Plangeometri Romgeometri Høyere dimensjoner. Vinkler. Arne B. Sletsjøe. Universitetet i Oslo. Faglig-pedagogisk dag, 1.

Transkript

1 Universitetet i Oslo Faglig-pedagogisk dag, 1. november 2012

2 Plangeometri Vinkelsummen i en plan trekant er 180 grader eller π.

3 Vinkelsummen i en firkant er 2π.

4 Proposisjon For en mangekant med vinkler α 1, α 2,..., α n har vi n α i = (n 2)π i=1 Bevis. Velg ut ett hjørne og trekk linjer til alle andre hjørner. Mangekanten dekkes av n 2 trekanter og vinkelsummen er lik summen av vinkelsummen i disse trekantene.

5 Definisjon Krumningen i et punkt på en glatt kurve er gitt ved 1 delt med radius i den sirkelen som best approksimerer kurven i punktet, den såkalte oskulasjonssirkelen. Totalkrumningen til kurven er gitt ved integralet (summen) av krumningen i alle punkter.

6 Frenchels teorem Plangeometri Werner Fenchel viste i 1929 følgende resultat: Teorem Totalkrumningen til en lukket romkurve er større enn eller lik 2π, med likhet dersom kurven er plan og konveks. Spesielt vil en sirkel i hvert punkt approksimeres best av seg selv, krumningen i alle punkter der derfor 1 r, og totalkrumningen er lik krumning ganger omkrets, dvs. 1 r 2πr = 2π, som bekrefter Frenchels resultat i det tilfellet.

7 Mangekant med n hjørner n Glatt konveks plan kurve Problem Spikkeproblemet (i planet): Kan vi definere en størrelse knyttet til hjørnene (og kantene) i en mangekant, som tilfredsstiller to krav: 1. Størrelsen endrer seg ikke dersom vi skjærer av et hjørne 2. Størrelsen tåler grenseovergangen til det kontinuerlige tilfellet og svarer da til krumning på grensekurven.

8 Definerer funksjon φ : S 1 R ved { 0 {0 + λv} C = {0} φ(v) = 1 ellers Definisjon Indre vinkel: α(c) = φ ds S 1

9 Definisjon Ytre vinkel (nabovinkel): α = π α(c)

10 Proposisjon Ytre vinkelsum er invariant under avkutting av hjørner, dvs. lik for alle mangekanter. Bevis. n αi = i=1 n (π α i ) i=1 = nπ n i=1 α i = nπ (n 2)π = 2π som er uavhengig av antall hjørner i mangekanten.

11 Plangeometrisk konklusjon: Ytre vinkler i hjørner og krumning i glatte områder er av samme natur. For en lukket, konveks kurve i planet kan de summeres opp og vil til sammen gi 2π. Gitt ved r = a cos 2θ og krumningen κ(θ) = 1 a π 2 θ π cos 2 2θ (4 3 cos 2 2θ) 3 2,

12 Problem Spikkeproblemet (i planet): Kan vi definere en størrelse knyttet til hjørnene (og kantene) i en mangekant, som tilfredsstiller to krav: 1. Størrelsen endrer seg ikke dersom vi skjærer av et hjørne 2. Størrelsen tåler grenseovergangen til det kontinuerlige tilfellet og svarer da til krumning på grensekurven. LØST i det plane tilfellet

13 Plangeometri Definerer funksjon φ : S 2 R ved { 0 {0 + λv} C = {0} φ(v) = 1 ellers Definisjon Indre vinkel: β = φ ds S 2

14 OBS OBS. Dette viser seg å være et dårlig forsøk: Definisjon Ytre vinkel: β = 2π β

15 For hjørnene i et tetraeder har vi β = 3π 3 arccos 1 3 Vinkelsummen for de 4 hjørnene blir ca. 1, π. For hjørnene i kuben har vi β = 3π 2 Vinkelsummen for de 8 hjørnene blir 12π.

16 Definisjon I et hjørne v i et polyeder hvor n flater møtes definerer vi vinkeldefekten ved n v = 2π i=1 der α 1, α 2,..., α n er hjørnevinklene til de n flatene. α i

17 Vinkeldefekten måler hvor langt et hjørne i polyederet er fra å være flatt. Et flatt hjørne har vinkeldefekt 0. Definisjon Vinkeldefekten til et polyeder er summen av vinkeldefekten til hjørnene i polyederet, D = v

18 Et dodekaeder og et dodekaeder i utbrettet form.

19 Descartes teorem Plangeometri Teorem Vinkeldefekten til et polyeder er lik 4π. Bevis. Anta at polyederet har V hjørner, E kanter og F flater. Vinkeldefekten er gitt ved V 2π α ij, antall ledd i summen er 2E. Det gir D = V 2π α ij = V 2π (π αij) = V 2π 2Eπ + αij = V 2π 2Eπ + F 2π = χ 2π = 4π

20 Descartes sier at krumningen i et hjørne i et polyeder er akkurat vinkeldefekten, og argumenterer med dens helt spesielle egenskaper: 1. Invariant under lokale polyhedrale isometrier (dvs. som bevarer lengdene på kantene) 2. 0 i et flatt hjørne 3. Tilfredsstiller det polyhedrale Gauss-Bonnet-teoremet (for et konvekst polyeder sier dette at D = 4π)

21 sk konklusjon: Vinkeldefekt i hjørner og krumning i glatte områder er av samme natur. For et lukket, konveks legeme i rommet kan de summeres opp og vil til sammen gi 4π. Mao. vi kan skjære bort et hjørne uten at den totale vinkeldefekten endrer seg. Vi kan også gjøre dette uendelig mange ganger og på den måten glatte ut polyederet. De endelig mange hjørnedefektene vil da i grensen fordele seg jevnt som en kontinuerlig krumning ut over hele overflaten til legemet.

22 Problem Spikkeproblemet (i rommet): Kan vi definere en størrelse knyttet til hjørnene (og kantene) i en mangekant, som tilfredsstiller to krav: 1. Størrelsen endrer seg ikke dersom vi skjærer av et hjørne 2. Størrelsen tåler grenseovergangen til det kontinuerlige tilfellet og svarer da til krumning på grenseflaten. LØST i det romlige tilfellet

23 La M være et konvekst polytop i et (n + 1)-dimensjonalt rom. Polytopet er definert ved n-dimensjonale underrom, en for hver fasett. Vi kaller disse underrommene for fasettrommene. Fasettrommene deler det (n+1)-dimensjonale rommet i to, positiv og negativ side, hvor positiv side er den siden som inneholder polytopet. Vi kaller disse halvrommene for V 1, V 2,..., V m. Alle fasetter av fasetter av fasetter... (underfasetter) er beskrevet som snitt av halvrommene V i1 V i2 V ik

24 Vi fikserer et punkt inne i polytopet og tenker oss at vi trekker rette linjer i alle retninger. Hvert fasettrom vil bli truffet av halvparten av alle disse linjene, og tilsvarende kan vi finne brøker for alle underfasetter. Disse brøkene svarer til det vi har definert som indre vinkler.

25 Tallene på figuren indikerer hvor mange fasettrom linjer i den gitte sektoren treffer.

26 Poincares teorem Plangeometri Sammenhengen mellom de indre vinklene er gitt ved Poincares teorem: Teorem Gitt et polygon M av dimensjon n. La α i,j være den indre vinkelen (normert til et tall mellom 0 og 1) til underfasett j blant underfasettene av dimensjon i. Da har vi α n,j α n 1,j + α n 2,j + ± α 0,j = 1 j j j

27 For en kube ser dette ut som følger: 1 Sideflatene svarer for en romvinkel 2, sidekantene for 1 4 og hjørnene for 1 8. Med 6 sideflater, 12 sidekanter og 8 hjørner blir dette = 1

28 Og for en n-kant i planet, med indre vinkler α 1,..., α n, hvor hver kant teller 1 2, og hjørnene teller α i 2π ; n 1 2 α i 2π = n (n 2)π 2 2π = 1

29 Merk at i hvert hjørne i et polytop møtes et endelig antall fasetter, hver av disse fasettene har en indre vinkel β k i det aktuelle hjørnet. Dersom summen av alle de indre vinklene var 1, ville hjørnet være flatt (av høy dimensjon!). Vinkeldefekten i hjørnet definerer vi ved det som mangler, D = 1 β Merk. Dette gjelder ikke kun for hjørner, men for alle underfasetter opp til dimensjon n 2. Siden det største polytopet vi visualiserer er av dimensjon 2, kjenner vi kun denne type krumning for hjørner (av dimensjon 0).

30 Denne vinkeldefekten har alle de samme egenskapene som vinkeldefekten i det 2-dimensjonale tilfellet 1. Invariant under lokale polyhedrale isometrier (dvs. som bevarer lengdene på kantene) 2. 0 i et flatt hjørne 3. Tilfredsstiller det polyhedrale Gauss-Bonnet-teoremet, D = χ(m).

31 Problem Spikkeproblemet (generelt): Kan vi definere en størrelse knyttet til underfasettene i et polytop, som tilfredsstiller to krav: 1. Størrelsen endrer seg ikke dersom vi skjærer av et hjørne 2. Størrelsen tåler grenseovergangen til det kontinuerlige tilfellet og svarer da til krumning i grenserommet. LØST i det generelle tilfellet