Eksamen 1T, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (1 poeng) En rett linje har stigningstall. Linjen skjærer x aksen i punktet 3,0. Bestem likningen for linjen. Bruker ettpunktsformelen y y ax x der, til linjen. Likningen for linjen blir 1 1 y 0 x 3 y x 6 x y er et punkt på linja og a er stigningstallet 1 1 Oppgave (1 poeng) Løs likningen lg x 3 1 Vi vet at lg10 1. Det må bety at 7 x 3 10 x 7 x 3,5 Oppgave 3 (1 poeng) Skriv så enkelt som mulig ( x) x 3 5 1 x 3 3 31 6 6 x x x x x = 5 1 53 x 4 Oppgave 4 ( poeng) Skriv så enkelt som mulig x 6x9 x 9 x3 x3 x3 x3 x 3 x 3 Bruker 1. kvadratsetning i teller og konjugatsetningen i nevneren. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T høsten 01 LØSNING Side 1 av 14
Oppgave 5 (1 poeng) Skriv så enkelt som mulig 8 8 8 8 8 16 8 8 8 18 Oppgave 6 (5 poeng) Funksjonen f er gitt ved f x x x 3 a) Bestem nullpunktene til f ved regning. Bruker abc formelen og finner nullpunktene. f x 0 41 3 x 1 16 x x 3 x 1 1 b) Begrunn at grafen til f har et bunnpunkt, og bestem koordinatene til bunnpunktet ved regning. Finner x koordinaten til bunnpunktet ved å bruke symmetrilinja, Finner y verdien til bunnpunktet: Ser at for eksempel bunnpunkt i 1, 4 0 3 f 1 1 1 3 4 x 1. f. Det betyr at grafen stiger fra x 1 til x 0, altså har vi et c) Skisser grafen til f i et koordinatsystem. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T høsten 01 LØSNING Side av 14
Oppgave 7 ( poeng) Løs likningen x x x x 5 3 5 7 0 x x x x x x x x x x x x 5 3 5 7 0 5 3 7 0 5 3 7 0 5 4 0 x 5 0 x 4 0 x 5 x 4 Oppgave 8 (4 poeng) I klasse 1A er det 5 elever. 1 av elevene har valgt fysikk neste skoleår. 14 av elevene har valgt biologi. 4 elever har verken valgt fysikk eller biologi. a) Systematiser opplysningene ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram. Krysstabell: Fysikk Ikke fysikk Sum Biologi 5 9 14 Ikke biologi 7 4 11 Sum 1 13 5 Vi velger tilfeldig en elev fra klassen. b) Bestem sannsynligheten for at eleven har valgt både fysikk og biologi. Vi ser ut fra tabellen at det er 5 elever som har valgt både fysikk og biologi. Sannsynligheten for at en tilfeldig elev har dette valget blir Vi velger tilfeldig en elev som har valgt biologi. c) Bestem sannsynligheten for at eleven også har valgt fysikk. Vi har nå 14 elever å velge fra. 5 1 0,0 5 5 Sannsynligheten for at denne eleven også har valgt fysikk blir dermed 5 14 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T høsten 01 LØSNING Side 3 av 14
Oppgave 9 (4 poeng) Gitt ABC ovenfor. a) Bestem sina og cos A når a 1, b 13 og c 5. a 1 sina og b 13 c 5 cos A b 13 b) Vis at A A (sin ) cos 1 når a 1, b 13 og c 5. 1 5 144 5 169 (sin A) cos A 1 13 13 169 169 169 c) Vis at A A (sin ) cos 1 for alle trekanter ABC der B 90. a c a c a c (sin A) cos A 1, da Pytagoras gir at b a c b b b b b Oppgave 10 (3 poeng) Figuren ovenfor viser en sirkel som er innskrevet i et kvadrat. AC 4 Vis at arealet av det blå området på figuren ovenfor er 8 Setter sidekanten lik s. Pytagoras gir s s s 4 8 s Arealet av hele kvadratet blir 8 8 8 8 8 Arealet av sirkelen blir r 4 Arealet av det blå området blir 8 8 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T høsten 01 LØSNING Side 4 av 14
Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 (3 poeng) Formelen nedenfor brukes for å regne ut den totale motstanden R i en parallellkobling med to motstander R 1 og R 1 1 1 R R R 1 a) Bestem R når R 1 5 og R 7 1 1 1 Løste likningen ved hjelp av CAS-verktøyet i GeoGebra. R 5 7 Brukte kommandoen, Løs[ <Likning>, <Variabel> ] Vi finner at R 35 1 b) Vis at dersom R R 1, vil R R 1 3 1 1 1 Løser likningen ved hjelp av CAS-verktøyet i GeoGebra. R R R 1 1 Brukte kommandoen, Løs[ <Likning>, <Variabel> ] Vi har dermed vist at R R1 når R R 1 3 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T høsten 01 LØSNING Side 5 av 14
Oppgave (7 poeng) Funksjonen f er gitt ved 3 f x x x 5x 6, x a) Tegn grafen til f. Grafen til f er tegnet i GeoGebra. b) Bestem tangenten til grafen til f i punktet 1, 1 f ved regning. Tegn tangenten i samme koordinatsystem som du brukte i a). Vi fant først koordinatene til punktet 1, f 1 punktet og til slutt ble disse punktene brukt i ettpunktsformelen. f 1, f 1 1, 0 3 1 1 1 51 6 1 5 6 0 f x x x 3 4 5 a f y y a x x 1 1 1 3 1 4 1 5 3 4 5 6 y 0 6 x1. Deretter fant vi stigningstallet a til tangenten i y 6x 6 Tangenten er tegnet inn i koordinatsystemet i a) Eksamen MAT1013 Matematikk 1T høsten 01 LØSNING Side 6 av 14
c) Grafen til f har to tangenter med stigningstall. Bestem likningene for disse to tangentene. Vi fant først x -koordinatene til disse to punktene. Deretter satte vi inn punktene i GeoGebra og fant tangenter ved å bruke kommandoen «Tangenter». 3 x f '( x) for disse x - verdiene er stigningstallet til tangentene lik 4x 5 Brukte CAS i GeoGebra for å løse denne andregradsligningen: Tegnet tangentene i GeoGebra 7 7 La inn tangeringspunktene 1, f1 1, 8 og, f.33, 3,85 og brukte 3 3 kommandoen Tangenter i GeoGebra for å tegne tangentene. Likningene for disse to tangentene er y x 10 og y x 8,5 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T høsten 01 LØSNING Side 7 av 14
Oppgave 3 (4 poeng) Gitt ABC ovenfor. a) Bestem vinkelen ved regning. Trekanten er likebeint. Normalen fra AB gjennom C, dvs. høyden fra C ned på AB, deler da AB på midten. Vi kan da sette 4 cos 11 4 arccos 11 68,7 b) Bestem høyden h ved regning. Bruker Pytagoras' læresetning og finner h 4 11 h h 10, 11 4 Vi kunne også ha brukt sinus for å finne høyden. h sin68,7 11 h 11sin68,7 h 10, Eksamen MAT1013 Matematikk 1T høsten 01 LØSNING Side 8 av 14
Oppgave 4 (6 poeng) 60 % av bilistene som parkerer på en parkeringsplass, betaler med kort. Resten betaler med kontanter. a) Bestem sannsynligheten for at de 10 første bilistene som parkerer på parkeringsplassen en dag, betaler med kort. Sannsynligheten for at de 10 første betaler med kort blir 10 0,6 0,006 dvs. 0,6 %. Alternativ løsning: Problemstillingen kan anses som en binomisk forsøksrekke der hver bilist er et delforsøk med p 0,6. Bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra: Svar: sannsynligheten for at de 10 første bilistene betaler med kort er cirka 0,006 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T høsten 01 LØSNING Side 9 av 14
b) Bestem sannsynligheten for at nøyaktig 10 av de 0 første bilistene som parkerer på parkeringsplassen en dag, betaler med kort. Bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra n0 og k 10 Sannsynligheten for at nøyaktig 10 av de 0 første bilistene betaler med kort er 0,117, dvs. 11,7 %. c) Bestem sannsynligheten for at mer enn halvparten av de 50 første bilistene som parkerer på parkeringsplassen en dag, betaler med kort. Mer enn halvparten av 50 bilister blir fra og med 6 til og med 50. Bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra: Sannsynligheten for at mer enn halvparten av de 50 første bilistene betaler med kort er 0,90, dvs. 90, % Eksamen MAT1013 Matematikk 1T høsten 01 LØSNING Side 10 av 14
Oppgave 5 (4 poeng) Petter har satt opp tabellen nedenfor. Han tror han har funnet et mønster. n 1 3 4 5 n 1 4 9 16 5 a) Velg to etterfølgende hele tall, og vis ved et eksempel at Petters antagelse er riktig for tallene du har valgt. Vi velger tallene 1 og. 1 1 4 4 Antakelsen til Petter stemmer for tallene 1 og. b) Formuler Petters antagelse for to etterfølgende hele tall n og n 1 og vis at den er riktig. Velger tallene n og n 1. Petters antakelse blir: 1 1 n n n n Viser dette ved å regne ut venstre side i likningen ovenfor. 1 1 1 n n n n n n (Brukte 1. kvadratsetning). Venstre side i likning er lik høyre side. Dermed har vi vist at antakelsen er riktig for tallene n og n 1. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T høsten 01 LØSNING Side 11 av 14
Oppgave 6 (6 poeng) Gitt ABC ovenfor. AB 5 og AC BC 8,0. a) Bestem lengden av BC ved regning. Vi bruker Pytagoras læresetning for å finne lengden av BC. 5,0 x 8,0 x Løser likningen ved å bruke CAS i GeoGebra. Lengden av BC er,4 I DEF er D 30, DE 5,0 og DF EF 8,0. b) Bestem lengden av EF ved regning. Lager en skisse i GeoGebra først. Setter EF x. Cosinussetningen gir x x x 5,0 (8,0 ) 5,0 (8,0 ) cos30 Bruker CAS-verktøyet i GeoGebra og får at EF x,7. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T høsten 01 LØSNING Side 1 av 14
c) Bestem E ved regning. Bruker sinussetningen og setter opp likningen sine sind DF EF sine sin30 8,0,7,7 Løser i CAS-verktøyet i GeoGebra E 79 Oppgave 7 (6 poeng) En kasse har en kvadratisk grunnflate (bunn) med side x dm. Høyden i kassen er h dm. Kassen har ikke lokk. Høyden av kassen og omkretsen av grunnflaten er til sammen 30 dm. a) Forklar hvorfor 0 x 7,5 Både sidekantene x og høyden h må være positivt tall i en praktisk oppgave. Oppgaveteksten gir at 4xh 30,0 Høyden må være større enn 0. Det gir 30,0 4x 0 4x 30,0 x 7,5 Det betyr at 0 x 7,5 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T høsten 01 LØSNING Side 13 av 14
b) Vis at overflaten av kassen kan uttrykkes ved funksjonen O gitt ved O x 15x 10x Setter opp et uttrykk for overflaten uttrykt som en sum av grunnflaten og 4 sideflater. (Begrensningene i a) gjelder) O x x 4 x h x 4 x 30,0 4x x 10x 16x 15x 10 x c) Bestem x slik at kassen får størst mulig overflate. Hvor stor er overflaten da? Løser grafisk i GeoGebra. Tegner inn funksjonen i sitt definisjonsområde og bruker kommandoen ekstremalpunkt. Får da den største overflaten for x 4. Da er overflaten O 40 dm. Eksamen MAT1013 Matematikk 1T høsten 01 LØSNING Side 14 av 14