4 Funksjoner Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne undersøke funksjoner som eskriver praktiske situasjoner ved å estemme skjæringspunkter, nullpunkter, ekstremalpunkter og stigning og tolke den praktiske etdningen av resultatene oversette mellom ulike representasjoner av funksjoner gjøre rede for egrepet lineær vekst, eskrive et slikt vekstforløp og anvende på praktiske eksempler, også digitalt STIFINNEREN Sti 1 Sti Sti 3 4.1 Koordinatsstemet 4. Funksjonsegrepet 4.3 Grafen til en funksjon 400, 401, 40, 404, 405, 407, 411, 413 40, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 411, 413 40, 404, 405, 407, 408, 409, 410, 411, 413, 414 4.4 Graftegning med digitale verktø 415, 416, 419, 40 416, 419, 40, 43 40, 4, 43, 44 4.5 Førstegradsfunksjoner 4.6 Lineær vekst 45, 46, 47, 49, 430, 431, 435, 440, 441, 443, 444, 446, 449 47, 48, 49, 431, 433, 435, 437, 441, 443, 444, 447, 451, 456, 458 47, 48, 49, 431, 433, 435, 437, 438, 441, 443, 444, 450, 45, 453, 456, 458, 460 4.7 Mer om funksjoner 461, 46, 463, 465, 466, 467, 468, 469, 470, 473, 477, 481, 483 461, 46, 464, 465, 466, 467, 470, 471, 476, 477, 481, 48, 483 461, 46, 464, 465, 466, 467, 470, 471, 47, 476, 477, 479, 481, 48, 483, 484 4.8 Graftegning med regneark 485, 486, 487 485, 486, 487 485, 486, 487 15 rette eller gale: s. 109 Blandede oppgaver (488 X4.6): s. 110 Utvalgte løsninger: s. 149 Grunnleggende ferdigheter: Muntlige ferdigheter: 407, 410, 411, 41, 413, 414, 441 Skriftlige ferdigheter: 407, 410, 411, 41, 413, 414, 441 Leseferdigheter: 411, 41, 413, 414, 458, 460 Digitale ferdigheter: 415, 416, 417, 418, 419, 40, 41, 4, 43, 44, 485, 486, 487 Interaktive oppgaver: Lokus.no
86 Kapittel 4: Funksjoner 4.1 Koordinatsstemet 4. Funksjonsegrepet 4.3 Grafen til en funksjon 400 4 E F A B 4 D 4 C Les av koordinatene til punktene A, B, C, D, E og F. ( ) 401 a Merk av disse punktene i et koordinatsstem:, 5, 3, 100 og ( 0, 100). Merk av disse punktene i et koordinatsstem: ( 0,, 1), ( 01,, 3) og 03,, 4. 40 1 1 Figuren viser grafen til en funksjon. a Bestem nullpunktene til funksjonen. Finn topp- og unnpunktene på grafen. c Hvor skjærer grafen andreaksen?
Kapittel 4: Funksjoner 87 403 0 10 10 0 30 40 50 1 Figuren viser grafen til en funksjon. a Bestem nullpunktene til funksjonen. Finn topp- og unnpunktene på grafen. c Hvor skjærer grafen andreaksen? * 404 Grafen viser antall esøkende i adelandet Haifinna fra 1. juni til 7. juni. Antall 380 340 300 1 4 8 1 16 0 4 8 Dag a c d Hvilken dag var det flest esøkende, og hvor mange var det da? Når var det færrest esøkende, og hvor mange esøkende var det da? Hvilke dager var det mer enn 360 esøkende? Haifinna må ha minst 30 esøkende per dag for at illettinntektene skal dekke driftsutgiftene. Hvilke dager gikk Haifinna med underskudd? 405 Irahim målte utetemperaturen hver time i tidsrommet 08.00 18.00 en dag i mars. Resultatene ser du i taellen nedenfor. Kl. 08.00 09.00 10.00 11.00 1.00 13.00 14.00 15.00 16.00 17.00 18.00 Temp. i C.,0 1, 0, 1,3,3,6,8 3,0,8, 1,3 Termometeret til Irahim har maksimums- og minimumsfunksjon, og det viste at den høeste temperaturen var 3,0 C. Lag en grafisk framstilling som viser hvordan temperaturen varierte med klokkeslettet.
88 Kapittel 4: Funksjoner 406 C 0 19 18 10 1 14 16 18 Klokkeslett Familien Berg har en tidsstrt termostat på ovnene i stua. På figuren ser du hvordan temperaturen i stua varierte en vinterdag. a Hva ser ut til å være normal stuetemperatur hos familien på dagtid? Hva er «spare-temperaturen»? c Forklar ut fra figuren at temperaturen er en funksjon av klokkeslettet. d Bruk diagrammet til å flle ut taellen. Klokkeslett 10 11 1 13 14 15 16 17 Temperatur 407 Hva etr disse ordene eller egrepene: koordinatsstem origo unnpunkt funksjonsverdi funksjon nullpunkt førsteaksen toppunkt Lag en kort forklaring til hvert enkelt. Tegn figur der det er naturlig. 408 Kr 1000 800 600 400 8 10 1 14 16 18 0 I et idrettslag varierer treningsavgiften med alderen slik figuren ovenfor viser. Nedre aldersgrense for å trene med laget er 8 år, og fra og med flte 18 år etaler alle den samme treningsavgiften. Smolet [ på figuren etr «fra og med». Smolet etr «til» (men ikke med). a Hvor stor er treningsavgiften for en 10-åring? Hvor stor er treningsavgiften for en på 17 år? c Bruk informasjonen på figuren til å lage en taell som viser hvordan treningsavgiften varierer med alderen. d Forklar hvorfor treningsavgiften er en funksjon av alderen. Alder
Kapittel 4: Funksjoner 89 409 I oppgave 4.5 på side 157 i læreoka studerte du denne taellen over forenklede forelegg ved fartsovertredelser: Fartsoverskridelse til og med 5 km/h 10 km/h 15 km/h 0 km/h 5 km/h Sats 600 kr 1600 kr 900 kr 400 kr 6500 kr Lag en grafisk framstilling av taellen. 410 På side 156 i læreoka leste du: «Når hver verdi av gir en estemt verdi for, sier vi at er en funksjon av.» Se på grafene nedenfor. Hvilke av disse grafene er grafen til en funksjon? Gi en kort forklaring. A B C D E F
90 Kapittel 4: Funksjoner 411 50 % 40 % Menn Kvinner 30 % 0 % 0 % 1973 1978 1983 1988 1993 1998 003 Kilde: Sosial- og helsedirektoratet Figuren viser andelen som røker daglig lant menn og kvinner i alderen 16 4 år. Kommenter figuren. Det etr at du lant annet ør si noe generelt om endringene i røkevaner for kvinner og for menn i denne perioden få fram det som eventuelt er likt for menn og kvinner få fram det som eventuelt er forskjellig for menn og kvinner. 41 Figuren nedenfor viser muskelmasse som funksjon av alder hos jenter og gutter. (Muskelmasse er ikke det samme som muskelstrke.) Beregnet muskelmasse (kg) 40 gutter 30 jenter 0 10 4 6 8 10 1 14 16 18 0 År Kilde: Tidsskrift for Den norske lægeforening Hva forteller kurvene deg?
Kapittel 4: Funksjoner 91 413 Personer drept eller skadd i veitrafikkulkker januar 003 januar 006 900 800 700 600 500 400 0 4 6 8 10 1 14 16 18 0 4 6 8 30 3 34 36 Kilde: SSB Diagrammet viser antall drepte og skadde i veitrafikkulkker i perioden januar 003 til januar 006. (Måned 0 = januar 003, måned 1 = feruar 003, osv.) a Hva står månedene 1, 4 og 36 for? Hva vil du si gjelder generelt for denne treårsperioden? c Foreslå noen årsaker til de variasjonene du ser. d Kan du finne et tilnærmet tall for antall drepte eller skadde i desemer 003? 414 Veksthastigheten hos arn varierer med alderen. Figuren nedenfor viser hvordan hødevekst for jenter og for gutter varierer med alderen. (Husk at det kan være store individuelle forskjeller.) Hødevekst (cm/år) a Hvor lenge er veksthastigheten den samme hos jenter og gutter? 4 Når egnner «vekstspurten» hos jentene? 0 Når egnner den hos guttene? c Voksne menn er i gjennomsnitt ca. 13 cm høere enn voksne kvinner. Ser du noen sammenheng mellom 18 16 14 1 denne forskjellen og figuren? 10 8 6 4 jenter gutter ÅR 4 6 8 10 1 14 16 18 Kilde: Tidsskrift for Den norske lægeforening
9 Kapittel 4: Funksjoner 4.4 Graftegning med digitale verktø 415 a Tegn grafen til = 15, + 8på lommeregneren. Velg Xmin= 10, Xma=10, Xscale=, Ymin= 10, Yma=15 og Yscale=. Hva skjer dersom du 1 endrer åde Xscale og Yscale til 5, og lar de andre innstillingene være uendret endrer Ymin til 5 og Yma til 0 416 Vi har gitt funksjonen = 5, + 186,. a Bruk taellfunksjonen på lommeregneren til å flle ut taellen. 6 4,5 3 5 7,5 Tegn grafen til = 5, + 186,. 417 Vi har gitt funksjonen = 005, 1,. a Bruk taellfunksjonen på lommeregneren til å flle ut taellen. 3 1 5 8 13 Tegn grafen til = 005, 1,. 418 Vi har gitt funksjonen = 10+ 3000. a Bruk taellfunksjonen på lommeregneren til å flle ut taellen. 150 300 550 850 1100 Tegn grafen til = 10+ 3000. 419 Tegn grafen til = 30+ 7500 på lommeregneren for -verdier fra 0 til 50. Hvis du ikke får fram grafen, kan du ruke automatisk innstilling av tterverdiene for. Vi repeterer hvordan du gjør det: Legg inn funksjonsuttrkket og sett Xmin= 0, Xma = 50. En passende verdi for Xscale kan være 10. Tegn grafen. Casio: Trkk F (Zoom) og F5 (AUTO). Teas: Trkk ZOOM og velg 0:ZoomFit. Legg inn en fornuftig verdi for Yscale.
Kapittel 4: Funksjoner 93 Bruk denne teknikken og tegn grafen til funksjonene = 01, + 1, for -verdier fra 0 til 0 = 500+ 180 000 for -verdier fra 0 til 100 40 Du skal tegne grafen til = 15, + 40for -verdier fra 10 til 60 på lommeregneren. a Hvordan kan du gå fram for å stille inn tterverdiene for? Hva vil du velge som verdi for Xscale og Yscale? Hvorfor vil du velge disse verdiene? 41 Tegn disse rette linjene på papir. Bruk taellfunksjonen på lommeregneren til å finne de punktene du trenger. a = 5+ 310 for -verdier mellom 10 og 50. = 10+ 100 for -verdier mellom 0 og 500. c = 015, + 8, for -verdier mellom 5 og 5. d = 300+ 5 000 for -verdier mellom 500 og 500. 4 a Regn ut + for noen verdier av. Hvilke verdier kan ha? Tegn grafen til = +. Du må taste inn funksjonen slik: = ( + ). Bruk 10 som største verdi for. «Stemmer» grafen med det du fant ut i oppgave a? 43 a Tegn grafene til = + 4 og = + 4 i samme koordinatsstem på lommeregneren. Hvilken av grafene har et toppunkt? Har grafen til = + 4 5 toppunkt eller unnpunkt? c Tegn grafen til = + 4 5 og kontroller svaret på oppgave. d Vi ser på funksjonen = + 4+ d. Eksperimenter på lommeregneren og finn ut hvilke verdier av d som gjør at funksjonen ikke har nullpunkt. 44 a Tegn grafene til = 5 og = 5 i samme koordinatsstem på lommeregneren. Hva slags kurve får du? Tegn en sirkel med radius 10 på lommeregneren. 4.5 Førstegradsfunksjoner 4.6 Lineær vekst 45 Lag taell og tegn linjene i et koordinatsstem. a = + 3 = +4 c = 5, +
94 Kapittel 4: Funksjoner 46 Taellen viser noen - og -verdier for en førstegradsfunksjon. 1 0 1 3 8 6 4 0 a c Finn konstantleddet og stigningstallet. Hva er nullpunktet? Skriv opp likningen for funksjonen og tegn grafen på papir. * 47 4 4 6 a Finn stigningstallet for linja. Finn nullpunktet. c Finn likningen for linja. Ligger punktene 8, 6 og 6, 1 på linja? ( ) 48 4 m 4 4 Finn likningen for hver av linjene. l
Kapittel 4: Funksjoner 95 49 a Tegn linjene = +1 og = + 7 på papir i samme koordinatsstem. Hva er koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene? 430 a Hva vet du om linjer som har et positivt stigningstall? Hva vet du om linjer som har et negativt stigningstall? c Tre linjer har samme stigningstall. Hva forteller det deg om linjene? 431 a En linje med stigningstallet går gjennom punktet 1,. Tegn linja og finn likningen for linja. En linje med stigningstallet 3 går gjennom ( 0, 4). Tegn linja og finn likningen for linja. 43 En linje går gjennom punktene 3, 11og, 4. a Tegn linja i et koordinatsstem. Finn likningen for linja. c Hva er nullpunktet for funksjonen? * 433 Undersøk om punktene 3, 7, 5, 1, 15, og 4, 3 ligger på grafen til funksjonen = 15, + 3. 434 Ligger punktene 6, 9, 3, og, 7 på samme rette linje? 435 På side 168 i læreoka så du at stigningstallet for en rett linje er gitt ved økning i. økning i Regn ut stigningstallet for en rett linje som går gjennom a ( 6, 18) og ( 4, 3) ( 5, 5) og ( 3, 6, ) c ( 6, 408) og ( 10, 90) d, 35 000 og, ( 9 5 500) 436 Vi har disse førstegradsfunksjonene: 1: = + 3 : = + 3 3: = 3+ 4: = 1 5: = 3 6: = + Hva kan du si om de seks linjene ut fra likningene? (Du skal altså ikke tegne linjene.) 437 a Linja = 3+ går gjennom punktet 1, 8. Finn. Linja = a 5 går gjennom punktet (, 9). Finn a. c Linja = a+5 går gjennom punktet ( 3, 1). Finn a.
96 Kapittel 4: Funksjoner 438 439 Undersøk ved regning om punktene ligger på samme rette linje. a ( 9, 10), ( 6, 78) og ( 8, 4). 8, 18, 1, 8 og 6,. Taellen gjelder en førstegradsfunksjon. 3 3 6 9 7 3 17 a Hvilke tall skal stå i de tomme rutene? Skriv opp likningen for førstegradsfunksjonen. 440 Taellen viser antall esøkende i et alpinanlegg de første 7 dagene det er åpent. Dag nr. 1 3 4 5 6 7 Antall 145 160 17 185 00 15 30 Lederen for anlegget uttaler til lokalavisa at det har vært en tilnærmet jevn økning i antall esøkende den første uka. Er du enig? Gi grunn for svaret ditt. 441 a Hva er det som er tpisk for lineær vekst? Gi noen eksempler fra dagliglivet på lineær eller tilnærmet lineær vekst. Finn eksempler åde på positiv lineær vekst og negativ lineær vekst. 44 Ldfarten i luft er ca. 330 m/s. t sekunder etter et lnnedslag hører vi tordenrak. Antall meter fra oss til lnnedslaget er gitt ved formelen = 330 t a c d Tegn grafen til på papir for t-verdier opp til 8 sekunder. (Hva er den minste verdien t kan ha?) Du hører tordenraket 4 sekunder etter at du ser lnnedslaget. Hvor langt orte slår lnet ned? Lnet slår ned km fra der du står. Hvor langt tid går det før du hører tordenskrallet? Tegn grafen til på lommeregneren. Bruk lommeregneren til å svare på oppgavene og c.
Kapittel 4: Funksjoner 97 * 443 Hos Superil og Ntteil kan du hver helg leie «fltt-selv-il». Figuren viser hvordan leien varierer med antall kjørte kilometer. Leie i kroner 1100 900 Superil 700 Ntteil 500 0 40 60 80 100 10 140 Kjørte km a Gunnar og Lise skal fltte til en leilighet som ligger 1 km fra der de or nå. De regner med å kjøre 3 flttelass. Hvilket firma er det rimeligste for dem? Av figuren ser du at hos egge firmaene estår leien av en fast del, pluss et tillegg for hver kjørte kilometer. Hvor me koster hver kjørte kilometer hos Ntteil? Hvor stort er det faste eløpet hos Superil? Superil gjør en markedsundersøkelse og finner ut at de fleste som leier «fltt-selv-il», kjører mellom 50 km og 100 km på en helg. Superil estemmer seg for at de vil gi et edre tilud enn Ntteil til disse kundene. Det vil de gjøre ved å redusere den faste delen av leieprisen. c Hvor me må Superil redusere den faste delen av leieprisen? 444 Bilen til Lene har en ensintank som rommer 65 liter. Bilen ruker i gjennomsnitt 0,8 liter ensin per mil. Lene fller tanken full. a Hvor mange liter ensin har Lene igjen etter å ha kjørt 400 km? Etter å ha kjørt km har Lene igjen liter ensin. Forklar at = 65 0, 08. c Hvor langt kan Lene kjøre før ensintanken er tom? Finn svaret grafisk og ved regning. d Når det er fem liter ensin igjen på tanken, tennes det et varsells på dashordet. Hvor langt kan Lene kjøre før varsellset tennes? 445 Prisen på en drosjetur er gitt ved P = 15, 90+ 37, der står for antall kilometer. a Hva er stigningstallet, og hva forteller stigningstallet deg? Hva er konstantleddet, og hva forteller konstantleddet deg?
98 Kapittel 4: Funksjoner 446 Maria har 4000 kr som hun skal ruke i ferien. Hun ruker 180 kr per dag. Etter dager har Maria kr igjen. a Forklar at er gitt ved = 4000 180. Finn nullpunktet for funksjonen. Hva forteller nullpunktet deg? 447 448 449 450 Moiltelefonaonnementet til Ole Magnus har en fast månedsavgift på 149 kr. Samtaleprisen er 0,79 kr per minutt. Det er ingen startavgift. I aonnementet er det inkludert 100 SMS per måned. Ole Magnus får regning hver måned, og han sender aldri mer enn 100 SMS på en måned. a En måned hadde han 40 samtaler, og gjennomsnittstiden per samtale var minutter og 15 sekunder. Hvor stor le regningen denne måneden? For å regne ut hvor me han må etale hver måned, kan Ole Magnus ruke formelen = 149 + 0, 79 Hva står og for i denne formelen? Hva er stigningstallet, og hva står stigningstallet for? Hva er konstantleddet, og hva står konstantleddet for? Ole Magnus har en avtale hjemme som sier at han selv må etale den delen av regningen som er over 300 kr. c Hvor mange minutter per måned kan Ole Magnus maksimalt snakke dersom foreldrene skal etale hele regningen? Finn svaret grafisk og ved regning. En vanntank på 3000 liter skal tømmes for vann. Det renner ut 50 liter vann i minuttet. a Finn en formel for hvor mange liter vann,, det er igjen i tanken etter minutter. Hvor lang tid tar det før det er 1000 liter vann igjen i tanken? c Hvor lang tid tar det å tømme tanken? Finn svaret grafisk og ved regning. Lise har spart 9100 kr til ferien. Hun har planlagt å ruke 650 kr per dag. a Hvor me har Lise igjen etter 5 dager? Hvor lenge tror du hun har planlagt å være orte? c Etter 8 dager estemmer Lise seg for å forlenge ferien med én uke. Hvor me kan hun nå ruke hver dag? Narmin og Nashmin er søstre. De joer ved siden av skolen og sparer en del av det de tjener til sommerferien. Narmin har spart 1400 kr og sparer 0 kr hver måned. Nashmin har spart 100 kr og sparer 150 kr hver måned. a Finn grafisk når Narmin og Nashmin har spart like me penger. Hvor me penger har de da? Finn svaret på oppgave a ved regning. Kan du finne svaret på oppgave a på mer enn én måte?
Kapittel 4: Funksjoner 99 451 45 453 454 455 Per og Kari lager suvenirer. For en spesiell suvenir har de en produksjonskostnad på 35 kr per enhet. Dessuten har de en fast kostnad på 1500 kr. a Hva koster det å lage 15 suvenirer? La K være samlet kostnad når det produseres suvenirer. Sett opp et uttrkk for K. c Tegn grafen til K for -verdier fra 0 til 50. d Finn av figuren i oppgave c hvor mange suvenirer de har laget når den totale kostnaden er 75 kr. Finn også svaret ved regning. Idrettsforeningen Løper'n har en samareidsavtale med treningsstudioet Vekten. Vanlig pris for å trene på Vekten er 40 kr per gang, og medlemmer i idrettslaget får 15 kr raatt. Medlemskontingenten i idrettslaget er 700 kr per år. Hvor mange ganger må du trene i løpet av ett år for at det skal lønne seg å være medlem i idrettslaget? Finn svaret grafisk og ved regning. Når vi slår av strømmen til et frseskap, stiger temperaturen i skapet. En modell sier at etter timer er temperaturen målt i celsiusgrader gitt ved = 05, 1. a Hva var temperaturen i frseskapet da strømmen le slått av? Hva forteller stigningstallet deg? c Hvis temperaturen i skapet lir høere enn 50, C, lir innholdet ødelagt. Hvor lenge kan strømmen være slått av uten at innholdet lir ødelagt? Når strømmen slås på igjen, er temperaturen gitt ved d Hva står k for? = 15, + k. Vi ser på situasjonen der temperaturen i frseskapet er 8 C når strømmen lir slått på igjen. e Hvor lang tid tar det før temperaturen i skapet igjen har litt 1 C? f Tegn grafen tilake til normal temperatur. Den maksimale pulsfrekvensen til en person minker tilnærmet lineært med alderen. For en 0-åring regner en med at den maksimale frekvensen er 00 slag per minutt. For en 60 åring er det ca. 160 slag per minutt. a Finn et funksjonsuttrkk som viser hvordan den maksimale frekvensen varierer med alderen år. Hvordan tolker du stigningstallet? c Hva er den maksimale pulsfrekvensen for en 35-åring etter denne modellen? d I hvilken alder kan en regne med at den maksimale frekvensen er 180? Kokepunktet til vann varierer med lufttrkket. Kokepunktet ved havoverflaten 1 er 100 C. Det snker med ca. 3 grad per hundre meter stigning. a La T være kokepunktet i C. Finn et uttrkk for T når høden over havet er meter. Finn kokepunktet for vann i 000 m høde.
100 Kapittel 4: Funksjoner 456 Fra 000 til 005 økte opplaget av lokalavisa Blåklokka fra 700 til 3950 eksemplarer. Ved starten av 006 uttalte redaktøren at han forventet at opplaget dette året ville li på ca. 400 eksemplarer. Hvordan tror du redaktøren kom fram til dette tallet? 457 Fra 000 til 005 økte folketallet i en kommune fra 1 000 til 14 100. Vi antar at det har vært en jevn økning i folketallet hvert år. Hvilke av funksjonene nedenfor kan passe med denne opplsningen? Forklar. A B C D = 14 100 + 40 = 40+ 1 000 = 1 840 + 40 = 1 000+ 40 * 458 En kommune opplevde jevn nedgang i folketallet i årene 000 005. Folketallet i perioden 000 005 8900 8700 8500 8300 8100 7900 7700 7500 000 00 003 005 Finn en lineær modell som eskriver utviklingen i dette tidsrommet. Forklar hva de variale i modellen står for. 459 Fuglenes energiforruk avtar tilnærmet lineært når temperaturen i omgivelsene øker. Taellen viser tilnærmede tall for en estemt snipeart. Temperatur i C 0 30 Daglig energiforruk i kj 390 100 Kilde: OIKOS 37:1 a Finn et uttrkk for energiforruket i kj når temperaturen er C. Hva er det daglige energiforruket når temperaturen er 10 C? c Hva forteller stigningstallet? d Hvordan endrer energiforruket seg når temperaturen 1 minker med 5 grader øker med 10 grader
460 Kapittel 4: Funksjoner 101 På Statistisk sentralrås hjemmeside finner vi denne oversikten over antall jordruksedrifter i Norge i årene 1999 004. a Merk av tallene i et koordinatsstem. La = 0 svare til 1999. Bruk tallene for 1999 og 004 til å lage en lineær matematisk modell for utviklingen. Tegn linja i det samme koordinatsstemet som du rukte i spørsmål a. Hvordan passer linja med punktene? c I 005 var det 53 7 jordruksedrifter. Hvordan passer det med modellen fra spørsmål? 4.7 Mer om funksjoner 461 Når du skal tegne en graf på papir, kan det lønne seg å tegne grafen på lommeregneren først. Deretter kan du ruke lommeregneren til å finne eventuelle unn- og toppunkter på grafen og skjæringspunkter med aksene ruke taellfunksjonen til å finne punkter på grafen Noen ganger lir du edt om å skissere en graf. En skisse trenger ikke å være så nøaktig som en tegning. Men det er viktig at du på skissen får fram formen på grafen, hvor grafen skjærer aksene, og hvor eventuelle unn- og toppunkter er. a Tegn grafen til = + 4 på papir for -verdier mellom 4 og. Tegn grafen til = 0, + på papir for -verdier mellom 0 og 10. 3 c Skisser grafen til = + 3 1 for -verdier mellom og 5. 46 I denne oppgaven skal vi innføre en n skrivemåte for funksjoner. Når vi skriver = 3, er en funksjon av. I stedet for = 3 kan vi skrive f = 3. f leses «f av». f () 5 etr den funksjonsverdien vi får når vi setter inn 5 for. f () 5 = 5 3= 7 Noen ganger skal vi ehandle flere funksjoner samtidig. Da kan vi skrive f, g osv. f og g er da navn på funksjonene. Regn ut a c 3 f( 4), f f og når 4 f = + 5 f = 3 f =
10 Kapittel 4: Funksjoner 463 Figuren viser grafen til en andregradsfunksjon. a Finn toppunket på grafen. Bestem nullpunktene til funksjonen. c Finn f ( 4) og f (). f() 10 8 6 4 6 4 4 6 8 464 f() 1 8 4 4 4 6 4 Figuren viser grafen til en andregradsfunksjon. a Finn unnpunket på grafen. Bestem nullpunktene til funksjonen. c Finn f( ) og f( 4). d Finn når f = 8. 465 a Tegn grafen til = 6+ 5 på lommeregneren for -verdier fra 1 til 7. Finn nullpunktene og unnpunktet. c Hva er når = 3? d Hva er når = 6?
Kapittel 4: Funksjoner 103 466 a 3 Tegn grafen til = 05, + på lommeregneren for -verdier mellom og 5. Finn nullpunktene og topp- og unnpunktene. c For hvilke verdier av er mindre enn null? 467 Antall overnattinger 480 440 400 Figuren viser antall overnattinger per uke på en campingplass de første 1 ukene den var åpen. a Hvor mange overnattinger var det den første uka? Hvor stor var endringen i antall overnattinger fra 1 uke 1 til uke uke 5 til uke 6 c Når økte antall overnattinger fra uke til uke? Når var økningen størst? d Hvor stor var endringen i antall overnattinger i gjennomsnitt per uke fra uke 3 til uke 7? e Økningen i antall overnattinger fra uke 1 til uke 13 var halvparten av økningen fra uke 11 til 1. Økningen fra uke 13 til uke 14 var 60 % av økningen fra uke 1 til uke 13. Hvor mange overnattinger var det i uke 14? 468 Diep tar på seg en jo som hun får 800 kr for. Bruker hun t timer på joen, er timelønna gitt ved a = 800 t 4 6 8 10 1 14 Tegn grafen til på lommeregneren. Diep snes at timelønna ør ligge i området 90 110 kr. Hvor lang tid kan hun da ruke på joen? Finn svaret åde ved å ruke lommeregneren og ved regning. Uke
104 Kapittel 4: Funksjoner 469 Kroppsøvingslærerneinnhenter tilud på uss til aktivitetsdagen. BlåussAS tilr uss for 60 kr per deltaker. Prisen er asert på 35 deltakere. Blir det færre enn 35 deltakere, må skolen etale for 35 deltakere. Blir det flere enn 35 deltakere, øker ikke prisen. Det lir derfor illigere per deltaker. a Bruk informasjonen ovenfor og fll ut taellen. Antall deltakere, 1 8 36 40 Pris per deltaker, P c Lag en grafisk framstilling som viser pris per deltaker som funksjon av antall deltakere. Er tiludet fra usselskapet et eksempel på omvendt proporsjonalitet? Diskuter. * 470 471 Elevrådet skal arrangere skolefest. Det koster 000 kr å leie lokalet. I tillegg regner de med 150 kr per deltaker til andre utgifter. a Hvor store lir de totale utgiftene T kr dersom det kommer 1 50 deltakere 80 deltakere Finn en formel for T. c Vi kaller prisen per deltaker for E. Forklar at 000 + 150 E =. d Tegn grafen til E på lommeregneren. Bruk lommeregneren til å finne prisen per deltaker dersom det kommer 60 deltakere. e Sett opp en likning du kan ruke for å finne hvor mange deltakere det må være for at prisen per deltaker skal li mindre enn 180 kr. Løs likningen ved regning. Skolemusikken skal arrangere gjenforeningsfest. Det koster 100 kr å leie lokalet, og komiteen regner med å kjøpe inn duker og pnt for 450 kr. Maten koster 150 kr per person. a Hva lir prisen per person hvis 0 melder seg på festen? 1650 Vis at prisen per person er gitt ved E = + 150, der er antall påmeldte personer. c Tegn grafen til E for -verdier fra 5 til 30. d Hvor mange må melde seg på for at prisen per person skal komme under 50 kr? e 0 har meldt seg på festen. Komiteen prøver å overtale noen flere til å komme. Hvor me vil prisen per deltaker snke for hver ekstra deltaker?
Kapittel 4: Funksjoner 105 47 Et NSB kundekort koster 390 kr vinteren 006. Kundekortet er gldig ett år og gir lant annet 30 % raatt på ordinær pris på alle togavganger. Kåre kjøper et slikt kundekort. Han reiser me mellom Oslo og Lillehammer. Ordinær pris på denne strekningen er 304 kr. 390 a Kåre finner ut at prisen per reise er gitt ved E = + 13. Hvordan har Kåre tenkt? Tegn grafen til E. c d Hvor mange turer må Kåre reise for å spare inn kundekortet? Hvor mange turer må Kåre reise for at prisen per tur skal li mindre enn 50 kr? Finn svaret grafisk og ved regning. 473 En vårdag mellom kl. 1 og kl. 0 var temperaturen gitt ved T = 04, + 1, + 16 T står for antall celsiusgrader, og står for antall timer etter kl. 1. a Tegn grafen til T på lommeregneren for -verdier mellom 0 og 8. Hva var temperaturen kl. 1? Når var temperaturen 17 C? c Når var temperaturen høest? Hva var temperaturen da? 474 En tank er delvis flt med vann. minutter etter at vi åpner påfllingskrana, er vannmengden V i liter gitt ved V = 0, 080 + 0, + 0 a c Hvor mange liter vann var det i tanken da vi åpnet krana? Hvor lang tid tar det før det er 5 liter vann i tanken? Krana lukker seg automatisk når det er 30 liter vann i tanken. Hvor lenge er den åpen? 475 Kula fra en kulestøter følger tilnærmet en ane gitt ved h = 005, + + 0, der h er kulas høde over akken og er den horisontale avstanden fra stedet der kulas støtes. Både h og er målt i meter. a Regn ut h( 0). Hva forteller denne verdien? Hvor høt over akken er kula når er 8? c Tegn grafen til h på papir. d Finn den største høden til kula. e Finn lengden av kulestøtet.
106 Kapittel 4: Funksjoner * 476 Den veilengden som en il kjører, fra føreren ser en hindring i veien til ilen stopper, kaller vi stopplengden. En vinterdag er Erik på vei til htta si. Plutselig ser han en elg som står midt i kjøreanen ca. 130 meter foran ilen. Fartsmåleren viser ca. 90 km/h. Vi antar at stopplengden meter er gitt ved = 0, 3+ 0, 014 når farten er km/h. a Hvordan går det hvis elgen lir stående? c Hvordan hadde det gått hvis Erik hadde holdt fartsgrensen på 80 km/h? Hvor mange prosent er fartsøkningen når farten øker fra 80 km/h til 90 km/h? Hvor mange prosent øker den tilsvarende stopplengden? * 477 Kostnaden i kroner ved å produsere en vare er gitt ved K = 0, 6 + 150, der er antall produserte enheter per dag. Inntekten (i kroner) ved å selge den samme varen er I = 5. a Når gir produksjonen overskudd? Overskuddet O er gitt ved O = I K. Vis at O = 0, 6 + 5 150. c Når er overskuddet størst, og hvor stort er overskuddet da? 478 479 480 En edrift produserer og selger enheter av en vare per dag. Overskuddet i kroner er gitt ved O = + 80 500 a Hvor stort er overskuddet når det lir produsert og solgt 1 0 enheter per dag 60 enheter per dag Hvor mange enheter må produseres og selges for at overskuddet skal li 1000 kr per dag? c Hvor mange enheter må produseres og selges per dag for at overskuddet skal li størst mulig? Hvor stort er overskuddet da? Ved midnatt natt til 1. juni le Storstigen overrasket av et snøvær. Fra det egnte å snø til all snøen hadde smeltet igjen, var snødden gitt ved 3 h = 0, 0075 0, 00003 + 1, 055 der er antall timer etter midnatt og h snødden i centimeter. a Tegn grafen til h på lommeregneren. Når var snødden,5 cm? c Når var snødden størst, og hvor stor var den da? d Finn nullpunktene til h. Hvilken praktisk tolkning har nullpunktene her? I årene 1995 005 var innggertallet i en kommune gitt ved 3 F = 5 375 + 1150+ 1 000 der = 0 svarer til 1995, og er antall år siden 1995. a Hvor mange innggere var det i kommunen i 1995? Hvor mange innggere var det i 005? Tegn en skisse av F. c Hvordan vil du eskrive variasjonen i innggertallet i denne perioden?
481 På figuren ser du grafen til funksjonen =. Vi har tegnet inn tangentene til grafen i punktene, 4 og 1, 1. Kapittel 4: Funksjoner 107 8 6 4 3 1 1 3 a Bruk grafen og tangenten til å finne momentan veksthastighet for når = og når = 1. Kontroller svarene i oppgave a ved å ruke lommeregneren. 48 80 Temp. ( C) 70 60 50 40 30 0 10 Tid (timer) 1 3 4 5 t Vi lar vann stå til avkjøling og måler temperaturen til vannet. Når vi starter målingen, setter vi tiden t lik null. Måleresultatene gir oss kurven på figuren. a Hvor me snker temperaturen den andre timen? Hvor me snker temperaturen den fjerde timen? Finn den gjennomsnittlige veksthastigheten i intervallet [ 0, 3]. (Skrivemåten [ 0, 3] etr fra og med t = 0, til og med t = 3.) c Er den gjennomsnittlige veksthastigheten i [ 3, 5] større eller mindre enn den er i [ 0, 3]? d Finn den momentane veksthastigheten når t = 1.
108 Kapittel 4: Funksjoner 483 I mars var dagsesøket i et alpinanlegg gitt ved funksjonen = 3 66+ 164, der står for datoen i måneden. a Tegn grafen til på lommeregneren. Hvilken dag var det færrest esøkende? Hvor mange esøkende var det den dagen? c Bruk lommeregneren til å finne momentan veksthastighet når 1 =6 =0 Hva etr svarene? 484 Vekten (i kg) av en plante som vokser i en potte, er tilnærmet gitt ved 3 V = 0, 0001t 0, 001t + 0, 05t + 1 der t er antall uker fra det tidspunktet da vekten var 1 kg. Formelen gjelder for t-verdier mellom 0 og 10. a Bruk lommeregneren til å finne momentan veksthastighet når t = og når t =8. Hva forteller svarene? Hva kan du ut fra svarene i oppgave a si om grafen i punktene der t = og der t =8? c Tegn grafen på lommeregneren. 4.8 Graftegning med regneark 485 Taellen nedenfor er hentet fra internettsiden til Sosial- og helsedirektoratet. Årlig omsetning av øl, vin og rennevin. Liter ren alkohol per inngger, 15 år og oppover. Kilde: Sirius og SSB Bruk et regneark og lag en eller flere grafiske framstillinger som illustrerer taellen. Hvordan vil du eskrive utviklingen i alkoholforruket i denne perioden?