6 Derivasjon Kompetansemål: Mål for opplæringa er at eleven skal kunne berekne gjennomsnittleg vekstfart, finne tilnærma verdiar for momentan vekstfart og gi nokre praktiske tolkingar av desse aspekta gjere greie for definisjonen av den deriverte, bruke definisjonen til å utleie ein derivasjonsregel for polynomfunksjonar og bruke denne regelen til å drøfte funksjonar lage og tolke funksjonar som beskriv praktiske problemstillingar bruke digitale hjelpemiddel til å drøfte polynomfunksjonar STIGFINNAREN 6 Gjennomsnittleg vekstfart Stig Stig Stig 3 600, 60, 60, 603, 604, 605, 607, 609, 60 600, 60, 60, 605, 606, 608, 609, 60, 60, 605, 608, 609, 60, 6, 6 6 6 Momentan vekstfart 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69 64, 65, 66, 67, 68, 69, 60, 6 64, 65, 66, 68, 60, 6, 6 63 Den deriverte 63, 64, 65, 66, 67 63, 64, 65, 66, 67, 68 64, 65, 66, 67, 68, 69 64 Å bruke definisjonen til å utleie den deriverte 630, 63, 63 630, 63, 63, 633, 634, 635 630, 63, 63, 634, 635, 636 65 Derivasjonsreglar 637, 638, 639, 640, 64 637, 638, 639, 640, 64, 64, 643 637, 638, 639, 640, 64, 64, 644 66 Forteiknslinje for den deriverte 67 Drøfting av funksjonar 645, 646, 647, 649, 650, 65, 65, 653, 654, 655, 656, 657, 658, 659, 66 645, 646, 649, 65, 65, 653, 654, 655, 657, 658, 659, 660, 66, 663, 664, 665, 666, 667 645, 646, 649, 65, 653, 655, 657, 658, 659, 66, 663, 664, 666, 667 Rett eller gale: s 55 Blanda oppgåver (668 X67): s 55 Utvalde løysingar: s 8 Grunnleggjande ferdigheiter: Munnlege ferdigheiter: 60, 60, 603, 604, 605, 607, 608, 609, 6, 68, 69, 60, 6, 635, 650, 655, 659, 669, 686, 689 Skriftlege ferdigheiter: 60, 60, 603, 605, 608, 6, 68, 69, 60, 650, 655, 659, 669, 686, 689 Leseferdigheiter: 60, 69, 64, 646, 655, 660, 664, 666, 674, 688 Digitale ferdigheiter: 66, 67, 68, 69, 67, 68, 66, 66, 663, 67, 678, 68, 68, 683, 684, 688, 689 Interaktive oppgåver: Lokusno
40 Kapittel 6: Derivasjon 6 Gjennomsnittleg vekstfart 600 Ei rett linje går gjennom punkta A og B Kva er stigningstalet for linja? Kva fortel stigningstalet? a A=(, ) og B=(4, 4) b A=(, ) og B=(4, ) 60 V 00 liter 50 sekund 0 40 60 80 00 0 t Vi tappar vatn i ein behaldar Figuren viser korleis vassmengda V (målt i liter) endrar seg med tida t (målt i sekund) a Kor stor er vassmengda etter 80 s? b Finn stigningstalet for den rette linja frå t = 0 til t = 80 Kva er vekstfarten for vassmengda frå t = 0 til t = 80? Kva eining har vekstfarten? Kva fortel vekstfarten? c Kor mykje aukar vassmengda når t aukar frå 4 til 43 60 til 6 3 60 til 63 d Kva er stigningstalet for linja til høgre for t = 80? Kva fortel det? e Kor mykje aukar vassmengda når t aukar frå 90 til 9? f Gi ei skildring av i ord av korleis vassmengda endrar seg frå t = 0 til t = 0 60 Figuren viser samanhengen mellom fart og tid for eit T-banetog mellom to stasjonar Fart 5 m/s () () (3) 5 00 300 sekund Tid a Finn stigningstalet for linjestykka (), () og (3) b Gi ei tolking av stigningstala i oppgåve a c Kor mykje endrar farten seg per sekund? frå t = 50 til t =80 frå t = 50 til t = 50 3 frå t = 50 til t = 80
Kapittel 6: Derivasjon 4 603 På figuren har vi teikna grafen til y = 05, + Vi har også teikna ei rett linje l gjennom punkta A og B a Kva er stigningstalet til l? y 5 l B (3, 5,5) Δy A (0, ) Δ 3 b Finn gjennomsnittleg vekstfart for y i intervallet [0, 3] Kva fortel svaret? 604 50 % 45 % 40 % 35 % 30 % 5 % 0 % 5 % 0 % 5 % 0 % 900 90 940 960 980 000 Figuren viser kor mange prosent av alle menneske på jorda som budde i byar på 900-talet Kor mykje auka prosenttalet i gjennomsnitt per år i periodane [905, 95], [945, 960], [960, 980] og [980, 995]? Kommenter * 605 Ei kokande væske blir sett til avkjøling i eit kjølerom Vi måler temperaturen i væska ved nokre tidspunkt etter at væska blei sett til avkjøling Tabellen viser måleresultata Tid (min) t 0 0 30 50 60 Temperatur ( C) 00 85 60 44 38 a Finn gjennomsnittleg vekstfart frå t = 0 til t = 0 Kva fortel svaret? b Finn gjennomsnittleg vekstfart i desse tidsintervalla: [0, 30], [30, 50] og [50, 60] Kva viser svara? c Kan du seie omtrent kva temperaturen blir etter 65 minutt?
4 Kapittel 6: Derivasjon 606 Bensinforbruket til ein bil er avhengig av kor stor fart bilen held Tabellen viser bensinforbruket for ein viss biltype Fart (km/h) 70 90 0 Bensinforbruk 0,59 0,74 0,9 (liter/mil) a b Bruk tala i tabellen til å seie omtrentleg kor mykje bensinforbruket per mil aukar for kvar km/h farten aukar, når farten aukar frå 70 til 90 frå 90 til 0 Omtrent kor stort blir bensinforbruket når farten er 75 km/h? * 607 Vi har funksjonen f ( )= 0,5 a Rekn ut f(0), f() og f(4) Bestem den gjennomsnittlege vekstfarten for f i intervallet [0, ] og i intervallet [, 4] b Rekn ut f( 4) og f( ) Bestem den gjennomsnittlege vekstfarten i intervallet [ 4, ] og i intervallet [, 0] c Rekn ut den gjennomsnittlege vekstfarten i intervallet [, ] Kommenter 608 Tabellen viser korleis aktiviteten til eit radioaktivt stoff endrar seg med tida t er talet på timar etter at aktiviteten var 440 becquerel t 0 0 40 60 70 Aktivitet (becquerel) 440 70 740 090 880 Finn gjennomsnittleg vekstfart i periodane [0, 0], [0, 40], [40, 60] og [60, 70] Kva fortel svara? 609 Ein funksjon f er gitt ved f ( )= 3 4 a Bestem gjennomsnittleg vekstfart for f ( ) i intervalla [, ] og [,,5] b Teikn grafen til f frå = 3 til =3 Bruk grafen til å kontrollere svara i oppgåve a c Bestem den gjennomsnittlege vekstfarten i intervallet [, ] Kommenter
Kapittel 6: Derivasjon 43 60 Bruk figuren til å avgjere kva for nokre av utsegnene som er rette A Gjennomsnittleg vekstfart i intervallet [, 4] er 3 B Gjennomsnittleg vekstfart i intervallet [ 4, ] er 3 C Gjennomsnittleg vekstfart i intervallet [ 0, ] er større enn gjennomsnittleg vekstfart i intervallet [, 4] D Gjennomsnittleg vekstfart i intervallet [, 5] er større enn gjennomsnittleg vekstfart i intervallet [, 4] E Gjennomsnittleg vekstfart i intervallet [, 0] er større enn gjennomsnittleg vekstfart i intervallet [ 4, ] F Gjennomsnittleg vekstfart i intervallet [ 5, ] er større enn gjennomsnittleg vekstfart i intervallet 4, [ ] f() 3 0 9 8 7 6 5 4 3 5 4 3 3 4 5 6 6 Bruk figuren i førre oppgåve til å avgjere kva for nokre av desse utsegnene som er rette: A Gjennomsnittleg vekstfart i intervallet [ 4, 0] er større enn gjennomsnittleg vekstfart i intervallet [ 4, 4] B Gjennomsnittleg vekstfart i intervallet [ 0, 4] er større enn gjennomsnittleg vekstfart i intervallet [ 4, 4] C Gjennomsnittleg vekstfart i intervallet 4, 4 er 0 [ ] Det er gjort undersøkingar som tyder på at funksjonen g() nedanfor gir ein god modell for energibehovet for gutar frå fødselen og til dei er 0 år gamle g() = 3 + 43 + 840 g() er energibehovet per døgn målt i kilojoule for gutar i alderen år Tilsvarande funksjon for jenter er j() = 4 + 67 + 500 a Rekn ut gjennomsnittleg vekstfart for g() i [5, 0], [0, 5] og [5, 0] Kva fortel svara? b Rekn ut gjennomsnittleg vekstfart for j() i [5, 0], [0, 5] og [5, 0] Kva fortel svara?
44 Kapittel 6: Derivasjon 6 Momentan vekstfart * 63 På figuren har vi teikna grafen til ein funksjon f og ein tangent i punktet (50, 500) f () f 000 500 50 00 50 a Finn stigningstalet til tangenten på figuren b Kor stor er den momentane vekstfarten når = 50? 64 f() 5 4 3 0 9 8 7 6 5 4 3 3 4 5 6 7 8 9 På figuren har vi teikna grafen til ein funksjon f og tangentar i punkta (, f()) og (5,5, f(5,5)) a Finn stigningstalet for tangenten i punktet (, f()) Kor stor er den momentane vekstfarten når =? b Kor stor er den momentane vekstfarten når = 5,5? c Finn den momentane vekstfarten av figuren når = 3
Kapittel 6: Derivasjon 45 65 A f () D C B E På figuren er det merkt av fem punkt på grafen til ein funksjon f I kva for nokre av desse punkta er den momentane vekstfarten a positiv b negativ c null 66 Ein funksjon er gitt ved f ( )= + a Teikn grafen frå = 3 til = 3 på lommereknaren b Bruk lommereknaren til å bestemme den momentane vekstfarten når = = 3 = 4 = 67 a Teikn grafen til f ( )= 3 på papir frå = til = b Bruk lommereknaren til å bestemme den momentane vekstfarten når = =0 3 = c Teikn tangentane til grafen i punkta (, ), (0, 0) og (, ) 68 Ved djupfrysing av ein matrett blir maten avkjølt frå 90 C til 0 C Når avkjølinga har gått føre seg i t minutt, er temperaturen (målt i celsiusgradar) gitt ved f(t) = 0 0,98 t 30 Bruk lommereknaren til å finne momentan vekstfart når a t =5 b t =0 c t =5 Kva fortel svara? 69 Talet på bakteriar i ein bakteriekultur er gitt ved f ( )= 400,39, der er talet på timar etter at bakterietalet var 400 Bruk lommereknaren til å finne momentan vekstfart når = 0 Kva fortel svaret? 60 Ein kommuneplanleggjar reknar med at folketalet i kommunen t år etter januar 007 vil vere 6000t ft () = 500 +, t [ 0, 5 ] 0 + t Bruk lommereknaren til å bestemme den momentane vekstfarten når a t =5 b t =0 Kva fortel svara?
46 Kapittel 6: Derivasjon 6 På figuren har vi teikna grafen til ein funksjon f f () A a Kva kan du seie om den momentane vekstfarten i A? b Kva kan du seie om den momentane vekstfarten til venstre for A til høgre for A samanlikna med den momentane vekstfarten i A? 6 Grafen til K viser korleis kostnaden ved produksjonen av ei vare varierer med talet på produserte einingar Tangenten til grafen i punktet A(300, 0 000) er teikna inn K () 000 K 0 000 A 00 00 300 400 500 a Bruk figuren til å finne momentan vekstfart for = 300 b Bruk svaret i oppgåve a til å finne kor mykje kostnaden aukar når produksjonen aukar frå 300 einingar til 30 einingar Kva kostar det å produsere 30 einingar? c Bruk svaret i oppgåve a til å finne ut omtrent kor mykje det kostar å auke produksjonen frå 300 til 350 einingar Kva skulle det etter dette koste å produsere 350 einingar? d Les av K(350) på figuren Samanlikn med det siste svaret i oppgåve c Kommenter 63 Den deriverte 63 Ta for deg oppgåve 63 a Kva er f ( 50)? b Kor raskt veks f ( ) i forhold til for -verdiar rundt 50? 64 Ta for deg figuren i oppgåve 64 a Kva er f () f (, 55) b Skriv opp koordinatane til botnpunktet på grafen Kva er f () 3? c Kva forteikn har f ( ) f () 3 f () 4 4 f () 7
Kapittel 6: Derivasjon 47 65 For kva for punkt på grafen i oppgåve 65 er a positiv b negativ c null 66 Teikn grafen til f ( ) Finn f ( ) og f () 5 når a f ( )= +3 b f ( )=,7 + c f ( )= 5 d f ( )= 8+3 f ( ) 67 a Teikn grafen til funksjonen f ( )= 4 på lommereknaren Vel -verdiar mellom og og y-verdiar mellom og 4 b For kva -verdiar er f ( ) positiv, og for kva -verdiar er f ( ) negativ? c Finn eventuelle topp- eller botnpunkt på grafen Kor stor er f ( ) i desse punkta? 4 68 a Teikn grafen til funksjonen f ( )= på lommereknaren + b For kva -verdiar er f ( ) positiv, og for kva -verdiar er f ( ) negativ? c Finn eventuelle topp- eller botnpunkt på grafen d Kva -verdi gjer at f ( ) = 0? 69 Dersom K() kr er totalkostnaden når det blir produsert einingar av ei vare, vil K(00) vere totalkostnaden når det blir produsert 00 einingar K ( 00) viser med god tilnærming kor mykje K() veks når produksjonen aukar med éi eining, dvs frå 00 til 0 einingar K ( ) kallar vi grensekostnaden når det blir produsert einingar a Kor mykje vil det koste å produsere eining nr 0 når produksjonen på førehand er 00 einingar, og K ( 00) = 8? b Om ein kostnadsfunksjon K() får vi opplyst at K(00) = 330, og at K ( 00) = 8 Kor mykje vil det koste å produsere 0 einingar 0 einingar 64 Å bruke definisjonen til å utleie den deriverte 630 Kva nærmar Δy seg når h nærmar seg null? Δ a Δy b c Δ = + Δy 4 3h Δ = + Δy 3 5h Δ = 3 + + 8h * 63 a Du skal rekne ut f () for funksjonen f ( )= 3 + ved å bruke definisjonen på den deriverte Δy Δy Rekn ut Δ y = f( + h) f( ) Rekn ut Δ h Δy 3 Kva nærmar seg når h nærmar seg null? Δ Kva er f ()? b Finn f ( ) ved å bruke «tretrinnsmetoden» frå oppgåve a Bruk svaret til å finne f ()
48 Kapittel 6: Derivasjon * 63 Gitt funksjonen f ( )= a Rekn ut Δ y = f( +h) f() Δy Δy Δ h Δy 3 når h nærmar seg null Kva er f ()? Δ b Bruk definisjonen til å finne f ( ) Bruk svaret til å finne f () 633 a Bruk definisjonen til å finne f ( ) når f ( )= + f ( )= +3 3 f ( )= + b Finn f ( ) og f () 0 for dei tre funksjonane i oppgåve a 634 Bruk definisjonen til å finne f ( ) når a f ( )= + 5 b f ( )= + 3 635 Grafen i oppgåve 64 er grafen til funksjonen f ( ) = 05, 3+ 65, a Bruk definisjonen til å finne f ( ) b Bruk uttrykket du fann i oppgåve a til å finne f (), f () 3 og f (, 55) Stemmer svara med grafen? 636 Bruk definisjonen til å finne g ( ) når g ( )= 3 + + 5 65 Derivasjonsreglar 637 Bruk derivasjonsreglane til å finne f ( ) a f ( )= b f ( )= 3 c f ( )= +7 d f ( )= +8 e f ( )= 5+8 f f ( )= 500 50 g f ( )= 3 + h f ( )= 3 4 5 i f ( )= 0,53 4,5 638 Rekn ut f ( ) Bruk svaret til å rekne ut f ( ), f () 0 og f () når * a f ( )= +3 b f ( )= +3 + c f ( )= 3 + 3 d f ( )= 3 + +5 639 Finn K ( ), K ( 0) og K ( 50) når * a K() = +85 + 6400 b K() = 0,3 +60 + 8000 640 Deriver funksjonane a f ( )= 5 b f ( )= 4 c 3 f ( )= 7 d f ( )= 3 +8 e f ( )= 3 f f ( )= 7 +7 g f ( )= 4 3 h f ( )= 8 3 3 i f ( )= 5 3 8 + 3 3 3
Kapittel 6: Derivasjon 49 64 64 Volumet V(t) cm 3 av ein ballong er gitt ved V(t) = 7000 5t + 0,0t der t er talet på minutt etter at ballongen blei send opp a b Rekn ut V () t Kor mykje aukar eller minkar volumet per minutt når t = 00 t = 300 Dei totale kostnadene K() kr ved produksjon av einingar av ei vare er gitt ved K() = 0,3 +60 + 8500, [50, 300] a Rekn ut K(00) og K(0) Kor mykje aukar kostnadene når produksjonen aukar frå 00 einingar til 0 einingar? b Rekn ut K ( ) c Finn K ( 00) Bruk dette til å finne tilnærma kor mykje kostnadene aukar når produksjonen aukar frå 00 einingar til 0 einingar Samanlikn med den kostnadsauken du fann i oppgåve a 643 a Kva er stigningstalet til ei linje som er parallell med -aksen? b Undersøk om grafen til f har nokon tangent som er parallell med -aksen når f ( )= + f ( )= 3 3 * 644 Vi går ut frå at talet på bakteriar i ein bakteriekultur er gitt ved formelen Nt ()= 500 + 0t + 5t, der N(t) er talet på bakteriar etter t døgn For kva verdi av t er tilveksten 30 bakteriar per time? 66 Forteiknslinje for den deriverte 67 Drøfting av funksjonar 645 Finn f ( ) og set opp forteiknsskjema for f ( ) når a f ( )= 4 +8 b f ( )= + 3+ 4 c f ( )= 3 3 d f ( )= 3 +3 5 646 Den deriverte av ein funksjon f ( ) er positiv for < og for > 5, negativ for -verdiar mellom og 5, og null for = og =5 a Set opp forteiknslinje for f ( ) b Kva kan du seie om grafen til f ( )?
50 Kapittel 6: Derivasjon 647 f () 8 4 g () 3 4 3 5 7 a Finn koordinatane til topp- og botnpunkt på dei to grafane b Teikn forteiknslinje for f ( ) og g ( ) 648 Teikn forteiknslinje for f ( ) Kva for nokre av funksjonane veks i intervallet 0,? a f ( )= 4 + b f ( )= 4 c f ( )= 4 d f ( )= 4+ e f ( )= 4+ 4 f f ( )= 3 + * 649 Funksjonen f er gitt ved f ( )= 6 +5 a Finn nullpunkta for f ( ) ved rekning b Finn f ( ) Teikn forteiknslinje for f ( ) c Finn koordinatane til eventuelle botn- og toppunkt på grafen til f ved rekning d Finn stigningstalet for tangenten i punktet (4, f(4)) ved rekning e Finn likninga for tangenten ved rekning 650 f() g() Figuren viser grafen til to funksjonar Kva for ein av dei to funksjonane har denne forteiknslinja for den deriverte? -linje 0 f'() Grunngi svaret 65 Bruk figuren til å a finne nullpunkta til f ( ) b teikne forteiknslinje for f ( ) c bestemme topp- og botnpunkt på grafen til f ( ) d teikne forteiknslinje for f ( ) e bestemme dei intervalla der f ( ) veks eller minkar f ( ) 3
Kapittel 6: Derivasjon 5 3 65 Figuren viser grafen til f ( )= + 6 4 f() 0 5 5 a b 0 Bruk figuren til å finne nullpunkta til f ( ) teikne forteiknslinje for f ( ) 3 bestemme topp- og botnpunkt på grafen til f ( ) 4 teikne forteiknslinje for f ( ) 5 bestemme dei intervalla der f ( ) veks eller minkar Finn svara på oppgåvene a3 a5 ved rekning * 653 Ein funksjon er gitt ved 3 f ( ) = 05, 6+ a Bruk f ( ) til å avgjere kvar grafen til f fell, og kvar han stig b Rekn ut koordinatane til eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f c Finn stigningstalet for tangenten i punktet (, f()) 3 654 Funksjonen f ( ) er gitt ved f ( )= + 3 Finn eventuelle topp- og botnpunkt på grafen ved rekning 655 Vi skal fylle vatn i ein behaldar Den tida det tek, er ein funksjon av kor høgt vi vil at vatnet skal stå i behaldaren Tida, T sekund, er gitt ved Th () = 08, h + 0h, D T =[ 0, 5] der h dm er vasshøgda a Teikn grafen på lommereknaren og på papir b Kor lang tid tek det å fylle behaldaren til vasshøgda 5 dm? c Kva er vasshøgda etter 0 minutt? d Bestem T () h e Rekn ut T () 5 og T ( 0) Gi ei tolking av svara
5 Kapittel 6: Derivasjon 656 Ein funksjon er gitt ved f ( )= 3 + 3 3 a Finn f ( ) Finn ved rekning dei intervalla der f veks eller minkar b Finn eventuelle maksimal- og minimalverdiar for f ved rekning c Teikn grafen til f på lommereknaren 657 Ein funksjon f er gitt ved f ( )= 3 3 a Finn ut så mykje som råd om denne funksjonen ved rekning Teikn grafen b Finn stigningstalet for tangenten i (, f()) ved rekning c Finn likninga for tangenten i oppgåve b ved rekning 3 658 Figuren viser grafen til f ( )= + 4 3 f() 5 4 3 3 4 a Bruk figuren til å finne eventuelle nullpunkt for f teikne ei forteiknslinje for f ( ) 3 teikne ei forteiknslinje for f ( ) b Punktet (, f ( ) )= (, 8 blir kalla eit terrassepunkt Kva er det som 3) kjenneteiknar eit terrassepunkt? c Svar på spørsmåla i oppgåve a ved rekning 659 Firmaet NORFRYS har ein kostnadsfunksjon K() for eitt av frysevareprodukta sine K() er kostnaden i kroner når det blir produsert einingar per veke K() = 0,0 +4 + 7500 a Rekn ut K(500) og K(500) Kva fortel svara? b Rekn ut K ( 500 ) og K ( 500) Kva fortel svara?
Kapittel 6: Derivasjon 53 * 660 66 66 663 Ei bedrift produserer ei vare der totalkostnaden per dag viser seg å vere K() = 0, +30 + 800, [0, 0] når det blir produsert einingar per dag a Finn eit uttrykk for K ( ) b Rekn ut K ( 0) Kor mykje vil det koste ekstra å auke produksjonen frå 0 til einingar per dag? c Rekn ut K ( 00) Kor mykje vil det koste ekstra å auke produksjonen frå 00 til 0 einingar per dag? d Vi tenkjer oss at produksjonen er 80 einingar per dag Bedrifta sel vara for 50 kr per eining Vil det lønne seg for bedrifta å auke produksjonen? Kostnaden ved å produsere einingar av ei vare er gitt ved K() = 0,08 +40 + 3000, [0, 500] Inntekta er gitt ved I() = 0,0 +80 a Finn eit uttrykk for overskotet O() b Finn ved rekning kva produksjon som gir størst overskot Kor stort er overskotet då? c Teikn grafen til O() på lommereknaren og bruk grafen til å svare på spørsmålet i b Ein fabrikk lagar skistavar Når fabrikken produserer og sel par skistavar per dag, får fabrikken eit overskot gitt ved O() = 0,04 +40 500 a Finn ved rekning kva produksjon som gir størst overskot b Teikn grafen til O() på lommereknaren og bruk grafen til å svare på spørsmålet i oppgåve a 00 Figuren viser eit rektangel med sider cm og (00 ) cm Vi lèt A() cm vere arealet av rektanglet * a Forklar at D = 0, 00 * b Finn eit uttrykk for A() * c Finn maksimalverdien for A() ved rekning Kva kallar vi firkanten når A() har denne verdien? d Teikn grafen til funksjonen A() La cm på førsteaksen svare til 0 einingar, og la cm på andreaksen svare til 50 einingar
54 Kapittel 6: Derivasjon 664 Av ei rektangulær glasplate med sider,0 m og,0 m skal det lagast eit akvarium Botnen og sidene blir laga ved å skjere langs dei stipla linjene på figuren Dei fire kvadrata med side m blir fjerna Ved utrekningane nedanfor ser vi bort frå tjukna av glaset,0 m,0 m a Forklar kvifor må tilhøyre intervallet 0, 0, 5 b Vis at volumet V ( ) m 3 er gitt ved 3 V ( )= 4 6 + c Løys likninga V ( ) = 0 d Bruk resultatet i oppgåve c til å finne den verdien av som gir størst volum Kor stort er dette volumet? 665 I ein reklame for eit slankeplaster blir det påstått at ein går ned i vekt ved å bruke slike plaster Det går fram av reklamen at ein mann på 9 kg kjem til å oppnå ei vekt på tilnærma f ( )kg, der f ( )= 0,008 0,3 +9, [0, 60] Her er talet på døgn etter at kuren starta a Bruk lommereknaren til å bestemme f () 0 f ( 0 ) 3 f ( 50) Kva fortel svara om vi skal tru på reklamen? b Bruk derivasjonsreglane til å bestemme f (), 0 f ( 0) og f ( 50) 666 h Vi skal lage ei kasse med form som eit rett prisme «Skjelettet» blir sett saman av metallstenger Stengene er sette saman slik figuren viser Grunnflata er eit kvadrat med side cm Høgda i kassa er h cm Den totale lengda av stengene som går med, er 480 cm Vi ser bort frå tjukna av stengene a Vis at h = 0 b Finn eit uttrykk for volumet av kassa c Finn ved rekning kor stort volumet kan bli
667 Kapittel 6: Derivasjon 55 Vi kastar ein ball loddrett oppover t sekund etter at ballen blei kasta, er høgda over bakken h(t) meter, der h(t) = 4,9t + 9,8t +,5 a Farten v(t) m/s er gitt ved v(t) = h () t Finn farten ved nokre tidspunkt b Finn ved rekning kor høgt ballen kjem Rett eller gale? Momentan vekstfart i punktet P på ei kurve er det same som stigningstalet til tangenten gjennom dette punktet Gjennomsnittleg vekstfart mellom to punkt på ei kurve er det same som stigningstalet til ei rett linje gjennom dei to punkta 3 Dersom den momentane vekstfarten i P er lik 0, er P eit botnpunkt på grafen 4 Dersom den deriverte av ein funksjon er negativ for alle -verdiar i eit intervall, så går grafen oppover mot høgre i dette intervallet 5 Den deriverte av ein tredjegradsfunksjon er ein førstegradsfunksjon 6 Funksjonane f ( )= 3 +ogg() =3 har den same deriverte 7 5 5 8 Den deriverte av ein konstant funksjon er 0 9 Dersom eit punkt er eit topp- eller botnpunkt på ein graf, så er den deriverte 0 i dette punktet 0 Dersom den deriverte er 0 i eit punkt på ein graf, så er dette punktet eit toppunkt eller eit botnpunkt Funksjonen f ( )= 3 har ingen derivert Andrekoordinaten til eit botnpunkt kallar vi minimalverdi 3 Ein ekstremalverdi er anten ein maksimalverdi eller ein minimalverdi 4 Den deriverte i eit punkt på ein graf er det same som stigningstalet til tangenten i dette punktet 5 = ( ) = 4 0 3 3 Blanda oppgåver 668 Bruk derivasjonsreglane til å finne f ( ) når f ( ) er lik a 3 +4 b + c 3 d +3 e 3+3 f 3 + + g 3 3 h 3 3 + i 3 3 5 6 8 + j,5 4,5 k 7 3 +5 + 3 l +4 3
56 Kapittel 6: Derivasjon 669 f () ) -linje f ' () 0 ) -linje f ' () 0 3) -linje 0 Figuren ovanfor viser grafen til ein funksjon f Det er dessutan teikna tre forslag til forteiknsskjema for f ( ) a Er noko av forslaga rett? Grunngi svaret b Bestem eventuelle maksimal- og minimalverdiar for f ( ) Skriv opp koordinatane for eventuelle topp- og botnpunkt på grafen c For kva verdiar av er f ( ) lik null (nullpunkta)? 670 g() 3 3 4 5 3 4 5 Figuren viser grafen til ein funksjon g, med innteikna tangent i punktet ( 3, 3) a Bruk figuren til å finne nullpunkta for g teikne forteiknslinje for g() 3 teikne forteiknslinje for g ( ) 4 finne koordinatane til botnpunktet 5 finne stigningstalet til tangenten i punktet ( 3, 3) Funksjonsuttrykket for grafen er g ( )= 4 b Finn g ( ) ved å bruke definisjonen på den deriverte c Finn svara på oppgåvene i a ved rekning d Finn likninga for den innteikna tangenten ved rekning
Kapittel 6: Derivasjon 57 67 Funksjonen f er gitt ved f ( )= 4 a Finn f ( ) ved å bruke definisjonen på den deriverte b Teikn forteiknslinje for den deriverte og finn koordinatane for eventuelle topp- eller botnpunkt på grafen c Teikn grafen til f ( ) både på lommereknaren og på papir d Finn likninga for tangenten til grafen i punktet, f ( ) ved rekning ( ) 67 Om ein funksjon g veit vi at g () 3 = 0 Kva for nokre av desse utsegnene kan vere sanne? Grunngi svaret, for eksempel grafisk A Grafen har eit toppunkt for =3 B Grafen er ei rett linje med stigningstal 3 C Grafen har eit terrassepunkt for = 3 (Sjå oppgåve 658) D Grafen har eit botnpunkt for =3 673 Figuren viser temperaturkurva for ei matvare som blir lagd til frysing i ein fryseboks Temperaturen i matvara minutt etter at ho blei lagd i boksen, er y C y ºC 0 0 minutt 0 0 50 80 0 Bruk figuren til å finne a den gjennomsnittlege vekstfarten i intervalla [0, 0] [0, 50] b kor mykje matvara blir avkjølt i gjennomsnitt per minutt i intervallet [50, 80] c kor mykje temperaturen minkar per minutt etter 0 minutt 60 minutt 674 Du har fått desse opplysningane om ein funksjon f () 5 = 3 f ( ) = for alle a Finn f () 7 b Finn funksjonsuttrykket f ( ) f :
58 Kapittel 6: Derivasjon 675 Figuren viser grafen til ein funksjon f a Teikn forteiknslinje for f ( ) og f ( ) b Er f (,) 5>? Grunngi svaret c For kva verdi av har f ( ) sin minste verdi? Grunngi svaret f() 676 f() 5 4 3 3 3 4 4 5 Figuren viser grafen til ein funksjon f ( ) Bruk figuren til å svare på spørsmåla a Set opp ei forteiknslinje for f ( ) b I kva for eit intervall har tangenten til grafen negativt stigningstal? c Tangenten i toppunktet på grafen skjer grafen i eit anna punkt Kva er koordinatane til dette punktet? Grunngi svaret d For kva -verdi har f ( ) sin minste verdi? Grunngi svaret 677 For ein funksjon f kjenner vi forteiknet for f ( ) og f ( ) : -linje 0 3 5 7 f () f '() Skisser ein graf som passar til dette 678 Ein funksjon er gitt ved 4 3 f ( )= 3 5 + 3+ 4 Bestem f ( ) Bruk lommereknaren til å løyse likninga f ( ) = 0 Bestem kvar funksjonen veks, og kvar han minkar Bestem eventuelle ekstremalverdiar for funksjonen Teikn grafen og finn verdimengda for funksjonen (Dansk eksamensoppgåve)
Kapittel 6: Derivasjon 59 679 Du skal lage ein lufteplass for ein hund Innhegninga skal ha form som eit rektangel og skal stå inntil ein husvegg Du har 0 m gjerde Korleis vil du forme rektanglet for at hunden skal få størst mogleg areal å boltre seg på? (Eksempeloppgåve MX 00) 680 Figuren viser eit drivhus Drivhuset er utan golv Tak og vegger er laga av plast l Drivhuset har form som ein halvsylinder med radius meter og lengd l meter Vi føreset at overflata er bestemt slik at samanhengen mellom l og er gitt ved 38 l = Vis at volumet av slike drivhus er gitt ved π 3 V ( )= 9π der V() er målt i m 3 Bestem V ( ) Bestem slik at volumet av drivhuset blir så stort som råd Finn det største volumet (Dansk eksamensoppgåve) 68 Agnete undersøkte korleis temperaturen i hytta fall gjennom ei vinternatt Ho gjorde målingar og fann at temperaturen t timar etter at ho tok til med målingane, kunne uttrykkjast ved T(t) = 5,0 + 7,0 0,86 t a Rekn ut T(0), T(3) og T(8) Kva fortel svara? b Finn T (), 0 T () 3 og T () 8 ved å bruke lommereknaren Kva fortel svara?
60 Kapittel 6: Derivasjon 68 Talet på bakteriar i ein bakteriekultur er gitt ved f ( )= 600,8, der er talet på timar rekna frå det tidspunktet då bakterietalet var 600 a Finn f () 5 og f ( 0) Kva fortel svara? b Finn f () 5 og f ( 0) på lommereknaren Kva fortel svara? c Løys likninga f ( )= 0 000 Kva fortel svaret? 683 Ein behaldar blir fylt med gass gjennom eit rør Etter t timar er det m(t) kg gass i behaldaren m(t) = 500( 0,88 t ) Skisser grafen til m(t) Bruk lommereknaren til å finne kor mange kilogram gass som strøymer inn i behaldaren per sekund når t =5 684 Ein dyreart blir sett ut i eit avgrensa område Området gir gode levevilkår for arten Vi reknar med at talet på dyr etter år er tilnærma lik f ( ), der 000 ( + ) f ( )= + 30 a Finn f (), f () 7 og f ( 4) ved å bruke lommereknaren Kva fortel svara? b Kva fortel svara i oppgåve a om grafen til f? Teikn grafen frå =0 til = 5 på lommereknaren Kommenter c Når ser den deriverte ut til å vere størst? Kva tyder det? 685 I eit kvadrat med side 6 er det innskrive eit rektangel slik figuren viser Bestem slik at arealet av rektanglet blir så stort som råd Kor stort blir arealet då? 6 686 I ei prøve med det radioaktive stoffet polonium-8 var poloniummengda 00 mg frå starten av Etter t minutt var mengda t mt () = 00 0, 794 a Rekn ut m(3) og m(0) Kva fortel svara? b Finn m () 3 og m ( 0) på lommereknaren Kva fortel svara? a c m(t) kan skrivast på forma mt () = 00 0, 5 Bestem a t
Kapittel 6: Derivasjon 6 687 f (t) 30 000 Figuren viser utviklinga av folketalet i ein kommune i ein tiårsperiode a Teikn forteiknslinje for f () t b I kva tidsintervall var vekstfarten positiv, og i kva tidsintervall var vekstfarten negativ? (Når f ( ) er negativ, seier vi at veksten er negativ) c Ved kva tidspunkt var vekstfarten størst? 688 På ei vegstrekning blir det kravd inn bompengar for alle bilar som passerer Bomvegselskapet ønskjer å auke prisen for å få større inntekt Etter ein modell som kommunen nyttar, kjem talet på bilar y som passerer per døgn, til å vere avhengig av prisen kr slik at y = 9800 k der k er ein konstant Med ein pris på 0 kr for kvar passering har det vist seg at det gjennomsnittleg passerer 7000 bilar per døgn a b 5 0 t Bruk dette til å bestemme k i modellen Vis at inntekta I() kr på bomvegen er gitt ved I() = 80 + 9800 etter modellen ovanfor Bestem kva pris som vil gi størst inntekt for selskapet c Teikn grafen til I() når 5, 30 Bomvegselskapet vel å auke prisen til 0 kr for kvar passering d Kor mange prosent mindre blir då inntekta enn det selskapet kunne ha fått etter den modellen kommunen nyttar? [ ] 689 Ein bil må stoppe for ein elg i vegbana Elgen er 70 meter framfor bilen idet bilføraren begynner å bremse Dei t første sekunda etter at oppbremsinga tok til, la bilen bak seg s(t) meter, der s(t) er gitt ved s(t) = 0,04t 3,45t +7t Farten t sekund etter at oppbremsinga tok til, er gitt ved vt () = s () t a Rekn ut s () 0 og s () 5 Kva seier svara? b Greidde bilen å stoppe tidsnok?
6 Kapittel 6: Derivasjon 690 Figuren viser eit rektangel og ein halvsirkel Figuren har omkrinsen 0 Finn lengda av sidene i rektanglet når arealet av figuren skal vere størst mogleg 69 Bruk definisjonen til å finne g ( ) når g ( )= X6 Om funksjonane f og g veit vi dette: f () 0 = g() 0 = f () 0 = g () 0 = f ( ) = 0 g ( ) = a Finn ut kva for nokre av dei fem grafane som passar til opplysningane om funksjonen f og om funksjonen g b Bestem funksjonsuttrykket til parabelen i graf (Eksamen MA hausten 997)
X6 Ein fabrikk lagar kasser utan lok av kvadratiske papp-plater med side 60 cm Ein maskin skjer vekk hjørna av papp-platene Ein annan maskin brettar opp sideflatene og festar dei Vi reknar med at sideflatene ikkje overlappar kvarandre Kapittel 6: Derivasjon 63 a Forklar at volumet av pappkassa, målt i cm 3, er gitt ved V ( ) = ( 60 ) b Teikn grafen til V c Kor mykje må maskinen skjere bort av hjørna for at volumet av pappkassene skal bli så stort som råd? Kor stort er volumet då? (Eksamen MZ våren 00) X63 Kostnaden K og inntekta I kroner ved produksjon av einingar av ei vare er gitt ved K ( ) 0, 3 500 30 000 0, 000 = + + [ ] = 0 3 + 000 [ 0 000] I ( ),, a Finn kostnaden og inntekta når bedrifta produserer 500 einingar Kor stort blir overskotet? b Vis at opplysningane ovanfor gir dette uttrykket for overskotet O: O ( ) = 0, 6 + 500 30 000 c Teikn grafen til O, og bruk grafen til å avgjere kva produksjonsmengder som gir overskot d Bruk derivasjon til å finne kva produksjon som gir størst overskot X64 Høgda på ei solsikke er h() centimeter dagar etter at ho blei planta Ein modell for høgda er gitt ved denne funksjonen: h ( ) = 0, 003 3 + 0, 4 [ 0, 50] a Kor høg er planten etter 50 dagar? b Bestem den gjennomsnittlege vekstfarten dei 0 første dagane Kva nemning får svaret? c Finn eit uttrykk for den momentane vekstfarten til planten, og bruk dette til å vise at den momentane vekstfarten etter 0 dagar er 3,84 cm/dag (dvs ca 4 cm per dag) d Finn når den momentane vekstfarten er størst Kor raskt veks planten då? (Eksamen MZ hausten 003)
64 Kapittel 6: Derivasjon X65 Under ein sjukdomsperiode blei kroppstemperaturen til ein pasient målt Med bakgrunn i målingane er funksjonen f gitt ved f ( ) = 0, 00083 + 0, + 37 ein god modell for kroppstemperaturen til pasienten frå sjukdomsutbrotet og til pasienten igjen hadde normal kroppstemperatur er talet på timar etter utbrotet av sjukdommen a Teikn grafen til f frå sjukdomsutbrotet og fram til pasienten igjen hadde normal kroppstemperatur b Kor lenge var kroppstemperaturen over 38 C? c Kva var den gjennomsnittlege temperaturstigninga per time dei første 0 timane? d Finn ved rekning kor lang tid det tok før kroppstemperaturen til pasienten slutta å stige Kva var kroppstemperaturen då? (Eksamen MZ hausten 004) X66 y 3 C P (, y) A 3 B Ein likebeint, rettvinkla trekant ABC er plassert i eit koordinatsystem Hjørna i trekanten har koordinatane A(0, 0), B(3, 0) og C(0, 3) Eit rektangel er innskrive i trekanten slik at eitt hjørne ligg i origo og eit anna hjørne P(, y) ligg på hypotenusen Sjå figuren a Vis at likninga til hypotenusen er gitt ved y = +3 b Forklar at arealet F til det innskrivne rektanglet kan skrivast som F ( )= + 3 c Finn ved rekning den største verdien arealet F kan ha Kor lange er sidene i rektanglet då? Vi har ein tilsvarande situasjon som ovanfor, men trekanten ABC er no ikkje likebeint Hjørna i denne trekanten er A(0, 0), B(3, 0), C (0, 6) d Finn ved rekning den største verdien arealet til det innskrivne rektanglet kan få no (Eksamen MZ våren 005)
X67 Anten I Funksjonen f er gitt ved f ( )= 8+ 6 Finn den gjennomsnittlege vekstfarten frå = til =4 Bestem f () 3 3 Bruk ei skisse av grafen til å kommentere svara i og Kapittel 6: Derivasjon 65 eller II Funksjonen g er gitt ved g ( )= 3 6 + 9 Finn g ( ) Teikn grafen til g 3 Bruk grafen i til å avgjere når g() veks, og når g() minkar (Eksamen MZ våren 006)