Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: MAT-1005 Diskret matematikk Dato: 30.11.2018 Klokkeslett: 09:00-13:00 Sted: Teorifagbygget hus 1, Plan 2 og Plan 3 Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator; Rottmanns tabeller; To A4 ark egne notater (håndskrevne, trykte, eller blandede). Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: Telefon/mobil: 6 (1+5) Det er 14 deloppgaver (1, 2ab, 3abc, 4ab, 5ab, 6ab, 7ab) Andrei Prasolov 93 67 58 32 Vil det bli gått oppklaringsrunde i eksamenslokalet? Svar: JA Hvis JA: ca. kl. 10:45 NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladdepapir som del av eksamensbesvarelsen. Hvis det likevel leveres inn, vil kladdepapiret bli holdt tilbake og ikke bli sendt til sensur. Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no
Begrunn svarene dine, vis fremgangsmåten ved oppgaveløsningen tydelig! 1 OPPGAVE Bruk sannhetstabell til å sjekke om følgende logiske uttrykk er en tautologi: [(q r) (p q)] ( p r). 2 OPPGAVE a) Bruk Fermats Lille teorem til å vise at 2 20182018 mod 5 = 4, 2 20182018 mod 7 = 2, 2 20182018 mod 11 = 3. b) Bruk resultatet fra deloppgave a) og metoden i Kinesisk restteorem til å finne 2 20182018 mod 385. Resultatet skal være et helt tall x, 0 x 384. 1
3 OPPGAVE Kodeord skal lages fra alfabetet {a, b, c}. Det er ikke tillatt å ha to konsonanter etter hverandre, dvs. slike kombinasjoner bb, bc, cb, cc er forbudt. La x n være antallet tillatte kodeord av lengde n. a) Finn x 3 og x 4 ved hjelp av inklusjon-eksklusjonsprinsippet. Beregn antallet forbudte kodeord av lengde 3 og 4. For lengde 4, definer følgende mengder: A 1 = {xyzt}, A 2 = {zxyt}, A 3 = {ztxy}, der x og y er konsonanter, og z og t er vilkårlige bokstaver. Beregn deretter A 1 A 2 A 3 ved hjelp av inklusjon-eksklusjon. For lengde 3, løsningen er analogt (og enklere). b) Vis at x n tilfredsstiller rekurrensrelasjonen x n = x n 1 + 2x n 2, n 3. c) Løs rekurrensrelasjonen med startbetingelsene x 1 = 3 og x 2 = 5. 2
4 OPPGAVE En urettet graf Γ med hjørnene listet i rekkefølge {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k} er tegnet nedenfor: a b c d e g f h i j k a) Skriv ned nabomatrisen (adjacency matrix) til grafen. b) Finn en fargelegging (coloring) på grafen med 4 farger. Bevis at fargetallet χ (Γ) = 4, dvs. at det ikke finnes en fargelegging med 3 farger. 5 OPPGAVE a) Bruk Huffmannkoding til å finne en optimal koding av disse symbolene med tilhørende frekvenser: (a : 0.05), (b : 0.21), (c : 0.40), (d : 0.08), (e : 0.20), (f : 0.06). b) Regn ut gjennomsnittlig antall bit per bokstav som må til for å kode en tekst fra alfabetet {a, b, c, d, e, f} der hver bokstav har frekvens som ovenfor. 3
6 OPPGAVE En Boolsk funksjon i fire variabler, F (w, x, y, z), har output som nedenfor: w x y z F (w, x, y, z) w x y z F (w, x, y, z) 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 a) Lag Sum av produktutviklingen til F (w, x, y, z). b) Vis at F (w, x, y, z) = z + x y + w x ȳ ved å bruke Karnaugh maps, eller ved å bruke Quine-McCluskey algoritmen. 4
7 OPPGAVE La M være den ikke-deterministiske tilstandsmaskinen gitt ved der og M = (S, I, f, s 0, F ) S = {s 0, s 1, s 2, s 3 }, I = {0, 1}, f : S I P (S) er gitt i tabellen under. s 0 er starttilstanden og F = {s 3 } der s 3 er den eneste sluttilstanden. f 0 1 s 0 s 1 s 2 s 1 s 3 s 0 s 2 s 3 s 3 a) Tegn tilstandsdiagram for maskinen. b) Beskriv språket L (M) gjenkjent av maskinen. LYKKE TIL! 5
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: MAT-1005 Diskret matematikk Dato: 30.11.2018 Klokkeslett: 09:00-13:00 Stad: Teorifagbygget hus 1, Plan 2 og Plan 3 Lovlege hjelpemiddel: Godkjent kalkulator; Rottmanns tabeller; To A4 ark eigne notat (håndskrevne, trykte, eller blanda). Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: Telefon/mobil: 6 (1+5) Det er 14 deloppgåver (1, 2ab, 3abc, 4ab, 5ab, 6ab, 7ab) Andrei Prasolov 93 67 58 32 Skal det gåast trøysterunde i eksamenslokalet? Svar: JA Hvis JA: ca. kl. 10:45 NB! Det er ikkje lov å levere inn kladd saman med svaret. Om den likevel leverast inn, vil kladden verte halden attende og ikkje sendt til sensur. Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no
Grunngje svara dine, vis fremgangsmåten ved oppgåveløysinga tydeleg! 1 OPPGÅVE Bruk sanningstabell til å sjekka om følgjande logiske uttrykk er ein tautologi: [(q r) (p q)] ( p r). 2 OPPGÅVE a) Bruk Fermats Vesle teorem til å visa at 2 20182018 mod 5 = 4, 2 20182018 mod 7 = 2, 2 20182018 mod 11 = 3. b) Bruk resultatet frå deloppgåve a) og metoden i Kinesisk restteorem til å finna 2 20182018 mod 385. Resultatet skal vera eit heilt tal x, 0 x 384. 1
3 OPPGÅVE Kodeord skal lagast frå alfabetet {a, b, c}. Det er ikkje tillate å ha to konsonantar etter kvarandre, dvs. slike kombinasjonar bb, bc, cb, cc er forbode. La x n vera mengda tillatne kodeord av lengd n. a) Finn x 3 og x 4 ved hjelp av inklusjon-eksklusjonsprinsippet. Berekn mengda forbodne kodeord av lengd 3 og 4. For lengd 4, definer følgjande mengder: A 1 = {xyzt}, A 2 = {zxyt}, A 3 = {ztxy}, der x og y er konsonantar, og z og t er vilkårlege bokstavar. Berekn deretter A 1 A 2 A 3 ved hjelp av inklusjon-eksklusjon. For lengd 3, løysinga er analogt (og enklare). b) Vis at x n tilfredsstiller rekurrensrelasjonen x n = x n 1 + 2x n 2, n 3. c) Løys rekurrensrelasjonen med startvilkåra x 1 = 3 og x 2 = 5. 2
4 OPPGÅVE Ein uretta graf Γ med hjørna lista i rekkjefølgje {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k} er teikna nedanfor: a b c d e g f h i j k a) Skriv ned nabomatrisa (adjacency matrix) til grafen. b) Finn ein fargelegging (coloring) på grafen med 4 fargar. Bevis at fargetalet χ (Γ) = 4, dvs. at det ikkje finst ein fargelegging med 3 fargar. 5 OPPGÅVE a) Bruk Huffmannkoding til å finna ein optimal koding av desse symbola med tilhøyrande frekvensar: (a : 0.05), (b : 0.21), (c : 0.40), (d : 0.08), (e : 0.20), (f : 0.06). b) Rekn ut gjennomsnittleg talet bitar per bokstav som må til for å koda ei tekst frå alfabetet {a, b, c, d, e, f} der kvar bokstav har frekvens som ovanfor. 3
6 OPPGÅVE Ein Boolsk funksjon i fire variablar, F (w, x, y, z), har output som nedanfor: w x y z F (w, x, y, z) w x y z F (w, x, y, z) 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 a) Lag "Sum av produktutviklinga" til F (w, x, y, z). b) Vis at F (w, x, y, z) = z + x y + w x ȳ ved å bruka Karnaugh maps, eller ved å bruka Quine-McCluskey algoritmen. 4
7 OPPGÅVE La M vera den ikkje-deterministiske tilstandsmaskina gjeve ved der og M = (S, I, f, s 0, F ) S = {s 0, s 1, s 2, s 3 }, I = {0, 1}, f : S I P (S) er gjeven i tabellen under. s 0 er starttilstanden og F = {s 3 } der s 3 er den einaste sluttilstanden. f 0 1 s 0 s 1 s 2 s 1 s 3 s 0 s 2 s 3 s 3 a) Teikn tilstandsdiagram for maskina. b) Skildre språket L (M) kjent att av maskina. TIL LYKKE! 5