DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for ata- og elektroteknikk Eksamen i ELE620, Systemientikasjon (10 sp) Dato: Manag 15 esember 2014 Lenge på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemiler: Kun stanar enkel kalkulator, Citizen SR-270X, HP30S, Casio FX82 eller TI-30. Bokmål Utkast me løsningsforslag, 15. esember 2014. Merknaer: Max oppnåelige poeng er gitt for hver oppgave, totalt kan en få 100 poeng. Me 240 minutt totalt kan en fornuftig tisbruk være å bruke ca 10 minutt for hver 5 poeng, a har en 20 minutt til pauser og 20 minutt ekstra. Merk at oppgavene eller eloppgavene ikke er sortert etter forventet vanskelighetsgra. Oppgavesettet er på 3 oppgaver, i tillegg er et me noen nyttige formler i el 4 sie 7. Oppgavesettet er totalt 7 sier (inkluert enne forsia).
1 Substitusjonsregel (Antall poeng for enne oppgaven er 25) Diskretisering av en kontinuerlig transferfunksjon, h(s), kan gjøres eksakt me formel 4.1. Dette gir fort mye regning, et er erfor også utviklet enklere metoer er eksakt iskretisering gjøres ve substitusjon. En slik substitusjonsmetoe er Eulers forovermetoe basert på approksimasjon av en eriverte for en kontinuerlig funksjon. 1.a. Ta utganspunkt i forover-approksimasjonen av en eriverte og utle substitusjonsregelen for Eulers framovermetoe ve å se på en enkle integrator. Kapittel 3.3.2 i notat1 (versjon 2014) forklarer hvoran en eriverte kan approksimeres og viere utlees Eulers forovermetoe i kapittel 3.3.3. 1.b. Diskretiser følgene system me Eulers framovermetoe. ẋ = log(x) + 0.8u (1.1) Utgangspunktet for EF er også i kapittel 3.3.2 ligning 3.12. Denne ligningen kan også ses ut fra en gur er en eriverte kan nnes me å gå et steg framover, som i gur 7 i samme el av notatet. ẋ(k) 1 T ( x(k + 1) x(k) ) (1.2) som gir x(k + 1) = x(k) + T ẋ(k) (1.3) og me en eriverte gitt som over får en x(k + 1) = x(k) + T log(x(k)) + 0.8T u(k) (1.4) 2
2 Ståene penel (Antall poeng for enne oppgaven er 25) Skissen til høyre viser en ståene penel som skal balanseres ve hjelp av en motor som gir et moment. Penelen er ei lett, antas masseløs, stiv stang me ei tung kule i enen, masse er m kg. Penelstangen har lenge L m. Penelstangens vinkelutslag fra lolinjen er θ ra. Penelen er neerst festa til aksen på motoren. Motoren gir et moment til penelen, ette momentet er påraget u Nm. Motoren er tenkt som en syliner me en liten tapp ut langs hoveaksen, en blir erfor tegnet som et rektangel fra sien og som en sirkel forfra. Gravitasjonskonstanten er g. I tilstansrommoell for penelen har en x 1 = θ og x 2 = t θ = θ. Det er posisjonen (vinkelen) som måles. Fra sien. 7 m motor Forfra. Lolinjen 7 m θ L u For penelen har en utfra ganske enkel fysikk at moellen kan skrives ml 2 θ = mgl sin θ + u (2.1) 2.a. Utvikle en kontinuerlige tilstansrommoellen for systemet. Ikke ta me støyle her. Fra moellligningen får en ganske irekte systemligningene og måleligningen er gitt i oppgaven. Kontinuerlig tilstansrommoell er a ẋ 1 = x 2 (2.2) ẋ 2 = g L sin x 1 + 1 ml 2 u y = x 1 2.b. Utvikle en iskret tilstansrommoell som svarer til Euler-forover-iskretiseringen av en kontinuerlige moellen. Tissteget er T s. I en iskrete moellen tas me støyle. Prosesstøy kan for eksempel tenkes å være vinpust, 3
mens målestøy er tilfelige feil i posisjon- eller vinkelmålingen. Begge støyene moelleres som hvit støy. Hvorfor kan u her ikke skrive moellen på matriseform. Euler-forover-iskretisering, og når en også tar me støyle, gir en iskrete tilstansrommoellen x 1 (k + 1) = x 1 (k) + T x 2 (k) + v 1 (k) f 1 ( ) (2.3) x 2 (k + 1) = x 2 (k) + T g L sin(x 1(k)) + T ml u(k) + v 2(k) f 2 2 ( ) y(k) = x 1 (k) + w(k) g( ) Legg merke til at moellen ikke kan skrives på matriseform, x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k) + Ωv(k) sien en ikke er lineær. Viere, for e neste eloppgavene, velger en for enne moellen å bruke et fast arbeispunkt, nemlig (x1 ) x A = A 0 =. (2.4) (x 2 ) A 0 Altså i arbeispunktet er penelen i ro i topposisjonen. 2.c. Hva blir en iskrete tilstansrommoellen når en nå lineariserer omkring arbeispunktet? Me linearisering i arbeispunktet får en Φ = f x A er x = x1 x 2 f1 ( ), f = f 2 ( ) (2.5) Merk at en ikke trenger å linearisere for å nne Γ selv om en skulle ha ulineære forhol for påragene, Kalman-lteret kan nemlig bruke e ulineære funksjonene f fra (2.3) irekte ve utregning av x(k). Her er systemet riktig nok lineært for påraget og en har erme alt gitt en Γ i moellen. Måleligningen er her lineær og en har D = 1 0 (og E = 0). Me et fast arbeispunkt som gitt i oppgaven kan en nå sette opp hele moellen som en lineær moell me matrisene i systemligningen som 1 T Φ = T g L 1, Γ = 0 T ml 2, Ω = 1 0 0 1. (2.6) Systemligningen er x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k) + Ωv(k) (2.7) 4
Måleligningen er y(k) = x 1 (k) = 1 0x(k) = Dx(k) er D = 1 0. (2.8) 3 Noen spørsmål om Kalman-lter (Antall poeng for enne oppgaven er 50) Svar på følgene spørsmål om Kalman-lter (KF). 3.a. Når kan Kalmanlter brukes? Eller spørsmålet formulert litt annerlees: For hvilke type systemer eller systemmoeller vil et riktig innstilt Kalmanlter gi en go løsning? Stikkor: Tilstansestimering i lineære system, eller system er en kan bruke en (tisvarierene) lineær moell. Moellen må være TRM. Langsomt varierene systemparametre kan også estimeres. Se lærebok og notat om Kalmanlter for mer etaljer. 3.b. Forklar følgene setning, et vil si forklar hva som menes/forstås me alle or og uttrykk i setningen. Kalman-lter er optimalt i en forstan at aposteriori estimeringsavvikets varians minimeres. Se notat om Kalmanlter el 1.2. 3.c. Kalman-lter bygger på en el forutsetninger for å kunne si at et er optimalt. Skriv opp og forklar isse forutsetningene. Se notat om Kalmanlter el 1.4. 3.. Utgangspunktet for utlening av Kalmanlter er følgene ligning ˆx(k) = K(k) ˆx(k 1) + K(k) y(k) (3.1) Forklar enne ligningen, altså forklar hva e ulike symboler er og hvilken imensjoner e har. Hvorfor har en valgt nettopp enne formen som utgangspunkt for utleningen? Hva slags form har enne ligningen? Forklar så hove- 5
ieene i utleningen av Kalman lteret, et vil si forklar kort e to steg (trinn) som utleningen følger. Dere trenger ikke gjøre selve utleningen. Se notat om Kalmanlter el 2. 3.e. I utleningen, og i e resulterene ligninger, har en enert to kovariansmatriser P (k) =... (3.2) ˆP (k) =... (3.3) Skriv enisjonen for isse og forklar hva e er. Merk at i læreboka (Haugen) skrives P c (k) (correcte) for ˆP (k) og P p (k) (preicte) for P (k). Se notat om Kalmanlter el 2.2 3.f. Et augmentert Kalman-lter må ikke forveksles me et utviet (extene) Kalman lter. Forklar hva et augmentert Kalman lter er og når et brukes. Se notat om Kalmanlter el 1.4. 3.g. Et alternativ til Kalman lter er (i noen sammenhenger) RLS. Hva står RLS for? Forklar e vesentlige forskjellene mellom Kalman-lter og RLS. Hvilke foreler (ulemper) har Kalman lter i forhol til RLS. Se notat om RLS (notat4) el 3.5. 6
4 Formler og ligninger Diskretisering z-transferfunksjon for kontinuerlige prosesser me nullteorens sample- og holeelement på inngangen: h(z) = (1 z 1 )Z L 1 { G(s) s } t=kt. (4.1) Tranformasjonspar, δ( ) er enhetsimpuls og u( ) er enhetssteg. L { e at} = 1 s a (n 1)! s n 1 L { δ(t a) } = e as L { u(t a) } = e as (s a) 2 s L{1} = 1 s, L{t} = 1 s 2 og generelt L{t n 1 } = L { te at} = Z { δ(k) } = 1 Z { δ(k n) } = z n Z { a k u(k) } = z z a Z { ka k u(k) } = az (z a) 2 Z { k 2 a k u(k) } = az(z + a) (z a) 3 Kalman-lter I vår utlening av Kalman-lteret kom vi fram til følgene ligninger som oppsummerer hoveløkka, et er et som gjøres for hvert tissteg k. x(k) = Φˆx(k 1) + Γu(k 1) (4.2) P (k) = Φ ˆP (k 1)Φ T + Q (4.3) K(k) = P (k)d T (DP (k)d T + R) 1 (4.4) ˆx(k) = x(k) + K(k)y(k) Dx(k) (4.5) ˆP (k) = (I K(k)D) P (k) (4.6) Matriser Ei 2 2 matrise og en inverse er a b A = c, A 1 = 1 a bc b c a. (4.7) Determinanten er: et(a) = a bc. Egenverier for ei matrise er verier λ slik at et(λi A) = 0. Derivasjon sin x = cos x x x = x1 x 2, f = cos x = sin x x f1 ( ) gir f 2 ( ) f x = x log x = 1 x f1 x 1 f 2 x 2 f 2 f 1 x 1 x 2 (4.8). (4.9) 7