Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 015 Oppgave 1 (3 poeng) 1,0 g salt inneholder 0,4 g natrium. Helsemyndighetene anbefaler et inntak av natrium på maksimalt,4 g per dag. a) Hvor mange gram salt kan du maksimalt innta i løpet av en dag dersom du skal følge anbefalingen?,4 4 6,0 0,4 4 Jeg kan maksimalt innta 6,0 gram salt i løpet av en dag. 100 g pizza inneholder 0,8 g salt. En porsjon pizza er beregnet til 300 g. b) Hvor mange gram salt inneholder en porsjon pizza? 0,83,4 En porsjon pizza inneholder,4 gram salt. c) Hvor mange prosent av anbefalt daglig inntak av natrium svarer dette til? En porsjon pizza inneholder,4 gram salt som inneholder,40,4 g natrium. I prosent av anbefalt daglig inntak blir dette,40,4 0,40 40%,4 Dette svarer til 40 % av anbefalt daglig inntak av natrium. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 015 - løsning Side 1 av 5
Oppgave (3 poeng) Funksjonene f og g er gitt ved f( x) 1 x g( x) x 3 a) Tegn grafene til f og g i samme koordinatsystem, og bestem skjæringspunktet grafisk. f har stigningstall ½, og skjærer y-aksen i y = 0. g har stigningstall -1, og skjærer y-aksen i y = 3. Skjæringspunktet er (, 1). Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 015 - løsning Side av 5
b) Bestem skjæringspunktet ved regning. 1 f ( x) g( x) x x 3 x x 6 3x 6 3 3 x Finner så y-koordinaten: 1 f () 1 Skjæringspunktet er (, 1). Oppgave 3 ( poeng) Et år hadde Siri en reallønn på 360 000 kroner. Den nominelle lønnen til Siri dette året var 450 000 kroner. Bestem konsumprisindeksen dette året. Nominell lønn Reallønn 100 Konsumprisindeks Nominell lønn Konsumprisindeks 100 Reallønn 45 0000 45 9 5 5 Konsumprisindeks 100 100 100 100 55 15 36 0000 36 4 9 4 Konsumprisindeksen var 15 dette året. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 015 - løsning Side 3 av 5
Oppgave 4 ( poeng) Pris per softis (kroner) 0 5 40 Antall solgte softis 00 160 100 Tabellen ovenfor viser pris per softis og antall solgte softis i tre ulike kiosker. Gjør beregninger og avgjør om pris per softis og antall solgte softis er omvendt proporsjonale størrelser. Dersom størrelsene er omvendt proporsjonale, vil pris per softis multiplisert med antall solgte softis være et konstant tall 000 4000 5160 4000 40100 4000 Pris per softis og antall solgte softis er omvendt proporsjonale størrelser. Oppgave 5 (3 poeng) Formlene nedenfor kan brukes for å anslå hvor høyt et barn vil bli i voksen alder. Gutt: (fars høyde + mors høyde) 0,5 + 7 cm Jente: (fars høyde + mors høyde) 0,5 7 cm Mors og fars høyde oppgis i centimeter. En familie består av mor, far og barna Ola og Kari. Mor er 160 cm høy, og far er 180 cm høy. a) Hvor høye vil Ola og Kari bli i voksen alder ifølge formlene ovenfor? Ola: 180 cm160 cm0,57 cm 340 cm0,57 cm 170 cm 7 cm 177 cm Kari: 180 cm160 cm0,57 cm 340 cm0,57 cm 170 cm7 cm 163 cm Ola vil bli 177 cm og Kari vil bli 163 cm ifølge formlene ovenfor. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 015 - løsning Side 4 av 5
En annen familie består av mor, far og sønnen Per, som nå er voksen. Far er 186 cm høy. Per er 189 cm høy. b) Hvor høy er mor i denne familien ifølge den første formelen ovenfor? 186 cm x 0,5 7 cm 189 cm 186 cm x 0,5 189 cm 7 cm 18 cm 186 cmx 0,5 186 cmx 364 cm x 364 cm186 cm x 178 cm Mor er 178 cm ifølge formelen ovenfor. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 015 - løsning Side 5 av 5
Oppgave 6 (4 poeng) På bildet ovenfor ser du rundballer som inneholder fôr til husdyr. En rundball har tilnærmet form som en sylinder med diameter og høyde lik 1, m. a) Gjør overslag og bestem volumet av en rundball. Gi svaret i liter. V r h 1, m V 3,14 1, m V 3,14 0,6 m 1, m V 3,14 0,361, m V 30,51 m V 1,5 m 3 3 3 3 1,5 m 1500 liter Volumet av rundballen er omtrent 1500 liter. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 015 - løsning Side 6 av 5
b) Gjør overslag og bestem overflaten av en rundball. O r rh O 0,36 m 0,61, m O 30,4 m 30,71 m O,4 m 4, m O 6,6 m Overflaten til rundballen er omtrent 6,6 m. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 015 - løsning Side 7 av 5
Oppgave 7 (4 poeng) Forskere skal prøve ut en ny test for å avgjøre om en person er smittet av en bestemt sykdom. Testen skal prøves ut på 360 personer. På forhånd vet forskerne at 60 av disse personene er smittet av sykdommen, mens resten ikke er smittet. Det viser seg at 68 av personene tester positivt (det vil si at testen viser at de er smittet av sykdommen). Av disse 68 er det 10 personer som forskerne vet ikke er smittet. a) Tegn av og fyll ut krysstabellen nedenfor. Smittet Ikke smittet Sum Tester positivt 58 10 68 Tester ikke positivt 90 9 Sum 60 300 360 b) Bestem sannsynligheten for at en person som er smittet, tester positivt. P(tester positivt smittet) 58 9 60 30 Sannsynligheten for at en person som er smittet, tester positivt, er 9/30. c) Bestem sannsynligheten for at en person som tester positivt, ikke er smittet. 10 5 P(ikke smittet tester positivt) 68 34 Sannsynligheten for at en person som tester positivt, ikke er smittet, er 5/34. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 015 - løsning Side 8 av 5
Oppgave 8 (3 poeng) Funksjonene f, g og h er gitt ved f() x x g( x) x x 1 h( x) x 1 Nedenfor ser du grafene til seks ulike funksjoner. Hvilken graf er grafen til f, hvilken graf er grafen til g, og hvilken graf er grafen til h? Begrunn svarene dine. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 015 - løsning Side 9 av 5
Funksjonen f er lineær med konstantledd 0 og stigningstall -1. Det betyr at grafen skjærer y- aksen i origo og videre må gå gjennom punktet 1, 1. Dette stemmer med graf B. Funksjonen g er en andregradsfunksjon med konstantledd. Det betyr at grafen skjærer y-aksen i. Både graf A og graf F gjør dette. For å avgjøre hvilken som passer med funksjonssuttrykket, ser jeg på nullpunktene til graf A. Et av nullpunktene har koordinatene (1,0), og jeg ser om dette stemmer med funksjonsuttrykket til g: g (1) 1 1 11 A er ikke grafen til g. Da må det være graf F, men jeg sjekker for sikkerhets skyld: g () 4 0 Dette stemmer. Grafen til funksjonen g er graf F. Funksjonen h er en rett linje med konstantledd 1 og stigningstall ½. Det betyr at den skjærer y- aksen i 1 og y vokser med ½ enhet for hver enhet x vokser. Grafen til funksjonen h må da være graf E. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 015 - løsning Side 10 av 5
Oppgave 1 (5 poeng) En bedrift produserer og selger en vare. Kostnadene K(x) kroner og inntektene I(x)kroner ved produksjon og salg av x enheter av varen er gitt ved K( x) 8,5x 5x 11900 10 x 100 I( x) 790x 10 x 100 a) Bruk graftegner til å tegne grafene til funksjonene K og I i samme koordinatsystem. Jeg bruker GeoGebra og skriver I( x) Funksjon[790 x,10,100] K( x) Funksjon[8.5 x 5x 11900,10,100] og b) For hvilke verdier av x er inntektene og kostnadene like store? Jeg finner skjæringspunktene mellom K og I ved å bruke kommandoen Skjæring mellom to objekt, og får (0,15800) og (70,55300). Se graf. Kostnadene og inntektene er like store for x-verdiene 0 og 70. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 015 - løsning Side 11 av 5
c) Hvor mange enheter av varen må bedriften produsere og selge for at overskuddet skal bli størst mulig? Hvor stort blir overskuddet da? Overskuddet blir størst mulig når differansen mellom I og K er størst mulig: I( x) K( x) 790x 8,5x 5x 11900 Dette er en andregradsfunksjon, og jeg finner toppunktet i CAS i GeoGebra: Bedriften får størst overskudd når de produserer og selger 45 enheter. Overskuddet blir da 531,50 kroner. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 015 - løsning Side 1 av 5
Oppgave (3 poeng) For 3 år siden kjøpte Silje en ny scooter. Verdien av scooteren har falt med 15 % per år. I dag har scooteren en verdi på ca. 8 600 kroner. Anta at verdien vil fortsette å falle med 15 % per år. a) Bestem scooterens verdi om år. Vekstfaktoren er 100 15 85 0,85 100 100 Scooterens verdi om år er ca. 600 kroner. b) Hvor mye kostet scooteren da den var ny? Jeg løser likningen Scooteren kostet 14 000 kroner da den var ny. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 015 - løsning Side 13 av 5
Oppgave 3 (5 poeng) Den svarte grafen i diagrammet ovenfor viser hvordan prisen for et fat olje, gitt i dollar (USD), utviklet seg fra slutten av oktober 014 til slutten av januar 015. Den grønne grafen viser hvordan dollarkursen utviklet seg i den samme perioden. Dollarkurs er prisen for 1 dollar (USD) i norske kroner (NOK). Prisen for et fat olje (i USD) er gitt til venstre i diagrammet og dollarkursen (i NOK) til høyre i diagrammet. a) Hvor mange USD har prisen for et fat olje gått ned i løpet av perioden som er vist i diagrammet? Hvor mange prosent tilsvarer dette? Nedgang i USD = 85 49 = 36 36 Nedgang i prosent = 100 % 4,4 % 85 Prisen for et fat olje har gått ned med 36 dollar i løpet av perioden. Dette tilsvarer 4,4 %. b) Bestem prisen for et fat olje i NOK i starten av perioden som er vist i diagrammet. 856,6 561 Prisen for et fat olje var ca. 560 kroner i starten av perioden. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 015 - løsning Side 14 av 5
c) Hvor mange NOK har oljeprisen gått ned i løpet av perioden som er vist i diagrammet? Hvor mange prosent tilsvarer dette? Finner prisen for et fat olje i NOK i slutten av perioden: 497,7 377,3 Nedgang i NOK = 561 377 = 184 184 Nedgang i prosent = 100 % 3,8 % 561 Prisen for et fat olje har gått ned med 184 kroner i løpet av perioden. Dette tilsvarer 3,8 %. d) Sammenlikn svarene i oppgave a) og oppgave c), og kommenter. Nedgangen i oljepris er større i dollar enn i norske kroner. Dette skyldes at dollarkursen har steget samtidig som oljeprisen har gått ned. Dermed blir ikke nedgangen like stor i norske kroner som i dollar. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 015 - løsning Side 15 av 5
Oppgave 4 (8 poeng) Til høyre ser du Sofies timeliste for februar. Ordinær arbeidstid er 37,5 timer per uke. Arbeid utover dette regnes som overtid. a) Lag et regneark som vist i figur 1 nedenfor, og bruk dette Uke 7 til å Uke 8 bestemme nettolønnen til Sofie i februar. Legg inn Uke 9 opplysningene fra timelisten i de lysegrå cellene, og lag formler i de mørkegrå cellene. Timeliste februar Uke 6 40 timer 41 timer 37,5 timer 39 timer Figur 1 Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 015 - løsning Side 16 av 5
Bruker Excel: Med formler: Nettolønnen til Sofie i februar er 15 407 kroner. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 015 - løsning Side 17 av 5
Sofie overfører noe av månedslønnen til en sparekonto. Se figur. Beløpet som overføres til sparekontoen, rundes av nedover til nærmeste hele krone. Figur b) Utvid regnearket fra oppgave a) som vist i figur. Lag formler i de mørkegrå cellene. Bruk regnearket til å bestemme hvor stort beløp Sofie overførte til sparekontoen i februar. Med formler: Sofie overfører 335 kroner til sparekontoen i februar. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 015 - løsning Side 18 av 5
Anta at Sofie jobbet nøyaktig 37,5 timer hver av de fire ukene i februar. c) Bruk regnearket du laget i oppgave a) og b), til å bestemme hvor stort beløp hun da ville ha overført til sparekontoen. Siden hun ikke overstiger 15 000 kroner netto denne måneden, vil den ekstra overføringen i celle B bli negativ, slik som regnearket er laget. Denne skal være 0, så vi må passe på at vi ikke tar med dette tallet dersom det blir negativt. Sofie ville ha overført 858 kroner til sparekontoen dersom hun ikke hadde jobbet overtid. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 015 - løsning Side 19 av 5
Oppgave 5 (5 poeng) I figuren over er AD = 5, BD = 10, DF = 3 og BG = 9. a) Bestem AF og FG. Bruker Pytagoras setning: AF AD DF AF AF 4 5 3 AG AB BG AG 15 9 AG 1 FG AG AF FG 1 4 FG 8 AF er 4 og FG er 8. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 015 - løsning Side 0 av 5
Figuren til høyre viser en tank formet som en rett avkortet kjegle. Radius i bunnen er r = 3 m, og radius i toppen er R = 9 m. b) Hvor mange liter rommer vanntanken? Jeg finner volumet av kjeglen dersom den ikke var avkortet, og trekker fra volumet av kjeglen som er «kuttet bort». Det står ingenting om høyden til tanken. Jeg forutsetter derfor samme høyder som i oppgave a). 1 1 V 9 1 3 4 3 3 Jeg regner i CAS i GeoGebra: 3 980,18 m 980180 liter Vanntanken rommer ca. 980 180 liter. Tanken fylles med vann. Vannet renner inn i tanken med konstant fart. c) Hvilken av de tre grafene nedenfor illustrerer best hvordan vannhøyden i tanken endres med tiden? Begrunn svaret ditt. Graf 3 illustrerer best hvordan vannhøyden i tanken endres med tiden, ettersom tanken er smalest i bunnen, og gradvis blir bredere og bredere. Vannhøyden vil da stige raskt til å begynne med, men så stige mindre og mindre etter hvert som tiden går. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 015 - løsning Side 1 av 5
Oppgave 6 ( poeng) Petter er en ivrig løper og trener hver dag. Han har tre ulike skopar som han veksler på å bruke. Når han skal ut og løpe, tar han tilfeldig et skopar. a) Bestem sannsynligheten for at han kommer til å bruke samme skopar de neste tre dagene. Hvert skopar har en sannsynlighet på 1/3 for å bli valgt. Dersom han skal bruke de samme skoparene tre dager på rad, kan dette enten være de blå, de røde eller de grønne. P(samme par tre dager på rad) = 3 1 1 3 3 9 Sannsynligheten for at Petter bruker samme skopar de neste tre dagene er 1/9. b) Bestem sannsynligheten for at han kommer til å bruke tre ulike skopar de neste tre dagene. Første dagen kan Petter velge hva som helst. Neste dag må han velge et av de to parene han ikke valgte første dagen, og tredje dagen må han velge det siste paret. 1 P(ulike par) = 1 3 3 9 Sannsynligheten for at Petter velger tre ulike skopar er /9. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 015 - løsning Side av 5
Oppgave 7 (8 poeng) En formel for utregning av bremselengde er gitt ved der v s 19,6 f s = bremselengde (m) v = fart (m/s) f = friksjonsfaktor På tørt sommerføre er friksjonsfaktor f mellom 0,8 og 1,0. På glatt vinterføre kan f være nede i 0,. a) Vis at en fart på 40 km/h tilsvarer en fart på ca. 11,1 m/s. 40 km 40 1000 m 11,1 m h 6060 s s b) Bestem bremselengden på sommerføre med f = 0,8 når farten er 40 km/h, og når farten er 80 km/h. Bestem bremselengden på vinterføre med f = 0, når farten er 40 km/h, og når farten er 80 km/h. Bremselengden på sommerføre blir 7,9 m med 40 km/h og 31,4 m med 80 km/h. Bremselengden på vinterføre blir 31,4 m med 40 km/h og 15,7 m med 80 km/h. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 015 - løsning Side 3 av 5
c) Hvordan endrer bremselengdene i oppgave b) seg når farten dobles? Er bremselengde og fart på glatt vinterføre proporsjonale størrelser? Vi ser av beregningene ovenfor at når farten fordobles, så firedobles bremselengden Dette stemmer med svarene v 4v Når farten dobles, firedobles bremselengden. Bremselengde og fart er ikke proporsjonale størrelser. Hadde de vært det, ville bremselengden også doblet seg når farten ble doblet. d) Gjør beregninger og finn en regel for hvor fort du kan kjøre på glatt vinterføre med f = 0, for å få samme bremselengde som du har på sommerføre med f = 0,8. Setter formlene over lik hverandre: v v sommer vinter 19,60,8 19,60, v sommer vinter v 19,6 19,6 0, 0,8 vsommer vvinter v v sommer vinter v sommer v vinter 4 Du må halvere farten på glatt vinterføre for å få samme bremselengde som du ville fått på sommerføre. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 015 - løsning Side 4 av 5
Bildeliste Olje og dollarkurs: http://offshore.no/prosjekter/olje-pris.aspx (0.01.015) Andre bilder, tegninger og grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Løsninger: Roar Edland-Hansen, NDLA matematikk. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Høsten 015 - løsning Side 5 av 5