Eksamen S va r 017 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f 1 f b) g ln 1 g h 1 e c) h e e e Oppgave ( poeng) Løs likningssystemet y z 0 y z 4 y z 1 y z 0 z y Det gir y y 4 y y 1 8 y 4 y 1 y 3 z 3 z 5 Eksamen REA308 Matematikk S våren 017
Oppgave 3 (6 poeng) I en aritmetisk rekke a1 a a3 a er n a1 3 og a6 18. a) Bestem differansen d, og bestem en formel for a uttrykt ved n. n a a d 6 1 5 18 3 5d 18 3 d 5 d 3 n 1 1 a a n d 3 n 1 3 3 3n 3 3n b) Vis at summen av de n første leddene kan skrives som 3 Sn nn 1 a1 an 3 3n 3 Sn n n nn 1 c) Hvor mange ledd må vi ha med for at summen skal bli 84? 3 nn 1 84 n n 56 0 1 1 4 1 15 1 15 n n 7 n 8 Vi må ha med 7 ledd for at summen skal bli 84. (n kan ikke være negativ.) Eksamen REA308 Matematikk S våren 017
Oppgave 4 (7 poeng) Funksjonen f er gitt ved 3 f 4 6 a) Vi ser at f 1 0. Bruk blant annet polynomdivisjon til å vise at 1 3 f Siden f 1 0, må 1 Vi utfører polynomdivisjonen 3 være en faktor. 3 4 6 : 1 5 6 5 6 5 5 6 6 0 6 6 Vi finner så nullpunktene til 5 6 0 5 6 1 51 3 5 5 4 1 6 Vi får at f 1 3 b) Løs ulikheten f 0. 3 q.e.d. f f f f f 0 4 6 0 1 3 0 0 0 10 0 3 negativt 1 3 positivt 4 4 1 4 4 3 negativt,5,5 1,5,5 3 positivt Eksamen REA308 Matematikk S våren 017
L, 3, 1 c) Forkort brøken mest mulig 3 4 6 3 4 6 1 3 1 1 3 1 d) Bruk blant annet det du viste i oppgave a), til å løse likningen 3 e 4e e 6 0 3 e 4e e 6 0 3 e 4 e e 6 0 3 y y y 4 6 0 Bytter ut e med y y y y 1 3 0 Fra oppgave a) e y 1 y y 3 1 e 3 0 e kan ikke være negativ. Eksamen REA308 Matematikk S våren 017
Oppgave 5 (6 poeng) Totalkostnaden i kroner ved produksjon av en vare er gitt ved K 0,1 70 4000, 0 000 Her er antall produserte enheter per uke. Inntekten i kroner ved denne produksjonen er gitt ved I 0,05 80, 0 000 a) Bestem K 500 og I 500 flere enn 500 enheter. K 0,1 70 4000, 0 000 K 0, 70 K 500 0, 500 70 170 I 0,05 80, 0 000 I 0,1 80 I 500 0,1 500 80 30. Bruk svarene til å vurdere om bedriften bør produsere Ved en produksjon på 500 enheter koster det 170 kroner å produsere én ekstra enhet, mens inntekten er på kroner 30. Bedriften bør derfor produsere flere enn 500 enheter. b) Bestem den vinningsoptimale produksjonsmengden, det vil si den produksjonsmengden som gir størst overskudd. Størst overskudd når K I 0, 70 0,1 80 0,3 10 700 Eksamen REA308 Matematikk S våren 017
c) Bestem den kostnadsoptimale produksjonsmengden, det vil si den produksjonsmengden som gir lavest kostnad per enhet. Jeg kaller enhetskostnaden for E K 0,1 704000 0,1 70 4000 E. Lavest kostnad per enhet når E 0 0, 70 1 0,1 70 4000 E 0,1 4000 0 0 0 40000 00 siden ikke kan være negativ Eksamen REA308 Matematikk S våren 017
Oppgave 6 (10 poeng) La X være antall unger som overlever i en tilfeldig valgt fuglekasse med kjøttmeis. Sannsynlighetsfordelingen til X er gitt i tabellen nedenfor. a) Bestem P X. P X 0,3 0,3 0,1 0,7 b) Bestem forventningsverdien E X, og vis at standardavviket er SD X 1,6 Hva forteller E X oss? E X Var X SD X 00, 1 0,1 0,3 30,3 4 0,1 0,1 0,6 0,9 0,4,0 0,0 0, 1,0 0,1,0 0,3 3,0 0,3 4,0 0,1 4 0, 1 0,1 00,3 1 0,3 4 0,1 0,8 0,1 0,3 0,4 1,6 1,6 Forventningsverdien, E X, angir gjennomsnittlig antall unger vi kan forvente overlever per fuglekasse hvis vi undersøker et stort antall fuglekasser. Et år har biologilærer Peder overvåket 100 fuglekasser med kjøttmeis. Kassene er nummerert fra 1 til 100. La X være antall kjøttmeisunger som overlever i kasse nummer i i. Vi antar at Xi -ene er uavhengige. Det totale antall kjøttmeisunger som overlever i de 100 kassene, er gitt ved den stokastiske variabelen S X1 X X100 c) Begrunn at S er tilnærmet normalfordelt. S er summen av n uavhengige stokastiske forsøk, X. For n 100, som er et stort antall forsøk, er S ifølge sentralgrensesetningen tilnærmet normalfordelt. d) Bestem ES og VarS. E S n E X Var S n Var X 100.0 00 1001,6 160 i Eksamen REA308 Matematikk S våren 017
I resten av oppgaven går vi ut fra at ES 00 og bruk for standard normalfordelingstabellen i vedlegg 1. SD S 13. Du vil få e) Bestem sannsynligheten for at 6 eller flere kjøttmeisunger overlever i kassene til Peder dette året. 6 00 P S 6 P Z P Z 1 P Z 1 0,977 0,08 13 f) Bestem P187 S 13. 187 00 13 00 P 187 S 13 P Z 13 13 P 1 Z 1 1 P Z 1 P Z 0,8413 0,1587 0,686 Eksamen REA308 Matematikk S våren 017
Tid: timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 (6 poeng) En bedrift produserer en vare. Bedriften selger alt den produserer. Overskuddet O ved salg av enheter per uke er gitt ved O a b c Når bedriften produserer 00 enheter per uke, blir overskuddet lik 0. Overskuddet er størst når bedriften selger 475 enheter. Når bedriften selger 600 enheter per uke, er grensekostnaden 5 kroner større enn grenseinntekten. a) Vis at disse opplysningene gir likningssystemet 40 000a 00b c 0 950ab0 100a b 5 O a b c a b c 00 0 00 00 0 40000 00 0 O 475 0 a475 b 0 950a b 0 O 600 I 600 K 600 5 a600 b 0 100a b 5 b) Bruk CAS til å bestemme a, b og c. Eksamen REA308 Matematikk S våren 017
c) Hva er det største overskuddet bedriften kan få per uke? Størst overskudd når det selges 475 enheter per uke. Eksamen REA308 Matematikk S våren 017
Oppgave (6 poeng) Ingrid inngår en pensjonsavtale der hun skal spare 0 000 kroner i året. Den første innbetalingen skjer 1. januar 018. Den siste innbetalingen skjer 1. januar 05. Hun får en fast rente på 3,00 % per år. a) Bruk CAS til å vise at Ingrid vil ha 1 09 4 kroner på konto rett etter siste innbetaling. Vi fører alle innskuddene fram til 1. januar 05. Det siste innskuddet får ikke rente, og vi lar det være første ledd i en geometrisk rekke med a1 0000, k 1,03 og n 35. Summen på kontoen tilsvarer summen av denne geometriske rekken. Ingrid planlegger å ta ut et fast beløp hvert år. Det første uttaket vil hun gjøre 1. januar 053 og det siste uttaket 1. januar 067. Da skal kontoen være tom. Hun regner med en rente på 3,00 % per år. b) Hvor mye kan hun ta ut per år? Summen av alle uttakene tilbakeført til 1. januar 053 tilsvarer summen av en 1 geometrisk rekke med a1, som ukjent, k og n 15. Summen av denne 1,03 rekken må være lik samlet sparebeløp 1. januar 053. Vi må huske at nå har sparebeløpet fra 1. januar 05 blitt forrentet ett år. Eksamen REA308 Matematikk S våren 017
Ingrid synes det er tilstrekkelig å ta ut 80 000 kroner i året fra og med 1. januar 053. c) Bruk CAS til å bestemme når kontoen vil være tom i dette tilfellet. Jeg lar nå det årlige terminbeløpet være 80 000 kroner og lar antall år være ukjent i samme likningen som i oppgave b). Det vil bli 0 utbetalinger på 80 000 kroner og en siste utbetaling på restbeløpet. Til sammen 1 utbetalinger. Kontoen vil da bli tom 1. januar 073. Eksamen REA308 Matematikk S våren 017
Oppgave 3 (4 poeng) En bedrift produserer batterier til hodelykter. Bedriften påstår at levetiden for batteriene er 30 timer når hodelykten brukes med full lysstyrke. Vi antar at levetiden for batteriene er normalfordelt med 30 timer og 3 timer. a) Bestem sannsynligheten for at et tilfeldig valgt batteri har en levetid på mindre enn 7 timer. Forbrukerrådet har mistanke om at forventet levetid er mindre enn 30 timer. Derfor blir ni tilfeldig valgte batterier testet. Levetida til batteriene viser seg å være 9, 31, 3, 7, 9, 5, 3, 30 og 6 timer. Vi antar fortsatt at levetiden til batteriene er normalfordelt med 3 timer. b) Sett opp en hypotesetest, og bruk den til å avgjøre om det er grunnlag for å hevde at den forventede levetiden er mindre enn 30 timer. Bruk et signifikansnivå på 5 %. Sentralgrensesetningen sier nå at summen, S, av levetiden for ni batterier er normalfordelt med S 309 70 timer og 3 9 9 timer. Nullhypotese: S 70 Alternativ hypotese: S 70 Sannsynligheten for at summen av levetiden til de ni batteriene er så lav som i testen, samtidig med at nullhypotesen gjelder, er,8 %. Dette er mindre enn signifikansnivået. Testresultatet gir grunn til å hevde at den forventede levetiden for batteriene er mindre enn 30 timer. Eksamen REA308 Matematikk S våren 017
Oppgave 4 (8 poeng) I et område er det brutt ut en smittsom sykdom. Antall personer som blir smittet per uke, kan modelleres med en logistisk funksjon g der g t N 1 ae Her er N, a og k reelle tall, og etter at sykdommen brøt ut. Tabellen nedenfor viser kt gt er antall personer som blir smittet per uke, t uker gt for noen verdier av t. a) Bruk regresjon til å bestemme N, a og k i uttrykket gt. Jeg velger logistisk regresjonsmodell og får N 10095, a 49,5 og k 0,5 Nærmere undersøkelser viser at 10000 1 50e 0.5 f t t er en god modell for antallet som blir smittet per uke, t uker etter at sykdommen brøt ut. b) Bruk graftegner til å tegne grafen til f. Bruk grafen til å bestemme når antall smittede personer per uke er 7000. Eksamen REA308 Matematikk S våren 017
9,5 uker etter at sykdommen brøt ut, er antall smittede personer per uke 7 000. c) Bruk CAS til å bestemme ft 1 0 dt. Hva forteller dette svaret oss? Samlet antall smittede personer de 1 første ukene er 43 700. d) Hvor mange uker vil det gå før antall personer som er smittet, overstiger 15 000? Det vil gå litt over 8 uker før samlet antall smittede overstiger 15 000. Eksamen REA308 Matematikk S våren 017
Eksamen REA308 Matematikk S våren 017
Kilder Oppgavetekst med grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Eksamen REA308 Matematikk S våren 017