Hvordan forklare datamaskinen hva en vektor er

Transkript

1 Hvordan forklare datamaskinen hva en vektor er Lars Sydnes 20. mars Introduksjon Det finnes mange måter å presentere vektorbegrepet. Ulike stikkord kan være (i) En vektor er en pil AB som går fra punktet A til punktet B: A B (ii) En vektor er en veibeskrivelse: Hvordan skal du bevege deg for å komme fra A til B? Beveg deg 3 skritt mot øst og 2 skritt mot nord... (iii) En forskyvning. Hvor mye må vi forskyve A for at A skal falle sammen med B. (iv) En vektor er en størrelse som også har retning: Fart, akselerasjon, gravitasjon, andre krefter. (v) En vektor er en matematisk gjenstand som har flere komponenter. Vanligvis er dette x, y-komponenter: v = [x, y]. Det er også vanlig å arbeide med vektorer med flere komponenter. Vektorene er særdeles nyttige hjelpemidler for modellering av geometri og fysikk. Mange fremstillinger av fysikken benytter vektor-språket. Mange fremstillinger av geometrien benytter vektor-språket. 1

2 Dataspill som etterligner den fysiske virkeligheten vil ofte utnytte vektorregning. Jfr. XNA. Når vi skal lære datamaskinen å arbeide med vektorer, må vi forankre dem i noe som allerede foreligger. Det mest opplagte valget er å forankre vektorbegrepet i et koordinatsystem. 2 Vektor-klassen 2.1 Grunnleggende representasjon av vektorer En vektor med én x- og én y-komponent kan representeres slik 1 : Kodesnutt 2.1: vector.instansvariabler public final double x,y; Når x- og y-komponenten er angitt, er vektoren spesifisert. Men, vi må huske på at det ligger et koordinatsystem og lurer i bakgrunnen: Denne representasjonen gir mening kun i sammenheng med et gitt koordinatsyste: Retningen på x-aksen er spesifisert. y-aksen bestemmes av x-aksen. Lengdeskalaen er spesifisert. 2.2 Operasjoner De vanlige regneoperasjonene [x 1, y 1 ] + [x 2, y 2 ] = [x 1 + x 2, y 1 + y 2 ] (addisjon) [x 1, y 1 ] [x 2, y 2 ] = [x 1 x 2, y 1 y 2 ] (subtraksjon) t[x, y] = [tx, ty]] (skalarmultiplikasjon) [x 1, y 2 ] [x 2, y 2 ] = x 1 x 2 + y 1 y 2 (skalarprodukt) implementerer vi greit slik: Kodesnutt 2.2: vector.regneoperasjoner 1 Her velger vi å la x,y være offentlige variabler. Når vi deklarerer dem final, så gjør det at verdiene kun kan settes én gang. Dermed behøver vi ikke å beskytte dem ved å gjøre dem private. 2

3 public static Vector sum(vector u,vector v) { return new Vector(u.x+v.x, u.y+v.y); public static Vector diff(vector u, Vector v) { return new Vector(u.x-v.x, u.y-v.y); public static Vector scalarmul(double t, Vector v) { return new Vector(t*v.x, t*v.y); public static double scalarprod(vector u, Vector v) { return u.x*v.x+u.y*v.y; Vi lar metodene sum,diff,smul være klassemetoder (static). Disse metodene forandrer ikke på eksisterene objekter. 2.3 Andre metoder Lengde Vi er ofte interessert i å måle lengden til vektorer. For å få til det, kan vi bruke Pythagoras setning: lengden 2 = x 2 + y 2 Dette gir: Kodesnutt 2.3: vector.lengde public double length() { return Math.sqrt(x*x+y*y); Siden lengde så tydelig er en egenskap ved individuelle vektorer, representerer vi lengdemåling ved en instans-metode (ikke static) Vinkler Vinkelen α mellom to vektorer u, v er gitt ved u v = u v cos α Vår metode for å beregne vinkler kan dermed implementeres slik: 3

4 Kodesnutt 2.4: vector.vinkel public static double angle(vector u, Vector v) { double cosu = scalarprod(u,v) / (u.length()*v. length()); return Math.acos(cosU); Areal To vektorer u, v vil som regel spenne ut et parallellogram. Arealet A av dette parallellogrammet er bestemt av følgende formel: A = x 1 y2 x 2 y 1 dersom u = [x 1, y 1 ], v = [x2, y 2 ]. Når vi kjenner arealet av parallellogrammet spent ut av u, v, så kjenner vi også arealet av trekanten spent ut av disse. Disse arealberegningene gir oss til og med en metode for å sjekke om vektorer er parallelle: De er parallelle dersom arealet av det utspente parallellogrammet er 0, altså dersom x 1 y 2 = x 2 y 1 Utifra disse overlegningene, utstyrer vi klassen vår med følgende metoder Kodesnutt 2.5: vector.areal public static double parallellogramarea(vector u, Vector v) { return u.x*v.y-u.y*v.x; public static boolean areparallel(vector u, Vector v) { return u.x*v.y == u.y*v.x; public static double trianglearea(vector u, Vector v) { return (u.x*v.y-u.y*v.x)/2; 2.4 Innpakning i klassefil For å lage kjørbar java-kode, pakker vi det hele sammen i følgende java-fil: 4

5 Kodesnutt 2.6: Vector.java package javavector; public class Vector { (vector.instansvariabler: Kodesnutt 2.1) public Vector(double ex, double why) { x = ex; y = why; (vector.regneoperasjoner: Kodesnutt 2.2) (vector.lengde: Kodesnutt 2.3) (vector.vinkel: Kodesnutt 2.4) (vector.areal: Kodesnutt 2.5) public String tostring() { return String.format("Vector(%.2f,%.2f )",x,y); 3 Punkter Når vi har vektor-klassen tilgjengelig, kan vi innføre en klasse som representerer punkter i planet. Kodesnutt 3.1: Point.java package javavector; public class Point { public final Vector vect; public Point(double ex,double why) { vect = new Vector(ex,why); (point.operasjoner: Kodesnutt 3.2) (point.tostring: Kodesnutt 3.4) 5

6 For to punkter A, B, er vi gjerne interssert i å bestemme avstandsvektoren AB og avstanden AB. Kodesnutt 3.2: point.operasjoner public static Vector dvector(point A, Point B) { return Vector.diff(B.vect,A.vect); public static double dist(point A,Point B) { return dvector(a,b).length(); (point.andre.operasjoner: Kodesnutt 3.3) Dersom vi studerer tre punkter A, B, C, kan vi f.eks være interessert i Arealet av trekanten ABC Ligger de tre punktene på linje? For å kunne gi enkle svar på slike spørsmål tilføyer vi følgende metoder: Kodesnutt 3.3: point.andre.operasjoner public static double area(point A, Point B, Point C) { return Vector.triangleArea(dVector(A,B),dVector(A,C )); public static boolean ononeline(point A, Point B, Point C) { return Vector.areParallel(dVector(A,B),dVector(A,C) ); For testingens del legger vi til en tostring()-metode: Kodesnutt 3.4: point.tostring public String tostring() { return String.format("Point(%.2f, %.2f)",vect.x, vect.y); 6

7 4 Testing Nå har vi en fullt funksjonell klasse, og vi kan skrive følgende klasse for å teste om det virker: Kodesnutt 4.1: Client.java package javavector; public class Client { public static void main(string[] args) { Vector u = new Vector(3.45,2.34); Vector v = new Vector(-2.0,4.3); System.out.printf("u=%s, v=%s\n\n",u,v); System.out.printf("Lengde u: %.2f\t Lengde v: %.2 f\t Vinkel: %.2f\n",u.length(),v.length(), Vector.angle(u,v)); System.out.printf("Areal av resulterende parallellogram: %.2f\n",Vector. parallellogramarea(u,v)); System.out.printf("Areal av resulterende trekant: %.2f\n",Vector.triangleArea(u,v)); System.out.println("======================"); Point A = new Point(0,0); Point B = new Point(3,4); Point C = new Point(-2,5); System.out.printf("\nA = %s\n B = %s\nc = %s\n\n",a,b,c); System.out.printf("Areal av trekant ABC = %.2f\n",Point.area(A,B,C)); 4.1 Output u=vector(3.45,2.34 ), v=vector(-2.00,4.30 ) 7

8 Lengde u: 4.17 Lengde v: 4.74 Vinkel: 1.41 Areal av resulterende parallellogram: Areal av resulterende trekant: 9.76 ====================== A = Point(0.00, 0.00) B = Point(3.00, 4.00) C = Point(-2.00, 5.00) Areal av trekant ABC =