Verdier som parvis hører sammen. Nedbør som samsvarer med dagen vi velger. Utviklingen eller forandringen. Har nedbørsmengden steget eller sunket, har det gått opp og ned? Måleverdien har forandret seg raskt eller langsomt. Har det vært jevn forandring? Gjennomsnitt Gjennomsnittsøkning Maks. og min. verdi Hvor mye nedbør som falt til sammen eller i ulike perioder. Her snudde utviklingen. (Finnes det noen grense, mon tro for hvor mye regn?) Dersom vi har et diagram fra Fredrikstad, eller et diagram fra samme sted og samme måned ett år tilbake, ville ulike sammenhenger være aktuelle å se etter. Punktene over viser en del av den innholdsmessige konteksten. 7.4 Eksempler på misoppfatninger/mistolkinger Det har etterhvert utviklet seg en forskningstradisjon som har kartlagt elevers forståelse av matematiske begreper og matematisk språk 9. Forskningen dokumenterer elevers problemer med å tolke og uttrykke seg gjennom grafer. Det dreier seg både om at elevene ikke leser informasjon som gis, men også om at de leser annen informasjon enn den som er ment. En avdekker misoppfatninger eller mistolkinger. Noen misoppfatninger synes å ha stor utbredelse. Kunnskap om dette gir bakgrunn for å utvikle undervisning der vi bygger opp mot de tokninger og oppfatninger som vi ønsker. 1. Elevene tolker grafen «billedmessig». Det synes ikke unaturlig at elever gir grafer en «billedmessig tolkning». Mange grafer kan tolkes slik, elevene har også ofte arbeidet med situasjoner der dette fungerer bra. MEGA 8B, side 83, NKS-forlaget, 1995 9 I Norge har Gard Brekke og Trygve Breiteig arbeidet mye med dette. (I samarbeid med fagmiljøet ved Shell Center, Nottingham.) KAPITTEL 7 99
Regnereisen, 4.klasse, Aschehoug Oppgaven under brukes ofte for å tydeliggjøre problematikken. (Se f. eks. MEGA 9B, side 60, NKS-forlaget, 1996) Grafen er gitt. Oppgave: Grafen beskriver en fottur. Fortell med egne ord hva som skjedde ut fra det du ser av grafen. Studenter anbefales å gjøre oppgaven før videre lesning. Diskutér assosiasjonene dere støter på underveis. Hadde dere noen intuitive tolkninger som dere forkastet ved nærmere ettertanke/diskusjon? Mange elever (og voksne) beskriver turen som om de først gikk opp en åsside, de kom opp på fjellet, der var det en vidde som var flat (fin utsikt) og hjem igjen gikk de ned på den andre siden av fjellet. De beskriver at hjemveien var svært bratt. Undersøkelser (Brekke, G, 1995), viser at hele 18% av 9. klassingene som deltok ga et svar som lignet på dette. Også andre tolkninger finner en som kan kalles billedmessige tolkninger, en kan f. eks. tolke grafen som en kartskisse. Undersøkelsen viser at ca 1/4 av 8. klassingene ga geometriske tolkninger, og at 1/4 av dem ga tilfredsstillende svar i undersøkelsen vi her har vist til. Samme feiltolkninger vil vi selvsagt finne hos mange av oss som er voksne. 100 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE
Kunnskap om dette gjør at vi stiller oss spørsmål: Betyr dette at vi ofte leser grafer som kan tolkes som bilde, i massemedia og i skolebøker; og at elevene ikke har trent seg til å lese språket slik det skal leses? Betyr det at det er vanskelig å se for seg en tur beskrevet ved hvor langt hjemmefra en er til enhver tid? Er det uvant? 10 Betyr det at vi ikke er vant til å fokusere på funksjonssammenhengen? Hva er avhengig av hva her? Betyr det at elvene har mistolket spørsmålet, ikke har forstått hva som ventes? «Fortell med egne ord om» Er elevene vant til å bruke «fortell om» i sammenhenger der en kan fortolke, inspireres til å fantasere, assosiere fritt? Betyr det at oppgaven som er gitt er ei «felle» og at den ikke kan generaliseres til misoppfatningen: «graf leses som et bilde»? Det siste spørsmålet skal vi alltid stille oss. I denne sammenhengen vet vi at gjentatte oppgaver bekrefter resultatet som framkommer. Mange tolker grafer som bilde. De andre spørsmålene skal vi dvele mer ved. Resultatene uroer oss. Grafer brukes i kommunikasjon i samfunnet. De brukes for å støtte andre muntlige og skriftlige tekster, for å beskrive situasjoner og problemstillinger. Tolkning av og formidling ved hjelp av grafer er nødvendige demokratiske kunnskaper. Skolespråket inneholder grafspråket i matematikkfaget og i andre fag. Problemet som avdekkes handler om grunnleggende forutsetninger for kommunikasjon og læring. Kunnskaper om å mistolke «graf som bilde» gir oss også grunn til å vurdere hvilke erfaringer vi har gitt elevene: Har vi «lært dem» at graf tolkes som bilde? Vi bør holde muligheten åpen når vi vurderer oppgaver og illustrasjoner. Studér blanding av bildebruk og grafspråk i denne oppgaven: Pluss, 6B, NKS-forlaget 10 Legg merke til hvordan Linda begynner sin forklaring etter oppgave 11.1, side 173. KAPITTEL 7 101
Oppgaver som dette gir anledning til å legge til rette for diskusjon blant elevene der de drøfter bilde- og grafspråk. Hvordan kan tegningen tolkes? (Hva kan de som har laget dette ha glemt å tenke på?) Den didaktiske utfordringen ligger i å hjelpe elevene til innsikt om språk, om de språklige og innholdsmessige sammenhengene. Det er viktig å gi elevene muligheter til å sette mindre kunnskapselementer inn i større sammenhenger. Oppgave 7.4 Undersøk andre funksjonssammenhenger Gå inn i oppgaven der en skal beskrive turen som grafen framstiller, der avstand fra et sted ses som funksjon av tiden. Oppgaven egner seg i praksissammenheng. Det kan gjøres ved at studenter og ungdomsskoleelever blir samarbeidspartnere i gruppearbeid, eller det kan gjøres ved at en lager oppgaver til elever og vurderer løsningene. Velg gjerne andre oppgaver som er vist til på disse sidene der det understrekes nødvendighet av at kontekstene varieres. Vi er vant til å illustrere noen sammenhenger, ikke andre. Undersøk om det er grunn til å tro at f. eks. «tilbakelagt vei» som funksjon av tiden er lettere for oss å arbeide med enn «avstand hjemmefra». Er det vanskeligere med «målt hastighet» som funksjon av tiden? Hadde det vært mulig å gi elevene noen problemstillinger som hadde til hensikt å hindre «billedmessig tolkning»? Hvilke? Noen vil velge å framstille oppgaven slik at mange elever vil avsløre billedmessig tolkning, for å «avdekke misoppfatninger». Drøft eventuelle etiske dilemmaer som ligger i en slik undervisningsform. oooooo 2. Problemer med å tolke at grafen viser sammenheng mellom to variable. Noen diagram kan leses slik at en fokuserer på en variabel. Eksempler kan være som i figuren øverst på neste side. Vi er opptatt av «hvor høy feber vi hadde», om feberen er «normal» igjen og så videre. Visst relaterer vi det til dagene, det er imidlertid temmelig uproblematisk. Det samme er tilfelle i eksempelet under, hvor det er hastighetene vi vurderer. 102 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE
Oppgaven under er eksempel på en oppgave som er mye brukt, der elever må arbeide med sammenhengen mellom variable: Fem ungdommer er på tur og ringer hjem. De noterer telefonsamtalenes varighet og pris. Dette er illustrert i diagrammet ved siden av. a) Hvem ringte fjernvalg? b) Hvem ringte lokalt? c) Hvem har omtrent samme avstand? pris A B D C E tid på samalen I oppgaver av denne art viser det seg at noen elever fokuser på den ene variable (pris), og andre på den andre (tid). Det er greit å se hvem som betalte mest, snakket lengst, om noen snakket like lenge KAPITTEL 7 103
etc. Det å se på sammenhengen er ikke like enkelt. Når vi arbeider med funksjoner er det nettopp sammenhengen vi fokuserer på, det er den som legger premiss for grafen. Oppgave 7.5 Tenk deg at det er tall på aksene i eksempelet over. Vi har tre variable her: pris, tid, person. Drøft funksjonsbegrepet i forhold til dette. Hvilke funksjoner kan du definere og hvilke grafer vil du tegne? oooooo Kunnskap om vanskene med å tolke sammenhengen mellom variable i en grafisk framstilling får pedagogiske konsekvenser. I vår formidlingstradisjon er vi vant til å trekke opp grafer for å illustrere sammenhenger. Vi har lett for å tro at budskapet tolkes, at grafen er til støtte for tilhørerne. Må vi ta i betraktning at grafen i seg selv er problematisk, at den vanskeliggjør budskapet i stedet? Vi må altså vurdere hvordan vi bygger opp progresjonen i arbeid med grafene, vite hvilke typer grafer elevene er fortrolige med og legge inn arbeid med oppgaver for å ivareta helheten. Forskningen vi viser til her dokumenterer at det er komplisert både å ivareta en helhetlig og detaljert tolkning. Punkter gir bilde av diskrete funksjoner. Trappefunksjoner, rette linjer og krumme kurver viser ulike utviklingsmodeller. Elever leser gjerne av punkter og enkeltverdier i stedet for å se på hele intervaller. Igjen ser vi at det er disse aspektene vi arbeider med i alle kapitlene i denne boka: Hvordan hjelper vi elevene til å få en språkforståelse som ivaretar helhetlig og detaljert tolkning? Kunnskap om feiltyper viser oss hvor komplisert det enkleste grafspråket kan være. Vi får konkretisert at læring av grafspråket omfatter langt mer enn den «tekniske siden». Vi kan ikke overse at elevene setter kunnskapene inn i sammenhenger. Noen ganger blir det gode sammenhenger, andre ganger mer uheldige og kanskje ukorrekte. 7.5 Diagnostisk undervisning Ved Shell Center i Nottingham har en arbeidet videre med resultatene fra undersøkelsene, en søker å ta pedagogiske konsekvenser ved å utvikle metoder, tester og annet materiell. (Gard Brekke, Høgskolen i Telemark, har tilrettelagt arbeidet i Norge. 11 ) Erfaringene viser at det kan være vanskelig å bli kvitt misoppfatninger og systema- 11 Brekke, G. (1995) 104 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE