Del 1 - Uten hjelpemidler

Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgaveteksten til del 1 ligger i: http://www.ulven.biz/r1/heldag/r1_hd_100516.docx (Oppgaveteksten til del er inkludert i dette dokumentet.) Oppgave 1 f x 3x 1 x 1 x (Husk: x x 1 og 1 x x 1!) Kjerneregel: g x e u, u 3x 1 g x e u 3 6e 3x 1 c) Kjerneregel: h x 3 ln u, u 4x 1 h x 3 1 u 4 1 4x 1 4 8x 1 d) Kjerneregel: i x u, u 3 x 3 i x 1 u 3x 3x 3 x 3 Oppgave P 3 4 4 18 P 1 1 3 4 1 1 4 0 ): x er altså ikke faktor i P x, mens x 1 er en faktor i P x x 3 4x x 4 x 1 x 3x 4 x 3 x 3x x 3x 3x 4x 4 4x 4 0 abc-formel gir: x 3x 4 x 1 x 4 ): P x x 1 x 1 x 4 (Hvis man er god til å faktorisere går det enda enklere: H-P Ulven Side 1 av 13 r1_hd_100516_ls.tex

) P x x x 4 x 4 x 1 x 4 x 1 x 1 x 4 c) Tall-linjer: -1 1 4 x 1 - - - - - - - - - - - - - - -o x 1 - - - - - - - -o x 4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -o VS - - - - - - - -o o- - - - - - - - -o ): P x 0 x, 1 1, 4 d) lim x 1 P x x 1 x 1 x 1 x 4 lim x 1 lim x 1 x 1 x 1 x 4 1 1 1 4 6 Oppgave 3 Dobbelt nullpunkt for x 1 og nullpunkt for x 1 gir oss f x a x 1 x 1 Skjæring y-akse gir oss: f 0 3 a 0 1 0 1 3 a 3 a 3 ): f x 3 x 1 x 1 Oppgave 4 Tallet t odde t n 1 for n t n 1 4n 4n 1 n n 1 m 1der m er et heltall t er også et oddetall (da det kan skrives på formen m 1) Oppgave 5 f x 1 x e 3x Produkt- og kjerneregel: f x e 3x 1 x e 3x 3 e 3x 3 1 x e 3x 1 6x f x vokser når x 1 6 f x avtar når x 1 6 f x har et toppunkt 1 6, f 1 6 1 6, e 3 H-P Ulven Side av 13 r1_hd_100516_ls.tex

f x e 3x 3 1 6x e 3x 6 e 3x 3 18x 6 3e 3x 1 6x c) Graf: ): f x har et vendepunkt 1 6, f 1 6 1 6, 4 3 e Legg også merke til at: x e 3x 0 Så vi har en horisontal asymptote langs x-aksen, fint om dette og nullpunktet 1 stemmer med grafen! Oppgave 6 u v 1, 3, 6 Bytter koordinater og bytter fortegn på en koordinat for at skalarprodukt skal bli 0: w 3, 1 (eventuelt 3, 1 ) c) 1, 3 k, 6 t 3, 1 1 k 3t 3 6k t k 1 t 0 d) z 11e v 11 1 v v 11 1 10 1, 3 11 10, 33 10 Oppgave 7 Irrasjonell ligning: 10 x x 4 10 x x 8x 16 x 7x 6 0 x 1 x 6 Kontroll av løsninger: (Må gjøres da vi ikke har ekvivalens i kvadreringen!) Og, VS og HS skal behandles hver for seg! H-P Ulven Side 3 av 13 r1_hd_100516_ls.tex

x 1 : VS 10 1 9 3 HS 1 4 3 VS HS x 6 : VS 10 6 4 HS 6 4 VS HS ): Løsning: x 6 ln x 3 ln x 3 ln 9, x 3 ln x 3 x 3 ln 9 x 3 x 3 9 x 9 9 x 18 x 18 3 (Negativ løsning forkastes, udefinert ligning) ): Løsning: x 3 c) 6e 3x e x 0 e x 6e x 1 0 6e x e x 1 6 0 6e x e x 1 6 ex 1 6 0 e x 0 (Umulig) e x 1 6 ex 1 (Umulig) 6 x ln 1 ln 1 ln 6 0 1 ln 6 1 ln 6 6 d) 16 x 4 x 4 x 4 x 4 x 16 x 4 x 1 4 x 4 x 1 0 4 x 4 4 x 3 (Umulig) x 1 (Ikke regn videre med ligninger som åpenbart ikke har løsninger. Hvis de ikke har løsninger, forkaster vi ikke løsninger, vi har jo ingen!) Oppgave 8 Først av alt, tegn et trediagram: H-P Ulven Side 4 av 13 r1_hd_100516_ls.tex

P R 1 H P R 1 P H R 1 5 3 3 4 10 Total sannsynlighet: P H P R 1 H P H 1 H P R 1 P H R 1 P H 1 P H H 1 3 10 3 5 c) Bayes teorem: 4 3 5 P R 1 H P R 1 H P H P H R 1 P R 1 P H 3 10 3 5 1 d) Du vedder på at ballene kommer ut ordnet som 1, og 3. P 13 g m 1 3 1 1 6 Sannsynligheten for at du taper blir derfor: P betale Guri 1 1 6 5 6 (Så, du bør ikke akseptere dette veddemålet...) e) Du vedder på at et av de to siste tallene er 1. Dette kan skje på følgende ordnede måter: 31, 31, 13, 31 P ett av de to siste tallene lik 1 g m 4 6 3 P betale Tore 1 3 1 3 (Så, dette er et veddemål som favoriserer deg og ikke Tore...) Oppgave 9 Sentrum må ligge i S 1 3, 0 eller S 3, 0, og da radius er r 3, får vi: x x S y y S r Sirkel 1: x 3 y 3 eller x 6x y 0 Sirkel : x 3 y 3 eller x 6x y 0 Del - Med hjelpemidler Oppgave 10 H-P Ulven Side 5 av 13 r1_hd_100516_ls.tex

I oppgave 10 skal alle svar finnes ved regning. I et koordinatsystem danner punktene A, 1, B 4, 1 og C 6, 4 en trekant ABC. Bestem AB, AC og AB AC. Finn parameterfremstillingen for en rett linje l gjennom A og C. c) Et punkt D ligger på y-aksen slik at DB står normalt på AC. Finn koordinatene til punktet D. d) Finn avstanden fra B til l. e) Bestem arealet av trekant ABC. f) Punktet M ligger midt på linjestykket BC. Finn koordinatene til skjæringspunktet S mellom linjestykkene AM og BD. AB 4, 1 1 6, AC 6, 4 1 8, 3 AB AC 6, 8, 3 6 8 3 4 Posisjonsvektor: x, y OA tac, 1 t 8, 3 Parameterfremstilling: l : x 8t y 1 3t c) D på y-akse: D 0, d DB 4 0, 1 d 4, 1 d DB AC DB AC 0 4, 1 d 8, 3 0 4 8 1 d 3 0 3 3 3d 0 d 9 3 ): D 0, 9 3 d) Projeksjonen av AB på AC: p AB AC 4 AC 73 Pythagoras gir avstanden: a AB p 40 4 73 34 73 3. 98 e) H-P Ulven Side 6 av 13 r1_hd_100516_ls.tex

Arealet: A ABC AC a 73 34 73 17 (Eller direkte: AB AC AB AC 40 73 4 34 17 ) f) Går fra A til S på to måter: I AS xam x 1 AB AC x 1 6, 8, 3 x 7, 1 II AS AB ybd 6, y 4, 9 1 6, y 4, 3 3 3 I og II gir vektorligningen: x 7, 1 x 84 y 51 115 30 6, y 4, 3 3 7x 6 4y x 3 3 y OS OA xam, 1 84 115 7, 1 358 115, 157 115 ): S 358, 157 3. 11, 1. 37 115 115 Med GeoGebra hadde man kanskje spart litt tid: Definerer punktene: O: (0,0), A: (-,1), B: (4,-1), C: (6,4) Vektorene: ab: Vektor[A,B], ac: Vektor[A,C] Skalarprodukt: ab*ac 4 Linjen: l: Vektor[O,A] t ac 8t 3t 1 c) D: (0,d) bd: Vektor[B,D] bd*ac 0, Løs {d 9 3 } d) Avstand[B,l] virker ikke, så vi lager en ny linje med: m: Linje[A,C] Da gir: a: Avstand[B,m] a : 34 73 73 e) Arealet: Lengde[ac]*a/ 17 f) H-P Ulven Side 7 av 13 r1_hd_100516_ls.tex

Plundrete med vektorer; am: (ab ac)/ x am ab y bd og Løs-knapp virker ikke, så vi må oppgi vektorligningen: x (7,1/) (6,-) y (-4,3/3) Løs-knappen gir {{x 84 115, y 51 30 }} Vektor[O,A] 84/115*(7,1/) Oppgave 11 gir 7 1 358 115 157 115 Ole Risikoen kjører motorsykkel og beveger seg langs en kurve beskrevet av vektorfunksjonen o t 30t, 88 7t, der t 0, 3 er tiden i sekunder. Rådyret Bambi prøver å krysse veien og beveger seg langs en kurve beskrevet av vektorfunksjonen b t 50 10t, 5 5t, der t 0, 3 er tiden i sekunder. Enheten på aksene er 1 meter. Hva er banefarten til Ole etter sekunder? Vil Ole treffe Bambi? Oles fartsvektor: Etter t s: v o t o t 30, 14t v o 30, 14 30, 8 15, 14 Tilsvarende banefart: v o 15 14 41 41. 0 [m/s] (ca. 148 km/t, Ole tar sjanser...) Hvis kollisjon; Ole og Bambi må ha samme posisjon på samme tidspunkt: o t b t 30t, 88 7t 50 10t, 5 5t 30t 50 10t 88 7t 5 5t t. 5 7t 5t 63 0 t. 5 t. 66 (negativ løsning forkastes) Selvmotsigende, så Bambi er heldig og unngår såvidt å bli truffet. (Ole ikke fullt så heldig, kjører av veien kort etterpå...) Med GeoGebra kunne vi gjort: H-P Ulven Side 8 av 13 r1_hd_100516_ls.tex

o: Kurve[30 t, 88-7 t ^, t, 0, 3] b: Kurve[50 10 t, 5 5 t, t, 0, 3] Kurver i GeoGebra gir punkt på kurven, ikke posisjonsvektor til punkt på kurven, så vi kan lage punkt på kurven med: Glider t O: o(t) B: b(t) Posisjonsvektorer med: pos_o: Vektor[o(t)] (eller Vektor[O] ) pos_b: Vektor[b(t)] Fartsvektor kan man lage med: v_o: Vektor[o (t)], men den blir plassert i Origo, så for å få dem på riktig sted: v_o: Vektor[o(t),o(t) o (t)] v_b: Vektor[b(t),b(t) b (t)] Sett glider til t og Lengde[v_o] gir 41.0 [m/s] Eller direkte: Lengde[o ()] Figuren over viser at med glider på.9 sekunder, så har Bambi kommet til Oles kurve, men Ole har allerede passert. Oppgave 1 En gruppe forskere studerte vektutviklingen for en bestemt hvalart. 5 De har som hypotese at vekten, målt i tonn, er gitt ved m t. 1 ae bt Her er a, b og c konstanter og t er hvalens alder målt i måneder. En hval av denne arten veide 550 kg da den ble født og 675 kg da den var en måned gammel. Bestem konstantene a og b. Hvor gammel er hvalen når vekten er 10 tonn? c) Hvor mye øker vekten med per måned når hvalen er 6 måneder gammel? d) Hva vil denne hvalen veie fullt utvokst? H-P Ulven Side 9 av 13 r1_hd_100516_ls.tex

Tar det først ved regning, men man sparer mye tid på å bruke GeoGebra her! m 0 0. 550 5 0. 550 a 5 1 44. 5 1 ae 0 0.550 m 1 0. 675 5 1 44.5e b 0. 675 5 0.675 1 44. 5e. b 0. 8098 e b b ln 0. 8098 0. 11 ): m t 5 1 44.5e 0.11t [tonn] c) 5 10 5 1 44. 1 44.5e 0.11t 10 5e 0.11t 0. 03371 e 0.11t ln 0. 03371 0. 11t ln 0.03371 t 16. 1 [mnd] 0.11 Brøkregel og kjerneregel gir: m t 0 1 44.5e 0.11t 5 44.5e 0.11t 0.11 1 44.5e 0.11t 35e 0.11 t 1 44. 5e 0.11 t Veksthastighet når t 6 måneder: m 6 35e 0.11 6 1 44. 5e 0.11 6 0. 361 [tonn/måned] (Eller 361 kg/måned) d) Fullt utvokst er når t, altså: 5 5 lim t 5 [tonn] 1 44.5e 0.11t 1 44.5 0 Med GeoGebra kan man også her spare litt tid: Kan legge 0 550 1 657 i regnearket, merke, høyreklikke og og lage liste med punkt og deretter bruke m(x): RegLogist[Liste1] Eller løse ligningene i CAS: 1 m(t): 5/(1 a exp(-b t)) m(0) 550 3 m(1) 675 4 NLøs[$,$3] a 44. 5, b 0. 10 Hvis vi nå definerer a: 44.5 b: 0.1 kan vi løse m(t) 10, NLøs-knappen 16. 1 (måneder) c) m (6) 0. 357 (tonn/måned) H-P Ulven Side 10 av 13 r1_hd_100516_ls.tex

d) Ser jo dette direkte, men kan selvfølgelig gjøre: GrenseVerdi[m(t),inf] 5. 0, c) og d) kan selvfølgelig også løses grafisk ved å definere m(x) 5/(1 44.5 exp(-0.11 x)) og bruke Skjæring[10,m(x)] i, m (6) i c) og lese av i d). Oppgave 13 På figuren ser du en skisse av grafen til en funksjon f gitt av: f x ae bx På grafen ligger punktene A k, f k og B k, f k. Sammen med origo O 0, 0 danner de trekanten OAB. Vis at arealet av trekanten OAB er gitt ved T k kae bk. Bestem en eksakt verdi for k slik at arealet av OAB er størst mulig. Hva er da arealet? Denne oppgaven ber jo om GeoGebra: f(x): a exp(-b x ^) A: (-k,f(-k)) B: (k,f(k)) gl: Avstand[A,B] k (GeoGebra markerer at k 0) Bruker derfor k uten absoluttverdi-tegn for ikke å forvirre GeoGebra i fortsettelsen: -b k T(k): ( k)*f(k)/ a k e T (k) 0 Løs {k b b, - b b } H-P Ulven Side 11 av 13 r1_hd_100516_ls.tex

Areal: T(HøyreSide[$6,1] a b 1 e b Forenklet: a be Ved regning: T k kae bk Produktregel og kjerneregel: T k 1 ae bk k ae bk bk 1 bk ae bk T k 0 1 bk ae bk 0 1 bk 0 k 1 (Negativ løsning forkastes) b Maksimalt areal: T max T 1 b 1 b ae b 1 b 1 b ae 1 a be Oppgave 14 Bruk CAS på hele denne oppgaven. Funksjonen f er gitt ved f x x 3 ax bx c, der a, b og c er positive, reelle tall. Vis at grafen til f har vendepunktet a 3, a3 9ab 7c 7. En rett linje l gjennom vendepunktet, som vi kaller V, har stigningstall k. Linjen l skjærer f i to andre punkt, A og B. Bestem summen av x-koordinatene til A og B. c) Formuler hva du har vist i om plasseringen av A og B i forhold til vendepunktet V. f(x): x^3 a x^ b x c f (x) 0 Løs {x - 1 3 a} V: (-a/3,f(-a/3)) V: (- a 3, a3 9ab 7c 7 ) l(x): Linje[V,k] l(x): stooort uttrykk.........-... l(x) f(x) Løs-knapp {x, x, x - 1 a} 3a 9k 3a 9k 3 (Som er x-koordinater til henholdsvis B, A og V.) x_a: HøyreSide[$5,] x A : stooort uttrykk x_b: HøyreSide[$5,1] x B : stooort uttrykk H-P Ulven Side 1 av 13 r1_hd_100516_ls.tex

x_a x_b - a (Lite uttrykk :-) ) 3 c) Vi ser altså at x A x B a x 3 V eller at x A x B x V, det vil si at x-koordinaten til vendepunktet ligger midt mellom x-koordinatene til A og B! ): Hvis en linje gjennom vendepunktet på en tredjegradsfunksjon skjærer grafen i to andre punkter, vil x-koordinaten til vendepunktet ligge midt mellom x-koordiantene til de to andre skjæringspunktene. (Ved å bruke: d1: f(x_b)-f(-a/3) d: f(-a/3)-f(x_a) d1-d 0 kunne vi ha vist at det samme gjelder y-koordinatene. Så generelt ligger vendpunktet midt mellom skjæringspunktene også langs linjen! ) H-P Ulven Side 13 av 13 r1_hd_100516_ls.tex