1. FLUIDSTATIKK I dette kapitlet blir begrepet kontinuerlige media introdusert, og karakteristiske egenskaper ved væsker og gasser, dvs. ved et fluid, blir diskutert. Newton's. lov for et kontinuerlig medie blir etablert, og vi utleder og diskuterer fluidstatikkens grunnlikning. Viktige resultater forøvrig er: trykkets isotropi (retningsuavhengighet), trykkraft på flater og på romlige legemer - herunder oppdrift - trykkfordeling ved gitt ytre feltkraft i inertialsystem og i akselererte systemer. Stoffet er berørt i Geankoplis, kapittel 1 og. 1.1 Kontinuerlige media - fast stoff, væske og gass Om vi først ser på materiens molekylære oppbygging og vekselvirkning, kan vi grovt sett skille mellom de tre fasene fast stoff, væske og gass som antydet i skissene nedenfor: Fast stoff: Væske: Gasser: sterke bindinger stasjonære molekyler fast volum og form svake bindinger molekylær bevegelse fast volum ingen bindinger (nesten) molekylær bevegelse fyller enhver beholder Den faste fasen er karakterisert ved molekyler med kraftige gjensidige bindinger i stasjonære posisjoner, gitterpunkter, eller mer korrekt; ved molekyler som utfører små svingninger omkring de permanente gitterpunktene. Væskefasen er karakterisert ved langt svakere intermolekylære bindinger som gir de individuelle molekyler, og grupper av molekyler, en stor grad av mobilitet. Væsken oppviser dessuten en fri overflate. I gassfasen er molekylene ideelt sett helt ubundet og derfor helt fri i sine individuelle bevegelser. Molekylenes uordnede bevegelse, eller termiske agitasjon, er derfor mye mer intens i en gass enn i en væske. Gassmolekylene kolliderer imidlertid med hverandre, og med systemets grenseflater, men varigheten av disse vekselvirkningene er meget kort i forhold til den tid et molekyl tilbringer i fri bevegelse mellom to kollisjoner. Det er innlysende at skillet mellom gass- og væskefasen gradvis vil forsvinne om en gass komprimeres mot det kritiske punkt hvor kondensasjon setter inn. Modellen for kontinuerlige media, eller kontinuumsmodellen, får vi om vi neglisjerer detaljene i den molekylære strukturen, men tar med kollektive virkninger av molekylær bevegelse, slike som trykk på flater, viskositet (friksjon), varmeledning og diffusjon. Dette betyr at selv om vi ser på svært små volum, selv et lite differensielt volum dxdyd, så regner vi med at det er svært mange molekyler i volumet: så mange at vi betrakter massen som kontinuerlig fordelt. Gyldigheten av kontinuumsmodellen er begrenset til tilfeller hvor midlere fri veilengde λ (et mål for et molekyl's tilbakelagte strekning mellom to kollisjoner) er liten i forhold til systemets makroskopiske utstrekning L. I luft av normaltilstand er λ 1-7 m, så betingelsen λ << L vil være svært godt oppfyllt for alle tenkelige makroskopiske systemer. I vakumsystemer derimot, og
langt oppe i atmosfæren, kan gassen bli så tynn at λ lett blir sammenliknbar med vanlige makroskopiske dimensjoner. Trykkraft på flater skyldes kollisjoner av fluid-molekyler mot flaten. Når vi regner med kontinuumsmodellen er antallet kollisjoner per tid så stort at vi kun ser på den kollektive virkningen: Kraft Flate = Trykk. Vi kan også dra sluttningene: Trykk virker på flater Trykk kan aldri bli negativt 1. Ideell gasslov - Tilstandslikning Fra elementær kinteisk teori kan trykket p i en ideell (monoatomisk) gass uttrykkes som pv = nrt (Geankoplis, likn. 1.4-1) der p = trykk, V = volum, n = antall mol gass = (vekt av gassen) Molmassen, T = temperatur og R er den universelle gasskonstanten: 8.3143 kg m s mol K. Det er vanlig i fluidmekanikken å omskrive tilstandslikningen slik at volumet V erstattes av massetettheten ρ ("density"): ρ= Masse nm V = V der M er molmassen. Innsatt i tilstandslikningen: R p =ρ T =ρrgasst M Tilstandslikning for ideell gass (1.1) R GASS blir da gasskonstanten per masseenhet, og vil opptre i vår versjon av tilstandslikningen. EKSEMPEL 1.1: Luft av normal sammensetning (78% N, 1% O, 1% Ar) M = (.78 8 +.1 3 +.1 4) 1-3 = 8.98 1-3 kgmol R LUFT = R M = 86.9 Jkg Væsker, og gasser i nærheten av kondensasjonspunktet har mer kompliserte tilstandslikninger enn (1.1) ovenfor. For strømningsmekaniske betraktninger har dette liten betydning, idet alle typiske væsker under rimelige trykkvariasjoner kan regnes å ha konstant tetthet; de er eksempler på inkompressible media: ρ konstant Tilstandslikning for væsker (1.)
3 Et viktig skille mellom væske og gass ligger altså her, i den mekaniske oppførselen når de utsettes for endringer i trykk. Dette kan uttrykkes ved en kompressibilitetsmodul 1 ρ K = ρ p (1.3) som vil være omtrent null for væsker, men av størrelse 1 ρr GASS T for gasser. 1.3 Flatekrefter og trykkets isotropi Det følger av det foregående at trykket alltid virker loddrett på en flate, hva enten dette er en fast begrensningsflate som veggen i en beholder, eller en tenkt begrensningsflate av et lite element, som i figuren nedenfor. g p n df = n p da da d) Konvensjonelt lar vi normalvektoren n alltid peke ut av et volum. Dermed vil trykkraften df virke i retningen til n. Trykkraften på hele legemet: dv d) 3 F = n p da TRYKK A Trykkraft på legeme (1.4) Masse : dm =ρdv d) Figur 1.1 Liten klump fluid Trykkets isotropi: Vi tenker oss nå at volumet i fig.1.1 er plukket ut midt inne i et fluid. Setter vi opp Newton's.lov for legemet må vi også ta med tyngdekraften og masse aksellerasjon: g dm= g ρdv og a dm= a ρdv Newton's.lov gir da: ρdv a = n pda + g ρdv alle flater Her er trykkraften skrevet som en sum av flatekrefter. La nå sidekantene d). Da vil leddene 3 som inneholder dv d) gå mot null før da d). Det betyr at i grensen d) vil tyngdekraften og masse aksellerasjon kunne sløyfes sammenliknet med trykkrefene. Da står vi igjen med betingelsen: = n pda alle flater (1.5)
4 Vi undersøker så innholdet av denne betingelsen på trykket for et enkelt tilfelle i planet. y p 1 dl 1 dl 1 dl 3 dl α p dl p 3 dl 3 Det rettvinklede trekantelementet har sidekanter dl 1, dl, dl 3 som, hvis vi tenker en lengdeenhet loddrett figurplanet, svarer til flater da 1 = dl 1 1 osv. Trykket på disse flatene er i utgangspunktet forskjellig; henholdsvis p 1, p og p 3. Bruker betingelsen (1.5) og setter opp trykkreftene dekomponert langs de viste x- og y-retningene: x-retn.: = p 1 dl 1 p 3 dl 3 sin α x y-retn.: = p dl p 3 dl 3 cos α Figur 1. Av figuren ses: dl 1 = dl 3 sin α og dl = dl 3 cos α som innsatt i gir x-retn.: = (p 1 p 3 ) dl 1 og y-retn.: = (p p 3 ) dl Men dette betyr at p 1 = p = p 3 = p. Trykket er altså det samme i ett og samme punkt (dl 1, dl, dl 3 ) uansett orienteringen av den flaten trykket virker på. Dette kalles isotropi (retningsuavhengighet) og er typisk for skalare størrelser (eksempelvis; temperatur, tetthet, konsentrasjon etc.) Resultatet ovenfor er kjent som Pascal's prinsipp. Dimensjonen av trykk må ifølge definisjonen være [kraft] [flate], og vi har derfor i SI-systemet = N kg 1Pa m = ms = [ p] Enheten for trykk i SI-systemet kalles Pascal, og forkortes Pa. En rimelig referanseverdi for trykk har vi i atmosfæretrykket under normale betingelser ved jordens overflate, p = 1.13 1 5. Standard atmosfæretrykk Dette viser at enheten Pascal og Nm er meget liten, og vi må for de fleste praktiske formål operere med mange tierpotenser når trykket skal angis tallmessig i SI-enheter. Det er derfor ofte mer praktisk å benytte overtrykk ("gage pressure") og undertrykk ("vacuum pressure") som er trykket målt i forhold til omgivelsestrykket. For å presisere at man ikke bruker over- eller undertrykk, kan man si absolutt trykk, dvs. trykk målt fra null.
5 1.4 Fluidstatikkens grunnlikning Vi betrakter et lite, men endelig, element av enkel rektangulær geometri utsatt for omgivelsenes trykk og tyngdens innvirkning. Elementet er tatt ut midt inne i et fluid som står stille. p(x, y, ) og ρ(x, y, ) g y y p p + y y x y y x Figur 1.3 Elementets senter har koordinatene (x, y, ) og trykket er i dette punktet p(x,y,) og tettheten er ρ(x,y,), også en funksjon av romkoordinatene i tilfelle kompressibelt fluid. På grunn av at elementets sideflater ligger i endelige avstander fra punktet (x, y, ) vil trykket på disse flatene avvike noe fra trykket i senteret slik figuren antyder for y-retningen. Ved å bruke Taylor-utvikling av funksjonen p(x,y,) omkring dette punktet får vi nemlig y y p(x, y ±,) = p(x, y,) ± + y og tilsvarende for de to andre akseretningene. Netto trykkraft på elementet i y-retningen blir derfor: y y Fy = p x p x x y y + = y y hvor den deriverte skal taes i punktet (x, y, ). Kreftene i x- og -retningene følger av samme skjema og blir, henholdsvis Fx = x y og F = x y x Den vektorielle kraften som skyldes trykket på elementets seks flater kan derfor skrives FTRYKK = i + j + k V x y (1.6) hvor vi har innført elementets volum V = x y. Minustegnet kan tilbakeføres til figuren og til de elementære komponentbidragene ovenfor: Hvis den ukjente trykkfunksjonen p(x,y,) øker i y- retning, y >, så får vi en netto negativ trykkraft i y-retning.
6 Det er altså endringen av trykket, x, y,, og ikke verdien på trykket selv som bestemmer netto trykkraft på et element. Høyresiden av likning (1.6) inneholder en karakteristisk vektor, avledet av skalaren p, som kalles gradienten til p og er definert ved grad p = p = i + j + k x y (1.7) Trykkraften på et element kan dermed skrives som df TRYKK = pdv Vi kan nå stille opp Newton's.lov for elementet, og får ρ dv a = pdv +ρdv g Statikk, i restriktiv forstand, har vi når akselerasjonen er lik null, og dette gir når vi forkorter vekk volumet: = p+ρ g Fluidstatikkens grunnlikning Likningen benyttes typisk til å finne trykket p som funksjon av romkoordinatene når feltkraften g (per masseenhet) er gitt, hvor g nå er å oppfatte som en generell feltkraft, ikke nødvendigvis rettet langs -aksen, og ikke nødvendigvis bare knyttet til jordens gravitasjonsfelt. Eksempelvis kunne g tenkes å inkludere både elektriske og magnetiske krefter, samt massekrefter frembragt ved akselerasjon av referansesystemet. Løsning og diskusjon av grunnlikningen Innholdet og anvendelsesmulighetene til fluidstatikkens grunnlikning kan best klargjøres gjennom enkle og dagligdagse eksempler på væsker og gasser som er i statisk likevekt. Vi betrakter først det alminnelige tilfellet av likevekt i tyngdefeltet, og tar så for oss mer spesifikke systemer. (1.8) EKSEMPEL 1.: Trykkfordeling i tyngdefeltet. Her er tyngdens akselerasjon eneste bidrag til g og vi har, idet vi lar -aksen peke oppover mot g 's retning: g = gk p( + d) Dekomponerer likning (1.8): g d p ρgd = = p= p() x y p og = ρ g Figur 1.4
7 Så x- og y-retningen viser at trykket avhenger kun av, slik at den siste komponentlikningen kan skrives med vanlig (total) derivert: dp d = ρg Fluidstatikk i tyngdefeltet (1.9) Før vi kan finne trykket må vi kjenne hvordan tettheten ρ varierer. EKSEMPEL 1.3: Trykk i isoterm atmosfære. Det er en brukbar tilnærmelse, innen visse begrensede høyder, å betrakte atmosfæren som en ideell gass med konstant temperatur T. Vi søker trykket som funksjon av høyden over bakken. Fra fluidstatikkens grunnlikning har vi dp = ρ g hvor nå ρ konstant. Tilstandslikningen for d ideell gass gir imidlertid her p =ρ RLUFTT og samlet får vi: dp g = d p R T LUFT Denne likningen kan integreres til p() = p e g RLUFTT (1.1) hvor p som vanlig er trykkets verdi ved jordoverflaten. Løsningen (1.1) viser at trykket minsker eksponentielt med høyden over bakken og at minskningen dessuten er bestemt av tallfaktoren gr LUFT T. Resultatet (1.1) kalles for barometerformelen, åpenbart fordi det kan benyttes til å overføre en barometermåling av trykket i en høyde over bakken til den korresponderende verdi p ved jordoverflaten. En bedre modell for trykkfordelingen i atmosfærens første 1-15 km kan oppnås ved å ta hensyn til at temperaturen normalt sett avtar monotont med høyden i dette området. Temperaturvariasjonen er dessuten meget nært lineær, slik at vi kan sette T() = T α, < 15 km og α er en konstant av størrelsesorden 1 - Km. Temperaturen har en nokså komplisert variasjon gjennom de nederste 6 km av atmosfæren. Realistiske modeller for trykkberegning må som regel baseres på kurvetilpassning av temperaturen, kombinert med bruk av fluidstatikk og tilstandslikning.
8 EKSEMPEL 1.4: Trykk i væske p Væsker er karakterisert ved at tettheten ρ er konstant, og integrasjonen av grunnlikningen blir spesielt enkel: Vi får generelt H h d da p = ρ g + C hvor integrasjonskonstanten fastlegges ved kravet p + ρgh Bredde = b p = p for = H Figur 1.5 svarende til det viste karet med væske til en høyde H over bunnen og vårt valgte origo ved dybden H. Det gir sammenhengen p() = p +ρg(h ) (1.11) som viser at trykket avtar lineært med høyden over karets bunn. Om vi innfører dybdekoordinaten h fra væskeoverflaten kan resultatet skrives p(h) = p +ρgh (1.1) som tilsvarende viser at trykket øker lineært med dybden fra overflaten og nedover i væsken. Karet er rektangulært med bredde b inn i papirplanet. Trykkraften på den høyre karveggen finner vi ved å integrere opp trykkfordelingen over arealet: H 1 FTRYKK = pda = ( p +ρg( H ) ) b d = pbh + ρgh b A (1.13) hvor retningen er loddrett på karveggen fra innsiden og utover. Leddet p bh er atmosfæretrykkets bidrag, og hvis det var netto trykkraft vi skulle finne, så må vi trekke fra dette fordi atmosfæretrykket virker på utsiden av karet også. Netto trykkraft på karveggen kan vi skrive som H FTRYKK =ρg bh Denne størrelsen kan tolkes som trykket midt på arealet ( = gjennomsnittstrykk) ganget med hele arealet. Kraften F TRYKK virker i senteret til den trekantformede trykkfordelingen, dvs. H3 over bunnen. Figur 1.6 H h F TRYKK ρgh
9 Om vi nå forlater karet i eksemplet ovenfor og isteden ser på et væskerom med mindre restriktiv dybdebegrensning, som for eksempel havet eller et vann, kan vi spørre etter dybden vi må ned under overflaten før trykket har endret seg signifikant, la oss si at en dobling av trykket. Vi søker da en dybde H slik at p(h) = p i likning (1.1) ovenfor. Det gir H p 1 Nm ρg 1kg m 1 m s 5 = = 3 1m når vi regner "litt romslig". Vi har derfor som typisk resultat at trykket øker med l atm. for hver 1m nedover i vannet. EKSEMPEL 1.5: Væskemanometer. Manometer er en innretning til å måle trykk med, for eksempel atmosfæretrykket p ved jordens overflate. Den hydrostatiske grunnlikningen (1.9) anvendt på manometervæsken av konstant tetthet ρ M gir generelt p() = C ρ M g (1.14) p Den fri overflaten i nivået 1 er utsatt for det søkte trykket p, mens overflaten ved = er eksponert for vakum (egentlig manometervæskens damptrykk ved den gitte temperaturen). Av likning (1.14) får vi da de to relasjonene p ρ M 1 p = p( 1 ) = C ρ M g 1 = p( ) = C ρ M g Figur 1.7 som samlet gir resultatet p = ρ M g ( 1 ) = ρ M gh Her er h manometerhøyden som kan avleses, og p blir dermed bestemt. For en manometervæske bestående av kvikksølv vil vi typisk ha tallverdiene ρ M =13.6 1 3 kgm og g = 9.86 ms => h =.76 m Standard atmosfæretrykket svarer altså til 76 mm kvikksølvhøyde. Atmosfæretrykket er sjelden akkurat likt standardverdien 1.13 1 5 Nm. Det vil oppvise små variasjoner (i tredje siffer) etter som vær og vind skifter mellom høytrykk og lavtrykk.
3 Oppdrift - Archimedes' lov sier at "Oppdriftskraft = vekten av fortrengt fluid". Ser først på et lite fluidelement plukket ut i et fluid som står stille. Da har vi balanse mellom trykkrefter og tyngdekraft. Fra likn. (1.8): = p dvolum +ρdvolum g der ρ dvolum = massen av elementet. Dette er egentlig Newton's 1.lov: summen av kreftene = for et legeme som står stille. Det første leddet er netto trykkraft på elementet, og det andre er tyngdekraften. Da kan vi skrive Netto trykkraft = Oppdrift = mg for elementet. Trykkraften skyldes trykket i fluidet rundt legemet (elementet), og forblir uendret om vi nå bytter ut fluidelementet vårt med et virkelig legeme med f.eks tetthet ρ'. Så oppdriftskraften er den samme for et gitt legeme (med gitt volum), uavhengig av hva legemet består av. Nå har vi imidlertid ikke nødvendigvis balanse mellom tyngdekraft og oppdrift, så vi må bruke Newton's.lov: m'a = mg+ m'g der m' = ρ' dvolum = massen av elementet. Den samme relasjonen får vi også for større legemer, ikke bare på et differensielt element. EKSEMPEL 1.6: Oppdrift. Et liters oljefat med massen m = kg er festet til havbunnen. Finn snorkraften S. Fatet står stille, så summen av kreftene er null. Velger positiv retning opp: g Figur 1.8 Oppdrift S mg = Oppdrift mg S Oppdriftskraften = tyngden til liter vann: VANN ( ) S = liter ρ g mg =. m 998kg m kg 9.81m s = 176N 3 3 EKSEMPEL 1.7: Oppdrift, flytende legeme. Undersøk riktigheten av utsagnet: "Bare 1% av isfjellet vises". Hele isfjellet har volum V mens volumet under vannoverflaten er V U. Siden isfjellet ligger stille har vi balanse mellom oppdrift og tyngdekraft, men her blir oppdriften kun "vekten av det fortrengte fluid", dvs. vekten av vannvolumet V U. Figur 1.9 Bruker tetthet for ren is og sjøvann:
31 V ρ 9 kg m =ρ V g ρ V g = = 88% 3 U IS VANN U IS 3 V ρvann 15kg m Altså vises ca. 1% av isfjellet. 1.5 Likevekt i relativt system - Kvasistatikk Fluidstatikkens grunnlikning (1.8) ble formulert ut fra kravet om null akselerasjon på et element sett fra et inertialsystem. Det finnes mindre restriktive tilstander, hvor spesielle typer akselerasjon er tillatt, som likevel kan betraktes som statiske i utvidet forstand. Går vi tilbake til den generelle sammenhengen mellom akselerasjonene i det absolutte og det relative system, kap..5, så har vi O Absolutt Relativt θ ( ) ( ) aabs = a + r rθ er + rθ+ rθe θ der a ABS = absolutt akselerasjon, a = akselerasjonen langs en rett linje til det relative systemet, θ = vinkelhastighet til det relative systemet. Figur 1.1 Ideen er nå at hele fluidsystemet er i akselerasjon, og at det relative aksesystemet er bundet til denne akselerasjonen. Vi definerer da statikk i utvidet forstand, eller kvasistatikk, ved kravet v = og θ = RELATIV altså null relativ hastighet og konstant vinkelhastighet. Null relativ hastighet betyr at naboelementer ikke "glir mot hverandre" (r = konst.), og θ=ω= betyr at stasjonære forhold har inntrådt overalt i fluidet. Vi står da igjen med en mulig akselerasjon av typen a = a rθ e ABS r altså translasjon pluss sentripetalakselerasjon. Effektene må imidlertid opptre separat og hver for seg for at den kvasistatiske situasjonen skal være mulig. Newton's.lov anvendt på et fluidelement gir da p g a enten = +ρ[ ] eller = +ρ + θ p g r e r alt etter hvilken effekt som opptrer. Det er imidlertid et fundamentalt poeng for begge effekter at de, slik de opptrer for en observatør i det akselererte systemet, ikke lar seg skille fra feltkraften g. Derav skrivemåten av likningene ovenfor. Hakeparantesene kan da betraktes som en justert tyngdekraft g EFFEKTIV.
3 EKSEMPEL 1.8: Akselerert kar. Finn væsketrykket p(x, ). g x Figur 1.11 p x = +ρ g x-komp: = +ρ[ a ] -komp: [ ] a Vi betrakter nå et kar med væske utsatt for konstant translatorisk akselerasjon a i positiv horisontalretning, slik at vi har tilfellet = p+ρ g a [ ] Likningen beskriver da den kvasistatiske likevekten, og den gir følgende to komponentlikninger: Integrasjon av den første av disse likningene gir p = ρ ax + F() (Husk: partiell-derivert, så integrasjons-"konstanten" F = F() ) og innsetting i den andre likningen bestemmer så funksjonen F(): df = ( ρ ax + F() ) = = ρg F= ρ g+ C d der C nå er en vanlig integrasjonskonstant som bestemmes ved grensebetingelsen p = p for x = og = : p(, ) = ρa ρ g + C = p C = p +ρg p(x,) = p ρ a x +ρg ( ) Trykket i væsken avtar framover i x-retningen og avtar oppover i -retningen. Den fri væskeoverflaten kan vi nå finne formen på ved å kreve at p(x, ) = p : a g = x Dette svarer til en rett linje i x-planet med helning a g i overenstemmelse med figuren.
33 EKSEMPEL 1.9: Roterende kar med væske ρ = konst. Finn trykket p(r, ). p ω Vi betrakter her et sirkulær-sylindrisk kar med væske som roterer med konstant vinkelhastighet ω om sin vertikale akse, slik at vi har tilfellet g r = +ρ + θ p g r e r der sentrifugalakselerasjonen nå kan skrives som rω. Figur 1.1 Dekomponerer grunnlikningen: r-komp: = +ρω r r -komp: = ρg Samme problemstilling som i forrige eksempel; to partielle diff.likninger som begge inneholder den samme ukjente funksjonen p. Bruker en annen løsningsmetode her: Integrerer begge likningene: 1 r-komp: -komp: p = ρ g + G(r) p =ρ r ω + F() Her skal begge uttrykkene for p være gyldig. Da må funksjonen F() være leddet ρg mens funksjonen G(r) må være ρr ω. Totalt: 1 p = ρr ω ρ g+ C der C er en vanlig integrasjonskonstant. La oss innføre minste høyde av væskespeilet over karets bunn, som nødvendigvis må opptre ved rotasjonsaksen r =. Da har vi randkravet p(, ) = p som bestemmer konstanten C: p = ρ g + C C = p +ρg Løsningen kan dermed skrives 1 p(r,) = p + ρr ω +ρg ( )
34 Likningen for den roterende væskens fri overflate kan til slutt finnes ved å forlange at trykket p(r,) skal være konstant lik p ; da må vi nødvendigvis befinne oss i væsken, men helt i overflaten. Det gir relasjonen r ω = + g som fremstiller en. grads parabel i r-planet; dvs. en paraboloide i rommet. Overflatens helning er gitt ved d rω = dr g som betyr at ved en typisk sentrifuge ( ω r» g ) vil væskeoverflaten være praktisk talt vertikal bortsett fra ved aksen r.