MX esamen.5.5 - Privatister Løsningssisse Ie ontrollert og dobbeltsjeet! Kan være feil her... Oppgave a) sin cos,, sin cos sin,tan sin.588.588.588 L.588 b) f lncos f fu lnu,u cos, i vadrant f f u u u sin sin cos tan c) ) sind sin d cos C cos C ) 5 d Kan multiplisere ut: 5 7 5 9 7 5 9 d 5 7 6 6 9 8 8 5 C, men det er ie noe fristende. Substitusjon: u du d u 5 du u5 du d du u 6 6 C 6 C d) r t cost,sint,t,[m],t i seunder ) v t r t sint,cost, at v t cost,sint, ) v t sint cost sin t cos t 5 (Konstant banefart.) at cost sint cos t sin t (Konstant baneaselerasjon.) ) v t at sint,cost,cost,sint, sintcost costsint sintcost sintcost Aselerasjonsvetoren og hastighetsvetoren står altså normalt på hverandre. Fysiere vet at dette følger av at banefarten er onstant, aselerasjonsvetoren er derfor bare endring av retning og står derfor hele tiden normalt på hastigheten, inn mot senterlinjen i sylinderen. Hastigheten er selvfølgelig som vanlig tangent til urven. ) s v t dt 5 dt 5 t 5 5 8. 9 [m] Oppgave Spireevne: p 65%.65 (Ssh. for at et tilfeldig valgt frø spirer.) a) Hvis vi antar at frøene spirer uavhengige av hverandre, er antall frø som spirer binomis fordelt, da eneltforsøet bare har to utfall og vi teller antall susesser i n eneltforsø. Altså: PX b n p p n, LR: binompdf(n,p,x) n : PX 5.65 5.5 5.7, LR:binompdf(,.65,5) 5 b) n 6 6 6 PX.65.5 6.9 99 6 eller PX 99.65.5 6.9 LR:-binomcdf(6,.65,99)
c) n Andel i stiprøve, som også er estimat for p: p.5 Standardfeil: S pp.5.5 p n.79 d) np og n p er begge større enn, så vi an brue normalfordelingstilnærming: Pp.96 p p.96.95 Omformet: P p.96 p p.96.95 Tilnærmet med estimatorer: P p.96s p p p.96s p.95 95% onfidensintervall: p.96s p, p.96s p.5.96.79,.5.96.79.5,. 655 Står ie presist hva man ontrollerer, men jeg regner med at man ønser å ontrollere om de gamle frøene har lavere spireevne enn "normale" frø. Da onfidensintervallet deer p.65 har vi intet grunnlag for å si at de gamle frøene spirer noe dårligere enn nye. Oppgave a) AB,,, AC,,, AD,, AB AD,,,, AC AD,,,, AD står altså normalt på AB og AC, to vetorer, som ie er sammenfallende, i planet. AD må da stå normalt på alle vetorer i planet og er derfor en normalvetor n,,. ABAC b) cos AB AC Grunnflaten ABC,,,,, altså AB AC AB AC Høyden er AD, så volumet blir: 9 ABC AD 9 9 c) Alle vetorer,y,z i planet, fra A til et punt,y,z må stå normalt på normalvetoren: n,y,z,,,y,z y z B på l?: t,7 5t,9 7t,, gir t 7 5t 9 7t t t 6 5 t 9 B ie på linje. C på l?: t,7 5t,9 7t,, gir t 7 5t 9 7t t t t C på linje. d) OE,7 5,9 7 5,7, E 5,7, Velger et punt i planet, for enelthets syld A,, EA 5,7, Avstanden er d EA cos der er vinelen mellom EA og normalvetoren n. Omformer: d EA n cos n EAn n 5,7,,, 7
Oppgave Alternativ I f sin cos,, LR: Ysin(X) (-cos(x)) a) y.5.5.5.5.75.5.5 -.5 b) A sin cos d fnint(y,x,,/).667 (Substitusjon: u cos gir du sin d du og integralet: d sin sin u du u du u C cos C sin Altså A cos ) c) V f d sin cosd *fnint(y^,x,,/). Den som har god tid an også: sin cosd sin d sin cosd cos d sin cosd (siste med substitusjonen u sin ) sin sin C Som gir: V sin sin. d) f gs sin cos d. Pers volum: V p 8.889 9 (For lite.) e) En jegle er åpenbart (se graf) en bedre tilnærming: V Gh 6. 6 Sammenligner vi en jegle og en sylinder med omtrent halve radius, ser vi: V s r h V r h hr V s Kjeglen er altså over % større. Alternativ II Ht.sin.7t.6 a) Sammenligning med Ht L A sin t.6 gir: T Lievetslinje: L [timer] Periode:.7 T 65. [dager] (ie så overrasende...) T.7 Amplitude: A. [timer] b)
y 5 5 5 5 5 5 c).sin.7t.6 sin.7t.6.8..7t.6.985.7t.985 l t.985.6 t.985.6 l.7.7.7.7 t 6. 65. t.5 l65. Altså på dag 6 og dag. d) H t.cos.7t.6.7.cos.7t.6 H t er masimal når cos.7t.6 er, altså for.7t.6 t.6 65. 79. 65..7 Altsåpådag79. (Litt unødvendig å dobbeltderivere for å finne vendepunt når vi har med cos- og sin-funsjoner ågjøre.) d jan.sin.7t.6d t.cos.7t.6.7 t.cos.7t.6.cos.7.6.cos.6 7.cos.87.cos.6 9.89 [timer] d juni 8 85.sin.7t.6d 5 8 t.cos.7t.6 5 8.cos.7 8.6 5.cos.7 5.6. [timer] Oppgave 5 a) ) Hver svingning gir 99% av den forrige, altså:,. 99,.99,... Altså geometris følge med a [cm] og votient.99: a n a n.99 n S n a n.99n.99.99 n ) a n 5.99 n 5.99 n.5 n ln.5 ln.99 Altså n 7 n 69. 968 ) S n.99 n..99 n n ln. ln.99 n 9. Altså n ) S a.99 og lengre blir det ie..., så streningen an ie bli. b) a a a a,dera, Med a a som ujent får vi: a a a a a a a a aa a (forastes)a
Reens sum: S a Deriverer (brøfunsjon) for å finne estremalpunter: S Teller li gir: med løsning (forastes) En sisse av grafen viser at dette er et minimumspunt for S. Altså har vi: a og Kontroll: a a a a a 6 8 VS: a a 6 8 8 8 8 HS: a a 8 8 8 5