Relasjoner En relasjon R på en mengde A er en delmengde av produktmengden A A. La R være en relasjon på en mengde A. R er refleksiv hvis ( a, a) R for alle a A. R er symmetrisk hvis ( a, b) R, så er ( b, a) R. R er antisymmetrisk hvis a b og a, b) R (, så er b, a) R (. R er transitiv hvis ( a, b) R og b, c) R (, så er a, c) R (. Ekvivalensrelasjoner En relasjon R på en mengde A er en Ekvivalensrelasjon hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv. 1
Eksempel 2 Gitt relasjonen R på A der A er heltallene og R = {(a, b) a + b er et partall} Vi skal avgjøre om R er en ekvivalensrelasjon ved å resonnere oss frem til svaret, dvs. uten å tegne opp grafen eller skrive opp matrisen. Er R refleksiv? Ja, fordi a + a = 2a er et partall. Er R symmetrisk? Ja, fordi hvis a + b er et partall må b + a være et partall siden a + b = b + a. Er R transitiv? Ja. Begrunnelse: La (a, b) R og (b, c) R, dvs. a + b er et partall og b + c er et partall. Vi må vise at (a, c) R, dvs. at a + c er et partall. Summen av to partall er et partall og da får vi at (a + b) + (b + c) = 2x a + c + 2b = 2x a + c = 2x 2b = 2(x-b). Vi ser at a + c et partall, dvs. (a, c) R og følgelig er R transitiv. Siden R både er refleksiv, symmetrisk og transitiv er R en ekvivalensrelasjon. Eksempel 3 La A være mengde av alle hele tall og la R = {(a, b) a b (mod 5)}. Dette betyr at a og b er ledd i samme aritmetiske tallfølge med differanse lik 5 mellom hver ledd. (Alle leddene i en aritmetisk tallfølge er kongruente med hverandre). Husk at a b (mod 5) hvis 5 går opp i a b. Det betyr også at a mod 5 = b mod 5. Er R refleksiv? Ja, fordi at a a (mod 5) Er R symmetrisk? Ja, fordi hvis a b (mod 5) så er b a (mod 5) Er R transitiv? Ja, fordi hvis a b (mod 5) og b c (mod 5), så a c (mod 5). (a mod 5 = b mod 5 = c mod 5) (a, b og c er alle ledd i den samme aritmetiske tallfølgen. 2
Ekvivalensklasser La R være en ekvivalensrelasjon på en mengde A. La a A. Ekvivalensklassen til a betegnes som [a] R og er beskrevet som følgende delmengde av A: [a] R = { b A (a, b) R } Hvis (a, b) er et verdipar i R er ekvivalensklassen til a mengden av alle andrekoordinater i verdipar der a er førstkoordinat. Eksempel 2 La A være heltallene og R = {(a, b) a b(mod 5)} Vi får da følgende ekvivalensklasser: [0] R = {, -10, -5, 0, 5, 10, 15,.} [1] R = {, -9, -4, 1, 6, 11, 16,.} [2] R = {, -8, -3, 2, 7, 12, 17,.} [3] R = {, -7, -2, 3, 8, 13, 18,.} [4] R = {, -6, -1, 4, 9, 14, 19,.} Vi får at [5] R =[0] R, [6] R =[1] R, [7] R =[2] R, [8] R =[3] R, [9] R =[4] R, [10] R =[0] R osv. [0] R [1] R [2] R [3] R [4] R = A [0] R [1] R = Ø, [1] R [2] R = Ø osv. Partisjoner (oppdelinger) Gitt en mengde A, og delmengdene A 1 og A 2, der A 1 A 2 = A A 1 A 2 = Ø dvs. at A 1 og A 2 utgjør til sammen hele A, samt at A 1 og A 2 disjunkte mengder uten felles elementer. Vi sier da et A 1 og A 2 utgjør en partisjon av A. Et annet ord for partisjon er oppdeling. 3
Eksempel La A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, der A 1 = {1, 3, 5, 7, 9}, dvs. mengde av oddetallene i A A 2 = {2, 4, 6, 8, 10} dvs. mengde av partallene i A A 1 A 2 = A A 1 A 2 = Ø, dvs. A 1 og A 2 er disjunkte mengder uten felles elementer. Delmengdene A 1 og A 2 utgjør en partisjon av A. En partisjon (oppdeling) En samling delmengder A 1, A 2, A 3,..., A n av en mengde A utgjør en partisjon av A hvis A A A... A 1 2 3 n A og A i A j Ø for alle i j. 4
Setninger 1. La R være en ekvivalensrelasjon på en mengde A. Da vil ekvivalensklassene til R utgjøre en partisjon av A. 2. Omvendt: Gitt en partisjon av en mengde A. Da definerer den en ekvivalensrelasjon R på A ved at alle elementene i hver delmengde i partisjonen relateres til hverandre og seg selv. 5
Eksempel La A = { a, b, c, d, e, f, g }. La A 1 = {a, b, c}, A 2 = {d, e} og A 3 = {f, g} Vi ser at A 1 A 2 A 3 = A og at A 1 A 2 A 3 = Ø. Dette definerer følgende ekvivalensrelasjon: R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b), (d, d), (e, e), (d, e), (e, d), (f, f), (g, g), (f, g), (g, f)} Partielle ordninger Delvise ordninger En relasjon R på en mengde A kalles en partiell ordning eller en delvis ordning hvis den er refleksiv, antisymmetrisk og transitiv. Mengden A sies da å være delvis ordnet med hensyn på R. (A er da en «poset» - partially ordened set). Eksempel 1 La A være heltallene og R = {(a, b) a b} 6
R er refleksiv, siden a a. R er antisymmetrisk fordi hvis a b og a b så er b > a. Dvs. Hvis (a, b) R og a b så (b, a) R. R er transitiv fordi hvis a b og b c, så er a c. Det betyr at R er en partiell ordning, også kalt den delvis ordning. Partielle ordninger Delvise ordninger En relasjon R på en mengde A kalles en partiell ordning eller en delvis ordning hvis den er refleksiv, antisymmetrisk og transitiv. Mengden A sies da å være delvis ordnet med hensyn på R. (A er da en «poset» - partially ordened set). Eksempel 1 La A være heltallene og R = {(a, b) a b} R er refleksiv, siden a a. R er antisymmetrisk fordi hvis a b og a b så er b > a. Dvs. Hvis (a, b) R og a b så (b, a) R. R er transitiv fordi hvis a b og b c, så er a c. R en partiell ordning fordi den er refleksiv, antisymmetrisk og transitiv, også kalt en delvis ordning. Sammenlignbarhet Hvis (a, b) R eller (b, a) R, sier vi at a og b er sammenlignbare (comparable). Eksempel La a = {1, 2, 3, 4, 5, 12, 20} R = {(a, b) a går opp i b} 4 og 12 er sammenlignbare fordi (4, 12) R. 4 og 5 er ikke sammenlignbare fordi (4, 5) R. 7
En totalordnet mengde Hvis alle elementene i A er sammenlignbare med hverandre, sier vi at A er totalordnet. Eksempel La A være mengden av alle hele tall og R = {(a, b) a b}. A er totalordnet fordi hvis vi velger to vilkårlige elementer i A, så er enten a b eller b a. Ordning og ulikhet Vi bruker symbolene og som abstrakte ulikhetstegn. Vi skriver a b hvis (a, b) R. a b hvis (a, b) R og a b Vi sier også at a er «mindre enn» hvis a b og at a er «mindre eller lik b» hvis a b. Leksikografisk ordning La A1 og A2 være to mengder som er delvis ordnet. Da definerer følgende ordning produktmengden i A1xA2: (a1, a2) (b1, b2) hvis (a1 b1 eller (a1 = b1 og a2 b2)) 8