4 Differensiallikninger R2 Oppgaver 4.1 Førsteordens differensiallikninger... 2 4.2 Modellering... 7 4.3 Andreordens differensiallikninger... 13 Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA... 16 Øvingsoppgaver Stein Aanensen og Olav Kristensen 1
4.1 Førsteordens differensiallikninger 4.1.1 Løs differensiallikningen. a) b) c) y4y0 2y6y0 3y 9y 4.1.2 Løs differensiallikningen. Kontroller at løsningen er riktig ved å sette inn i den opprinnelige likningen. a) b) yy1 y2y4 4.1.3 Løs differensiallikningen med et digitalt hjelpemiddel og finn den bestemte løsningen når a) y5y5 y0 5. b) 2y3y4 4.1.4 Løs differensiallikningen. a) b) c) y2y x y2y 2x 2 y2xy 2x 2
4.1.5 Løs likningen som en separabel differensiallikning. a) b) c) d) yxy 0 y sinx y 0 xy4y 0 cos xy y 0 2 4.1.6 Løs differensiallikningene T t kt t a) b) F t k F t c) K0,02 0,1K yk d) y 21 y. Gitt 0 38 3
4.1.7 Løs den separable differensiallikningen når integralkurven går gjennom punktet 1, 1. a) b) 2 1 2 y y x x y y 2 4.1.8 Tegn retningsdiagram og med en integralkurve gjennom punktet 0,5 for hver av differensiallikningene du løste i oppgave 4.1.3. Sammenlign integralkurven med løsningen i 4.1.3. 4.1.9 Vis at differensiallikningen yxy x kan løses ved hjelp av to ulike metoder. 4.1.10 Eksempelsett R2, 2008 cos 0 når 0 4. y Løs differensiallikningen x y y 4.1.11 a) Løs differensiallikningen 1 y y x x når y 1 4 og x 0,. b) Løs differensiallikningen y y sinx når y 0 0. y2y c) Løs differensiallikningen y 1 som separabel ved å bruke delbrøkoppspalting. 4
4.1.12 a) Tegn retningsdiagrammet til differensiallikningen y 2x x for 3,3 y 3,3 og. b) Hva slags kurver ser du i retningsdiagrammet? c) Løs differensiallikningen i a). 4.1.13 a) Tegn retningsdiagrammet til differensiallikningen xyy 1 x for 3,3 y 3,3 og. b) Løs differensiallikningen xyy 1 ved hjelp av et digitalt verktøy. c) Differensiallikningen i b) har ingen løsning når x 0, hvordan kan du se dette av løsningen du fikk i b) og av retningsdiagrammet i a)? d) Tegn integralkurver for C - verdiene 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3. 4.1.14 a) Tegn retningsdiagram med noen integralkurver for differensiallikningen yx y x for 3,3 y 3,3 og. b) Løs differensiallikningen i a). c) Tegn integralkurver for C - verdiene 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3 d) Forklar hvordan vi kan se at. y' 1 når C 0 av kurvene i c) og av differensiallikningen i b). 4.1.15 a) Tegn retningsdiagrammet til differensiallikningen y y b) Løs differensiallikningen y y. c) Tegn integralkurver for C - verdiene 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3. x for 3,3 y 3,3 og. y d) Finn grafisk 0,5 når C 1. 5
4.1.16 a) Tegn retningsdiagrammet til differensiallikningen x y y x for 3,3 y 3,3 og. b) Hva slags kurver ser du i retningsdiagrammet? x y c) Løs differensiallikningen y separabel. d) Tegn integralkurver for C - verdiene 1, 2, 3. 4.1.17 Gitt differensiallikningen y f x I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet grafen til f a) Skisser retningsdiagrammet til denne differensiallikningen på et papir. f x b) Finn funksjonsuttrykket for ved å bruke grafen og løs differensiallikningen. c) Tegn integralkurvene for noen verdier av C. 6
4.2 Modellering 4.2.1 Et lite tettsted har i dag N antall innbyggere. Innbyggertallet avtar og nedgangen, målt i antall innbyggere per år, er til enhver tid 0,9 % av antall innbyggere i byen. a) Sett opp et uttrykk som viser økningen i antall innbyggere N til enhver tid. b) Finn et utrykk for N. 4.2.2 I denne oppgaven skal du studere et legeme med masse m som faller i tyngdefeltet, med luftmotstand. Newtons andre lov F ma sier at summen av de kreftene F som virker på legemet er massen til legemet multiplisert med akselerasjonen a. Formuler en matematisk modell som beskriver et legeme med masse m som faller i tyngdefeltet, med luftmotstand. Anta at luftmotstanden er proporsjonal med farten v og motsatt rettet. Det er to krefter som virker på legemet. Tyngdekraften F1 nedover. mg der g er tyngdeakselerasjonen. Denne kraften virker Luftmotstanden F2 Denne kraften virker oppover. La retningen nedover være positiv. kv der v er farten og k er en proporsjonalitetskonstant. a) Vis at Newtons andre lov kan omformes til differensiallikningen k v v g m der farten v er en funksjonen av tiden t, b) Vis at farten v k som en mg funksjon av t tiden t, gitt at v0 ved t0 m v t 1e k kan skrives som vt v. 4.2.3 En by har i dag 35 000 innbyggere. Innbyggertallet øker og endringen, målt i antall innbyggere per år, er til enhver tid 1,5 % av antall innbyggere i byen. a) Sett opp et uttrykk som viser økningen i antall innbyggere N til enhver tid. b) Finn et utrykk for N. c) Finn antall innbyggere etter 5 år og etter 20 år. d) Hva er økningen i antall innbyggere etter 5 år og etter 20 år. 7
4.2.4 Newtons avkjølingslov sier at hastigheten på avkjølingen av et objekt er proporsjonal med differansen mellom temperaturen på objektet og temperaturen i omgivelsene der objekt befinner seg. Newtons avkjølingslov er gitt ved T t k T t A der k er proporsjonalitetskonstant, A er temperaturen i omgivelsene og objektet etter tiden t. Tt er temperaturen i Du skal ut på en treningstur og tar med deg en flaske vann. Temperaturen T i vannet er 20 C i starten. Temperaturen A der du skal trene er 0 C. Tiden t er gitt i minutt. a) Bruk Newtons avkjølingslov og sett opp differensiallikningen som beskriver avkjølingen av vannet i flasken. b) Løs differensiallikningen du fant i a). Etter 30 minutter er temperaturen i vannet 13 C. c) Finn proporsjonalitetskonstanten k. d) Finn temperaturen i vannflasken etter 1 time. e) Når er temperaturen i vannflasken 3 C? 8
4.2.5 F La t være antall fisk i et forurenset vann ved tiden t, der t måles i måneder. Utviklingen av antall fisk i vannet er gitt ved differensiallikningen F t k F t a) Løs differensiallikningen., der k er en proporsjonalitetskonstant. Når t 0, er antall fisk i vannet 2 000. Etter 1 år er det 1 000 fisk igjen i vannet. b) Finn proporsjonalitetskonstanten k. c) Når er det tomt for fisk i vannet? 4.2.6 I et varmtvannsbasseng er det 10 000 liter vann. Vannet inneholder 0,005 % klor. For å bedre vannkvaliteten er det investert i et helt nytt renseanlegg. Når det nye renseanlegget tas i bruk, vil klormengden i vannet bli redusert til 0,002 %. Vi forutsetter at blandingen mellom vann og klor er den samme i hele bassenget. Når det nye renseanlegget tas i bruk, tappes det ut 1 000 liter vann per time t samtidig som det fylles på med 1 000 liter nytt vann med den nye klormengden. La Kt være antall liter klor som finnes i bassenget etter t timer. Vi setter t 0 når prosessen begynner. a) Finn en differensiallikning som viser endringen i klormengden i bassenget. b) Løs differensiallikningen du fant i a) og finn mengden klor etter 12 timer. 9
4.2.7 Svein har en sylinderformet vanntank som rommer 1 600 liter. Han bruker vannet i tanken til å vanne morelltrær. I bunnen av tanken har Svein montert en kran. Når kranen er åpen, renner vannet ut med en hastighet som er proporsjonal med kvadratroten av vannmengden i tanken. Svein fyller tanken med 1 600 liter vann og åpner kranen. Etter 2 timer er det 900 liter vann igjen på tanken. La yt være antall liter vann på tanken t timer etter at Svein åpnet kranen. a) Forklar at antall liter vann som renner ut av tanken da er gitt ved differensiallikningen, y t k y t der k er en konstant. b) Vis at denne differensiallikningen har den generelle løsningen 2 y t C kt c) Vis at C 80 og at k 10. d) Hvor mange liter vann renner det ut av tanken per time når det er 900 liter vann i tanken? e) Hvor lang tid tar det før vanntanken til Svein er tom? f) Tanken fylles så med 300 liter vann per time. Hva vil skje med vannivået i tanken? 10
4.2.8 I denne oppgaven skal du studere et legeme med masse m som faller i tyngdefeltet, med luftmotstand. Newtons andre lov F ma sier at summen av de kreftene F som virker på legemet er massen til legemet multiplisert med akselerasjonen a. Formuler en matematisk modell som beskriver legemet med masse m som faller i tyngdefeltet, med luftmotstand. Anta at luftmotstanden er proporsjonal med farten v og motsatt rettet. Det er to krefter som virker på legemet. Tyngdekraften F1 nedover. mg der g er tyngdeakselerasjonen. Denne kraften virker Luftmotstanden F2 Denne kraften virker oppover. La retningen nedover være positiv. kv der v er farten og k er en proporsjonalitetskonstant. a) Vis at Newtons andre lov kan omformes til differensiallikningen k v v g m der farten v er en funksjonen av tiden t, b) Finn farten v som en funksjon av tiden t, gitt at v0 ved t 0 vt v. Sett massen m lik 40 kg, tyngdeakselerasjonen g lik 10 Proporsjonalitetskonstanten k er 16. 2 m/ s. c) Finn farten og akselerasjonen etter 5 sekunder. d) Hva skjer med farten og akselerasjonen etter som tiden går? 11
4.2.9 En dyrepopulasjon antas å følge differensiallikningen 1 N t N t r N t Bt 0 der løsningen er gitt ved Bt Nt Bt N t 1 N t 0 e rt N er antall individer i populasjonen og tiden t måles i år. Vi antar videre at bæreevnen B til populasjonen er 2 000 individer og at proporsjonalitetskonstanten r 0,05. a) La antall individer ved t 0 være 500. Finn et uttrykk for antall individer N etter t år. N t N B Sett og t B. b) Tegn integralkurven. c) Finn antall individer etter 80 år ved å bruke likningen du fant over. Sjekk løsningen med integralkurven. d) Finn ved regning når antall individer passerer 1 500. 4.2.10 Antall hjort har økt kraftig i et område. Tabellen viser antall hjort for enkelte år i perioden 1973-2003. Årstall 1973 1976 1979 1983 1988 1993 1998 2003 Antall år etter 1973, t 0 3 6 10 15 20 25 30 Antall hjort i, N 500 840 1 350 2 250 3 500 4 300 4 700 4 900 a) Finn en logistisk funksjon som passer med tallene i tabellen. b) Marker datamaterialet fra tabellen ovenfor som punkt i et koordinatsystem. Tegn grafen til den logaritmiske funksjonen du fant i a) i samme koordinatsystem. c) Hva er bæreevnen til hjortebestanden i dette området? 12
4.3 Andreordens differensiallikninger 4.3.1 Gitt differensiallikningen a) Løs differensiallikningen. y y6y 0. b) Finn løsningen av differensiallikningen gitt startbetingelsene y1 og y0 når x 0. 4.3.2 Gitt differensiallikningen a) Løs differensiallikningen. y 6y 9y 0. b) Regn ut løsningen av differensiallikningen gitt startbetingelsene y1 og y2 når x 0. 4.3.3 Gitt differensiallikningen a) Løs differensiallikningen. y 4y 5y 0. b) Regn ut løsningen av differensiallikningen gitt startbetingelsene y1 og y1 når x 0. 13
4.3.4 k m En kloss med massen m 0,5 kg er festet i en fjær slik at klossen kan svinge fram og tilbake på et horisontalt underlag. Fjæren har fjærstivheten k 0,35 N/m. Proporsjonalitetsfaktor for luftmotstanden for klossen er b 0,05 Ns/m. Fjæren presses sammen og klossen slippes i avstanden y 0,2 m fra likevektsstillingen. 0,05x e a) Bruk Newtons andre lov og vis at 0,01sin0,84 x 0,2cos0,84 x sekunder. et utrykk for y etter x b) Tegn grafen til y x for 0, 60. Forklar hva som skjer. Hvilket underlag tror du klossen beveger seg på? c) Tegn grafen til y når proporsjonalitetsfaktoren for luftmotstanden b 0,5 Ns/m og når b0,9 Ns/m x. La 0, 15. d) Hvor stor må proporsjonalitetsfaktoren for luftmotstanden b minst være for at klossen skal bli liggende i ro når den stanser første gang? 14
4.3.5 Et lodd med masse m 2 kg henger i en fjær som er festet i taket. Fjærkonstanten k 0,3 N/m og proporsjonalitetsfaktoren for luftmotstand b 0,05 Ns/m. Loddet trekkes 0,3 m nedover før det slippes. La y være avstanden fra likevektslinjen og x være tiden i sekund etter at loddet ble sluppet. a) Forklar at y 0,3 og at farten v 0 ved x 0. b) Vis at y er gitt ved likningen 0,013x y e 0,01sin 0,387x 0,3cos 0,387x c) Tegn grafen til y x for 0, 180 og finn perioden. Hva forteller perioden i dette tilfellet? d) Vis at 0,0125 x y e 0,01sin 0,387x 0,3cos 0,387x kan skrives som 0,0125 x y e 0,3sin 0,387x 1,54 e) Finn de 5 første maksimalverdiene og vis at disse verdiene danner en geometrisk rekke. f) Finn summen S av rekken når x. Hva forteller denne summen? 15
Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA Bruk farger og marker de eksamensoppgaver du har regnet! Jo mere farger, jo bedre eksamenskarakter! Geometri Algebra Funksjoner Differensiallik ninger Del 1 Del 2 Del 1 Del 2 Del 1 Del 2 Del 1 Del 2 H15 5, 7 4 9 3 1, 2, 3, 4, 6 1, 5 8 2 V15 5 2 4, 6 1, 2, 3a, 7, 8, 9 3, 4 3b 1 H 14 4 3, 5 7 1 1, 2, 5, 6 4 3 2 V 14 5 1, 2 4 4 1, 2, 3, 6 5, 6 7 3 H 13 3 6 4, 7 4 1, 2, 6 1, 2, 5 5 3 V 13 3 3 5, 7 6 1, 2, 6 2, 4, 5 4 1 H 12 3 3 5, 8 4 1, 2, 6, 7 1, 5, 6 4 2 V 12 2 8 1e, 3c 7 1a, 1b, 1c, 3 4, 5 1d 6 H 11 1g 5 1c 3 1a, 1b, 1e 2, 4 1f 6 V 11 1d, 1e 5 1f 4 1a, 1b, 1c 3, 6, 7 2 H 10 1d 3 1a, 1b, 2 4 1c 5 V 10 2 5, 6 alt2 1a, 1b, 1d, 1e 4 1c 3, 6 alt1 H 09 2 3 1e, 1f 1a, 1b, 1d 4 1c 5 V 09 1d, 2 1c 5 1a, 1b, 1f 4 1e 3 E 08 1g 3 1d, 1i 1a, 1b, 1c, 1e, 1f 2 1h 4 16