4.4 Sum av sannsynligheter

4.4 Sum av sannsynligheter Nina trekker kort fra en vanlig kortstokk med 52 kort. Vi innfører hendingene H: Kortet er en hjerter S: Kortet er en spar Det er 13 hjerter og 13 spar i stokken. Sannsynligheten for å trekke en hjerter er P(H) = 13 1 52 4 P(S) = 13 1 52 4 Nina ønsker å trekke enten en hjerter eller en spar. Vi bruker symbolet H S om den hendingen. Vi leser det «H union S». Det er 13 spar og 13 hjerter i stokken. Tallet på gunstige utfall for hendingen H S er da 13 + 13. Sannsynligheten er P(H S) = 13 13 13 13 1 1 1 52 52 52 4 4 2 Vi kan også finne sannsynligheten slik: P(H S) = P(H) + P(S) En tilsvarende regel gjelder for alle hendinger A og B som ikke har noe felles utfall. Hendingen A B omfatter alle utfallene som er i A eller i B. Vi finner dermed sannsynligheten for A B ved å summere sannsynligheten for de utfallene som er i A og de som er i B. Det blir P(A) + P(B). Dermed har vi vist denne regelen: Hvis to hendinger A og B ikke har noen felles utfall, er P(A B) = P(A) + P(B) P( A B) er sannsynligheten for at hendingen A eller B skal inntreffe. Regelen ovenfor gjelder også for flere enn to hendinger. Når vi trekker et kort, får vi enten en hjerter eller så får vi et kort som ikke er hjerter. I alle forsøk der vi har definert en hending A, får vi alltid enten hendingen A eller hendingen «ikke A», som vi skriver A. Vi kan vise hendingene i et venndiagram. Slike diagrammer ble først tatt i bruk av den engelske matematikeren John Venn (1834 1923). Se figuren på neste side. Hele firkanten betyr her alle de mulige utfallene. Sinus Påbyggingsboka P > Sannsynlighetsregning Endret stoff til læreplanen 2013 1

Hendingen A og hendingen A omfatter til sammen alle de mulige utfallene. Med en gyldig sannsynlighetsmodell er da P(A A ) = 1 Disse to hendingene har ingen felles utfall. Regelen foran gir P(A) + P( A ) = 1 P( A ) = 1 P(A) For en hending A er P( A ) = 1 P(A) EKSEMPEL I et kakelotteri kan vi enten vinne ei kransekake eller ei bløtkake. Sannsynligheten for å vinne gevinst ei kransekake er 1 25, og sannsynligheten for å vinne ei bløtkake er 1 100. Vi kjøper ett lodd og innfører hendingene A: Vi vinner ei kransekake B: Vi vinner ei bløtkake V: Vi vinner på loddet a) Finn sannsynligheten for å vinne. b) Finn sannsynligheten for at vi ikke vinner. Løsning: a) Sannsynligheten for å vinne ei kake er P(vinne) = P( A B) P( A) P( B) 1 1 4 1 5 1 25 100 100 100 100 20 b) Sannsynligheten for ikke å vinne er 1 20 1 19 P(ikke vinne) = 1 P(vinne) 1 20 20 20 20 Sinus Påbyggingsboka P > Sannsynlighetsregning Endret stoff til læreplanen 2013 2

Oppgave 4.40 I et lotteri med 10 000 lodd er det to typer gevinster. 1 40 av loddene gir gevinst A, og 1 av loddene gir gevinst B. 100 a) Finn sannsynligheten for å vinne en av gevinstene når vi kjøper ett lodd. b) Finn sannsynligheten for ikke å vinne. Oppgave 4.41 I et lotteri med 2000 lodd er det tre typer gevinster. 1 1 av loddene gir gevinst A, 20 50 gir 1 gevinst B, og av loddene gir gevinst C. 100 a) Finn sannsynligheten for å vinne en av gevinstene når vi kjøper ett lodd. b) Finn sannsynligheten for ikke å vinne. Nina trekker et kort fra en kortstokk med 52 kort. Hun vil gjerne ha en spar eller et honnørkort (ess, konge, dame, knekt) og definerer derfor disse hendingene: S: Kortet er en spar H: Kortet er et honnørkort Det er 13 spar i stokken, og det er i alt 16 honnørkort. Da er det lett å tro at det i alt er 13 + 16 = 29 kort som er spar eller honnørkort. Men det er ikke riktig, for da har vi talt med honnørkortene i spar to ganger. Det går ikke. Det er 13 spar, og så er det 12 honnørkort i de andre fargene. Til sammen blir dette 13 + 12 = 25 kort som enten er spar eller honnørkort. Sannsynligheten for å trekke en spar eller et honnørkort er P(S H) = 25 52 Et venndiagram kan gi oss en oversikt over situasjonen. Ettersom det er kort som både er spar og honnørkort, tegner vi to rundinger som overlapper hverandre. På figuren til venstre nedenfor har vi i tillegg notert at det er fire kort som er både honnørkort og spar (spar ess, spar konge, spar dame og spar knekt). Ettersom det i alt er 13 spar, er det 13 4 = 9 spar som ikke er honnørkort. Det er i alt 16 honnørkort. Av dem er det 16 4 = 12 som ikke er spar. På figuren til høyre ovenfor har vi notert disse tallene. Ut fra den figuren ser vi nå at antallet kort som er spar eller honnørkort, er 9 + 4 + 12 = 25 Sinus Påbyggingsboka P > Sannsynlighetsregning Endret stoff til læreplanen 2013 3

Vi kan også finne disse kortene i en krysstabell. Den fyller vi ut på denne måten: Spar Ikke spar Sum Honnørkort 4 12 16 Ikke honnørkort 9 27 36 Sum 13 39 52 De tallene som er spar eller honnørkort, er røde i tabellen ovenfor. Antallet kort som er spar eller honnørkort, er også nå Dermed er 9 + 4 + 12 = 25 P(S H) = 25 52 Her er P(S) = 13 52 P(S H). 16 29 og P(H) =. Dermed er P(S) + P(H) =, som ikke er lik 52 52 Vi bruker symbolet S H om de kortene som både er spar og honnørkort. Symbolet S H leser vi «S snitt H». Det er fire slike kort. Dermed er P(S H) = 4 52 Vi legger merke til at P(S) + P(H) P(S H) = 13 16 4 25 = P(S H) 52 52 52 52 Vi viser nå at dette er en generell regel. Derfor ser vi på to hendinger A og B i en sannsynlighetsmodell som ikke trenger å være uniform. Unionen A B består av de utfallene som er med i A eller i B eller i begge. Snittet A B består av de utfallene som er med i både A og B. Vi viser hendingen i et venndiagram. Sannsynligheten P(A B) er summen av sannsynlighetene for de utfallene som er med i A eller i B eller i begge. Hvis vi først summerer sannsynlighetene for alle utfallene i A og deretter summerer sannsynlighetene for alle utfallene i B, får vi P(A) + P(B). Vi har nå tatt med sannsynligheten for de utfallene som er med i både A og B, to ganger. Det er P(A B). Vi må derfor trekke fra P(A B) en gang. Vi har vist denne regelen, som vi kaller addisjonssetningen: Sinus Påbyggingsboka P > Sannsynlighetsregning Endret stoff til læreplanen 2013 4

P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Her er P( A B) sannsynligheten for at hendingen A eller B eller eventuelt begge skal inntreffe. P( A B) er sannsynligheten for at både A og B skal inntreffe. Regelen på side 2 er et spesialtilfelle av dette. Hvis A og B ikke har noen felles utfall, er P( A B) 0, og da blir P(A B) = P(A) + P(B). EKSEMPEL Peder bor på ei øy og må over to bruer for å komme på arbeid. Bruene er av og til stengt på grunn av dårlig vær. Han har funnet ut at sannsynligheten er 0,02 for at bru nr. 1 er stengt, 0,03 for at bru nr. 2 er stengt, og 0,01 for at begge bruene er stengt. a) Finn sannsynligheten for at ei av bruene er stengt. b) Finn sannsynligheten for at han kommer seg på arbeid. Løsning: a) Vi innfører disse hendingene: A: Bru nr. 1 er stengt B: Bru nr. 2 er stengt Da er P(A) = 0,02, P(B) = 0,03 og P(A B) = 0,01. Sannsynligheten for at ei av bruene er stengt, er P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 0,02 + 0,03 0,01 = 0,04 b) Hvis minst ei av bruene er stengt, kommer han seg ikke på jobb. Sannsynligheten for det er 0,04. Sannsynligheten for at han kommer seg på jobb, er dermed 1 0,04 = 0,96 Sinus Påbyggingsboka P > Sannsynlighetsregning Endret stoff til læreplanen 2013 5

EKSEMPEL Torgeir arbeider i fruktdisken på et kjøpesenter. Han har gjort en stor undersøkelse og har funnet ut at blant 100 kunder er det 60 som kjøper frukt og 45 som kjøper grønnsaker. Av disse er det 20 som kjøper både frukt og grønnsaker. a) Lag en krysstabell som viser situasjonen. b) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kunde kjøper frukt eller grønnsaker. Løsning: a) Vi samler opplysningene i en krysstabell: Frukt Ikke Sum frukt Grønnsaker 20 25 45 Ikke grønnsaker 40 15 55 Sum 60 40 100 De svarte tallene i tabellen er hentet fra oppgaven. De røde tallene har vi regnet ut på en slik måte at alle summene blir riktige. b) Tallet på kunder som kjøper frukt eller grønnsaker (eller begge deler), er 40 + 20 + 25 = 85 Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kunde kjøper frukt eller grønnsaker, er 85 0,85 100 Oppgave 4.42 Sannsynligheten for at ei tilfeldig valgt jente har hatt kyssesyke, er 0,20. Sannsynligheten for at hun har hatt sykdommen mykoplasma, er 0,15. Sannsynligheten for at hun har hatt begge sykdommene, er 0,08. a) Finn sannsynligheten for at hun har hatt en av sykdommene. b) Finn sannsynligheten for at hun ikke har hatt noen av dem. Oppgave 4.43 På skolen til Nina er det 450 elever. Det er 50 elever som er skiløpere, og 80 elever er fotballspillere. Det er 30 elever som både går på ski og spiller fotball. a) Lag en krysstabell som viser situasjonen. b) Hvor mange elever er det som enten går på ski eller spiller fotball? c) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev enten går på ski eller spiller fotball. Oppgave 4.44 I en klasse er det 30 elever. En dag fikk de tilbake prøver i norsk og matematikk. 6 elever fikk karakteren 5 i matematikk, og 7 fikk karakteren 5 i norsk. Av disse fikk 3 elever 5 i begge fagene. a) Lag et venndiagram som viser fordelingen av karakterene 5 på de to fagene. b) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev fikk 5 i minst ett av fagene. c) Finn sannsynligheten for at eleven ikke fikk 5 i noen av fagene. Sinus Påbyggingsboka P > Sannsynlighetsregning Endret stoff til læreplanen 2013 6

Oppgave 4.45 På Slappfisken videregående skole er det innført leksehøring i alle fag. Hver dag blir noen elever blir trukket ut for høring. Anne har funnet ut at sannsynligheten for å bli hørt i engelsk en tilfeldig valgt dag, er 0,3. Sannsynligheten for å bli hørt i naturfag er 0,2. Sannsynligheten for å bli hørt i begge fagene er 0,05. Anne innfører disse hendingene: A: Jeg blir hørt i engelsk B: Jeg blir hørt i naturfag a) Finn PA, ( ) PB ( ) og P( A B). b) Finn P( A B). Forklar med ord hva du nå har funnet. 4.6 Uavhengige hendinger Vi kaster en terning to ganger og innfører hendingene A: Det første kastet gir sekser B: Det andre kastet gir sekser Om vi får sekser på det første kastet, endrer ikke sannsynligheten for å få sekser på det andre kastet. Vi sier at de to hendingene er uavhengige. To hendinger er uavhengige hvis en opplysning om at den ene hendingen har inntruffet, ikke endrer sannsynligheten for den andre. Vi trekker to kort fra en kortstokk. Hvis vi får spar i første trekking, så endrer det sannsynligheten for å få spar i andre trekking. Hendingene er da ikke uavhengige. Lina har 2 blå bukser og 3 svarte. Hun har 3 blå topper og 4 svarte. Hun trekker helt tilfeldig én bukse og én topp. De to valgene er dermed uavhengige. Sannsynligheten for å trekke en blå bukse er 2 P (blå bukse) = 5 Sannsynligheten for å trekke en blå topp er 3 P (blå topp) = 7 Antallet kombinasjoner av blå bukse og blå topp er 2 3 = 6. Antall mulige kombinasjoner er 5 7 = 35. Sannsynligheten for blå bukse og blå topp er 6 P (blå bukse og blå topp) = 35 Vi legger merke til at 6 2 3 2 3 P(blå bukse og blå topp) = P(blå bukse) P(blå topp) 35 5 7 5 7 Sinus Påbyggingsboka P > Sannsynlighetsregning Endret stoff til læreplanen 2013 7

Hendingen «blå bukse og blå topp» kan vi også skrive som «blå bukse blå topp». Dette er en regel som gjelder generelt for uavhengige hendinger. Vi kaller den produktsetningen for uavhengige hendinger. For to uavhengige hendinger A og B er P( A B) P( A) P( B) Med denne regelen kan vi finne sannsynligheten for at hun stiller i svart bukse og svart topp slik: 3 4 12 P(svart bukse og svart topp) P(svart bukse) P(svart topp) 5 7 35 Sannsynligheten for at hun har ulik farge på buksa og toppen er P(blå bukse og svart topp) P(svart bukse og blå topp) P(blå bukse) P(svart topp)+ P(svart bukse) P(blå topp) 2 4 3 3 8 9 17 5 7 5 7 35 35 35 Dette kan vi også framstille i et valgtre på denne måten: Når vi skal bruke valgtreet til å finne sannsynligheten for blå bukse og blå topp, ganger vi sannsynlighetene langs veien sammensatt av to blå greiner og får 2 3 6 5 7 35 Sannsynligheten for svart bukse og svart topp finner vi ved å gange tallene langs veien av to svarte greiner. 3 4 12 5 7 35 Sannsynligheten for ulik farge på bukse og topp finner vi ved å gange tall langs greiner med ulik farge og summere. 2 4 3 8 9 17 3 5 7 5 7 35 35 35 Sinus Påbyggingsboka P > Sannsynlighetsregning Endret stoff til læreplanen 2013 8

EKSEMPEL I et lotteri er sannsynligheten 1 for å vinne på et tilfeldig valgt lodd. Vi kjøper to 10 tilfeldig valgte lodd. a) Framstill vinnersjansene i et valgtre. b) Finn sannsynligheten for å vinne på begge loddene. c) Finn sannsynligheten for ikke å vinne på noen av loddene. d) Finn sannsynligheten for å vinne på ett av loddene. Løsning: a) Sannsynligheten for å vinne på ett lodd er 1 PV ( ) 10 Sannsynligheten for ikke å vinne på ett lodd 1 9 PV ( ) 1 10 10 Det gir dette valgtreet: b) Sannsynligheten for å vinne på begge loddene er 1 1 1 10 10 100 c) Sannsynligheten for ikke å vinne på noen av loddene er 9 9 81 10 10 100 d) Sannsynligheten for å vinne på ett lodd er 1 9 9 1 9 9 18 9 10 10 10 10 100 100 100 50 Oppgave 4.60 Vi kaster en tikrone to ganger og vil finne sannsynligheter for kombinasjoner av mynt og krone. a) Lag et valgtre som viser kombinasjonene. b) Finn sannsynligheten for å få krone begge gangene. c) Finn sannsynligheten for å få mynt begge gangene. d) Finn sannsynligheten for å få én krone og én mynt. Sinus Påbyggingsboka P > Sannsynlighetsregning Endret stoff til læreplanen 2013 9

Oppgave 4.61 Vi kaster en terning to ganger og vil finne sannsynligheten for seksere. a) Lag et valgtre med mulighetene. b) Finn sannsynligheten for å få to seksere. c) Finn sannsynligheten for ikke å få noen seksere. d) Finn sannsynligheten for én sekser. Oppgave 4.62 I et lotteri er sannsynligheten 1 20 for å vinne på et tilfeldig valgt lodd. Vi kjøper to lodd. a) Finn sannsynligheten for å vinne på begge loddene. b) Finn sannsynligheten for ikke å vinne på noen av loddene. c) Finn sannsynligheten for å få én gevinst. Når vi kaster noen terninger, får vi enten ingen seksere eller så får vi minst én sekser. Sannsynligheten er Dermed er Det gir P(ingen seksere eller minst én sekser) = 1 P(ingen seksere) + P(minst én sekser) = 1 P(minst én sekser) = 1 P(ingen seksere) En tilsvarende regel har vi hver gang vi gjør flere forsøk på rad eller flere forsøk på én gang. Når vi gjør mange forsøk, er P(minst ett gunstig utfall) = 1 P(ingen gunstige utfall) Produktsetningen for uavhengige hendinger kan vi utvide til n uavhengige hendinger. Vi viser ved noen eksempler hvordan vi da regner. EKSEMPEL Vi kaster 5 terninger. a) Finn sannsynligheten for at vi får 5 seksere. b) Finn sannsynligheten for at vi får ingen seksere. c) Finn sannsynligheten for at vi får minst én sekser. Sinus Påbyggingsboka P > Sannsynlighetsregning Endret stoff til læreplanen 2013 10

Løsning: a) Sannsynligheten for å få 5 seksere er 5 1 1 1 1 1 1 1 0, 00013 6 6 6 6 6 6 7776 b) Sannsynligheten for å få ingen seksere er 5 5 5 5 5 5 3125 0,402 6 6 6 6 6 6 7776 c) Sannsynligheten for å få minst én sekser er 1 P(ingen seksere) 1 0, 402 0,598 5 EKSEMPEL Et ektepar har tre barn. Her regner vi med sannsynligheten er 1 2 for å få gutt. a) Lag et valgtre. b) Finn sannsynligheten for at alle tre er gutter. c) Finn sannsynligheten for at de har to gutter og ei jente. d) Finn sannsynlighetene for at de har minst én gutt. Løsning: a) Vi bruker symbolet G for gutt og J for jente. Vi lager dette valgtreet: b) For å finne sannsynligheten for tre gutter følger vi de blå greinene helt til venstre. Sannsynligheten er 1 1 1 1 P( GGG) P( G) P( G) P( G) 2 2 2 8 c) For å finne sannsynligheten for to gutter og ei jente må vi finne de greinene som har to blå og én svart del. Det er 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 P( GGJ ) P( GJG) P( JGG) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 8 8 8 Sinus Påbyggingsboka P > Sannsynlighetsregning Endret stoff til læreplanen 2013 11

d) Sannsynligheten for ingen gutter er lik sannsynligheten for å få tre jenter. 1 1 1 1 P( JJJ ) 2 2 2 8 Sannsynligheten for minst én gutt er da 1 7 1 8 8 Oppgave 4.63 Vi kaster 6 terninger. a) Finn sannsynligheten for at alle terningene viser partall. b) Finn sannsynligheten for at det blir ingen seksere. c) Finn sannsynligheten for å få minst én sekser. Oppgave 4.64 Et ektepar har tre barn. I denne oppgaven er sannsynligheten 0,513 for å få en gutt. a) Lag et valgtre som viser alternativene.. b) Finn sannsynligheten for at alle tre er gutter. c) Finn sannsynligheten for at de har to gutter og ei jente. d) Finn sannsynligheten for at de har minst ei jente. Oppgave 4.65 I et lotteri er sannsynligheten for å vinne på et tilfeldig valgt lodd lik 0,2. Vi kjøper tre tilfeldig valgte lodd. a) Lag et valgtre. b) Finn sannsynligheten for at vi vinner på alle loddene. c) Finn sannsynligheten for at vi vinner på nøyaktig ett lodd. d) Finn sannsynligheten for at vi ikke vinner. e) Finn sannsynligheten for at vi vinner på minst ett lodd. 4.7 Avhengige hendinger Vi trekker to kort fra en kortstokk og innfører hendingene A: Det første kortet er spar B: Det andre kortet er spar Vi skal finne sannsynligheten for at begge kortene er spar. Når vi trekker det første kortet, er det 13 spar og 52 kort i stokken. Sannsynligheten for at det første kortet er en spar, er 13 1 PA ( ) 52 4 Sinus Påbyggingsboka P > Sannsynlighetsregning Endret stoff til læreplanen 2013 12

Hvis det første kortet er en spar, er det 12 spar og 51 kort igjen når vi trekker det andre kortet. Sannsynligheten for at det andre kortet er spar når vi vet at det første kortet er spar, er 12 4 51 17 Hvis det første kortet ikke er spar, er det 13 spar og 51 kort igjen. Sannsynligheten for at det andre kortet er spar hvis det første ikke var spar, er 13 51 Sannsynligheten for å få spar andre gangen, er avhengig av hva som skjedde i første trekning. Vi sier at hendingene er avhengige. Sannsynligheten for å få to spar regner vi ut ved ganging slik vi gjorde med uavhengige hendinger. 1 4 4 1 4 17 68 17 EKSEMPEL I en kopp ligger det ni kuler. Fem av dem er røde. Vi trekker to kuler fra koppen uten å legge kulene tilbake. a) Finn sannsynligheten for at begge kulene er røde. b) Finn sannsynligheten for at ingen av kulene er røde. c) Finn sannsynligheten for at minst ei kule er rød. Løsning: a) Sannsynligheten for at den første kula er rød, er 5 9 Når vi vi har trukket ei kule, er det 8 kuler igjen. Hvis den første kula var rød, er det 4 røde igjen. Sannsynligheten for at den andre kula er rød når vi vet at den første var rød, er dermed. 4 1 8 2 Sannsynligheten for at begge kulene er røde, er 5 1 5 P(to røde) = 9 2 18 Sinus Påbyggingsboka P > Sannsynlighetsregning Endret stoff til læreplanen 2013 13

b) Sannsynligheten for at den første kula ikke er rød, er 4 9 Sannsynligheten for at den andre kula ikke er rød når vi vet at den første ikke var rød, er 3 8 Sannsynligheten for at ingen av kulene er røde, er P(ingen røde) = 4 3 12 3 9 8 72 18 c) Sannsynligheten for minst ei rød kule finner vi på denne måten: P(minst ei rød) = 1 P(ingen røde) = 3 15 1 18 18 Oppgave 4.70 I et lotteri er det tjue lodd igjen. Det er gevinst på fire av loddene. Vi kjøper to lodd. a) Finn sannsynligheten for at vi vinner på begge loddene. b) Finn sannsynligheten for at vi ikke vinner på noe lodd. c) Finn sannsynligheten for at vi vinner på minst ett lodd. Oppgave 4.71 I en klasse er det tolv jenter og atten gutter. Vi trekker tilfeldig to elever. a) Finn sannsynligheten for at vi trekker to jenter. b) Finn sannsynligheten for at vi trekker to gutter. c) Finn sannsynligheten for at vi trekker minst ei jente. d) Finn sannsynligheten for at vi trekker ei jente og en gutt. Sinus Påbyggingsboka P > Sannsynlighetsregning Endret stoff til læreplanen 2013 14

Vi kan bruke valgtre også når vi arbeider med avhengige hendinger. EKSEMPEL Marte og Sondre skal kjøpe hvert sitt lodd i et lotteri. Det er 20 lodd igjen i lotteriet, og 3 av disse loddene gir gevinst. Marte kjøper lodd først. Vi innfører hendingene M: Marte vinner S: Sondre vinner a) Framstill et valgtre med vinnersjansene. b) Finn sannsynligheten for at begge vinner. c) Finn sannsynligheten for at nøyaktig én av dem vinner. d) Sondre er sur på Marte fordi hun fikk kjøpe lodd først. Han mener at hun dermed hadde størst vinnersjanse. Har han grunn til å være sur? Løsning: a) Det er 3 vinnerlodd blant 20. Sannsynligheten for at Marte vinner, er Sannsynligheten for at hun ikke vinner, er 17 20. 3 20. Hvis Marte har vunnet, er det 19 lodd igjen og 2 gevinster. Sannsynligheten for at Sondre vinner, er da 2 17. Sannsynligheten for at Sondre da ikke vinner, er 19 19. Hvis Marte ikke har vunnet, er det 19 lodd og 3 gevinster igjen når Sondre skal trekke. Sannsynligheten for at Sondre da vinner, er 3. Sannsynligheten for at han da ikke 19 vinner, er 16 19. Det gir dette valgtreet: b) Sannsynligheten for at begge vinner, er 3 2 6 3 20 19 380 190 c) At nøyaktig én av dem vinner, kan skje på to måter. Enten kan Marte vinne og ikke Sondre, ellers så kan Sondre vinne og ikke Marte. Addisjonssetningen gir Sinus Påbyggingsboka P > Sannsynlighetsregning Endret stoff til læreplanen 2013 15

3 17 17 51 51 102 51 3 20 19 20 19 380 380 380 190 d) Sannsynligheten for at Sondre vinner, er ifølge addisjonssetningen 3 2 17 3 6 51 57 3 20 19 20 19 380 380 380 20 Vi ser at Sondre har nøyaktig samme vinnersjanse som Marte. Det spiller ingen rolle hvem av dem som kjøper lodd først. Oppgave 4.72 I ei skål ligger det 10 sjokolader som er pakket inn i nøytralt papir. Der er 4 sjokolader som Anne og Per liker, og 6 som ingen av dem liker. De trekker tilfeldig hver sin sjokolade. Anne trekker først. a) Lag et valgtre der du skriver på alle de aktuelle sannsynlighetene. b) Finn sannsynligheten for at begge trekker en sjokolade som de liker. c) Finn sannsynligheten for at ingen av dem trekker en sjokolade som de liker. d) Finn sannsynligheten for nøyaktig én av dem trekker en sjokolade som faller i smak. e) Finn sannsynligheten for at Per trekker en sjokolade som han liker. Oppgave 4.73 Vi tar for oss en farlig sykdom som er vanskelig å oppdage i tide. Sannsynligheten for å oppdage den i tide, er 0,60. Hvis sykdommen blir oppdaget i tide, får pasienten medisin. Sannsynligheten for å overleve er da 0,80. Hvis sykdommen ikke blir oppdaget i tide, er sannsynligheten for å overleve 0,20. a) Lag et valgtre som gir oversikt over situasjonen. b) Finn sannsynligheten for at en person som har fått denne sykdommen, overlever. Vi kan bruke produktsetningen også når vi har mer enn to delforsøk. EKSEMPEL Vi trekker tre kort fra en kortstokk. a) Finn sannsynligheten for at alle tre kortene er spar. b) Finn sannsynligheten for at ingen av kortene er spar. c) Finn sannsynligheten for at minst ett av kortene er spar. Løsning: a) Sannsynligheten for at det første kortet er spar, er 13 1 52 4 Sinus Påbyggingsboka P > Sannsynlighetsregning Endret stoff til læreplanen 2013 16

Sannsynligheten for at det andre kortet er spar når vi vet at det første var spar, er 12 4 51 17 Sannsynligheten for at det tredje kortet er spar når vi vet at de to første var spar, er 11 50 Sannsynligheten for tre spar er P(tre spar) = 13 12 11 1 4 11 11 0,013 52 51 50 4 17 50 850 b) Sannsynligheten for ingen spar er P(ingen spar) = 39 38 37 703 0,414 52 51 50 1700 c) Sannsynligheten for minst én spar er P(minst én spar) = 1 P(ingen spar) = 1 0,414 = 0,586 Oppgave 4.74 I en familie med tre barn er det ingen tvillinger. Vi ser bort fra skuddår og regner videre med at alle de 365 dagene i året er like sannsynlige som fødselsdager. a) Finn sannsynligheten for at de tre barna har fødselsdag på hver sin dag. b) Finn sannsynligheten for at minst to av dem har fødselsdag på samme dag. Oppgave 4.75 I en klasse er det 30 elever, og ingen er tvillinger. Vi ser bort fra skuddår og regner videre med at alle de 365 dagene i året er like sannsynlige som fødselsdager. a) Finn sannsynligheten for at alle elevene har fødselsdag på hver sin dag. b) Finn sannsynligheten for at minst to av dem har fødselsdag på samme dag. Sinus Påbyggingsboka P > Sannsynlighetsregning Endret stoff til læreplanen 2013 17

Fasit 4.40 7 a) 0,035 200 b) 193 0,965 200 4.41 a) 2 0,08 25 b) 23 0,92 25 4.42 a) 0,27 b) 0,73 4.43 a) b) 100 2 c) 9 4.44 b) 1 3 Ski Ikke ski Sum Fotball 30 50 80 Ikke fotball 20 350 370 Sum 50 400 450 c) 2 3 4.45 a) P( A) 0,3, P( B) 0,2 og P( A B) 0,05 b) P( A B) 0,45 4.60 b) 1 4 c) 1 4 d) 1 2 Sinus Påbyggingsboka P > Sannsynlighetsregning Endret stoff til læreplanen 2013 18

4.61 1 b) 36 25 c) 36 5 d) 18 4.63 a) 0,016 b) 0,035 c) 0,965 4.64 b) 0,135 c) 0,384 d) 0,865 4.65 b) 0,008 c) 0,384 d) 0,512 e) 0,488 4.70 3 a) 0,032 95 b) 12 0,632 19 7 c) 0,368 19 4.71 22 a) 0,152 145 51 b) 0,352 145 94 c) 0,648 145 72 d) 0,497 145 4.72 2 b) 15 1 c) 3 Sinus Påbyggingsboka P > Sannsynlighetsregning Endret stoff til læreplanen 2013 19

d) e) 8 15 2 5 4.73 b) 0,56 4.74 a) 0,992 b) 0,008 4.75 a) 0,294 b) 0,706 Sinus Påbyggingsboka P > Sannsynlighetsregning Endret stoff til læreplanen 2013 20