1T eksamen hausten 017 Løysing Tid: 3 timar Hjelpemiddel: Vanlege skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmålar er tillatne. Oppgåve 1 ( poeng) Rekn ut og skriv svaret på standardform. 105000 0,15 1510 15 10 15 4 4 110,5 10 1,5 1010 30 1 4 ( ) 7 10,0 10 Oppgåve ( poeng) Løys likninga grafisk 1 1 9 x x Begge sidene av likninga er rette linjer. Brukte at konstantleddet var 1 og stigingstalet var ½ på venstresida og teikna punkta A, B og C, sjå figuren. I staden for å gå éi eining i positiv x-retning og ei halv eining oppover, gjekk eg to einingar bortover og éi eining oppover. Gjorde tilsvarande med uttrykket på høgresida av likninga og teikna punkta D, E og F. Skjeringspunktet mellom linjene blei C(4, 1), som tyder at likninga har løysinga x = 4. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 1 av 17
Oppgåve 3 ( poeng) Løys ulikskapen x x1 0 Løser først likningen x x1 0 x 1 1 7 1 7 x 4 x 3 ( 1) ( 1) 4 1 ( 1) 1 1 48 1 49 1 7 Testar så uttrykket x x 1 for x-verdiane -4, 0 og 5 for å sjekke om vi får positivt eller negativt svar: x 4 : ( 4) ( 4) 1 16 4 1 8 0 x 0 : 0 0 1 1 0 x 5 : 5 5 1 5 5 1 8 0 Vi teiknar forteiknsskjema (trengs eigentleg ikkje, vi har dei opplysningene vi treng, over): Vi finn at x x 1 0 for x 3, 4 eller: 3 x 4, eller: L 3, 4 Oppgåve 4 ( poeng) 0 0 Sorter tala i stigande rekkjefølgje. Vis eller forklar korleis du har tenkt. 1 4 sin73, tan45, lg1, lg10 1 1 1 1 4 tan45 1, lg1 0, lg10 lg10 1, 0 sin73 1 4 4 4 Stigande rekkjefølgje blir da: 1 4 lg10, lg1, sin73, tan45 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side av 17
Oppgåve 5 ( poeng) Løys likninga 1 lgx 5 1 lgx 5 10 10 1 1 x 100 5 100 1 1 100x 100 100 5 100 100x 4 1 100x 1 4 100x 3 100 100 3 x 100 Oppgåve 6 (1 poeng) Skriv så enkelt som mogleg x x x x x x Ein meir tungvinn måte: 3 x 3 3 3 x x x 1 1 1 3 x x x 1 3x 3x 3x 3 1 3 3 x 3 3 3 3 x x x Oppgåve 7 ( poeng) Skriv så enkelt som mogleg 75 1 1 1 1 1 1 1 3 5 5 1 3 5 5 10 3 1 8 5 5 8 5 5 30 1 1 1 1 1 3 5 0 0 5 5 1 3 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 3 av 17
Oppgåve 8 ( poeng) Om ein lineær funksjon f får du vite at f () 4 f '() 3 Bestem funksjonsuttrykket fx ( ) f '() 3 tyder at stigingstalet a er lik 3. Da kan vi bruke eittpunktsformelen vidare: y y a( x x ) 1 1 y 4 3( x ) 3x 6 y 3x 6 4 3x f( x) 3x Oppgåve 9 (3 poeng) a) Faktoriser uttrykket 3x 9x 3x x 3 b) Skriv så enkelt som mogleg x x x x x 3 x 5x 6 Faktoriserer andregradsuttrykket først: x 5x 6 0 ( 5) ( 5) 4 1 6 5 5 4 5 1 x 1 5 1 5 1 x 3 x Andregradsuttrykket x 5x 6 kan da skrivast som 3 derfor x x 3. Vidare får vi x x x x x 3 x x x x x 3 x 5x 6 x x 3 x x 3 x x 3 x 3x x 4x x 3x 9x 3x x 3 x x 3 x x 3 x x3 x x. Fellesnemnaren blir 3x x Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 4 av 17
Oppgåve 10 (3 poeng) Ved ein skole er det to Vg-klassar, A og B. Det er like mange elevar i kvar klasse. Alle elevane i A har valt biologi. Halvparten av elevane i B har valt biologi. a) Bestem sannsynet for at ein tilfeldig vald elev i Vg har vald biologi. Sidan det er like mange elevar i dei to klassane, vil ¾ av alle elevane ha vald biologi. Sannsynet for at ein tilfeldig vald elev i Vg har vald biologi, blir da ¾ = 75 %. b) Bestem sannsynet for at ein tilfeldig vald elev i Vg som har vald biologi, går i klasse A. Innfører hendingane: B: Eleven har vald biologi A: Eleven går i klasse A Oppgåva spør derfor etter P( A B ). Vi får vidare: 1 P A B 1 3 1 4 P( A B) : 67 % PB 3 4 3 3 4 Oppgåve 11 (4 poeng) Ein funksjon f er gitt ved 4 3 f( x) x x a) Bestem den gjennomsnittlege vekstfarten til f i intervallet 1, 1. Må rekne ut følgjande: 4 3 f( 1) 1 1 1 5 4 3 f(1) 1 1 1 1 Den gjennomsnittlege vekstfarten er da lik stigingstalet a gjennom dei to punkta vi nettopp rekna ut. f f 1 1 1 5 4 a 1 1 1 1 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 5 av 17
b) Vis at (0, ) er eit terrassepunkt på grafen til f. 3 3 f '( x) 4x 3x 4x 6x x x 3 Den deriverte er altså null for x = 0 og x = 3. Testar så uttrykket 3 eller negativt svar: x x for x-verdiane 1, 1 og for å sjekke om vi får positivt x 1 : 1 ( 1) 3 3 ( 5) 10 0 x 1 : 1 1 3 3 ( 1) 0 x : 3 8 4 3 8 1 8 0 Vi teiknar forteiknsskjema (trengs eigentleg ikkje, vi har dei opplysningane vi treng, over): 0 0 Den deriverte skiftar ikkje forteikn rundt nullpunktet x = 0. Det tyder at x = 0 er eit terrassepunkt. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 6 av 17
Oppgåve 1 (5 poeng) Ein funksjon f er gitt ved 3 f( x) x 6x 1x 8 a) Bestem f'( x ). f '( x) 3x 6 x 1 3x 1x 1 3 x 4x 4 3 x (Den siste overgangen får vi av den andre kvadratsetningen.) b) Bestem likninga for tangenten til f i punktet 1, f (1). 3 f(1) 1 6 1 11 8 1 6 1 8 1 f '(1) 3 1 3 ( 1) 3 1 3 Bruker eittpunktsformelen for å finne tangentlikninga: y y a x x 1 1 y ( 1) 3 x 1 3x 3 y 3x 3 1 y 3x4 c) Har grafen til f éin eller fleire andre tangentar som er parallelle med tangenten du fann i oppgåve b)? Begrunn svaret ditt. Må løyse likninga f'( x) 3 for å sjå om det er fleire løysingar enn x = 1. 3x 1x 1 3 3x 1x 1 3 0 3x 1x 9 0 3 x 4x 3 0 x 4x 3 0 ( 4) ( 4) 4 1 3 4 16 1 4 x 4 4 x 3 x 1 Vi ser at det er éi løysing i tillegg til løysinga x = 1. Det er derfor éin tangent til som har same stigingstal som tangenten i b) og som dermed er parallell med tangenten i b). Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 7 av 17
Oppgåve 13 (3 poeng) Om trekantane ABC og DEF får du vite dette: B E 90 tanatand 5 1 AC DF Lag ei skisse som viser korleis trekantane kan sjå ut. Set mål på skissa. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 8 av 17
Oppgåve 14 (3 poeng) Den blå figuren ovanfor er teikna på eit rutenett. Rutene er kvadratiske med sider a. a) Bestem omkretsen av figuren uttrykt ved a. Kvar av dei blå «øyra» har omkrets lik omkretsen til ein sirkel med radius a. Omkretsen O blir derfor: O a 4a b) Bestem arealet av figuren uttrykt ved a. Kvar av dei blå «øyra» er 3/4 heil sirkel pluss ei rute minus ein fjerdedels sirkel). Dette gir at arealet A blir: 3 a 3 1 A a a a a a a 4 4 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 9 av 17
Tid: 3 timar Hjelpemiddel: Alle hjelpemiddel unntatt kommunikasjon Oppgåve 1 (8 poeng) Talet tusen artiklar i den engelske utgåva av Wikipedia x år etter 1. januar 00 er Tilnærma gitt ved funksjonen f der 3 f( x),34x 50x 19x 19,7, x 0, 15 a) Bruk grafteiknar til å teikne grafen til f for x 0, 15. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 10 av 17
Skreiv inn funksjonsuttrykket i algebrafeltet ved hjelp av kommandoen Funksjon. b) Bestem den gjennomsnittlege vekstfarten til funksjonen f i intervallet 0, 15. La inn punkta A og B for x = 0 og x =15 og brukte verktøyet "Linje" for å lage ei rett linje gjennom punkta. Sjå linja g på figuren over. Gjennomsnittleg vekstfart i intervallet 0, 15 er stigningstalet til linja, som er 35,5 tusen artiklar per år. c) Bestem f' x og teikn grafen til den deriverte for x 0, 15. f '( x),34 3x 50 x 19 7.0x 100x 19 Brukte kommandoen Derivert(f) for å få teikna f'( x ). Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 11 av 17
d) Bestem toppunktet til grafen du teikna i oppgåve c). Kva praktisk informasjon gir grafen til f ' og koordinatane til toppunktet på denne grafen oss? Brukte verktøyet Ekstremalpunkt på f'( x ) og fekk toppunktet C (7.1, 485.13), sjå figuren i oppgåve c). Grafen til f'( x ) seier kor mange tusen fleire artiklar det blei på Wikipedia per år etter x år. Toppunktet C seier at veksten i talet på artiklar var størst per år i starten av det sjuande året, dvs. i starten av 009, og da var veksten på 485 000 artiklar per år. Oppgåve (4 poeng) I ei eske ligg det tre kvite og ni raude julekuler. Éi av dei kvite og fire av dei raude kulene er øydelagde. Tenk deg at du skal ta to kuler tilfeldig frå eska. a) Bestem sannsynet for at du kjem til å ta to kuler som ikkje er øydelagde. Definerer følgjande hendingar: A: Første kule er ikkje øydelagd B: Andre kule er ikkje øydelagd Det er totalt 1 julekuler, og 5 av dei er øydelagde. Oppgåva spør etter sannsynet for at både A og B inntreffer. Vi får 1 P A B P A P B A 7 6 7 31,8% 1 11 b) Bestem sannsynet for at minst éi av kulene du kjem til å ta, er øydelagd. Dette er det motsette sannsynet av det vi fann i a). Vi får: 7 7 15 1 P A B 1 68,% Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 1 av 17
Oppgåve 3 (3 poeng) Magnus og Monika står på ei horisontal slette 100 m og 40 m frå foten av eit fjell. Dei måler vinklane som er gitte på figuren ovanfor. Bestem høgda h av fjellet. Brukte CAS i GeoGebra og fekk at høgda h = 61 m. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 13 av 17
Oppgåve 4 (4 poeng) Gitt firkanten ABCD ovanfor. AB 8, BC 1 og CD 8 3. a) Bestem omkretsen av firkanten ABCD eksakt. Bruker cosinussetningen på trekanten BCD. Vidare bruker vi sinussetningen på trekanten ABD: Finn at trekanten ABD er rettvinkla, og finn AD med tangens. Omkretsen blir 8 3 4. b) Bestem arealet av firkanten ABCD eksakt. Legg saman areala av dei to trekantane BCD og ABD. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 14 av 17
Oppgåve 5 (5 poeng) Ein funksjon f er gitt ved f( x) x 7x 3 a) Forklar at grafen til f har eit botnpunkt, og bestem koordinatane til botnpunktet. Grafen til f har eit botnpunkt fordi konstanten framfor andregradsleddet er positiv. Vi finn enklast koordinatane til botnpunktet med kommandoen Ekstremalpunkt med CAS: Koordinatane til botnpunktet er 7 5, 4 8 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 15 av 17
Ein funksjon g er gitt ved g( x) ax bx c, a 0 b) Bruk CAS til å vise at botnpunktet på grafen til g har koordinatar b 4, b ac. a 4a Sidan a > 0, veit vi at andregradsfunksjonen har eit botnpunkt. Botnpunktet står på linje 3 i CAS-biletet. Ei linje tangerer grafen til g i punktet Ss, g( s ). Ei anna linje tangerer grafen til g i punktet T t, g( t ). Dei to linjene skjer kvarandre i punktet P. Sjå figuren ovanfor. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 16 av 17
c) Bruk CAS til å vise at x - koordinaten til P ligg midt mellom s og t. Brukte eittpunktsformelen for å lage dei to tangentlinjene gjennom Ss, g( s) og T t, g( t ). Sette så inn middelverdien av s og t i formlane for dei to linjene og fekk same resultatet, sjå linje 6 og 7 i CAS-biletet. Da må skjeringspunktet P ha x- koordinat midt i mellom s og t. (Vi kunne også ha funne skjeringspunktet mellom h og i direkte med kommandoen Skjering.) Kjelder Oppgåvetekst med grafiske framstillingar og bilete: Utdanningsdirektoratet. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Hausten / Høsten 017 Side 17 av 17