For J kvantiseringsnivåer er mean square feilen:

Transkript

1 Slide 1 Slide 2 Kap. 6 Bilde kvantisering Kap. 6.1 Skalar kvantisering Desisons og rekonstruksonsnivåer velges ved å minimalisere et gitt kvantiseringsfeilmål mellom f og ˆf. Kvantisering: Prosessen som transformerer en analog sampel, f, til en diskret sampel, ˆf. Digital lagring: hvor mange bit skal vi bruke for å lagre hvert sampel? Amplituden til et analogt sampel sammenliknes med en mengde av desisonsnivåer. Desisonsnivåer: Verdier på tallskalaen, d, med min. og max. verdi og a U. Hvis sampel amplituden faller mellom to desisonsnivåer, blir sampelet kvantisert til et fast rekonstruksonsnivå, r. Mean square (ms) benyttes ofte. Det antas at f er et sampel fra en tilfeldig prosess med kent sannsynlighetstetthetsfunkson p(f). For J kvantiseringsnivåer er mean square feilen: E ms = E{(f ˆf) 2 } = J 1 = =0 d+1 d (f ˆf) 2 p(f)df (f r ) 2 p(f)df Kvantiseringsproblemet er å bestemme desisonsnivåene, d, med tilhørende rekonstruksonsnivåer, r, slik at hvis blir f kvantisert til r. d f < d +1 Valg av r og d for høye verdier av J Slide 3 Slide 4 forts. Valg av r og d for høye verdier av J Hvis J er stor kan p(f) representeres som en konstant verdi, p(r ), i hvert kvantiseringsintervall. Mean square feilen blir da: J 1 d+1 E ms = p(r ) (f r ) 2 df =0 d = 1 J 1 p(r )[(d +1 r ) 3 (d r ) 3 ] 3 =0 Optimal plassering av r i området d til d +1 kan finnes ved = 0 r = d +1 + d δr 2 Ligningene over gir da: E ms = 1 12 p(r )[d +1 d ] 3 Optimalt valg av d kan finnes ved å minimalisere E ms. En approksimert løsning er: der d = (a U ) a [p(f)] 1 3 df [p(f)] df a = (a U ) J + Hvis p(f) er uniform: Avstanden mellom d og d +1 lik for alle. Dette kalles uniform kvantisering. For ikke uniforme fordelinger, er d mindre i områder av p(f) med høy amplitudeverdi, enn i områder med lav amplitudeverdi.

2 Slide 5 Slide 6 Valg av r og d for lave verdier av J Companding kvantisering Tar utgangspunkt i : E ms = Ved å sette δd = 0 og får vi et sett av likninger r = 2d r 1 og r = (f ˆf) 2 p(f)df δr = 0 d +1 d fp(f)df d +1 d p(f)df Anta en ikke uniform fordeling p(f): Transformer f til g vha den ikke-lineære transformen T Foreta uniform kvantisering av g Invers transformer med T 1 Rekursiv løsning av ligningene over for en gitt p(f) gir optimale verdier for d og r. Tabeller for noen kente fordelinger finnes. For uniforme fordelinger blir min. ms feil med den rekursive løsningen: E min = 1 12J 2 Ikke lineær kvantisering vha companding er en approksimason til den optimale rekursive metoden. Nøyaktigheten øker med økende antall kvantiseringsnivåer. Kap.6.2 Vektor kvantisering Slide 7 Kvantisering av en vektor med (kontinuerlig amplitude) sampler kan utføres ved: Sekvensiell kvantisering Vektor kvantisering Sekvensiell: Hver sampel kvantiseres individuelt. Vektor kvantisering: Kvantiseringsfeilen kan ofte reduseres ved at elementene i vektoren kvantiseres sammen. Vektor: f = [f1,..., f N ] med kent sannsynlighetstetthet p( f) = p[f 1,..., f N ] forts. Vektor kvantisering Slide 8 Vektor kvantisering: subdeling av det N-dimensonale vektor rommet i J desisonsregioner D. En vektor f blir kvantisert til rekonstruksonsvektor r hvis f ligger i D. Mean square feil for vektor kvantisering kan skrives som: E ms = tr[( f r )( f r ) T ]p( f)d f D Optimal r finner vi ved: r = D fp( f)d f D p( f)d f δe rm δ r = 0 der r er det betingede gennomsnitts estimatet til f. Min. ms feil blir nå : E min = tr[r f r r T P { f D }] der R f er korrelasonsmatrisen til f.

3 Slide 9 Slide 10 Problemer ved Vektor kvantisering Valg av D for å min. ms feilen Valg av optimal r for gitt D krever at p( f) er kent. Men denne er ofte ikke tilgengelig Vanskelig å beregne r Må ofte forenkle den generelle vektor kvantiseringsprosessen: Kvantisere hvert element separat, men beregne r vha D. D blir da i et 3D rom et rektangulært parallellogram. Det finnes løsninger for noen gitte fordelinger, p( f). Det finnes en dynamisk programmerings løsning, men D har ofte kompleks form og er vanskelig å beregne. En suboptimal løsning er å begrense ant. kvantiserings nivåer J(i), i=1,2,...,n, og kvantisere separat. Antall kvantiserings-nivåer er avhengig av antall bit: J(i) = 2 B(i), der B(i) er antall bit for i te vektor element. Totalt antall bit: B T = i B(i). Problemet reduseres da valg av J(i), i=1,2,...,n, for et gitt antall bit B T. Dette kalles Blokk kvantisering. En blokk kvantiseringsmetode Slide 11 Slide 12 Kap. 6.3 Prosessering av kvantiserte variable Ready og Wintz Hvis lineær kvantisering er den te heltallsverdien gitt ved: Beregn B(i) = B T N +2log(σ2 (i)) N 2 log(σ 2 ()) = [(J 1) f a U ] N Rund av B(i) til heltall der J er ant. kvantiseringsnivåer og N runder av til nœrmeste heltall. Juster B(i) mht B T = i B(i) σ 2 (i) er variansen til i te element. B T er gitt totalt antall bit. Korresponderende r er: r = a U + a U + J 2J Hvis vi skal utføre en lineær operason, kan vi benytte istedenfor r. Hvis kvantiseringen er ulineær, må vi lagre r.

4 Slide 13 Slide 14 Kvantisering - dataanalyse vs. display Kap. 6.4 Monokrom og farge bilde kvantisering Pratt diskuterer bare display av bilder i 6.4. For å trekke ut den informasonen man ønsker fra bildet, trenger man gerne flere kvantiseringsnivåer. Vanlig datatyper: Bit 0-1 Byte Unsigned short Signed short Real, 32 bit Double, 64 bit Eksempel: SAR data (16 bit or complex) Monokrom bilde kvantisering Monokrome bilder (gråtone bilder) består ofte av en sekvens av like lange binære kodeord, kalt PCM kode. Antall amplitude kvantiserings nivåer er da: L = 2 B der B er ant. bit pr. sample. Antall bit bestemmer bilde kvaliteten. Øyet kan skille mellom ca. 10 til 15 gråtoner, men vi ser flere gråtone differanser. For få gråtoner gir uønskede effekter, kvantiserings effekter. Contouring: Gråtone konturer som skyldes hopp fra r til r +1 i områder der det originale bildet har sakte varierende gråtoner Slide 15 Slide 16 forts. Monokrom bilde kvantisering Minimum antall gråtoner som kreves for å hindre contouring avhenger av: støy før og etter digitalisering linearitet på display Det finns mange arbeider som prøver å bestemme antall og plassering av kvantiseringsnivåer for å minske effekten av gråtone konturer. Et arbeid viser at 6 bits (64 nivåer) gir bra bilder, mens 5 bits (32 nivåer) bilder har noe kontur problemer. Farge bilde kvantisering En farge kan representeres vha R,G og B tristimulus verdier. C = rr + gg + bb Vi kan kvantisere hver komponentet for seg på tilsvarende måte som for monokrome bilder. Siden øyet har ulik sensitivitet for forskellige farger kan mer effektiv kvantiserings metode benyttes. Generell farge bilde kvantiserings modell. Tar utgangspunkt i R, G, B Konverterer R, G, B til x(1), x(2), x(3) vha T Kvantiser x(1), x(2), x(3) til ˆx(1), ˆx(2), ˆx(3) Invers transformer ˆx(1), ˆx(2), ˆx(3) til ˆR, Ĝ, ˆB Vi kan kvantisere x(1), x(2), x(3) separat eller sammen (vektor), og vi har de samme problemene som tidligere nevnt under vektor kvantisering.

5 Slide 17 Slide 18 forts. Farge bilde kvantisering forts. Farge bilde kvantisering Antar lineær kvantisering av hver farge komponent til 2 B(i) nivåer, der B(i) er antall bit for komponent x(i). Totalt antall bit B T = B(1) + B(2) + B(3) La a U (i) og (i) være øvre og nedre grense for x(i). Da har hver kvantiseringscelle dim.: q(i) = a U (i) (i) 2 B(i) Kan kvantisere fargekomponenter i andre fargerom enn R, G, B. Jain og Pratt har sett på optimal kvantisering for å gøre avstanden mellom orginal og rekonstruert farge minst mulig. R,G,B rommet gav best resultat. I andre fargerom blir ikke alle kvantiseringsnivåer benyttet, og dette er verre enn at R,G,B ikke er uniform. Hver farge komponent x(i) vil bli kvantisert til ˆx(i). Maksimum feil langs hver akse: ɛ(i) = x(i) ˆx(i) = a U(i) (i) 2 B(i)+1 Kvantisert fargekomponent: ˆx(i) = x(i) ± ɛ(i)