linja. Plasser eit punkt på parallellen, høgreklikk på punktet og endra namnet til C. Knapp 3 Knapp 4 Teikn ein trekant med hjørne A, B og C. Lag ein normal til linja a gjennom punktet C, Skjeringspunktet mellom normalen og linja får namnet D. 13 Knapp 5 Knapp 4
Gjer normalen usynleg ved å høgreklikka på normalen, og vidare på Vis objekt. Lag eit linjestykke mellom C og D. Flytt punktet C langs parallellen den ligg på, og drøft kva dette kan nyttast til i undervisninga. Få fram storleiken på arealet av trekanten. Flytt punktet C langs parallellen den ligg på, og drøft kva dette kan nyttast til i undervisninga. Knapp 3 Knapp 8 Slik kan figuren komma til å sjå ut: 3.2 Oppgåve 2 Areal av trekantar Trekanten ABE er innskriven i rektangelet ABCD. Prøv å laga denne figuren med GeoGebra, og vurder om figuren kan nyttast til å betra forståinga for problemstillinga i oppgåve 2 14
3.3 Oppgåve 9 Vinkelstorleik Bruk knappen Vinkel med fast storleik, til å laga ein figur som liknar denne: Drøft om dette kan nyttast til å betra forståinga for kva som ligg i omgrepet vinkelstorleik. 15
3.4 Oppgåve 7 Areal Bruk GeoGebra til å laga ulike figurar som alle har areal 4,5 cm 2. 4.1 Flyttingar 4 Flyttingar og perspektiv I læreboka Multi 5a finn vi følgjande beskriving av Flyttingar (side 106) : 16
Prøv ut kommandoane på knapp 9, og vurder om GeoGebra kan hjelpa elevane til å få betre forståing av flyttingar: 4.2 Perspektiv I læreboka Multi 6a finn vi følgjande beskriving av Perspektiv (side 106) : 17
Prøv å utføra denne teikninga med GeoGebra. Før du lagar horisontlinja, bør du leggja ei vertikal linje til høgre i skjermbildet, bruk Linje gjennom to punkt. Plasser eit nytt punkt på denne linja, og legg ein normal til linja gjennom dette punktet. På denne måten kan du flytta horisontlinja opp og ned når perspektivteikninga di er ferdig, og slik kan du få fram skilnaden på fugle-, sentral- og froskeperspektiv. 5.1 Kopiera frå GeoGebra til Word 5 Til vidare arbeid Klikk på Fil - Eksporter - Kopier grafikkfeltet til utklippstavla 18
Opna eit Word-dokument, og lim inn figuren der de vil ha den. Dersom vi klikkar på Dynamisk ark som webside, får vi laga ei nettside som kan publiserast. Når vi opnar sida i nettlesaren, beheld vi dei dynamiske eigenskapane. 5.2 Ressursar Her er ei bok som kan vera grei å ha i lærarbiblioteket: Bueie, H. GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget, 2011 På nettsida til norsk GeoGebrainstitutt, www.geogebra.no, kan de finna mange ressursar, både manualar, undervisningsopplegg og opplæringshefte. Dei har og utvikla eit gratis nettkurs for lærarar og elevar. Kurset er meint som sjølvstudium. Sitat frå nettsida: Gratis GeoGebra-kurs for lærere og elever I samarbeid med Kikora, GeoGebra og Senter for IKT i utdanningen, har Matematikksenteret utviklet et selvstudiekurs i bruk av GeoGebra for grunnskolen og videregående skole. Kurset er gratis, og fører fram mot sertifisering som GeoGebrabruker. Flere tusen elever og lærere i Norge er allerede i gang. Vedlegg Oppgåvene nedanfor er henta frå Utdanningsdirektoratet. (2012). Læringsstøttende prøver. Matematikk 5.-10. årstrinn. Ressurshefte. Geometri. Oslo: Utdanningsdirektoratet. 19
20
21
22