NTNU Intitutt for matematike fag TMA4135 Matematikk 4D, øving 6, høt 215 Løningforlag Notajon og merknader Vi dropper enheter i oppgavene om benytter dette. Læreboken er uanett inkonekvent når det gjelder enheter for fyike tørreler (mottand, induktan og kapaitan er for ekempel ofte gitt enheter, men tid blir tående uten). Oppgaver fra læreboken 6.6.4 Funkjonen i oppgaven kan krive om f (t) = t g (t), hvor g (t) = e t co t. Av ligning (1) på ide 238 har vi da at F () = L (f )() = G (), hvor Vi har da G() = L (g )() = L (co)( + 1) = F () = G () = 2 + 2 + 2 (2 + 2)( + 1) ( + 1) 4 + 2( + 1) 2 + 1 + 1 ( + 1) 2 + 1 = + 1 2 + 2 + 2. = 2 + 2 ( + 1) 4 + 2( + 1) 2 + 1. 6.6.16 Denne oppgaven kan nok mer elegant løe ved hjelp av ligning (6) fra læreboken ide 239. Løningen under baerer eg på ligning (1) fra ide 238. Det kan være lurt å ha forøkt begge metoder. Hvi vi etter G() = 2 + 6 + 1, er vi at teller i F () er G () = 2 + 6 og nevner er (G()) 2. Det er derfor klart at F er den deriverte til en funkjon H på formen Siden F = H, gir ligning (1) på ide 238 at H() = 1 G() = 1 2 + 6 + 1 = 1 ( + 3) 2 + 1. f (t) = L 1 (F )(t) = L 1 (H )(t) = th(t), hvor per «-kift-teoremet». Derfor er h(t) = L 1 (H)(t) = e 3t in t f (t) = te 3t in t. 6.7.19 Kirchhoff lover (kapittel 2.9 i Kreyzig) gir L 1 I 1 (t) + R(I 1(t) I 2 (t)) + R 1 I 1 (t) = v co t L 2 I 2 (t) + R(I 2(t) I 1 (t)) + R 2 I 2 (t) =, hvor tørreler med ubkript 1 og 2 tilhører henholdvi ventre og høyre trømløyfe (boken bruker i 1 og i 2 for trømmene, jeg har brukt I 1 og I 2 ), og R er reitanen i kanten om forbinder de to løyfene. Siden L i, R i og v her er rimelig pene tørreler, velger vi å regne med tallverdiene innatt hele veien. Vi har da 2I 1 (t) + 8(I 1(t) I 2 (t)) + 4I 1 (t) = 39co t 4I 2 (t) + 8(I 2(t) I 1 (t)) + 8I 2 (t) =. lf6 24. eptember 215 Side 1
Laplace-tranformert blir die differenialligningene henholdvi 2 J 1 () + 8J 1 () 8J 2 () + 4J 1 () = 39 2 + 1 4 J 2 () + 8J 2 () 8J 1 () + 8J 2 () =, hvor J i = L (I i ). Den andre av die kan vi omkrive til J 1 () = 1 2 J 2() ( + 4), om innatt i den førte og forenklet litt gir J 2 () ( 2 + 1 + 16) = 39 2 + 1. Polynomet har røtter = 8 og = 2, å vi har om etter delbrøkopppalting blir 1 1 J 2 () = 39 2 + 1 + 8 + 2, J 2 () = 18 2 + 1 + 12 1 2 + 1 26 1 + 2 + 8 1 + 8. Vi finner da ogå J 1 () = 42 2 + 1 + 15 1 2 + 1 26 1 + 2 16 1 + 8. Både J 1 og J 2 er ummer av funkjoner med kjent inver-laplace-tranform, å I 1 (t) = L 1 (J 1 )(t) = 42co t + 15in t 26e 2t 16e 8t I 2 (t) = L 1 (J 2 )(t) = 18co t + 12in t 26e 2t + 8e 8t. 6.R.13 Halvvinkeletningene lar o krive funkjonen i oppgaven om 6.R.26 Dermed er den tranformerte f (t) = co 2 ( π 2 t ) = 1 2 + 1 2 coπt. F () = L (f )() = 1 2 + 2( 2 + π 2 ). f (t) = L 1 (F )(t) = 2L 1 ( 1 2 e 5 ) (t) 1L 1 ( 1 3 e 5 )(t) = 2(t 5) u(t 5) 5(t 5) 2 u(t 5). 11.1.19 Det er klart at funkjonen i oppgaven er gitt av f (x) = x { for π t < for t < π lf6 24. eptember 215 Side 2
(og er periodik eller). Vi regner ut Fourier-koeffiientene: a = 1 f (x) dx = 1 x dx = 1 2π π 2π 4π π2 = π 4 a n = 1 πf (x)conx dx = 1 x conx dx = 1 [ x ] π π π π π n innx = 1 n innπ + 1 n 2 π conπ 1 n 2 π = 1 n 2 π conπ 1 n 2 π { 2 for n = 1,3,5,... = πn 2 for n = 2,4,6,... b n = 1 f (x)innx dx = 1 x innx dx = 1 [ x ] π π π π n conx π = 1 n conx = ( 1)n+1. n Figur 1 vier delummene for Fourier-rekken. x= x= 1 nπ 1 nπ innx dx conx dx 3.5 3. 2.5 Fourier-rekke med kun kontantledd Fourier-rekke til og med a 1 og b 1 Fourier-rekke til og med a 2 og b 2 Fourier-rekke til og med a 3 og b 3 Fourier-rekke til og med a 4 og b 4 Fourier-rekke til og med a 5 og b 5 2. 1.5 Fourier-rekke til og med a 6 og b 6 Fourier-rekke til og med a 7 og b 7 f 1..5..5 3 2 1 1 2 3 Figur 1: De førte delummene i Fourier-rekken til funkjonen fra oppgave 11.1.19. Legg merke til hvordan delummen tadig bedre approkimerer funkjonen når flere ledd inkludere. Programmeringoppgaver 1 La o anta at følgende kode, hentet fra øving 3, er lagret om impon.py: # * coding : utf 8 * import numpy a np lf6 24. eptember 215 Side 3
def impon ( a, b, m, f ) : h = (b a ) / ( 2 *m) reult = f ( a ) + f (b) # f_ og f_2m i Kreyzig notajon for i in range ( 1, 2*m) : i f i % 2 == : # i er partall r e u l t += 2* f ( a+h* i ) ele : # i er oddetall r e u l t += 4* f ( a+h* i ) return (h/ 3. ) * r e u l t Følgende kode kan da bruke for å beregne Fourier-koeffiientene fra oppgave 11.1.19: # * coding : utf 8 * import numpy a np import impon a # Vi bruker vår Simpon integrajon fra øving 3. # coprojection (n, f ) er Fourier k o e f f i i e n t a_n for funkjonen f. def coprojection (n, f ) : # Definer integranden : def integrand ( x ) : #... eller, om du er fancy : integrand = lambda x : f ( x ) *np. co (n*x ) return f ( x ) *np. co (n* x ) integral =. impon( np. pi, np. pi, 1, integrand ) i f n == : return i n t e g r a l / ( 2. *np. pi ) ele : return integral /np. pi # inprojection (n, f ) er Fourier k o e f f i i e n t b_n for funkjonen f. def inprojection (n, f ) : def integrand ( x ) : return f ( x ) *np. in (n* x ) return. impon( np. pi, np. pi, 1, integrand ) /np. pi def t e t ( ) : # Funkjonen fra oppgave 1 1. 1. 1 9. def f ( x ) : i f x < : return ele : return x print " Fourier koeffiienter : " print "a_=%f " %(coprojection (, f ) ) for n in range ( 1, 6 ) : print "a_%d=%f " %(n, coprojection (n, f ) ) print "b_%d=%f " %(n, inprojection (n, f ) ) print "a_%d=%f " %(1, coprojection (1, f ) ) print "b_%d=%f " %(1, inprojection (1, f ) ) print "a_%d=%f " %(11, coprojection (11, f ) ) print "b_%d=%f " %(11, inprojection (11, f ) ) Kjøring av funkjonen tet fra fourier.py gir: Fourier koeffiienter : a_ =.785398 a_1 =.63662 b_1 = 1. a_2 =. b_2 =.5 a_3 =.7736 b_3 =.333333 a_4 =. b_4 =.25 a_5 =.25465 b_5 =.2 a_1 =. b_1 =.11 a_11 =.62 lf6 24. eptember 215 Side 4
b_11 =.992 Oppgave: Bruk tørre krittlengde i Simpon-integrajonen (ett for ekempel tredje argument til 1 i kallene til.impon. Hva kjer nå med de høyere Fourier-koeffiientene, for ekempel a 1 og b 1? Hvorfor kjer dette? Ekamenoppgaver Løningforlag til ekamenoppgavene finner en på http://wiki.math.ntnu.no/tma4135/215h/ oldexam. lf6 24. eptember 215 Side 5