Matematikk R1 Forslag til besvarelse NITH 4. mars 014 Oppgave 1 a) Regn ut p x) når px) = x 3 3x + 6x 1. p x) = x 3 ) 3x ) + 6x) 0 = 3x ) 3x) + 6 1 = 6x 6x + 6 b) Regn ut p x) når px) = ax + bx + c. Her er a, b, c villkårlige konstanter) Fremgangsmåten er som over rett og slett leddvis derivasjon. p x) = ax ) + bx) + 0 = ax + b c) Regn ut p x) når px) = x + )x 3). Her finnes det flere fremgangsmåter i) Vi kan gange ut parentesene og så derivere: px) = x x 6. Dermed er p x) = x 1 ii) Vi kan bruke produktregelen: p x) = x + ) x 3) + x + ) x 3) = 1 x 3) + x + ) 1 = x 1 1
Oppgave a) Regn ut 4 x ) 4 x ) = 4) x ) = 0 x = x b) Bruk kvotientregelen til å regne ut 4 x x ) ) 4 x = 4 x ) x) 4 x ) x) x x) = x x) 4 x ) 1) x) = 4x + x + 4 + x x) = x 4x + 4 x) Dette er et rasjonalt uttrykk som vi kan forsøke å forkorte. Nevneren har kun nullpunktet x =. Vi kontrollerer om dette er et nullpunkt også for telleren: 4 + 4 = 0. Dette betyr at x ) er en faktor i telleren. Polynomdivisjon viser at x 4x + 4): x ) = x ). Dermed har vi 4 x x ) = x 4x + 4 x ) = x x = 1 Merk: Det finnes en snarvei til dette svaret: Fordi 4 x ) = x) + x), kan vi skrive 4 x x = x) + x) x = + x og deretter derivere. c) Bruk produktregelen til å regne ut 4 x )4 + x ) )
4 x )4 + x ) ) = 4 x ) 4 + x ) + 4 x )4 + x ) = x)4 + x ) + 4 x )x) = 8x x 3 + 8x x 3 = 4x 3 Merk: Her finnes det en snarvei: Hvis vi ganger ut parentesene får vi 4 x )4 + x ) = 16 x 4, et uttrykk som det er superenkelt å derivere. d) Regn ut f x) når fx) = 4 x ) 10. La ux) = 4 x. Vi vet fra forrige punkt at u x) = x. La gu) = u 10. Ved potensregelen vet vi at g u) = 10u 101. Siden fx) = gux)) kan vi nå bestemme den deriverte ved å bruke kjerneregelen: f x) = g ux)) u x) = 10ux)) x) = 04x4 x ) 101 Siden 101 er et oddetall, kan man skrive svaret slik: f x) = 04xx 4) 101. Merk: Her så du en veldig omstendelig bruk av kjerneregelen. e) Regn ut f x) når fx) = e 4 x). Tips: e x ) = e x. Ved kjerneregelen får vi e 4 x) = e 4 x 4 x ) = xe 4 x Merk: Her er gu) = e u og ux) = 4 x. f) ekstra) Regn ut lne x )) ved å bruke kjerneregelen. lne x )) = 1 e x ex ) = 1 3
g) ekstra) Regn ut ln 4 x ) 10)) Her kan vi bruke kjerneregelen med ux) = 4 x ) 10 og gu) = lnu). Fra før vet vi at u x) = 04x4 x ) 101. Dermed er ln 4 x ) 10)) = 1 4 x ) 10 04x4 x ) 101) = 04x 4 x. Det finnes flere måter å bruke kjerneregelen i dette tilfellet. Her har du et alternativ: Vi kan la ux) = 4 x og gu) = lnu 10 ). Da får vi Siden u x) = x, gir dette g u) = 1 u 10 10u101 ) = 10 u. ln 4 x ) 10)) 10 04x = x) = 4 x 4 x. Merk: Hvis man vil bruke logaritmeregning, finnes det en fin snarvei: Dette kan man bruke til å forenkle derivasjonen. ln 4 x ) 10) = 10 ln4 x ). Oppgave 3 La fx) = 1 3 x3 x + x 1. a) Finn en formel for f x). Ved leddvis derivasjon får vi f x) = x x + 1. b) Finn ligningen for tangenten til grafen y = fx) i punktet x = 0. 4
f0) = 1 og f 0) = 1. Tangenten passerer altså gjennom punktet x 0, y 0 ) = 0, 1) og har stigningstall a = 1. Ettpunktsformelen gir y + 1 = y y 0 = ax x 0 ) = 1x 0) = x Vi løser ut y og får y = x 1. Tangenten har altså ligning y = x 1. c) Finn alle x-verdier der tangentlinjen er horisontal. Det at tangenten er horisontal i et punkt x er det samme som at f x) = 0. Ved annengradsformelen eller ved faktoriseringen f x) = x 1) ), ser vi at Tangentlinjen er horisontal kun for x = 1. f x) = 0 x = 1. d) ekstra) Finn det andre punktet på grafen y = fx) der tangenten er parallell med tangenten i punktet x, y) = 0, f0)). Det at to linjer er parallelle er det samme som at de har samme stigningstall. Vi skal altså finne et punkt x = a slik at f a) = f 0). Siden f 0) = 1, er a bestemt av ligningen f x) = 1. Løser ligningen: f x) = 1 x x + 1 = 1 x x = 0 xx ) = 0 x = 0) x = ) Det finnes altså to x-verdier der f x) = 1, nemlig x = 0 Som vi kjenner til fra før) og x =. Det andre punktet på grafen y = fx) der tangenten er parallell med tangenten i punktet 0, f0)) er altså, f)) =, 1/3) Oppgave 4 5
La fx) = x 3 6x + 9x. a) Drøft monotoniegenskapene til fx). Vi deriverer og faktoriserer f.eks ved å bruke annengradsformelen) Dette gir følgende fortegnsskjema f x) = 3x 1x + 9 = 3x 4x + 3) = 3x 1)x 3) 1 3 x 3 x 1 x 3 f x) fx) T.P B.P Utifra dette fortegnsskjemaet ser vi at fx) vokser når x < 1) x > 3) og at fx) avtar når 1 < x < 3. b) Bestem topp- og bunnpunktene til fx). Fra forrige punkt vet vi at x = 1 er et maksimumspunkt for fx). Dermed vet vi at 1, f1)) = 1, ) er et toppunkt. Fra forrige punkt vet vi at x = 3 er et minimumspunkt for fx). Dermed vet vi at 3, f3)) = 3, ) er et bunnpunkt. c) Drøft krumningsegenskapene til fx). Vi deriverer f x) og får f x) = 6x 1 = 6x ) Dette gir følgende fortegnsskjema: x 6 x f x) fx) V.P 6
Vi ser altså at fx) er konkav for x < og konveks for x > og at x = er et vendepunkt. d) Finn ligningen til vendetangenten Tangenten i vendepunktet). f) = 0, så vendetangenten går gjennom punktet x, y) =, 0) Den deriverte i vendepunktet, f ) = 3 1 +9 = 3. Vendetangenten har altså stigningstall x = 3. Vi finner ligningen for tangenten ved ettpunktsformelen: y y 0 = ax x 0 ) y 0 = 3x ) y = 6 3x Oppgave 5 Vi kan regne ut arealet A til en sylinder med radius r og høyde h ved formelen A = Grunnflate + Sylindervegg + Toppflate = πr + πrh + πr = πr + rh). Volumet V regner vi ut etter formelen V = Grunnflate Høyde = πr h. Vi skal nå se på en sylinder S som vi har én opplysning om, nemlig at volumet til S er lik π. a) Begrunn at h = 1/r i sylinderen S. Siden volumet V = π, gir volumformelen at V = π π = πr h 1/π r h = 1 1/r h = 1/r b) La x = r. Da er h = 1/x. Begrunn at arealet til sylinderen kan skrives som A = πfx) der fx) = x + 1 x 7
A = πr + rh) = π x + x 1x ) = π x + 1 ) = πfx). x c) Drøft monotoniegenskapene til fx) = x + 1 x. Se tips i fotnote1 f x) = x 1 x = x3 1 x = x3 1 ) x Her kan man gjerne tegne opp et fortegnsskjema. Resultatet blir i alle fall at fx) avtar når x < vokser når x > 1. x = 1 3 3 er et bunnpunkt for fx). 1 3 og d) For hvilken verdi av r er overflatearealet A av sylinderen S minimalt? I forrige oppgave så vi at x = 1 3 arealet A = πfx) er minimalt når f = x = 1. 3 var bunnpunkt for fx). Dette medfører at e) Anta at S har minimalt overflateareal. Regn ut forholdet h/r. Fra punkt a) har vi at h = 1/r. Dermed er h r = 1/r = 1 r r 3 = 1 1/ 3 ) = 1 3 1 = f) Hvordan ser sylindere med minst mulig overflate i forhold til volum ut? Hvordan ser hermetikkboksene i butikkene ut? 1 Det kan være vanskelig å faktorisere polynomer av typen x 3 a, men vi kan likevel sette opp fortegnsskjemaet: x 3 a er en voksende funksjon som er 0 når x = 3 a. Husk på at vi kan trekke ut tredjerøtter for både positive og negative tall. I motsetning til kvadratroten). Eksempel: Polynomet x 3 8 får dermed fortegnsskjemaet x x 3 8 Slike polynomer har alltid en faktorisering av typen x 3 a = x 3 a)x + bx + c) der x + bx + c er et polynom uten nullpunkter. D.v.s. at konklusjonene i forrige punkt og i punkt a) gjelder. 8
I en sylinder med minst mulig overflate i forhold til volum er forholdet mellom høyden og radien lik. D.v.s at høyden er lik grunnflatens diameter. Den er i korte trekk like høy som den er bred. Jeg tror de færreste hermetikkbokser ser slik ut. For å forstå virkelige hermetikkbokser må man se på i) Hvor mye er de i stand til å romme? ii) Materialkostnader for bunn, topp og sylindervegg. iii) Kostnad ved å sy sammen bunn, topp og sylindervegg. iv) Praktiske hensyn: Stabling o.s.v v) Estetiske hensyn: Etikett, synlighet o.s.v. 9