Elektrisitetslære. Hermann Lia

Transkript

1 Elektrisitetslære Hermann Lia 23 februar 2009

2 ISBN utgave 2009

3 3 Forord Denne boken er skrevet for å dekke pensum i elektrisitetslære ved de norske ingeniørhøgskolene. Når en ny bok skrives er det alltid et spørsmål om hvilke emner som skal være med. Utvalget i denne boken er gjort ut fra erfaring med undervisning i faget i mange år. Det er ikke viktig å ha med mange emner. Men det er viktig å ha med de emnene som i særlig grad danner grunnlaget for hele faget. En trenger ikke kunne mange ting, hvis en bare kan de rette tingene veldig godt. Livserfaring viser at det er bedre å kunne én ting skikkelig enn to halvveis. Dette faget er tuftet på noen få, men viktige begreper. Vi snakker om grunnlaget for elektrisitetslære i kapittel 14. Dette oppfattes som abstrakt og vanskelig, og det er helt normalt. Abstrakte teorier må læres gjennom en modningsprosess. Modning tar tid, og det må en bare akseptere. En kan si at tiden i seg selv er en viktig resurs for læring. Først må en lære å ikke gi opp. Deretter må en få en riktig holdning til det å lære vanskelige ting. Alle opplever å lese noe en ikke skjønner. En må forstå at det i seg selv er en gave, for det gir jo en anledning til å lære noe en ikke kan. Men det beste er den gode følelsen som kommer når en skjønner det som har vært vanskelig i lang tid. Inspirasjon er viktig. Innledningen til denne boken gir en enkel historisk oversikt over elektromagnetismens utvikling frem til 1900 tallet. Håpet er at det vil gi inspirasjon til å lære noe av det fineste i fysikken. Jeg ønsker lykke til! 1 Sandefjord 23 februar 2009 Hermann Lia 1 Sportsveien 20 C 3224 Sandefjord Tlf: [email protected]

4 4

5 Innhold 1 En historisk oversikt Elektriske ladninger Coulomb s lov Gravitasjon Magnetiske poler Biot Savart s lov Elektromagnetisme Strømmer og magnetisme er relative Atomer er elementærmagneter Lorenzkraft Faraday s induksjonslov Lenz lov Sammendrag Innledning Måleenheter Koherent målesystem Grunnenheter Avledede enheter Arbeid og energi Prefikser og fysiske konstanter Definisjoner Symboler for spenning og strøm Elementære kretselementer Aktive og passive komponenter Elektrisk strøm Grunnstoffet kobber Elektrisk leder Definisjon av elektrisk strøm Strømkilder Elektrisk spenning Symboler for spenningskilder Resistans og Ohm s lov Motstand Effektbegrensning i motstander

6 6 INNHOLD Kull-masse motstander Kull-skikt motstander Metall-film motstand Temperaturavhengighet Konduktans Ohm s lov Motstand ved høye frekvenser Støyspenning fra en resistans Fargekoding av motstander Standardverdier av motstander Effekt og energi elektronvolt Valg av polaritet Decibel (db) GSM telefon Fysiske modeller Definisjonen av elektrisk strøm Lineære komponenter Ulineære komponenter Konsentrerte parametre Distribuerte parametre Oppgaver Fasit Likestrømkretser Definisjoner Seriekretser Ohm s lov i en seriekrets Spenningskilder i serie Kirchhoff s spenningslov Seriekrets Enkel spenningsdeler Spenningsdeling over resistanser Effekt i en seriekrets Parallellkretser Kirchhoff s strømlov Parallellkobling av resistanser Parallellkobling av to motstander Strømdeling mellom to resistanser Summering av strømkilder Effektomsetning i en parallellkrets Serie-parallellkretser Spenningsdeler med resistiv last Balansert Wheatstone s bro Måling av resistans med Wheatstone s bro Oppgaver

7 INNHOLD Fasit Kretsteoremer Kilder Modell av kilder Transformasjon av kilder Superposisjonsprinsippet Kretsteoremer Thévenin s teorem Norton s teorem Millman s teorem Maksimal effekt teoremet Oppgaver Fasit Analyse av elektriske kretser Maskestrømmetoden Grenstrømmetoden Cramer s regel Nodespenningsmetoden Oppgaver Fasit Vekselspenning og vekselstrøm Definisjoner Sirkulære spenninger Reelle spenninger Basis for sirkulære spenninger Basis for komplekse spenninger Kompleks amplitude og viser Alternativ definisjon En utfyllende forklaring Addisjon av to spenninger med samme frekvens Kirchhoff s lover Tidsdomenet Frekvensdomenet Generering av vekselspenning Aritmetisk middelverdi Kvadratisk middelverdi Vekselspenning over en resistans Beskrivelse av cosinusspenning Beskrivelse av sinusspenning Fase Spenningene v 1 og v 2 med v 1 som referanse Spenningene v 1 og v 2 med v 2 som referanse Oppgaver

8 8 INNHOLD 6.12 Fasit Magnetisme Kraftvirkningen fra en permanentmagnet Elektromagnetisme Lorenz kraftlov Biot-Savart s lov Definisjoner Magnetisk flukstetthet B Magnetisk fluks Φ Magnetisk feltstyrke H Magnetomotorisk spenning F m Ohm s lov for magnetiske kretser Magnetiske materialer Paramagnetisme Diamagnetisme Ferromagnetiske materialer Magnetisk hysterese Oppgaver Fasit Induktive komponenter Definisjon av induktivitet Induktiv reaktans Induktanser i serie Parallelkobling av induktanser Energien i en induktans Gjensidig induksjon Koblingsfaktoren k Prikknotasjon og polaritet Transformator Transformatorens virkemåte Ideell transformator Beregning av maksimal induksjon Tap i transformatorer Kobbertapene Spredningstap Jerntap Virvelstrømtap Virvelstrømmer i en transformatorkjerne Hysteresetap Totale jerntap Ekvivalent skjema Induktansen til en rett leder Oppgaver Fasit

9 INNHOLD 9 9 Kondensatorer Kondensator og kapasitans Kondensator med luft Kondensator med dielektrikum Seriekobling av kondensatorer Parallellkobling av kondensatorer Kondensator i vekselstrømkretser Energi i en kondensator Oppgaver Fasit RC kretser Serie RC krets Den komplekse impedansen Den komplekse admitansen Parallell RC krets Lavpassfilter med R og C Frekvensresponsen Nyquist plot Bode plot Oppladning av kondensator Utladning av kondensator Tidskonstanten Effekt i vekselstrømkretser Oppgaver Fasit RL kretser RL seriekrets RL parallelkrets Første ordens høypassfilter med RL Tidskonstant i RL kretser Oppgaver Fasit RLC kretser Serie resonans Definisjon av båndbredde Parallell resonans Modell av en motstand Resonansfrekvensen Andre ordens lavpassfilter Impedansbro Maxwell s bro Oppgaver Fasit

10 10 INNHOLD 13 Trefase Generering av tre faser Fasespenninger som visere Linjespenninger Y-kobling Returstrøm i en Y-kobling Effekt i Y-kobling Formler for Y-kobling kobling Effekt i -kobling Formler for -kobling (Y ) omregning per-fase skjema Beregning av per-fase skjema kobling med symetrisk last Symetrisk last Overføringstap Fordelingsnett IT nett TT nett TN nett oppgaver Fasit Elektrisk felt, potensial og strøm Elektrisk ladning Materiens oppbygning Coulombs lov Elektrisk feltstyrke Feltstyrken fra en punktladning Elektrisk potensial og elektrisk spenning Potensialfeltet fra en punktladning Potensialfeltet mellom to parallelle plater Elektrisk strøm Konvensjonelle strømretning Strømtetthet J Oppgaver Fasit

11 Kapittel 1 En historisk oversikt Magnetisme har vært kjent som fysisk fenomen helt siden oldtiden. I oldtidsbyen Magnesia i Lilleasia fant de jernmalm med den egenskapen at den tiltrekker seg noen bestemte stoffer. Det var kraftvirkningen mellom jernmalmen og disse andre stoffene som var oppsiktsvekkende. Til tross for en avstand og med bare luft mellom, virket jernmalmen med en kraft. Grekerne fant også at stoffer som rav, kler, strå, menneskehår og lignende kunne utøve kraftvirkninger på små gjenstander. I dag kaller vi det elektriske krefter. De fant at kreftene fra jernmalm var anderledes enn kraften fra rav. Rav kan tiltrekke seg et menneskehår, men det kan ikke jernmalm. Grekerne tenkte mye på om det var en sammenheng mellom disse kreftene, men det var først på slutten av 1500 tallet at det ble en systematisk studie av elektriske og magnetiske fenomener. 1.2 Coulomb s lov Den franske videnskapsmannen Charles Augustin Coulomb eksperimenterte med elektriske ladninger. Han studerte kraftvirkningen mellom de og formulerte Coulomb s lov. Den sier at kraften mellom to ladninger er proporsjonal med ladningene og omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden mellom de. Loven inneholder også at ulike ladninger tiltrekker hverandre, mens like ladninger frastøter. Coulomb s lov formuleres med ligninga F e = 1 Q 1 Q 2 4πɛ 0 r 2 u Elektrisk ladning har enheten Coulomb som forkortes til (C). 1.3 Gravitasjon 1.1 Elektriske ladninger Når vi gnir en glasstav med en ullklut blir begge statisk elektriske. Fenomenet unnfanger en fundamental egenskap ved vår natur, en egenskap som beskrives med elektriske ladninger. Det var amerikaneren Benjamin Franklin som oppdaget to typer ladninger. Han skilte mellom positive og negative ladninger. Franklin oppdaget at ved utladning av gjenstander med statisk elektrisitet går det en strøm av ladninger fra én gjenstand til en annen. Han antok at strømmen gikk fra den positive ladningen til den negative. Derfor er Benjamin Franklin opphavsmannen til den konvensjonelle strømretningen, slik vi bruker den i dag. Det er naturlig å sammenligne Coulomb s lov med Newton s lov for gravitasjon. F g = G M1 M 2 u r 2 Gravitasjonskraften mellom to masser er proporsjonal med massene og omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden mellom de. Dette viser en likhet mellom Coulomb s lov og Newton s lov, men det er to viktige forskjeller. Det finnes to forskjellige ladninger, men bare en type masse. Gravitasjonskraften mellom masser er alltid tiltrekkende. De elektriske kreftene er mye sterkere enn gravitasjonskreftene. Det er lett å vise at F e F g

12 12 KAPITTEL 1. EN HISTORISK OVERSIKT 1.4 Magnetiske poler På samme måte ble det utført eksperimenter med magnetiske poler. En fant to forskjellige poler. Den ene kalles nordpol og den andre sydpol. Eksperimenter vister at like poler frastøter hverandre, mens ulike poler tiltrekker hverandre. Likheten mellom magnetiske poler og elektriske ladninger er påfallende, men det er i det minste én fundamental forskjell. Det er mulig å frembringe én elektrisk ladning og beholde den som en egen enhet. Det er ikke mulig å skape en magnetisk nordpol uten samtidig å skape en sydpol, eller omvendt. Det viser at monopoler ikke eksisterer. Dette er en egenskap ved elektromagnetismen som har sin elegante formulering i Maxwell s ligninger. Se referansene Med kunnskapen om elektriske og magnetiske fenomener startet den spede begynnelse av elektroteknikk. Volta fant opp batteriet som en kilde av elektriske ladninger. En lærte at forskjellige materialer har forskjellig ledningsevne for elektriske strøm. Begrepene spenning og strøm ble innarbeidet gjennom utallige eksperimenter. En lærte noe om elektrisitet og noe om magnetisme, men spørsmålet om en sammenheng mellom de var åpent helt til den Danske fysikeren Hans Christian Ørsted utførte et viktig eksperiment i Elektrisk strøm er kilden til et magnetisk felt Ørsted plasserte en elektrisk leder ved siden av en kompassnål. Han observerte at en strøm i lederen påvirket nåla med en kraft, på samme måte som fra et magnetisk felt. Med det viste han at en elektrisk strøm skaper et magnetisk felt. Det er en interaksjon mellom elektriske og magnetiske fenomener. 1.5 Biot Savart s lov De to franske fysikerne Jean-Baptiste Biot og Fèlix Savart studerte fenomenet fra Ørsted s eksperiment og formulerte sammenhengen mellom elektrisk strøm og magnetisme i Biot Savart s lov. Se referanse [2, side 186]. db = µ 0I 4π d l u r r 2 Det er en kraft mellom to strømførende ledere Den franske fysikeren André Marie Ampe`re utførte eksperimenter som viste en kraftvirkning mellom to strømførende ledere. Kraften har sin årsak i de magnetiske feltene som omgir lederne. Det er kraften mellom strømførende ledere som er utgangspunktet for enheten til elektrisk strøm. Derfor er denne enheten oppkalt etter Ampe`re. 1.6 Elektromagnetisme Etter dette ble det all grunn til å snakke om elektromagnetisme. Den nye kunnskapen førte til nye muligheter for videnskaplige forsøk. Kunnskapen om elektromagnetisme økte i mange akademiske miljøer over hele verden. Studiene kulminerte med en komplett teori, utviklet og presentert av den Skotske fysikeren James Clark Maxwell i Hele den klassiske elektromagnetismen er formulert med fire ligninger. De kalles Maxwell s ligninger. Se referansene [2, side 359], [14, side 448] og [12, side 68]. Var det en Gud som skrev ned disse tegnene spurte den Østeriske fysikeren Ludwig Boltzmann dahanblekjentmedmaxwell steori.mange flere med ham har gitt uttrykk for stor undring over den elegansen disse ligningene har i seg. Foreningen av elektriske og magnetiske fenomener til én teori er en av de fineste syntesene fra menneskenes intellektuelle utfordringer. Med sine lover om tyngdekraft og bevegelse forenet Sir Isac Newton himmel og jord gjennom én felles teori basert på fire fundamentale lover: Newton s tre lover om kraft og bevegelse og Gravitasjons loven. Med sine fire ligninger forente Maxwell elektrisitet ogmagnetismetil én felles teori ogskaptemeddet en forståelse av elektromagnetisme, slik at menneskene lærte å bruke disse edle egenskapene fra vår moder jord til nyttige innretninger for hele menneskeheten.

13 1.9. LORENZKRAFT 13 Fysikerne arbeider fremdeles med nye synteser som forener ulike områder av fysikken. Håpet er å komme frem til The Grand Unification Theory. En teori som kan brukes til å forklare alle kjente fysiske fenomener på en entydig måte. Der er vi ikke enda! 1.7 Strømmer og magnetisme er relative Elektriske ladninger er kilden til elektriske fenomener. Ørsted oppdaget at en elektrisk strøm er kilden til et magnetisk felt. I dag vet vi at magnetisme har sin årsak i elektriske ladninger i bevegelse. Det fikk Albert Einstein til å stille spørsmålet: Bevegelse i forhold til hva? Anta to observatører a og b. a ser en ladning i bevegelse og kan registrere et magnetisk felt. b beveger seg sammen med ladningen og ser en ladning i ro og ingen magnetisk felt. Det var dette som ga Einstein ideen med relativitetsteori. Se referanse [11, side 4] Atomer er elementærmagneter Materien er bygd opp av atomer. Et atom består av en sentral kjerne med positive ladninger. Rundt kjerna kretser ett eller flere elektroner med sine negative ladninger. I tillegg har elektronene et spinnomsinegenakse.deterdennesammensatte bevegelsen som er kilden til magnetisme. Atomets magnetiske egenskaper beskrives med en vektor. Et atom er i seg selv en liten magnet, en elementærmagnet. Og slik er det fordi elektronet med sin ladning har den spesielle formasjonen i atomet. Magnetisme er ladninger i bevegelse og ladninger i bevegelse er elektrisk strøm. Derfor har magnetisme sin årsak i elektrisk strøm. I de fleste stoffer har de magnetiske vektorene en vilkårlig retning. Vektorsummen over et makroskopisk volum er null. For noen materialer, slik som jern nikkel og kobolt, kan de magnetiske vektorene innrettes i bestemte retninger, bestemt av et ytre 1 Einstein s første bidrag til den spesielle relativitetsteorien var hans artikkel: Zur Elektrodynamik bewegter Körper. Analen der Physik 17, 1905 felt. Da blir materialet magnetisert. Det er ingen prinsipiell forskjell mellom en elektromagnet og en permanentmagnet. Med en elektromagnet skapes magnetismen i materialet fra et ytre felt. For en permanentmagnet skapes magnetismen fra lokale strømmer i materialets mikrostruktur. Strømmer som skaper elementærmagneter, innrettet på en systematisk måte slik at et makroskopisk volum blir en permanentmagnet. Disse lokale strømmene kalles Ampe`re strømmer etter André Marie Ampe`re som var den første til å lage en teori for permanentmagneter. 1.9 Lorenzkraft Blant fysiske fenomener finner en ofte symmetri egenskaper. Fysikere kan finne egenskaper ved å lete etter symmetrier fra kjente egenskaper. Vi vet at en elektrisk strøm skaper et magnetisk felt. Tenker vi symmetri blir det naturlig å spørre: Kan et magnetisk felt skape en elektrisk strøm? Vi plasserer en elektrisk ladning i magnetfeltet fra en permanentmagnet og observerer: Ingenting skjer. Hvis ladningen beveger seg i feltet, utsettes den for en kraft med en retning normalt på feltet og bevegelses retningen. Dette kalles Lorenz kraften. F = q v B Det er den magnetisk kraften som fører til at ladninger beveger seg i en leder. Det er en elektrisk strøm Faraday s induksjonslov Den Engelske fysikeren Michael Faraday utførte eksperimenter i 1831 som viste dette. Han laget en magnet ved å sende en strøm gjennom en vikling rundt magneten. Deretter laget han en spole ved å vikle et bestemt antall tørn på en spoleform. Ledningene fra spolen ble koblet til et galvanometer. Han plasserte magneten foran spolen. Det kom ingen reaksjon fra galvanometeret. Når strømmen endret seg viste galvanometeret utslag. Det ble indusert en spenning i spolen som ga en strøm i

14 14 KAPITTEL 1. EN HISTORISK OVERSIKT galvanometeret. Dette kalles elektromagnetisk induksjon. Det formuleres med Faraday s induksjonslov 1.11 Lenz lov v i (t) = N dφ(t) dt Minustegnet i Faraday s induksjonslov er en konsekvens av Lenz lov. Lenz lov kan formuleres med følgende setning. Teorem 1.1 (Lenz lov (1)) Den induserte spenningen v i (t) har en retning som motvirker den forandringen som skaper v i (t). Lenz lov er lett å demonstrere. En likestrøm motor har en permanentmagnet og en vikling. En strøm gjennom viklinga får motoren til å gå. En likestrøm motor uten tilkobling vil indusere en spenning i viklinga når rotoren dreies rundt. Det er lett å dreie rotoren rundt. Kortsluttes motor viklinga må en bruke en kraft for å dreie rotoren. Dette er Lenz lov. Når motor viklinga kortsluttes går det en strøm i viklinga som skyldes den induserte spenningen. Denne strømmen setter opp et magnetisk felt som motvirker det feltet som induserte spenningen. Da bremser motoren. Et annet eksempel er en kraftstasjon. Tenk en turbin som driver en generator. Anta at generatoren ikke er tilkoblet en last. Da er det lett å få turbinentilårotere. Det krevesbareenkraftforå overvinne friksjonskrefter i lagrene. Anta at generatoren tilkobles et brukernett. Generatoren leverer strøm til nettet. Denne strømmen setter opp et magnetisk felt som motvirker det feltet som induserer spenningen. Det kreves en kraft for å drive generatoren rundt. Denne kraften må komme fra den vannmengden som er i rørgata og som treffer turbinskålene. Jo mere generatoren belastes, jo mere vann må en slippe til turbinen. Det viser at Lenz lov er en konsekvens av en mere generell lov i fysikken: Loven om energiens bevarelse. Vannmengden i rørgata har en kinetisk energi. Denne energien driver turbinen rundt og får generatoren til å produsere en strøm. Strømmen leveres som en elektrisk energi til brukernettet. Mesteparten av energien i vannmassen omdannes til elektrisk energi. Forskjellen mellom energien i vannmassene og energien i fordelingsnettet skyldes tap i prosessen. Endring av energiformer er alltid forbundet med tap. Dette er en konsekvens av termodynamikkens 2 hovedsetning. Det viktige i dette er at kraften mellom elektriske ladninger og magnetisk felt overvinnes av den kinetiske energien i vannstrømmen. Kinetisk energi omdannes til elektrisk energi ved interaksjon mellom elektriske og magnetiske krefter. En kan formulere Lenz lov på en alternativ måte som er mer generell. Teorem 1.2 (Lenz lov (2)) Når en magnetisk fluks gjennom en flate endres, vil feltet fra induserte strømmer produsere sin egen fluks motsatt rettet den opprinnelige fluksendringen Sammendrag Det finnes to typer ladninger, positive og negative. Like ladninger frastøter hverandre, ulike ladninger tiltrekker hverandre. Det finnes to magnetiske poler, nordpol og sydpol. Like poler frastøter hverandre og ulike poler tiltrekker hverandre. Nordpol og sydpol opptrer alltid parvis. Det finnes ingen egenskap i naturen som kan kalles en magnetisk ladning på samme måte som det finnes en egenskap som kalles elektrisk ladning. Elektriske strømmer er kilden til magnetisme. Endring av magnetisme er en kilde til elektriske strømmer. Konservering av energi gjelder i elektromagnetismen, slik den gjelder i alle områder av fysikken. Én av konsekvensene er Lenz lov.

15 Kapittel 2 Innledning Denne innledningen beskriver enkle, men viktige begreper fra elektrisitetslæra. Spenning og strøm er fundamentalt i alle deler av faget. Anvendelsen av spenning og strøm krever forståelse av prinsipper fra fysikken. Prinsipper som danner et fundament for hele faget. Det vil være klokt å tenke at elektrisitetslære er fysikk. Når en kommer til konkrete problemer ligger løsningen ofte i enkle, men særdeles innholdsrike setninger fra fysikken. Det er ikke mulig å lære alle detaljer i et så omfattende fag som elektrisitetslære. Men det er mulig å lære så mye fra grunnlaget at en blir istand til å resonere seg frem til en forståelse med utgangspunkt i egen kunnskap. Da får faget en egenverdi i form av å bli en inspirasjonskilde. Vanskelige oppgaver blir en fin utfordring en gleder seg til å ta tak i. Beskrivelsen i dette kapitlet er enkel. Det utfordrer leserens evne til å tenke praktisk fysikk, mer enn evnen til å manipulere matematiske ligninger. Matematikk er viktig i elektrisitetslære, men like viktig er forståelsen av den fysikken som elektrisitetslæra er en del av. Når en forstår de grunnleggende prinsippene i faget blir det utrulig fint å bruke matematikkens elegante form for kompakt beskrivelse. Emnene i dette kapitlet er: Måleenheter Definisjoner Elektrisk strøm Elektrisk spenning Resistans og Ohm s lov Effekt og energi Decibel (db) Fysiske modeller 2.1 Måleenheter Målingavenfysiskstørrelsegiretmåltalliforhold til en måleenhet. Måleenheter er valgt og bestemt med en internasjonal standard. De fysiske lovene og relasjonen mellom fysiske størrelser gjør det mulig å begrense antall valgte enheter. De enhetene som er valgt kalles grunnenheter. Alle andre avledes fra grunnenhetene og kalles avledede enheter. En størrelse S er et produktav et måltall {S} og en enhet [S]. Boken inneholder også temaer som ikke er pensum. Disse er merket med. Erfaring viser at mange studenter har en bakgrunn for, og lyst til å fordype seg i emner som illustrerer teorien. Det må være riktig å gi næring til alle som hungrer. S = {S} [S] Et eksempel er elektrisk strøm som kan angis med i = 1.38 A.Daermåltallet{i} = 1.38ogmåleenheten [i] = A. 15

16 16 KAPITTEL 2. INNLEDNING Koherent målesystem Et koherent målesystem er et system av størrelsesligninger og måleenheter. Koherent i denne sammenhengen betyr samstemt. Til hver størrelsesligning svarer en ligning mellom enheter. I et koherent målesystem er alle enhetene enten grunnenheter eller enheter avledet fra grunnenhetene. Et eksempel kan være sammenhengen mellom kraft masse og akselerasjon, som i Newtons 2 lov. Størrelses ligning størrelse navn symbol lengde meter m masse kilogram kg tid sekund s strøm ampere A temperatur kelvin K stoffmengde mol mol lysstyrke candela cd F = m a Ligning mellom enheter Tabell 2.1: De syv grunnenhetene i SI systemet [ F] = [m] [ a] N = kg m/s 2 For å lage et koherent målesystem velger en noen grunnenheter Grunnenheter Måleenheter har eksistert i lang tid. Det har eksistert enheter for spesielle områder av fysikken. Dette førte til mange enheter og manglende samsvar (koherens) mellom enheter fra de ulike områdene. Dette var foranledningen til å lage et koherent målesystem for hele fysikken, basert på et lite antall grunnenheter. Alle andre enheter avledes fra grunnenhetene. Valget av grunnenheter er gjort slik at det blir samsvar mellom fysiske størrelser fra ulike områder av fysikken. I 1960 moderniserte standardiseringsorganisasjonen Det forkortes til SI enhetene. I 1960 moderniserte General Conference of Wights and Measures det metriske systemet. De valgte syv grunnenheter som utgangspunkt for å avledede koherente enheter for alle områder av fysikken. En grunnenhet har et navn og et symbol. Når navnet på enheten er navnet til en personen skrives symbolet med stor bokstav. Enheten for kraft er newton med symbolet N. Alle andre enheter i fysikken er avledet fra grunnenhetene Avledede enheter Denne delseksjonen beskriver noen avledede enheter for å illustrere de viktigste egenskapene til det metriske systemet SI. Kraft: Enheten for kraft er newton med symbolet N. Den er definert som den kraften som skal til for å gi en masse på 1 kg en akselerasjon på 1 m/s 2. Det gir størrelsesligninga F = m a General Conference of Wights and Measures det metriske målesystemet og utviklet et koherent system som kalles og enhets ligninga N = kg m s 2 Système International d Unités Enheten for kraft er avledet fra grunnenhetene for masse, lengde og tid.

17 2.2. DEFINISJONER 17 Arbeid: Enheten for arbeid er joule med symbolet J. Det er definert som det arbeidet som utføres når en bruker 1 N for å bevege en masse på 1 kg en lengde på 1 m. Det gir enhetsligninga J = N m = kg m2 s 2 Enheten for arbeid er avledet fra grunnenhetene for masse, lengde og tid. Effekt: Effekt er definert som utført arbeide per tidsenhet. Den måles i watt med symbolet W. Det gir enhetsligninga W = J s = Nm s Ved å multiplisere i teller og nevner med sekunder får en relasjonen W s = J = N m Dette viser koherensen i SI enhetene. Elektrisk energi (Ws) og mekanisk arbeide(nm) måles med samme enhet (J) Arbeid og energi Arbeid og energi er så grunnleggende at de fortjener en spesiell omtale. I fysikken er arbeid én ting: kraft ganger veg som måles i joule. Energi er evnen til å utføre et arbeide. Når et arbeide utføres, endres energien fra én form til en eller flere andre former. Det finnes mange eksempler som viser dette. Energi fra sola løfter vann fra havet opp til et fjellvann som ligger på 1000 m høyde. Energien fra sola utfører arbeidet med å løfte vannet. Det er kraft ganger veg. Med det får vannet en potensiell energi som kan brukes i et kraftverk til å produsere elektrisk energi. Velger en å studere flere eksempler finner en at solenergi er utgangspunktet for nesten alle energiformer i vårt solsystem. Arbeid endrer energi mellom ulike former, men én form er alltid tilstede: varme. Endring av energiformer gir alltid tap i form av varme. Varme er en termisk agitasjon som, blant annet, fører til støy i elektriske komponenter. størrelse navn symbol definisjon elektrisk ladning elektrisk potensisal coulomb C A s volt V J/C resistans ohm Ω V/A elektrisk ledningsevne siemens S A/V kapasitans farad F C/V magnetisk fluks weber Wb V s induktans henry H V s/a kraft newton N kg m/s 2 arbeid energi joule J N m effekt watt W J/s Tabell 2.2: Tabellen viser ti av de viktigste enhetene som brukes i denne boken. Enhetene er avledet fra grunnenhetene. Dette hører til én av de tre hovedområdene i klassisk fysikk. Vi snakker om termodynamikkens 2 hovedsetning Prefikser og fysiske konstanter Tabell 2.3 viser prefikser som brukes i forbindelse med SI enhetene. Tabell 2.4 viser noen av de viktigste konstantene som brukes i fysikken. 2.2 Definisjoner Elektrisitetslære introduserer mange nye ord og uttrykk. I denne seksjonen beskrives de viktigste som et utgangspunkt for å komme videre i faget Symboler for spenning og strøm I denne boken brukes symbolet v eller V for elektrisk spenning. v brukes for en spenning som endre seg med tiden. Da skulle en egentlig bruke notasjonen v(t) for å presisere at spenningen varierer

18 18 KAPITTEL 2. INNLEDNING symbol navn tallverdi T tera billion G giga 10 9 milliard M mega 10 6 million k kilo 10 3 kilo h hekto 10 2 hundre da deka 10 1 ti d desi 10 1 tidel c centi 10 2 hundredel m milli 10 3 tusendel µ mikro 10 6 milliondel n nano 10 9 milliarddel p piko billiondel Tabell 2.3: Tabellen viser de viktigste prefiksene som brukes i forbindelse med SI enhetene Konstant lysfarten i tomt rom Symbol og verdi c = m/s tomromspermeabiliteten µ 0 = 4π 10 7 H/m tomromspermittiviteten ε 0 = F/m gravitasjonskonstanten G = Nm 2 /kg 2 elementærladningen planckkonstanten bolzmannkonstanten elektronradien avogadrokonstanten elektronets masse protonets masse e = C h = Js k = J/K r e = m N A = /mol m e = kg m p = kg Tabell 2.4: Tabellen viser noen av de viktigste fysiske konstantene med tiden. Det er vanlig å bare skrive v når det går klart frem av sammenhengen at v er en varierende spenning. V er symbolet for en konstant, enten en likespenning eller effektivverdien til en vekselspenning. En elektrisk strøm har symbolet i eller I. i er symbolet for en strøm som endrerseg medtiden. I ersymbolet for enkonstant, enten en likestrøm eller effektivverdien til en vekselstrøm. I dette kapitlet brukes små bokstaver for spenning og strøm fordi de begrepene som innføres gjelder for varierende spenninger og strømmer Elementære kretselementer En viktig del av elektrisitetslæra er komponenter og elektriske kretser. En elektrisk krets er en sammenkobling av komponenter. Eksempel på komponent er motstand, kondensator eller transformator. I mengden av alle mulige komponenter finnes en delmengde som kalles elementære kretselementer.disseersåviktigeatenvelgeråinnfører de med en definisjon. Definisjon 2.1 ( Elementært kretselement ) Et elementært kretselement er en komponent entydig bestemt med spenning og strøm og som ikke kan deles i to eller flere mindre kretselementer. Eksempler på elementære kretselementær er motstand kondensator spole spenningskilde strømkilde Halvledere er eksempler på komponenter som ikke er elementære kretselementer. En bipolar transistor består av to dioder. Én diode er i seg selv en komponent Aktive og passive komponenter En aktiv komponent genererer energi. En spenningskilde eller en strømkilde er eksempler på aktive komponenter. Et 9 V batteri i en røkvarsler

19 2.3. ELEKTRISK STRØM 19 er en aktiv komponent. En passiv komponent forbruker energi. En motstand med sin resistans er en passiv komponent som forbruker energi som blir til varme. Ikke alle passive komponenter omdanner energien til varme. En elektrisk motor omdanner mesteparten av den tilførte energien til et dreiemoment på motorakslingen. Resten blir til varme. Spoler og kondensatorer er passive komponenter siden de ikke genererer energi. De er reaktive komponenter. De påvirker spenning og strøm i en vekselstrømkrets uten å forbruke mer energi enn den som skyldes at de ikke er ideelle komponenter. Modellen for en ideell spole eller en ideell kondensator forbruker ingen energi. 2.3 Elektrisk strøm Elektriske fenomener har sin årsak i elektriske ladninger. Den viktigste egenskapen til en elektrisk ladning er kraftvirkningen den har på andre ladninger. Denne kraften kan utføre et arbeide. Derfor er elektriske ladninger en kilde til energi. Det er energien som ligger i kraften mellom ladninger som er årsaken til hele floraen av anvendelser fra elektromagnetismen. I denne sammenhengen beskrives elektriske ladninger som et utgangspunkt for å definere elektrisk strøm. En tenker seg et batteri koblet til en lyspære med to kobbertråder. Batteriet driver en strøm gjennom lyspæra som får den til å lyse. Kobberledningene leder strømmen fra batteriet til lyspæra og tilbake til batteriet. En bruker kobberledninger fordi de er gode ledere. Siden kobber brukes i stor utstrekning i hele elektrofaget er det naturlig å beskrive en enkel modell av et kobberatom Grunnstoffet kobber Kobber har den kjemiske betegnelsen Cu. For å få en intuitiv forståelse av elektrisk ledningsevne ser en på egenskapene til ett enkelt kobberatom. Dette er vist i figur 2.1. Kobberatomer setter seg sammen til molekyler og molekyler blir til et polykrystallinsk materiale i form av et metall. Bindingene i materialet fører til at valenselektronet i de fleste atomene Cu Figur 2.1: Kobber er et grunnstoff med atomnummer 29. Det har fire energibånd med sine energinivåer. Båndet med det høyeste nivået kalles valensbåndet. Der er det bare ett elektron. Det kalles valenselektronet. Hvis et elektron får en energi større enn energien i valensbåndet frigjøres det fra atomet. I en metallisk leder betyr det at elektronet blir en fri ladningbærer, det befinner seg i ledningsbåndet. frigjøres fra valensbåndet og opptrer som frie ladningbærere i ledningsbåndet. Det er dette som gir en kobberleder en god ledningsevne. Ett elektron er en elementærladning med verdien q e = C Elektrisk leder Figur 2.2 viser et utsnittet av en elektrisk leder. Frie elektroner beveger seg fra minus til pluss. Det kalles en elektronstrøm. Av historiske grunner regner en med en strøm av positive ladninger fra pluss til minus. Det kalles den konvensjonelle strømretningen. Det er den som brukes i praksis. Det virker spesielt å snakke om en strøm av positive ladninger når en vet at strømmen er en elektronstrøm i den motsatte retningen. Det er helt greit når en bare gjør et valg og følger det konsekvent. Det finnes flere eksempler på at strøm er en transport av positive ladninger. I havledere har en både n-materialer og p-materialer. I n-materialer foregår ladningtransporten med elektroner i ledningsbåndet. I p-materialer foregår ladningtrans-

20 20 KAPITTEL 2. INNLEDNING porten med positive hull i valensbåndet. elektronstrøm S Konvensjonell strømretning Figur 2.2: I en kobberleder er de fleste valenselektronene frie ladningbærere i ledningsbåndet. Det går en strøm av elektroner fra minus til pluss. Den konvensjonelle strømretningen går fra pluss til minus. Elektrisk strøm er definert som ladningtransport per tidsenhet gjennom et tverrsnitt S av lederen Definisjon av elektrisk strøm Figur2.2viseretutsnittavenledermedtverrsnitt S. Ladningmengden q utgjør strømmen i lederen. Med q definerer en strømmen i lederen. Definisjon 2.2 (Elektrisk strøm) Strømmen i en leder er definert som ladningtransporten per tidsenhet gjennom et tverrsnit av lederen i = dq dt (2.1) Enheten for elektrisk strøm er ampere med symbolet A. Enheten er definert ved kraftvirkningen mellom strømførende ledere. Se referanse[9, side 11]. Når en kjenner strømmen i en leder kan en finne den totale ladningmengden som passerer et tverrsnittet i et bestemt tidsintervall [0 t) ved å integrere strømmen. q = t 0 i(τ) dτ (2.2) Til enheten ampere bruker en de vanlige prefiksene for å tilpasse numeriske verdier. ka = 10 3 A ma = 10 3 A kilo ampere mili ampere µa = 10 6 A pico ampere µa = 10 6 A nano ampere Når strømmen går i samme retning hele tiden er den en likestrøm. Når strømmen i tillegg er konstant, er det en konstant likestrøm. Da bruker en symbolet I. Noen sier en dc-strøm der dc er en forkortelse for den engelske beskrivelsen direct current. Når i veksler mellom positiv og negativ retning er i en vekselstrøm. Noen sier en ac-strøm der ac er en forkortelse for den engelske beskrivelsen alternating current Strømkilder Strømkilder er komponenter i elektriske kretser. Figur 2.3 viser symboler for strømkilder, slik de brukes i elektriske kretser. Strømkilden i figur 2.3 (a) leverer den konstante strømmen i s, uavhengig av spenninger og strømmer i resten av kretsen. Figur 2.3 (b) viser en avhengig strømkilde. Den leverer en strøm som er en konstant α ganger spenningen v α der v α er en spenning et sted i kresen. Det blir en spenningsstyrt strømkilde. Figur 2.3(c) er også en avhengig strømkilde. Den leverer en strøm som er en konstant β ganger strømmen i β, der i β er en strøm et sted i kretsen. Det er en strømstyrt strømkilde. Figur 2.4 viser den vanlige betegnelsen av retning for spenning og strøm i en resistans. Det samme brukes for alle passive komponenter. 2.4 Elektrisk spenning Elektrisk spenning er definert som energi. I denne sammenhengen snakker en om kinetisk og potensiell energi. Kraftvirkningen mellom frie ladninger er forbundet med energi. Hvis kraften utøves på en ladning mot feltets retning øker den potensielle energien. Hvis kraften fjernes, frigjøres denne energien og blir en kinetisk energi i form av en ladningtransport i feltets retning. Det er en elektrisk strøm.

21 2.4. ELEKTRISK SPENNING 21 (a) (b) (c) i s i s = α v α i s = β i β q b a Figur 2.3: Figur (a) viser en strømkilde med strømmen i s. Indeksen s er en forkortelse for source. Figur (b) viser en spenningsstyrt strømkilde. Kilden leverer en strøm som er en konstant α ganger spenningen v α der v α er en spenning i kretsen. Figur (c) viser en strømstyrt strømkilde. Kilden leverer en strøm som er en konstant β ganger strømmen i β der i β er en strøm i kretsen. a i ab R v ab Figur 2.4: Retning av strøm og spenning i en resistans. Tenk to positive ladninger Q og q i en avstand fra hverandre og q << Q. Dette er vist i figur 2.5 Det kreves et arbeide W(b) for å bringe q fra en stor avstand til punktet b. Dette arbeidet gir q enpotensiell energiφ(b). Tenkatq bringesfrabtil a som er nærmere Q. Da har en utført det totale arbeidet W(a) på q. Det gir q en potensiell energi φ(a).differansenw(a)w(b)erdetarbeidesom kreves for å bringe q fra b til a. Det har endret q sin potensielle energi med φ ab = φ(a) φ(b). Potensial forskjellen φ ab per enhetsladning av q defineres som spenningen mellom punktene a og b. Den betegnes med v ab og måles i volt med symbolet V. Definisjonen av elektrisk spenning ut fra feltteoretiske betraktninger blir med dette. v ab = φ ab q Det er viktig å få en intuitiv forståelse av spenning, slik spenning brukes i elektriske kretser. Figur 2.6 viser symbolet for en resistans med spenningen v ab. Node a har symbolet og node b b V Q Figur 2.5: Figuren viser ladningen Q og kraftfeltet rundt den. Kraft er en vektor. Det illustreres med vektorer som går ut fra Q som sentrum. Kraften avtar med avstanden fra Q. Det symboliseres med at lengden av vektorene blir kortere når avstanden fra Q øker. har symbolet. Node a har et høyere elektrisk potensial enn node b. Det er i samsvar med den fysikalske definisjonen av spenning. Spenningen v ab er proporsjonal med den energien som skal til for å bringe en positiv ladning fra node b til node a, i samsvar med den feltteoretiske forklaringen i figur 2.5. Ut fra dette gjør en følgende definisjon av elektrisk spenning, slik den brukes i elektriske kretser. Definisjon 2.3 (Spenning) Spenningen over en komponent er lik den energien som skal til for å føre en positiv enhetsladning fra minusnoden til plussnoden på komponenten. Elektrisk spenning har enheten volt med symbolet V. Spenningene v ab og v ba har samme tallverdi, men motsatt polaritet. v ab = v ba

22 22 KAPITTEL 2. INNLEDNING a R v ab Figur 2.6: Figuren viser en resistans som eksempel på en komponent med spenningen v ab. En bruker de vanlige prefiksene for å skalere numeriske verdier når en angir spenningsverdier. kv = 10 3 V mv = 10 3 V b kilo volt mili volt µv = 10 6 V pico volt µv = 10 6 V nano volt Symboler for spenningskilder Spenningskilder er komponenter i elektriske kretser. Figur 2.7 viser symboler for spenningskilder, slik det er vanlig å bruke i elektriske kretser. et batteri. Spenningen fra batteriet påvirker elektronene med en kraft som øker hastigheten. Elektroner kolliderer med atomene og mister hastighet. Den tapte energien fra en kollisjon blir til varme. Spenningen fra batteriet gjenvinner den tapte hastigheten Denne prosessen med økning og reduksjon av elektronenes hastighet foregår så lenge det er strøm i lederen. Det setter en grense for lederens evne til å lede strøm, en egenskap som kalles resistans. Resistans innføres i forbindelse med strøm i en metallisk leder, men resistans er en fysisk egenskap ved alle faste stoffer. Derfor lager en følgende definisjon: Definisjon 2.4 (Resistans) Resistans er en fysisk egenskap som hindrer bevegelse av frie ladninger i et materiale. Det kreves en spenning for å drive en strøm gjennom materialet. Resistans er definert som forholdet mellom spenning og strømm. Energien som leveres av kilden forbrukes i materialet og blir til varme. (a) (b) (c) R = v i v : spenning i V i : strøm i A R : resistans i Ω v s v s = αv α v s = βi β Figur 2.7: Figur (a) viser en spenningskilde med spenningen v s. v s opptrer uavhengig av andre verdier i kretsen. En sier at v s er en uavhengig kilde. Indeksen s er en forkortelse for source. Figur (b) viser en avhengig spenningskilde. Kilden leverer en spenning som er en konstant α ganger spenningen v α der v α er en spenning i kretsen. Figur (c) viser en avhengig spenningskilde. Den leverer en spenning v s som er avhengig av en strøm i kretsen. Spenning er en konstant β ganger strømmen i β der i β er en strøm i kretsen. 2.5 Resistans og Ohm s lov Figur 2.2 illustrerer en leder med frie elektroner som beveger seg fra minuspolen til plusspolen på Enheten for resistans en avledet fra grunnenhetene. Resistans måles i ohm med symbolet Ω. Definisjonen er V/A. Se tabell 2.2 på side 17. En bruker de vanlige prefiksene for å tilpasse måleenheten til numeriske verdier. De vanligste er: MΩ = 10 6 Ω kω = 10 3 Ω mω = 10 3 Ω mega ohm kilo ohm mili ohm µω = 10 6 Ω mikro ohm Ohm s lov sier at for en resistans er forholdet mellom spenning og strøm konstant. Det gir en sammenheng mellom de tre størrelsene strøm, spenning og resistans. Når en kjenner to av de, kan en beregne den tredje. Dette er vist med et eksempel.

23 2.5. RESISTANS OG OHM S LOV 23 Eksempel 2.1 Figur 2.8 viser et spenningskilde som er koblet til en resistans. En definerer retning for spenning og strøm ifølge psc. 1 W 0.25 W 0.5 W i 2 W v Figur 2.8: Spenningskilde koblet til en resistans Hvis en kjenner spenningen og resistansen kan en beregne strømmen. Hvis en kjenner spenningen og strømmen kan en beregne resistansen. Hvis en kjenner strømmen og resistansen kan en beregne spenningen. Dette er vist med følgende tre eksempler. 1. V=8.2 V, R=100 Ω R I = 8.2 = 82 ma V=12 V, R=820 Ω I = 12 = 50 ma I=4 ma, R=3300 Ω Motstand V = = 13.2 V Resistans er en parameter som brukes i elektriske kretser. En motstand er en komponent som er laget for å ha en bestemt resistans. Symbolet for en motstand er vist i figur Effektbegrensning i motstander En motstand har en begrensning på effekten som kan omsettes før den blir så varm at den ødelegges. En motstand for høye effekter må ha store fysiske dimensjoner slik at varmen ledes ut til omgivelsene. Effektgrensene for de fire vanligste motstandene som brukes i elektriske kretser er vist i figur 2.9. Figur 2.9: De fire motstandene er tegnet med en størrelse som tilsvarer omlag den fysiske størrelsen på vanlige motstander Kull-masse motstander Kull-masse motstander er av de eldste komponentene som er brukt i elektrofaget. Prinsippet for en kull-masse motstand er vist i figur Den ønskede resistansen bestemmes av en kullstav a Figur 2.10: Prinsippet for en kull-masse motstand. Resistansen er bestemt av kullstaven som er merket med bokstaven a i figuren. med en bestemt komposisjon av kull, bindemiddel og geometriske dimensjoner. Kullstaven er merket med bokstaven a i figur Kull-masse motstander er billige, men har ikke spesiellt gode egenskaper. Tidligere var toleransen for slike motstander ± 20%. Moderne produksjonsprosesser har ført til at toleransen er redusert til ± 5% Kull-skikt motstander En kull-skikt motstand er laget med et kullskikt på et keramisk rør. Det freses spor i kullskiktet med en diamantskive eller en laserstråle inntil en får riktig resistansverdi. Det er en produksjonsprosess som fører til mindre toleranser enn tilsvarende for kull-masse motstander. Dessuten har disse motstandene bedre langtidsstabilitet og mindre temperaturdrift. Dette er vist i figur Den spiralen som oppstår ved slissingen av skiktet er i prinsippet en spole. Derfor er induktiviteten

24 24 KAPITTEL 2. INNLEDNING a Materiale ρ [Ω m] σ [S/m] α [1/ C] Sølv Figur 2.11: En kull-skikt motstand har et kullskikt på et keramisk rør. Det freses spor i kullskiktet med en diamantskive eller en laserstråle til en får riktig resistansverdi. L høyere i en skiktmotstand enn i en massemotstand Metall-film motstand En metall-film motstand lages på samme måte som en kull-skikt motstand som vist i figur Nikkel-Krom(NiCr) har vært mye brukt som metallfilm, men mange andre legeringer er også i bruk, avhengig av hvilke spesielle egenskaper en ønsker å fremheve. Metall-film motstander har langt bedre egenskaper enn både kull-masse og kull-skikt motstander. Metall- film motstander brukes blant annet i Hi-Fi audioforsterkere. Kobber Gull Aluminium Messing Nikkel Jern Sjøvann Bakelitt Glass Porselen Polysteren Kvarts Figur 2.12: ele Temperaturavhengighet En resistans er temperaturavhengig. En oppgir resistansens verdi ved T 0 = 20 C. Den betegnes med R, men i denne sammenhengen gir vi den betegnelsen R 0 for å presisere at det er verdien ved referansetemperaturen som oppgis. En har målt temperaturkoeffisienten α til ulike materialer. Den er oppgitt i tabellen på side 27. Resistansens verdi R(T) er en funksjon av temperaturen med R 0 og temperaturkoeffisienten α som parametre. Med den definisjonen en har valgt for temperaturkoeffisient blir denne sammenhengen R(T) = R 0 [1α(T T 0 )] For de som ønsker mer informasjon om motstander som komponent henvises til referansene [8, side 7-4] og [17, side 5-9] Konduktans Inversverdien av resistans kalles konduktans, eller ledningsevnen G = 1 R = σs l A/V σ = 1 ρ Elektrisk ledningsevne måles i siemens og har symbolet S. σ kalles den spesifikke ledningsevnen og får dimensjonen S/m Ohm s lov Sammenhengen mellom spenning v, strøm i og resistans R kalles Ohm s lov. Ohm s lov sier at for en resistans er forholdet mellom spenning og strøm konstant.

25 2.5. RESISTANS OG OHM S LOV 25 v = R i C d R = v i i = v R L R L C p Motstand ved høye frekvenser En tenker på en motstand som en komponent med en bestemt verdi, uavhengig av hvordan den brukes. Det er ikke riktig når en kommer opp i frekvens. En motstand har en egenkapasiteten i selve motstands kroppen og en induktivitet i tilledningene. En må bruke en modell som tar hensyn til disse egenskapene. Dette er vist i figur Figur 2.14: Figuren viser en modell for en motstand ved høye frekvenser, når motstanden er montert på et tryktkretskort. Induktansene L er induktiviteten i tilledningene. Kondensatoren C d er en ekvivalent kapasitans over motstands kroppen. Indeksen d står for device. Kondensatoren C p er en strø kapasitet mellom tilkoblingspunktene på tryktkretskortet. Indeksen p står for paracitic. a L R C L b k = J/K T = absolutt temperatur K R = resistans Ω B = båndbredde Hz Figur 2.13: Figuren viser en modell av en motstand ved høye frekvenser. Selve motstands kroppen har en kapasitans som modelleres med kondensatoren C. Tilledningene har en induktiv komponent som modelleres med induktansene L. Motstanden er en kompleks impedans ved høye frekvenser. Rundt én bestemt frekvens motstanden en resonanskrets med en liten Q-verdi. Frekvensresponsen til motstander ved høye frekvenser er vist i seksjon 12.3 på side 163. Når en motstand monteres på et tryktkretskort blir det en kapasitans mellom tilkoblingspunktene på kortet. Dette modelleres med en liten kondensator C p, som vist i figur Støyspenning fra en resistans En resistans produserer en støyspenning som er lik v n = 4kTRB Spenningenv n representererenenergi.foråoverføre mest mulig av denne energien til en ytre krets velges en kobling som vist i figur I figuren v n R n Figur 2.15: Støyen er representert med støyspenningen v n. I denne modellen er R n en støyfri resistans. Maksimal overføring av støyeffekt fra R n til R l foregår når R n = R l. er v n en kilde som gir støyspenningen. R n er en resistans uten støy. Oppgaven er å overføre mest mulig effekt fra støykilden til resistansen R l. Det inntreffernårr n = R l = R.Daerstøyspenningen over R l = v n /2. Effekten som overføres fra R n til R l blir v n2 P n = v2 n 4R = ktb W R l

26 26 KAPITTEL 2. INNLEDNING Støyeffekten er ikke avhengig av resistansens verdi. Den er bestemt av absolutt temperatur T i K og båndbredden B i Hz. Innen telekommunikasjon er det vanlig å beregne støyeffekten per Hz. Det kalles den spektrale tettheten N 0. N 0 = kt J Den spektrale tettheten av støyen er Bolzman s konstant ganger den absolutte temperaturen T i K. En sier at støyen skyldes en termisk agitasjon. En ser at støyen fra en termisk agitasjon har enkonstantspektraltetthetn 0.Foråfåenforestilling om en slik støy kan en sette en FM radio mellom to stasjoner. Den støyen en hører da har tilnærmet konstant spektral tetthet innen et begrenset frekvensområde. Eksempel 2.2 Mottakerantenna i en GSM telefon kan modelleres med en 50 Ω resistans. Båndbredden i GSM er B = 200 khz. Den spektrale tettheten av støyen fra antenna ved 20 C blir: N 0 = kt = = J Denne energien kan angis i elektronvolt ev N 0 = ev Støyeffekten fra resistansen i antenna ved 20 C blir. N = N 0 B = W Fargekoding av motstander Motstander merkes med en standard fargekode. Koden består av fra 3 til 6 ringer med farger som angir motstandens parametre. Fargeringene plasseres på motstands kroppen fra den ene enden. Når en skal lese fargekoden holder en motstanden slik at fargeringene er til venstre og en leser fra venstre mot høyre på vanlig måte. Se figur Vi må skille mellom de 4 forskjellige tilfellene, avhengig av antall fargeringer, Figur 2.16: aaa 3 ringer: De 3 ringene angir motstandens verdi. Første ring er første siffer, andre ring er andre siffer og tredje ring er en multiplikator. Toleransen er ± 20 %. Eksempel 2.3 Første ring er grønn, andre ring er blå og tredje ring er rød. Da er motstandens verdi 5600 (Ω). Første ring er grønn, andre ring er blå og tredje ring er gull. Da er motstandens verdi 5.6 (Ω), 4 ringer: De 3 første ringene angir verdi på samme måte som med bare 3 ringer. Den fjerde ringen angir toleranse. Gull angir 5 % of sølv angir 10 %. Eksempel 2.4 Første ring er grønn, andre ring er brun, tredje ring er orange og fjerde ring er sølv. Det er en motstand på 51 kω med 10 % toleranse. 5 ringer: Første ring er første siffer, andre ring er andre siffer, tredje ring er tredje siffer, fjerde ring er multiplikator og fjerde ring angir toleranse. I dette tilfellet angis toleranse i området %. Eksempel 2.5 Første ring er grå, andre ring er rød, tredje ring er grønn, fjerde ring er brun og femte ring er brun. Det er en motstand på 8250 (Ω) med 1 % toleranse. 6 ringer: De fem første ringene har samme betydning som i tilfellet med bare 5 ringer. Den sjette ringen angir temperaturkoeffisient. Eksempel 2.6 Første ring er grå, andre ring er rød, tredje ring er grønn, fjerde ring er orange, femte ring er brun og sjette ring er

27 2.6. EFFEKT OG ENERGI 27 blå. Det er en motstand på 825 kω med 1 % toleranse og en maksimal temperaturdrift på α = 10 (ppm/k). Eksempel 2.7 En motstand med nominell verdi på 1 (MΩ) har en temperaturdrift på α = 100 (ppm/k). Det betyr at resistansens verdi kan endre seg med 100 (Ω) når temperaturen endrer seg 1 (K). Hvis temperaturen endrer seg med 40 (K) vil resistansens verdi kunne endre seg med (4 kω). farge verdi dekade ± % ±α ppm/k sort brun rød orange gul grønn blå fiolett grå hvit gull sølv Figur 2.17: Fargekoden for motstander Standardverdier av motstander Motstander produseres i såkalte E-serier. De vanligsteere-24,e-12oge-6.talletangirhvormange forskjellige resistans verdier det er for hver dekade. I E-24 serien er det 24 forskjellige verdier for hver dekade. Dette er vist i figur E24 E12 E R/R ±5% ±10% ±20% Figur 2.18: Standardverdier av motstander 2.6 Effekt og energi Denne beskrivelsen er ut fra praktiske opplevelser av elektriske fenomener. Anta at vi setter på en varmeovn i stua. Da legges det en spenning over varmeelementene som fører til at ovnen trekker en strøm. Etterhvert blir ovnen varm. Varme er energi og temperatur er et mål for varme. Ut fraden fundamentale setningen om energiens bevarelse kan en slutte at energien i varmen kommer fra energien som tilføres ovnen med en spenning og strøm. Har vi en liten ovn blir det ikke så varmt. Har vi en stor ovn kan vi få opp varmen innen kort tid. Derfor gir det mening å innføre en størrelse som forteller noe om ovnens evne til å produsere varme. Vi innfører effekt som omsatt energi per tidsenhet. Definisjon 2.5 (Effekt) Effekt er energiomset-

28 28 KAPITTEL 2. INNLEDNING ning per tidsenhet Valg av polaritet p = dw dt p : effekt i watt W w : energi i joule J t : tid i sekunder s Effekt kan uttrykkes med spenning og strøm p = v i = i 2 R = v2 R Når en bruker små bokstaver for spenning, strøm og effekt mener en øyeblikks verdier. I likestrømkretser og når en regner med effektivverdier i vekselstrømkretser bruker en store bokstaver, fordi det er konstanter. Det finnes både positive og negative ladninger. Derfor er spenning og strøm bipolare størrelser. En må velge retning på strøm og spenning og følge den konsekvent når en analyserer elektriske kretser. Figur 2.19 viser en boks med to noder a og b. Mellom nodene, inne i boksen, er det en komponent. Strømmen i går inn ved node a og spenningenerpositiv pånodea.dette erett av to mulige valg, og valget kalles den passive konvensjonen for valg av polaritet. På engelsk heter det passive sign convention (psc). Strømmen i er en strøm av positive ladninger inn til node a. Spenningen v driver en positiv ladning fra den positive noden til den negative. Da mister ladningen energi og den energien forbrukes av komponenten mellom a og b. Komponenten er passiv, derav navnet passive sign convention. Hvis strømmen i og spenningen v har de retningene som vist i figuren blir effekten p = v i positiv. P = V I i a = I 2 R = V 2 R v b Når en kjenner tidsforløpet til effektomsetningen p(t) kan en beregne energiomsetningen mellom to tidspunkter. En finner den totale omsetningenav energi frat = 0til et vilkårlig tidspunkt t ved å integrere effektfunksjonen mellom de to tidspunktene. Ligning 4.4 gir w(t) = elektronvolt t 0 p(τ) dτ (2.3) En bruker ofte enheten elektronvolt, ev, som enhet for energi. 1 ev er endringen i energi for en enhetsladning som passere en potensialforskjell på 1 V. 1 ev = J Figur 2.19: Figuren viser en boks med to noder, a og b. Mellom a og b er det en komponent. Strømmen i har positiv retning når den går inn i den positive noden. Spenningen v driver en positiv ladning fra node a til node b. Da mister ladningen energi. Den energien forbrukes i komponenten. Derfor er komponenten er passiv. I engelsk faglitteratur kalles dette passive sign convention. Det forkortes ofte til psc. Hvis strømmen i figur 2.19 har motsatt rtening blir effekten p=i v negativ. Da er komponenten inne i boksen en kilde som leverer energi til resten av kretsen. En velger retning på spenning og strøm ifølge psc. Det vil si at strømmen går inn på den positive noden av en komponent. Hvis dette er den virkelige polariteten er komponenten passiv. Hvis den virkelige strømmen går ut fra den positive noden på komponenten er kompo-

29 2.7. DECIBEL (DB) 29 nenten en aktiv kilde som leverer energi til kretsen. Det vil si at passive komponenter får en positiv effekt. Aktive komponenter får en negativ effekt. Summerer en alle effektene i én bestemt krets er summen lik null. Den energien som leveres av de aktive komponentene forbrukes av de passive komponentene. Slik er det i alle kretser. De aller fleste lærebøker i elektrisitetslære bruker polariteter ifølge psc. Simuleringsprogrammer som SPICE og PSpice bruker det også. Det er vanlig å sette en effekt innen hakeparentesernåreffektenerangittidb. Eksempel 2.9 (Forsterker) Dette eksemplet viser hvordan db brukes i forbindelse med en audioforsterker. I 1 I 2 V 1 R 1 V 2 R 2 Eksempel 2.8 I et elektrisk nettverk har en valgt retning for spenning og strøm for alle komponentene ifølge psc. En har målt spenning og strøm for tre komponenter med følgende resultat: 1. v = 4.2 V og i = 12.2 ma. Effekten er p = v i = mw. komponenten er passiv og forbruker effekten. 2. v = 3.6 V og i = 18.4 ma. Effekten er p = v i = mw. komponenten er aktive og leverer effekten til kretsen. 3. v = 5.7 V og i = 9.3 ma. Effekten er p = v i = mw. Komponenten er passiv og forbruker effekten. For de som ønsker å lese mer om psc henvises til referansene [13, side 10] og [3, side 4]. 2.7 Decibel (db) Effekter kan variere innen store områder. Noen ganger er en mer interessert i forholdet mellom to effekter enn absoluttverdien av én bestemt effekt. Graham Bel laget et mål for forholdet mellom to effekter som logaritmen til forholdet mellom de. Senere introduserte en enheten decibel som er 10 ganger Bel. Den har symbolet db. Den formelle definisjonen av db er: Figur 2.20: Figuren viser en audio forsterker med spenningskilden V 1 og last resistansen R 2 Forsterkeren har følgende parametre V 1 = 1.0 V R 1 = 100 kω R 2 = 4.0 Ω P 2 = 100 W Da er inngangs effekten P 1 lik P 1 = V 1 2 = 10 µw R 1 Da er effektforsterkningen G p = P 2 P 1 = 10 7 Effektforsterkningen uttrykt i db blir ( ) P2 [G] = 10log = 70 db Spenningen V 2 er lik P 1 V 2 = P 2 R 2 = 20 V Da er spenningsforsterkningen lik Definisjon 2.6 (db) Forholdet mellom de to effektene P 1 og P 2 i db er definert ved ( ) P2 db = 10log (2.4) P 1 Nå har vi at G v = V 2 V 1 = 20 P 1 = V 2 1 R 1

30 30 KAPITTEL 2. INNLEDNING og P 2 = V 2 2 R 2 Da får vi at ( ) P2 [G] = 10log P 1 ( ) V 2 = 10log 2 V1 2 R1 R 2 ( ) V2 = 20log 10log V 1 = = 70 db ( R1 R 2 En ser at effektforsterkningen består av to ledd. Det første skyldes spenningsforsterkningen. Det andre leddet skyldes at inngangsresistansen er forskjellig fra utgangsresistansen. Hvis inngangs resistansen og utgangs resistansen er like blir det siste leddet lik null. Da er effektforsterkningen lik [G] = 20log ( V1 Istedenfor å beregne forholdet mellom to vilkårlige effekter ser en på én bestemt effekt iforhold til 1 W. Det vil si at P 1 = 1 W i ligning 2.4. Da skriver en resultatet som db w. I mange anvendelser er det hensiktsmessig å referere til P 1 = 1 mw. Da skriver en resultatet som db m. V 2 ) ) i GSM standarden, et dokument på mange tusen sider som er utviklet over mange år. GSM standarden definerer navn og betegnelser for de ulike delene som inngår i systemet. Telefonen som vi går rundt med i lomma har betegnelsen HS som er en forkortelse for Hand Set, eller håndsettet som vi sier på norsk. Den komplementære enheten til HS har betegnelsen BS som er en forkortelse for Base Station, eller basestasjon som vi sier på norsk. Kommunikasjonen mellom HS og BS foregår med radio. Når HS sender til BS kalles det en opplink. Når BS sender til HS kalles det en nedlink. Signalene svekkes fra BS til HS og kan noen ganger bli for svake til å opprettholde en kommunikasjon. Da får en mellingen: Mobilen er slått av eller befinner seg utenfor dekningsområdet GSM standarden setter krav til følsomheten på en GSM telefon. Signaleffekten inn på mot- HS Figur 2.21: I GSM standarden har telefonen betegnelsen HS. Det er en forkortelse for Hand Set Eksempel 2.10 Effekten ut fra en audioforsterker er P = 48 W. Da er [P] = 10log(28/1) = db w [P] = 10log(28/0.001) = db m Decibel beskrevet i referansene [8, side 1-48] og [6, side 797]. 2.8 GSM telefon I denne seksjonen skal en bruke kunnskapen fra dettekapitletpåeteksempelsomalleharetforhold til, en GSM telefon. GSM systemet er beskrevet taker skal være større enn [P r ] = 103 dbm Det tilsvarer at effekten inn på HS er P r = W I en beregningsmodell kan en erstatte antenna i telefonen med en signalkilde og en resistans. Dette er vist i figur Hvis R a = R r = 50 Ω blir P a = W En kan en beregne spenningen som ligger over inngangen på HS. Det gir V r = P r R r = 50 µv

31 2.9. FYSISKE MODELLER 31 R a P a P r R r HS Figur 2.22: HS med ekvivalent for antenna ønsker en populærvidenskapelig fremstilleng av ubesvarte spørsmål i fysikken, henvises til referanse [15]. Elektrisitetslære er en beskrivelse av modeller fra den delen av fysikken som kalles elektromagnetisme. Her kommer noen enkle kommentarer til denne modellbeskrivelsen. Strømmen på inngangen blir Dataraten i GSM er I r = V r R r = 1.0 µa R b = bit/s Da er varigheten til ett bit T b = 1/R b = 3.7 µs Da er energien inn på HS fra ett bit lik E r = P r T b = Ws Denne energien målt i ev blir E r = 1152 ev I løpet av ett bit har det kommet N e = I r T b q e = elektroner inn på inngangen av HS. Den ladningsmengden er stor iforhold til én elementærladning. 2.9 Fysiske modeller Fysikk er ikke en eksakt beskrivelse av virkeligheten. Fysikk beskriver modeller av virkeligheten. Modeller utviklet av sinnrike mennesker gjennom tidene; slik de oppfattet den virkeligheten de selv var en del av. Enkanikke kreveatfysikken forteller denhele og fulle sannhet. Fysikken er begrenset av menneskenes evne til å forstå skaperverkets kompleksitet og mangfold. Det er grunnen til at fysikken fremdeles har mange ubesvarte spørsmål. De som Definisjonen av elektrisk strøm Elektrisk strøm er definert som den deriverte av ladningtransport med hensyn på tiden t. i = dq dt (2.5) Den deriverte er en differensialkvotient, forholdet mellom to infinitesimalt små størrelser. I ligning 2.5 er dq en infinitesimalt liten størrelse. Uavhengig av hvor liten dq er kan den gjøres mindre, uten å bli null. Matematikken krever at dq skal bli mindre enn , men det tillater ikke fysikken. En ladning kan ikke bli mindre enn elementærladningen. En sier ikke av den grunn at denne definisjonen av strøm er feil. Men en sier heller ikke at den er riktig. En sier at definisjonen har et begrenset område der den kan brukes. Et område bestemt av i hvilken grad én elementærladning er liten iforhold til den totale ladningen i én bestemt strøm. Tenk en strøm i = 1 na. Den er så liten at en må bruke spesielt utstyr for å måle den. Den tilsvarer i størrelsesorden elementærladninger gjennom et tverrsnitt av en leder per sekund. Det tilsvarer elementærladninger gjennom detsammetverrsnittetiløpetav1 µs.daskjønner en at én elementærladning er liten iforhold til den totale ladningmengden i aktuelle strømmer. Derfor er ligning 2.5 en god makromodell for elektrisk strøm Lineære komponenter En lineær krets består av lineære komponenter. Det er en lineær sammenheng mellom spenning og strøm i kretsen. En motstand er en lineær komponent. Når spenningen øker, øker strømmen like

32 32 KAPITTEL 2. INNLEDNING mye. Ingen komponenter er helt lineære, men alle har et område så tilnærmet lineært at en kan bruke en lineær modell for komponenten. Motstander og kondensatorer er eksempler på passive komponenter med et stort lineært område. I praksis er det begrenset av maksimalverdier for spenninger, strømmer og effekter. Disse verdiene oppgis i datablader fra produsenten. En spole uten kjerne har et lineært område som for motstander og kondensatorer. Spoler med en magnetisk kjerne har et begrenset lineært område, bestemt av kjernematerialets egenskaper og hvordan spolen er laget. I en lineær krets er det en lineær sammenheng mellom spenning og strøm, men det er en ulineær sammenheng mellom spenning og effekt og mellom strøm og effekt. Effekten øker med kvadratet av spenningen og med kvadratet av strømmen Ulineære komponenter En ulineær komponent har en ulineær sammenheng mellom spenning og strøm. Spenning og strøm øker ikke like mye. Eksempler er dioder, transistorer og radiorør. Selv om disse komponentene er ulineære, brukes de i lineære kretser. Det er mulig å forspenne komponenten med spenning og strøm til et arbeidspunkt. Rundt dette punktet kan komponenten være tilstrekkelig lineær for små variasjoner av spenning og strøm. Ulineære komponenter er ikke alltid av det onde. Når et radiorør avgir høye effekter kommer det inn i sitt ulineære område. Røret produserer harmonisk forvrenging som utnyttes i store audioforsterkere. Type forvrenging avhenger av type komponent. Et radiorør produserer en annen type forvrenging enn en transistor. Forvrengingen fra et radiorør består mest av de lave harmoniske komponentene. Dette oppfatter øret som en endring i klangfarge, noe mange mener er en god lyd Konsentrerte parametre Komponenter karakteriseres med sine parametre. Som eksempel har en motstand sin resistans R. Resistansen er en konsentrert parameter når motstandens fysiske dimensjoner er små i forhold til bølgelengden av de signalene som eksisterer motstanden. Dette kan best forklares med et enkelt eksempel. Vi tar en vanlig motstand, den er omlag 10 mm lang. Når motstanden brukes i en audioforsterker er den helt sikkert en konsentrert parameter, for i det området er bølgelengden mange kilometer. Hvor høyt i frekvens motstanden kan brukes blir et spørsmål om motstandens fysiske utstrekning i forhold til bølgelengden av de signalene som eksisterer motstanden. Som eksempel kan en si at motstanden har liten fysisk utstrekningnårbølgelengdenermerenn10gangerkomponentens fysiske størrelse. Med 100 mm bølgelengde er frekvensen f = 3 GHz. Det er en enkel regel som sier at vanlige komponenter kan brukes opptil 1 GHz. Dette er et grovt anslag som ikke alltid er riktig. Selv under 1 GHz må en i mange sammenhenger ta hensyn til de spesielle egenskapene som oppstår når bølgelengden ikke lenger er stor i forhold til komponentens fysiske utstrekning. I en satellittmottaker brukes frekvenser i området f = 10 GHz. Da er bølgelengden 30 mm. Det er sammenlignbart med lengden av en vanlig resistans. Resistansen er ikke lenger konsentrert, den er distribuert over et område så stort at spenning og strøm endrer seg langs komponentens utstrekning. Da har vi bølger av spenninger og strømmer. Ohm s lov og Kirchhoff s lover gjelder fremdeles, men de må brukes på en spesiell måte. Dette behandles i mikrobølgeteknikken. Se referanse [4, side 4] Distribuerte parametre En komponent har distribuerte parametre når komponentens fysiske utstrekning er stor i forhold til bølgelengden av de signalene som eksiterer komponenten. En transmisjonslinje er et eksempel på en komponent med distribuerte parametre. Linja har en resistans som fordeler seg langs hele linja s lengde og den kan være mange bølgelengder lang. Linja har en induktivitet og en kapasitet som bestemmer linja s karakteristiske egenskaper. Disse parametrene er fordelt langs linja. Derfor kalles de distribuerte. En antenne er et eksempel på en komponent

33 2.10. OPPGAVER 33 med distribuerte parametre. En antenne er også et eksempel på en komponent med geometriske formfaktorer som fører til at den elektromagnetiske energien som tilføres antenna blir en bølge som forplanter seg ut i rommet med lysets hastighet. Maxwlle s ligninger sier at når et elektrisk felt endrer seg, oppstår alltid et magnetisk felt som også endrer seg og endringen er slik at de to feltene danner en elektromagnetisk bølge som bærer energi ut fra komponenten til rommet. Det kalles stråling. Strålingens intensitet er avhengig av komponentens geometriske utforming, iforhold til feltkonfigurasjonen som eksiterer komponenten. En kondensator stråler nesten ikke. En senderantenne stråler mye, fordi de geometriske dimensjonene er valgt slik at det oppstår tilpasning til rommet som transmisjonsmedium Oppgaver Oppgave (2.1) Ladningsmengden Q 1 inneholder n 1 = negativeelementærladninger.ladningsmengdenq 2 inneholder n 2 = positive elementærladninger. 1: Beregn ladningsmengden Q 1. 2: Beregn ladningsmengden Q 2. 3: Beregn ladningsmengden Q 3 = Q 1 Q 2. 4: Hvor mange ladninger n 3 og hvilken type ladninger er det i Q 3 1: Beregn ladningsmengden q(t) på batteriet. 2: Hvor stor er ladningsmengden i batteriet etter 1 time? 3: Hvor stor er ladningsmengden i batteriet når det er fulladet? 4: Hvor stor er batterikapasiteten målt i Ah (amperetimer)? 5: Finn batterispenningen v(t). 6: Hvor mye elektrisk energi inneholder batteriet når det er fulladet? Oppgave (2.3) En kobberleder har en diameter på d = 0.2 (mm). Lederens lengde er l = 100 (m). Strømmen i lederen er 0.1 (A). En kan regne med at hele lederens tverrsnitt bidrar i ladningstransporten og at feltet iledereneruniformtfordelt.detvilsiatfeltethar samme retning som strømmen overalt i lederen. Omgivelsestemperaturen er 20 C. Resistivitet og temperaturkoeffisient for kobber finnes i tabellen på side (27). 1: Beregn lederens resistans R 0. 2: Beregn lederens konduktans G 0. 3: Beregn spenningen V over lederen. 4: Beregn den elektriske feltstyrken E langs lederen. 5: Beregn effekttapet P t i lederen. 6: Hvor stor er lederens resistans ved 0 C? Oppgave (2.2) Et batteri skal lades fra en batterilader. Batteriet har ingen ladninger før laderen settes på ved t = 0. Ladestrømmen er gitt med funksjonen i(t) = 10e t/10000 A NårbatterieterfulladeterspenningenV 0 = 12.6 V En kan regne med at batterispenningen øker etter samme funksjon som ladningen. 7: Hvor stor er lederens resistans ved 60 C? Oppgave (2.4) En spenningskilde V = 10 V er koblet over resistansen R = 1000 Ω. 1: Beregn strømmen i resistansen. 2: Hvor mye effekt omsettes det i resistansen?

34 34 KAPITTEL 2. INNLEDNING 3: Hvor mye energi omsettes det i resistansen i løpet av ett døgn? Oppgave (2.5) Figuren under viser en likespenningskilde som er koblet til en seriekobling av to resistanser Fasit Oppgave (2.1) Elementærladning e = C 1: Q 1 = n 1 e = C V s I R 1 R 2 2: 3: Q 2 = n 2 e = C Q 3 = Q 1 Q 2 = C Komponetverdiene er: V S = 10.0 V R 1 = 9.0 kω R 2 = 1.0 kω 4: n 3 = Q 3 e = Siden Q 3 er positiv består den av positive elementærladninger. Oppgave (2.2) 1: Beregn strømmen I. 2: Beregn spenningen V 1 over R 1. 3: Beregn spenningen V 2 over R 2. 4: Beregn effekten P 1 som omsettes i R 1. 5: Beregn effekten P 2 som omsettes i R 2. 6: Beregn effekten P s som leveres av kilden. 7: Hvor mye elektrisk energi W 1 tilføres R 1 i løpet av 1 time? 8: Hvor mye elektrisk energi W 2 tilføres R 2 i løpet av 1 time? 9: Hvor mye elektrisk energi W s leverer kilden i løpet av 1 time? 1: 2: 3: 4: 5: q(t) = t 0 E = i(τ)dτ = 10 5( 1e t/10000) C q(3600) = C q m = 100 kc q m = 28 Ah 0 v(τ) i(τ)dτ = 630 kj 10: Hva skjer med den elektriske energien som kilden leverer? Oppgave (2.3)

35 2.11. FASIT 35 1: Arealet av lederens tverrsnitt er S = d2 π 4 Lederens resistans blir 2: Konduktansen 3: 4: 5: 6: = m 2 R 0 = ρ l S = Ω G 0 = 1 R 0 = S V = I R 0 = V E = V l = mv/m P t = I 2 R = W R(0) = R 0 [1α(0T 0 )] = Ω 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: I = V s R 1 R 2 = 1 ma V 1 = I R 1 = 9.0 V V 2 = I R 2 = 1.0 V P 1 = I 2 R 1 = 9.0 mw P 2 = I 2 R 2 = 1.0 mw P s = V s I = 10.0 mw W 1 = P 1 t = 32.4 Ws W 2 = P 2 t = 3.6 Ws W S = P S t = 36.0 Ws 7: 10: Energien omsettes til varme i resistansene. R(60) = R 0 [1α(60T 0 )] = Ω Oppgave (2.4) 1: I = V R = 10 ma 2: 3: P = V 2 R = 0.1 W W = P t = 8640 Ws Oppgave (2.5)

36 36 KAPITTEL 2. INNLEDNING

37 Kapittel 3 Likestrømkretser Spenning, strøm, resistans, effekt og energi ble introdusert i innledningen. Nå skal disse begrepene brukes på konkrete elektriske kretser. Dette kapitlet behandler likestrømkretser, men de nye begrepene gjelder også for vekselstrømkretser. Det blir behandlet senere i boken. Det er nødvendig å innlede med noen definisjoner. Nye ord og uttrykk må gis en mening før de kan brukes i konkrete sammenhenger. De viktigste temaene i kapitlet er: Definisjoner Seriekretser Denne boken vil bare behandle analyse av elektrisk kretser. I den forbindelsen brukes noen ord og uttrykk som defineres i de neste fire punktene med referanse til den elektriske kretsen i figur 3.1. En node er et punkt i en elektrisk krets der to eller flere komponenter er koblet sammen. En gren er en strømveg mellom to noder. En strømsløyfe er en mangekant i et elektrisk nettverk. En maske er en mangekant som ikke består av to eller flere mindre mangekanter. Parallellkretser Serie parallellkretser 3.1 Definisjoner En elektrisk krets er en sammenkobling av komponenter. Det kan være elementære kretselementer, eller mere kompliserte komponenter. En behandler elektriske kretser ut fra to forskjellige utgangspunkter. Figur 3.1 tjener den hensikt å konkretisere begrepene som er definert. Kretsen har tre strømsløyfer, I 1 I 2 I 3 I a R 2 I b En har gitt en elektrisk krets og oppgaven d. Det er tre grener.én gren fra node c til node er å analysere kretsen for å finne dens egenskaper. Dette kalles analyse av elektriske kretser. node b med grenstrømmen I 2. Én gren fra a med grenstrømmen I 1. Én gren fra node a til node 37 V s1 c R 1 R 3 a b d V s2 Figur 3.1: Elektrisk krets med to spenningskilder og tre resistanser. En har et sett av spesifikasjoner for en krets og oppgaven er å lage kretsen slik at den i to av disse er masker. Til hver maske er det en størst mulig grad oppfyller disse spesifikasjonene. maskestrøm. En refererer til en maske ved å referere til maskestrømmen. Kretsen har de to Dette kalles syntese av elektriske krets. maskestrømmene I a og I b. Det er fire noder: a,b,c og

38 38 KAPITTEL 3. LIKESTRØMKRETSER a til node d med grenstrømmen I 3. Den tredje strømsløyfa er: b c a d b. Den er ikke en maske fordi den inneholder maskene I a og I b. 3.2 Seriekretser Denne seksjonen behandler seriekobling av resistanser. I R 1 Hvis en kjenner spenningen V R over resistansen R og resistansens verdi kan en beregne strømmen i kretsen med Ohm s lov I = V R R Hvis en kjenner strømmen I og verdien til resistansen R kan en beregne spenningen over R med Ohm s lov V R = I R En bruker psc (passive sign convention) for polaritet av spenning og strøm. Se seksjon på side 28. V s R 2 R Spenningskilder i serie For to eller flere spenningskilder kobles i serie blir den totale spenningen lik den algebraiske summen av de enkelte spenningene. Med algebraisk sum mener en at spenningene adderes med fortegn. Figur 3.2: Seriekoblingen av tre resistanser R 1, R 2 og R 3 med spenningskilden V s. I en seriekrets er strømmen den samme gjennom alle komponentene. Den totale resistansen er lik summen av resistansene. R t = R 1 R 2 R 3 Med n resistanser i serie blir den totale resistansen R t = R 1 R 2 R n Ohm s lov i en seriekrets De viktigste egenskapene til en seriekrets kan formuleres i fem punkter: Strømmen er den samme gjennom alle komponentene. Hvis en kjenner den totale spenningen V s og den totale resistansen R t kan en beregne strømmen med Ohm s lov. I = V s R t 1.5 V 1.5 V 1.5 V b a Figur 3.3: Tre spenningskilder koblet i serie med samme retning. Hver kilde er på 1.5 V. Da blir den resulterende spenningen V ab = 4.5 V b 1.5 V 1.5 V 1.5 V a Figur 3.4: Tre spenningskilder koblet i serie. Den ene kilden har motsatt retning iforhold til de andre. Hver kilde er på 1.5 V. Da blir den resulterende spenningen V ab = 1.5 V

39 3.2. SERIEKRETSER Kirchhoff s spenningslov En strømsløyfe kan inneholde resistanser, spenningskilder og strømkilder. Det er vanlig å velge strømretningen i en strømsløyfe med urviseren, slik som vist i figur 3.1. For komponenter velger en polaritet på spenning og strøm ifølge psc. Kirchhoff s spenningslov sier at den algebraiske summen av spenningene rundt en strømsløyfe er lik null. Kirchhoff s spenningslov: Den algebraiske summen av spenningene rundt en strømsløyfe er lik null. V 1 V 2 V i V n = 0 (3.1) av spenningene rundt denne masken blir med det V s2 R 2 (I b I a )R 3 I b = 0 Kretsen har en strømsløyfe som inneholder de to maskene. En kan velge å si at strømmen i den sløyfa er I c og går med urviseren. Summen av spenningene i den sløyfa blir V s1 (R 2 R 3 )I c V s2 = Seriekrets Figuren under viser en krets med en kildespenning V s og tre resistanser i serie. I R 1 R 3 R 1 V s1 I a R 2 I b V s2 V s R 2 Figur 3.5: Kretsen har tre strømsløyfer. To er masker med strømmene I a og I b. Den tredje er fra V s1 R 1 R 3 V s2 V s1. Den strømmen kan en kalle I c Dettebrukespåkretsenifigur3.5.Førstmasken med strømmen I a. Strømmen I a går med urviseren.i a gårinnpåminusnodenavspenningskilden V s1. Derfor bidrar kilden med V s1 ifølge psc. Spenningen over R 1 blir R 1 I a ifølge psc. Spenningen over R 2 blir R 2 (I a I b ). Kirchhoff s spenningslov sier at summen av disse spenningene er lik null. V s1 R 1 I a R 2 (I a I b ) = 0 Sammenlignet med spenningene i Kirchhoff s spenningslov, ligning (3.1) er V 1 = V s1 V 2 = I a R 1 V 3 = R 2 (I a I b ) ImaskenmedstrømmenI b gåri b innpåpulssnoden avv s2.derforbidrardenkildenmedv s2.summen Figur 3.6: Seriekoblingen av en spenningskilde og tre resistanser. Kirchhoff s spenningslov sier at summen av spenningene rundt strømsløyfa er lik null. Det gir R 3 V s IR 1 IR 2 IR 3 = 0 Denne ligninga kan skrives på formen V s = IR 1 IR 2 IR 3 Da sier vi at den påtrykte spenningen er lik summen av spenningsfallene. I det generelle tilfellet kan en ha n resistanser R 1, R 2,, R n tilkoblet en spenningskilde. Da sier Kirchhoff s spenningslov at V s IR 1 IR i IR n = 0

40 40 KAPITTEL 3. LIKESTRØMKRETSER Enkel spenningsdeler Figur 3.7 viser en enkel spenningsdeler. Spenningen V s deles ned til V 2 med de to resistansene R 1 og R 2. Det er ikke klart hvordan V 2 måles. Når en sier spenningen V 2 i punktet a må en vite noe om referansen for målingen. I dette tilfellet er minuspolen på spenningskilden referansen for målingen. DetbetyratV 2 erspenningenover R 2.Nårenskal velge referanse i en elektrisk krets velger en ofte det punktet i kretsen som har det laveste potensialet. I V s I Figur 3.8: Spenningen V s fordeler seg over de tre resistansene iforhold til resistansenes verdier. R 1 R 2 R 3 V 1 V 2 V 3 V s a R 1 V 2 Med det kan en beregne spenningen over hver enkelt resistans. R 2 V 1 = I R 1 V 2 = I R 2 V 3 = I R 3 Figur 3.7: Spenningskilden V s fordeler seg med én del over R 1 og én del over R 2. Spenningen V 2 er lik spenningen over R 2 En beregner strømmen i kretsen ved å dividere V s med den totale resistansen R 1 R 2. V s I = R 1 R 2 Strømmen multiplisert med R 2 gir V 2. b V 2 = V s R 2 R 1 R Spenningsdeling over resistanser I en elektrisk krets kan en spenning fordele seg over flere resistanser. En finner først den totale resistansen i strømgrenen. Deretter spenningen over én resistans ved å multiplisere strømmen med resistansens verdi. Dette er vist i figur 3.8. Den totale resistansen er R t = R 1 R 2 R 3 Strømmen i kretsen er I = V s R t Effekt i en seriekrets Tenk en seriekrets med n resistanser. Den totale resistansen er R t = R 1 R 2 R n Den påtrykte spenningen er V s. Strømmen i kretsen blir I = V s R t Effekten som omsettes i hver enkelt motstand P 1 = I 2 R 1 P 2 = I 2 R 2. P n = I 2 R n Den totale effektomsetningen i kretsen er summen av effekten fra hver enkelt motstand. P t = P 1 P 2 P n = I 2 (R 1 R 2 R n ) = I 2 R t

41 3.3. PARALLELLKRETSER Parallellkretser Er det mer ennén strømgren mellom tonoder i en elektrisk krets er det en parallellkrets mellom de nodene. Strømmerinn og utav noder er formulert med Kirchhoff s strømlov Parallellkobling av resistanser Figur 3.10 viser parallellkoblingen av fire motstander. I t a Kirchhoff s strømlov Det er greit å starte denne delseksjonen med å presentere Kirchhoff s strømlov V s I 1 R 1 I 2 R 2 I 3 R 3 I 4 R 4 Den algebraiske summen av alle strømmene inn til en node er lik null Kirchhoff s strømlov: I 1 I 2 I i I k = 0 (3.2) Med algebraisk sum mener en at strømmene summeres med fortegn. En velger at strømmer som går inn til en node er positive og strømmer som går ut av noden er negative. Dette er vist i figur 3.9. V s1 c R 1 R 3 a I 1 I 2 I 3 R 2 d V s2 b Figur 3.10: Fire motstander er koblet til spenningskilden V s. DetgirdefiregrenstrømmeneI 1, I 2, I 3 og I 4. Inn til node a kommer den totale strømmen som leveresavkilden.densammespenningenv s ligger over alle komponentene. Ifølge Kirchhoff s strømlov er summen av strømmene inn til node a lik summen av alle strømmene ut fra noden. Dette gir I t = I 1 I 2 I 3 I 4 DentotalestrømmenI t ergittavspenningskilden V s og den totale resistansen av hele koblinga R t. b Figur 3.9: I kretsen er det tre grenstrømmer I 1, I 2 og I 3. I 1 går inn i noden a mens I 2 og I 3 går ut av noden. Alle strømmene som går inn til en node er positive og alle strømmene som går ut av en node er negative. Bruker en dette på node a i figur 3.9 får en I 1 I 2 I 3 = 0 Den samme relasjonen kan omskrives på formen I 1 = I 2 I 3 Summen av strømmene inn til en node er lik summen av strømmene ut av noden. V s R t = V s R 1 V s R 2 V s R 3 V s R 4 Ved å forkorte V s på begge sider får vi 1 R t = 1 R 1 1 R 2 1 R 3 1 R 4 Dette kan generaliseres til parallellkoblingen av n resistanser 1 = R t R 1 R 2 R n En bruker også notasjonen R t = R 1 R 2 R n

42 42 KAPITTEL 3. LIKESTRØMKRETSER Parallellkobling av to motstander Figur 3.11 viser parallellkoblingen av to motstander. Den totale resistansen er gitt ved 1 R t = 1 R 1 1 R 2 Det kan bringes på formen med felles nevner som gir den vanlige formelen for parallellkobling av to resistanser. R t = R 1R 2 R 1 R 2 Denne strømmen multiplisert med parallellkoblingen av R 1 og R 2 er lik V s. V s = I t R 1 R 2 R 1 R 2 De to grenstrømmene kan uttrykkes ved I 1 = V s R 1 og I 2 = V s R 2 Det gir hvordan den totale strømmen I t fordeler seg mellom de to resistansene. I 1 = I t R 2 R 1 R 2 og I 2 = I t Summering av strømkilder R 1 R 1 R 2 V s I 1 R 1 I 2 R 2 Figur 3.13 viser tre strømkilder koblet i parallell. I 3A 1A 2A 6A R Figur 3.11: To motstander er koblet i parallell til spenningskilden Strømdeling mellom to resistanser Figur 3.12 viser en spenningskilde som leverer strøm til to forskjellige resistanser. V s I 1 I 2 Figur 3.12: Strømmen fra kilden V s deler seg mellom de to resistansene. En skal utlede et uttrykk som viser hvordan denne fordelingen blir mellom de to resistansene. Den totale strømmen er R 1 R 2 I t Figur 3.13: De tre strømkildene er koblet i samme retning. Da er den totale strømmen summen av de tre strømmene. En strømkilde leverer en konstant strøm uavhengig av belastningen til. Kilden har en uendelig høy indre motstand. De tre kildene har samme retning. Den totale strømmen som leveres til resistansen R blir I = (312) A = 6 A Figur 3.14 viser de samme strømkildene, men nå har strømkilden på 1A byttet retning. Den totale strømmen til resistansen er lik den algebraiske summen av de tre strømkildene: I = (312)A = 4A Effektomsetning i en parallellkrets I en parallellkobling av n resistanser er den totale effektomsetningen lik I t = I 1 I 2 P t = P 1 P 2 P n

43 3.4. SERIE-PARALLELLKRETSER 43 3A 1A 2A 4A R I Spenningsdeler med resistiv last Figur 3.16 viser en spenningsdeler, uten belastning. Figur 3.14: Strømkilden på 1 A har byttet retning iforhold til figur Serie-parallellkretser Figur 3.15 viser en serie-parallellkrets. V s R 1 R 2 V 2 Figur 3.16: En spenningsdeler uten last. a R 1 R 3 R 2 c R 4 KildenV s deles ned til V 2 med resistansene R 1 og R 2. R 2 V 2 = V s R 1 R 2 Figur viser en spenningsdeler med belastning. R 6 b R 5 V s R 1 V 2 Figur 3.15: Seks resistanser er koblet i parallell. R 2 R l En skal beregne den totale resistansen mellom noden a og b. Resistansen mellom a og c er R ac.resistansenmellombogcerr bc.resistansen mellom a og b er R ab = R ac R bc. EnseratR 1 ogr 2 eriserie.denneseriekoblingen er i parallell med R 3. Det gir R ac = (R 1 R 2 ) R 3 Enserat R 4 og R 5 er i serie. Denneseriekoblingen er i parallell med R 6. Det gir R bc = (R 4 R 5 ) R 6 Det gir utgangspunktet for å finne den totale resistansen mellom a og b. R ab = (R 1 R 2 ) R 3 (R 4 R 5 ) R 6 En spenningsdeler med last ResistansenR l førertilatspenningenv 2 synker i forhold til uten belastning. Den strømmen som går gjennom R l må gå gjennom R 1. Da øker spenningen over R 1 og V 2 avtar. Belastningen R l er i parallell med R 2. Derfor blir utgangspenningen R 2 R l V 2 = V s R 1 R 2 R l Balansert Wheatstone s bro Figur 3.17 viser en Wheatstone s bro. Når V 1 over R 1 er lik V 2 over R 2 er broa i balanse.daerforholdetmellomv 1 ogv 3 likforholdet mellom V 2 og V 4. V 1 V 3 = V 2 V 4 I 1R 1 I 3 R 3 = I 2R 2 I 4 R 4

44 44 KAPITTEL 3. LIKESTRØMKRETSER I 1 I 2 Faktoren (R 2 /R 4 ) er en skaleringsfaktor. Hvis en velger R 2 = R 4 får en at R 1 R 2 V s a V o b R x = R p R 3 I 3 I 4 R Oppgaver Figur 3.17: En Wheatstone s bro. Siden I 1 = I 3 og I 2 = I 4 kan strømmene forkortes og en får R 1 = R ( ) 2 R2 R 1 = R 3 R 3 R 4 R 4 Verdien av R 1 kan bestemmes av de andre resistansene når broa er i balanse. Dette brukes for å måle resistanser meget stor nøyaktighet Måling av resistans med Wheatstone s bro Figur 3.18 viser en Wheatstone s bro når den brukes for å måle resistansen R x V s Måling av resistans med Wheat- Figur 3.18: stone s bro. R x R p µa R 2 R 4 Mellom de to grenene i broa er et galvanometer. Et galvanometer er et følsomt amperemeter som har sitt nullpunkt midt på skalaen. Det kan vise strøm i begge retninger. Resistansen R p er et potensiometer som balanserer broa. R p endres til strømmen gjennom galvanometeret er null. Det gir betingelsen R x = R p ( R2 R 4 ) Oppgave (3.1) Figur 3.19 viser en seriekrets med en spenningskilde V s Figur 3.19: Seriekrets med spenningskilde og tre resistanser. I R 1 R 2 R 3 og tre resistanser. Komponentverdiene er: V s = 10 V R 1 = 1 kω R 2 = 10 kω R 3 = 100 kω 1: Beregn den totale resistansen R t i kretsen. 2: Beregn strømmen I. 3: Beregn spenningen over hver resistans. 4: Beregn effektomsetningen i hver resistans. 5: Beregn effekten P s fra kilden V s. 6: Beregn summen av effektene i kretsen.

45 3.5. OPPGAVER 45 Oppgave (3.2) Figur 3.20 viser en enkel spenningsdeler. I Spenningskilden er V s = 10 V. En ønsker en spenningsdeling av kilden slik at V 1 = 3 V V 2 = 2 V V 3 = 5 V V s a R 1 V 2 Samtidig krever en at strømmen er I = 1 ma R 2 1: BeregnverdienavresistanseneR 1, R 2 ogr 3. b Figur 3.20: Figuren viser en enkel spenningsdeler uten last. Node b har det laveste potensialet og brukes som referanse. Kildespenningen er V s = 1 V. Spenningen V 2 skal være 0.2 V samtidig som strømmen I = 100 µ A 1: Beregn R 1 og R 2. 2: Hvor mye effekt omsettes i R 1 og R 2? 3: Hvor mye effekt leverer kilden? Oppgave (3.4) Figur 3.22 viser en seriekobling av to spenningskilder og en resistans. Komponentverdiene er: V s1 V s1 V s2 = 2.0 V = 3.0 V R = 1000 Ω V s2 R Oppgave (3.3) b a Figur 3.21 viser en seriekrets med en spenningskilde og tre resistanser. I R 1 Figur 3.22: Oppgaven er å finne spenningen V ab med Kirchhoff s spenningslov. 1: Bruk Kirchhoff s spenningslov til å finne spenningen V ab. V s R 2 2: Hvor stor er spenningen V ba? 3: Anta at punktene a og b kortsluttes. Hvor stor blir strømmen gjennom resistansen R? R 3 4: Hvilken retning har strømmen? Figur 3.21: Seriekrets med spenningskilde og tre resistanser. 5: Hvor stor spenning er det over resistansen? 6: Hvor mye effekt omsettes i resistansen?

46 46 KAPITTEL 3. LIKESTRØMKRETSER I t a V s I 1 R 1 I 2 R 2 I 3 R 3 I 4 R 4 V s I 1 R 1 I 2 R 2 b Figur 3.23: Spenningskilde med fire resistanser i parallell. Oppgave (3.5) Figur 3.23 viser en parallellkobling av en spenningskilde og fire resistanser. Komponentverdiene er V s = 10 V R 1 = 1 kω R 2 = 10 kω R 3 = 5.1 kω R 4 = 6.8 kω 1: Beregn strømmene I 1, I 2, I 3 og I 4. 2: Beregn den totale strømmen I t. 3: Beregn den totale resistansen R t av parallellkoblingen. 4: Beregn effektomsetningen i hver enkelt av de fire resistansene. 5: Beregn effekten fra kilden V s Oppgave (3.6) Figur 3.24 viser en parallellkobling av en spenningskilde og to resistanser. Komponentverdiene er V s = 10 V R 1 = 5.1 kω R 2 = 10 kω Figur 3.24: Spenningskilde over parallellkoblingen av to resistanser. 1: Beregn parallellkoblingen R p av R 1 og R 2. 2: Beregn strømmene I 1 og I 2. 3: Beregn den totale strømmen I t som leveres fra spenningskilden V s. 4: Beregn effektomsetningen i de to resistansene hver for seg. 5: Hvor mye effekt leverer kilden V s? 6: Hvor mye energi W 1 og W 2 omsettes i resistansene R 1 og R 2 i løpet av et døgn. Beregn energiene hver for seg og summen W s. 7: Hvor blir det av den energien som omsettes i motstandene? Oppgave (3.7) Figur 3.25 viser parallellkoblingen av en spenningskilde og to resistanser. V s Figur 3.25: Spenningskilde over parallellkoblingen av to resistanser Spenningskilden er V s = 1 V. Resistansene R 1 og R 2 skal beregnes slik at I 1 R 1 R 1 R 2 = 1 kω I 2 R 2

47 3.5. OPPGAVER 47 samtidig som at strømmen I 2 = 200 µ A 1: Beregn verdien av R 2. 2: Beregn verdien av R 1. 3: Beregn strømmen I 1. 4: Hvor stor er effektomsetningen i kretsen? Oppgave (3.8) Figur 3.26 viser en parallellkoblingen av en spenningskilde og to resistanser. I 1 R 1 I s1 R 1 I s2 R 2 Figur 3.27: Parallelkoblingen av to strømkilder og to resistanser 2: Beregn spenningen over R 1. 3: Beregn spenningen over R 2. 4: Beregn strømmen I 1 gjennom R 1. 5: Beregn strømmen I 2 gjennom R 2. V s I 2 Figur 3.26: Spenningskilde med parallelkobling av to resistanser R 2 I t KildespenningenV s = 5 V.Kildenlevererstrømmen I = 1 ma. Forholdet mellom strømmene skal Oppgave (3.10) være I 1 = 0.2 Figur 3.28 viser en serie-parallellkrets. I 2 1: Beregn resistansene R 1 og R 2. 2: Beregn strømmene I 1 og I 2. 6: Hvor mye effekt omsettes i R 1? 7: Hvor mye effekt omsettes i R 2? 8: Beregn effekten fra de to strømkildene tilsammen? 9: Hvor mye energi omsettes det i denne kretsen i løpet av 10 s? a R 1 R 3 R 2 c Oppgave (3.9) Figur 3.27 viser parallellkoblingen av to strømkilder og to resistanser. Komponentverdiene er V s R 4 R 5 R 6 I s1 I s2 = 4.0 ma = 1.0 ma R 1 = 5.1 kω R 2 = 10 kω 1: Beregn parallellkoblingen av R 1 og R 2. b Figur 3.28: Serie-parallellkrets Komponentverdiene er: V s = 10 V R 1 = 12 kω

48 48 KAPITTEL 3. LIKESTRØMKRETSER R 2 = 5.1 kω R 3 = 10 kω R 4 = 2.2 kω R 5 = 6.8 kω R 6 = 3.9 kω V s R 1 R 2 V 2 R l 1: Beregn resistansen R ac. 2: Beregn resistansen R bc. 3: Beregn resistansen R ab. 4: Beregn spenningen V ac. 5: Beregn spenningen V cb. 6: Beregn strømmen gjennom R 1. 7: Beregn strømmen gjennom R 2. 8: Beregn strømmen gjennom R 3. 9: Beregn strømmen gjennom R 4. 10: Beregn strømmen gjennom R 5. 11: Beregn strømmen gjennom R 6. 12: Beregn spenningen over R 1. 13: Beregn spenningen over R 2. Figur 3.29: Resistiv spenningsdeler med last. 1: Strømmen i spenningsdeleren uten last skal være100 µa.beregn R 1 ogr 2 slik at spenningen V 2 = 0.4 V når R l er fjernet. 2: NåkobleslastenoverR 2.Hvorstorblirspenningen V 2 nå? 3: Beregn strømmen fra kilden når lasten er innkoblet. 4: Beregn strømmene gjennom R 1, R 2 og R l 3.6 Fasit Oppgave (3.1) 14: Beregn spenningen over R 3. 15: Beregn spenningen over R 4. 16: Beregn spenningen over R 5. 17: Beregn spenningen over R 6. 18: HvormyeeffektlevererkildenV s tilkretsen? 19: Hvor mye energi omsettes i kretsen i løpet av ett døgn? 20: Hvor blir det av denne energien? Oppgave (3.11) Figur 3.29 viser en spenningsdeler med den resistive lasten R l = 10 kω. Kildespenningen er V s = 1.0 V. 1: 2: 3: 4: R t = R 1 R 2 R 3 = 111 kω I = V s R t = µa V 1 = R 1 I = mv V 2 = R 2 I = V V 3 = R 3 I = V P 1 = I 2 R 1 = µw P 2 = I 2 R 2 = µw P 3 = I 2 R 3 = mw

49 3.6. FASIT 49 5: 6: P s = I V s = mw P s P 1 P 2 P 3 = 0.0 mw 3: I = V S 1 V S2 R = 5 ma 4: Strømmen går fra plusspolen på V S1 til minuspolen på V S2 Oppgave (3.2) 5: V R = I R = 5 V 6: P R = I 2 R = 25 mw 1: 2: 3: R 2 = = 2 kω R 1 = = 8 kω P 1 = I 2 R 1 = 80 µw P 2 = I 2 R 2 = 20 µw P s = P 1 P 2 = 100 µw Oppgave (3.5) 1: 2: I 1 = V s R 1 = 10 ma I 2 = V s R 2 = 1 ma I 3 = V s R 3 = ma I 4 = V s R 4 = ma Oppgave (3.3) 1: Oppgave (3.4) R 1 = V 1 I = 3 kω R 2 = V 1 I = 2 kω R 3 = V 1 I = 5 kω 1: Siden det ikke går noe strøm i kretsen er spenningen over resistansen lik null. V ab = 203 = 5 V 3: 4: 5: I t = I 1 I 2 I 3 I 4 = ma R t = V s I t = Ω P 1 = V s 2 = 100 mw R 1 P 2 = V s 2 = 10 mw R 2 P 3 = V s 2 = mw R 3 P 4 = V s 2 = mw R 4 P s = I t V s = mw 2: V ba = V ab = 5 V Oppgave (3.6)

50 50 KAPITTEL 3. LIKESTRØMKRETSER 1: 2: R p = R 1 R 2 = Ω I 1 = V s R 1 = ma Oppgave (3.8) 1: 3: 4: 5: 6: I 2 = V s R 2 = 1.0 ma I t = I 1 I 2 = ma P 1 = V s 2 = mw R 1 P 2 = V s 2 = 10 mw R 2 P s = V s I t = mw W 1 = P 1 t = Ws 2: I t = I 1 I 2 I 1 = 0.2 I 2 I 1 = I t /6 I 2 = I t 5/6 R 1 = V s = V s 6 = 30 kω I 1 I t R 2 = V s = V s 6 = 6 kω I 2 5 I t I 1 = V s R 1 = 1 6 ma W 2 = P 2 t = Ws W s = W 1 W 2 = Ws I 2 = V s R 2 = 5 6 ma 7: Energien omsettes til varme i de to resistansene. Oppgave (3.9) Oppgave (3.7) 1: R p = R 1 R 2 R 1 R 2 = Ω 1: R 2 = V s I 2 = 5000 Ω 2: V R1 = (I S1 I S2 ) R p = V 2: R 1 R 2 R 1 R 2 = 1000 R 1 = 1250 Ω 3: V R2 = V R1 = V 3: I 1 = V s R 1 = 0.8 ma 4: I 1 = V R 1 R 1 = ma 4: P = V s 2 = 1 mw R 1 R 2 5: I 2 = V R 2 R 2 = ma

51 3.6. FASIT 51 6: 7: 8: 9: Oppgave (3.10) 1: P R1 = V 2 R 1 R 1 = mw P R2 = V 2 R 2 R 2 = mw P t = P 1 P 2 = mw W = P t t = Ws R ac = (R 1 R 2 ) R 3 = Ω 10: 11: 12: 13: 14: 15: 16: I R5 = I R4 = ma I R6 = V bc R 6 = ma V R1 = I R1 R 1 = V V R2 = I R2 R 2 = V V R3 = V ac = V V R4 = I R4 R 4 = V V R5 = I R5 R 5 = V 2: R bc = (R 4 R 5 ) R 6 = Ω 17: 18: V R6 = I R6 R 6 = V 3: R ab = R ac R bc = Ω P = V s (I R1 I R3 ) = mw 4: 5: 6: 7: 8: 9: V ac = V s V cb = V s R ac R ac R bc = V R bc R ac R bc = V I R1 = V ac R 1 R 2 = ma I R1 = I R2 = ma I R3 = V ac R 3 = ma I R4 = V bc R 4 R 5 = ma 19: W = P t = Ws 20: Energien går over til varme i motstandene. Oppgave (3.11) 1: 2: V 2 = V s R 1 = 6000 Ω R 2 = 4000 Ω R 2 R l R 1 R 2 R l = V

52 52 KAPITTEL 3. LIKESTRØMKRETSER 3: 4: I s = V s R 1 R 2 R l = ma I R1 = I s = ma R l I R2 = I s = µa R 2 R l I Rl = I s R 2 R 2 R l = µa

53 Kapittel 4 Kretsteoremer 4.1 Kilder Modell av kilder Ideelle spenningskilder og strømkilder som vist i figurene 2.7 og 2.3 på side 22 finnes ikke i praksis. Når en spenningskilde leverer strøm, synker spenningen fra kilden. Det modelleres med en indre resistans i kilden, som vist i figur 4.1 (a). En ideell strømkilde har en uendelig høy indre resistans. En praktisk strømkilde har en indre parallell resistans, som vist i figur 4.1 (b). er tilkoblet resistansen R. Figur 4.2(b) viser en strømkilde som er tilkoblet resistansen R. R s v s (a) a v b i R i s Figur 4.2: fsdfsf R p (b) a v b i R R s v s (a) a b i s (b) R p a b Fra spenningskilden kan en skrive ligning 4.1. Fra strømkilden kan en skrive ligning 4.2. v s R s = i v R s (4.1) i s = i v R p (4.2) Figur 4.1: En praktisk spenningskilde har en indre resistans R s i serie med spenningskilden. En praktisk strømkilde har en indre resistans R p i parallell med strømkilden Transformasjon av kilder Når en i fortsettelsen refererer til kilder mener en praktiske kilde som har en indre resistans som vist i figur 4.1. Under visse betingelser er en spenningskilde ekvivalent med en strømkilde. Det betyr at en kan transformere en spenningskilde til en strømkilde, og omvendt. Vi skal vise hvilke betingelser som må oppfylles for at det skal være mulig. Figur 4.2(a) viser en spenningskilde som Hvis en spenningskilde skal være ekvivalent en strømkilde må venstresiden og høyresiden i ligningene 4.1 og 4.2 være like. Det gir v s R s = i s og R s = R p Ut fra disse to ligningene kan en avlede konvertering fra spenningskilde til strømkilde og fra strømkilde spenningskilde. Fra spenningskilde til strømkilde Dette er vist i figur 4.3 v s R s = i s R s = R p 53

54 54 KAPITTEL 4. KRETSTEOREMER R s v s a v i R = v s R s R s a v i R R 1 = 3.3 kω R 2 = 10 kω R 3 = 8.2 kω b Figur 4.3: En spenningskilde konverteres til en ekvivalent strømkilde. Fra strømkilde til spenningskilde v s = i s R p R s = R p Dette er vist i figur 4.4 b Oppgaven er å beregne spenningen v ab ved å transformere de to spenningskildene til to strømkilder. i s1 = v s 1 R 1 = ma i s1 = v s 1 R 3 = ma v ab = (i s1 i s1 ) (R1 R 2 R 3 ) = V Figur 4.6 viser den ekvivalente kretsen. = R p i s R p a v i R i s R p a v i R i s1 R 1 R 2 R 3 i s2 b b Figur 4.6: Ekvivalent krets til figur 4.5. Figur 4.4: En strømkilde konverteres til en ekvivalent spenningskilde. Eksempel 4.1 Figur 4.5 viser en elektrisk krets med tre motstander og to spenningskilder. v s1 c R 1 R 3 a b R 2 d v s2 Figur 4.5: En skal beregne spenningen v ab med en kildetransformasjon. Komponentverdiener er: v s1 v s2 = 10 V = 6 V 4.2 Superposisjonsprinsippet Super posisjonsprinsippet er en konsekvens av linearitet. I denne boken behandler en bare kretser med lineære komponenter. Linearitet av en komponent kan best vises med et eksempel. Anta en komponent med spenningen v og strømmen i. Hvis det er slik at i 1 v 1 i 2 v 2 i 1 i 2 v 1 v 2 da er komponenten lineær. Eksempel 4.2 (Motstand) En motstand har resistansen R = 1000 Ω. Ohm s lov sier at det er en lineær sammenheng mellom spenning og strøm i en motstand.

55 4.3. KRETSTEOREMER 55 i 1 = 2 ma v 1 = 2 V i 2 = 3 ma v 2 = 3 V i 1 i 2 = 5 ma v 1 v 2 = 5 V For en lineær krets med flere kilder kan en beregne virkningen fra hver enkelt kilde for seg. Den totale virkningen er lik smmen av alle virkningene. Teorem 4.1 (Superposisjonsprinsippet) For en lineær elektrisk krets med flere kilder kan en beregne spenning og strøm for hver enkelt kilde for seg. Total spenning og strøm er lik summen fra alle kildene. Når en beregner spenning og strøm fra én bestemt kilde, er de andre erstattet med sin indre resistanser. 1. Velg en kilde. Erstatt de andre kildene med sine indre resistanser. 2. Beregn ønsket spenning og strøm i kretsen med denne kilden. 3. Velg neste kilde i nettverket. Erstatt de andre kildene med sine indre resistanser.utfør punkt 2 4. Total spenning og strøm i kretsen finnes ved å summere fra alle kildene. Eksempel 4.3 Figur 4.7 viser en elektrisk krets med tre motstander og to spenningskilder. v s1 c R 1 R 3 a b R 2 d v s2 Figur 4.7: En velger node b som referanse. Da er v ab = v a Spenningen v a skal beregnes med superposisjonsprinsippet. Komponentverdiener er: v s1 = 10 V v s2 = 6 V R 1 = 3.3 kω R 2 = 10 kω R 3 = 8.2 kω Oppgaven er å beregne spenningen v a med superposisjonsprinsippet. En beregner spenningen v 1 i punktet a fra kilden v s1 når kilden v s2 er erstattet med en kortslutning. Deretter beregner en spenningen v 2 i punktet a fra kilden v s2 når kilden v s1 er erstattet med en kortslutning. v 1 = v s1 R 2 R 3 R 1 R 2 R 3 = V v 2 = v s2 R 1 R 2 R 3 R 1 R 2 = V v a = v 1 v 2 = V 4.3 Kretsteoremer En elektrisk krets kan ha mange komponenter. Beregning av spenninger og strømmer kan bli komplisert hvis en ikke kan benytte kretsteoremer som tillater forenkling i beregningene. Utgangspunktet er en elektrisk krets med mange komponenter. En resitans R l er koblet mellom punktene a og b. Oppgaven er å beregne spenningen over R l. En velger å betrakte kretsen som en boks og trekker ut punktene a og b slik at resistansen R l betraktes som en engen enhet. Dette er vist i figur 4.8. Siden det er en spenning mellom punktene a og b må det være minst én energikilde i kretsen. Det kan være en spenningskilde eller en strømkilde eller en kombinasjon av strømkilder og spenningskilder. Hvis en fjerner R l kan en registrere at spenningen mellom punktene a og b øker. Det viser at kretsen har en indre motstand. Det kan finnes mange ekvivalenter for kretsen, men oppgaven er å finne den enkleste av alle. Det finnes to muligheter. En kan velge en spenningskilde i serie med en resistans. Det kalles en Théveninekvivalent. En kan

56 56 KAPITTEL 4. KRETSTEOREMER R th V th nettverk R l Figur 4.8: I et elektrisk nettverk er det en resistans R l som er koblet mellom punktene a og b. En velger å betrakte nettverket som en boks der R l er trekt ut som en egen komponent. Oppgaven er å finne den enkleste av alle mulige ekvivalenter for nettverket i boksen. velge en strømkilde i parallell med en resistans. Det kalles en Nortonekvivalent Thévenin s teorem Figur 4.9 viser en Théveninekvivalent for nettverket. R th V th R l Figur 4.9: Figuren viser en Théveninekvivalent for et elektrisk nettverk. a b a b ved å finne resistansen mellom punktene a og b når alle spenningskildene er erstattet med en kortslutning og alle strømkildene er erstattet med en åpen krets. De eksemplene som følger viser hvordan teoremet brukes i praksis. Eksempel 4.4 Figur 4.10 viser en enkel krets med motstanden R l koblet mellom terminalene a og b. Oppgaven er å beregne spenningen over R l med en Théveninekvivalent. Komponentverdiene er: v s = 10 V R 1 = 5.6 kω R 2 = 10 kω R 3 = 2.2 kω R l = 10 kω Første beregner en den Théveninekvivalente spen- v s R 1 R 3 R 2 a b R l Oppgaven nå er å bestemme den ekvivalente Figur 4.10: Motstanden R Thevéninspenningenv th ogdenekvivalentethe veninresistansen l er koblet mellom terminalene a og b. Oppgaven er å beregne spenningen over R R th. Hvis en fjerner R l i figur 4.9 går det ingen strøm gjennomr th. Da er spenningenmellom l med en Théveninekvivalent. punktene a og b er lik v th. Av figuren ser en også ningen v th. Når motstanden R l er fjernet går det at hvis en fjerner spenningskilden v th og erstatter ingen strøm gjennom R 3. Da er spenningen V ab lik den med en kortslutning blir resistansen mellom spenningen over R 2. Den ekvivalente Théveninspenningen blir derfor punktene a og b lik R th. Dette er fra Théveninekvivalenten. I en vilkårlig krets kan det være mange spenningskilder og det kan være mange v th = v sr 2 = V strømkilder. Thévenin s teorem kan formuleres på R 1 R 2 følgende måte: Teorem 4.2 (Thévenin ) Bestem den Thévenin ekvivalente spenningen v th ved å finne spenningen mellom punktene a og b når lasten R l er fjernet. Bestem den Thevénin ekvivalente resistansen R th Nå beregner en den Théveninekvivalente resistansen R th. Spenningskilden v s erstattes med en kortslutning. Da blir resistansen mellom terminalen a og b R th = R 1R 2 R 1 R 2 R 3 = 5790 Ω

57 4.3. KRETSTEOREMER 57 Med det kan en beregne spenningen over R l. v l = v lr l R th R l = 4.06 V v th R th Figur 4.11: Théveninekvivalent for kretsen i figur Eksempel 4.5 Figur 4.12 viser en krets med motstanden R l koblet mellom terminalene a og b. Oppgaven er å beregne spenningen over R l med en Théveninekvivalent. a b R l v 1 = i s R 1 R 2 R 1 R 2 = V Deretter bregner en spenningen v 2 som skyldes spenningskilden v s når i s = 0. v 2 = v s R 2 R 1 R 2 = 3.78 V Ifølge superposisjonsteoremet er den Théveninekvivalente spenningen v th lik summen av v 1 og v 2. v th = v 1 v 2 = V For å beregne R th erstattes v s med en kortslutning og i s med en åpen krets, det vil si et brudd. Da er R th = R 1R 2 R 1 R 2 R 3 = 3076 Ω R 1 R 3 v s R 2 i s a R l v th R th a R l b b Figur 4.12: Motstanden R l er koblet mellom terminalene a og b. Oppgaven er å beregne spenningen over R l med en Théveninekvivalent. Komponentverdiene er: v s = 6.0 V i s = 1.0 ma R 1 = 3.3 kω R 2 = 5.6 kω R 3 = 1.0 kω R l = 8.2 kω Når R l er fjernet går det ingen strøm gjennom R 3. Da er v th lik spenningen over R 2. Spenningen mellom terminalene a og b kan finnes med superposisjonsmetoden. Først finner en spenningen v 1 som skyldes strømkilden i s når v s = 0. En velger terminal b som referanse. Figur 4.13: Théveninekvivalent for figur Norton s teorem Istedenfor å velge en spenningskilde i serie med en resistans kan en velge en strømkilde i n i parallell med en resistans R n for å lage en minimal ekvivalent for et nettverk. Dette er vist i figur i n R n R l Figur 4.14: Figuren viser en Nortonekvivalent for en elektrisk krets. i n kalles den Nortonekvivalente strømmen. R n kalles den Nortonekvivalente resistansen. a b

58 58 KAPITTEL 4. KRETSTEOREMER Teorem 4.3 (Norton) Nortonestrømmen i n er lik kortslutningstrømmen mellom nodene a og b. Nortonresistansen R n er lik resistansen mellom nodene a og b når alle kildene er erstattet med sine indre resistanser. De to neste eksemplene viser hvordan Norton s teorem brukes i praksis. Eksempel 4.6 Figur 4.15 viser en enkel krets med motstanden R l koblet mellom terminalene a og b. Oppgaven er å beregne spenningen over R l med en Nortonekvivalent. Komponentverdiene er: v s = 10 V R 1 = 5.6 kω R 2 = 10 kω R 3 = 2.2 kω R l = 10 kω Nortonstrømmen i n er kortslutningstrømmen mel- v s R 1 R 3 Figur 4.15: Motstanden R l er koblet mellom terminalene a og b. Oppgaven er å beregne spenningen over R l med en Nortonekvivalent. R 2 lom nodene a og b. Den er lik i n = a b R l v s R 2 = ma R 1 R 2 R 3 R 1 R 2 Uttrykket ovenfor er et produkt av to ledd. Det første leddet gir strømmen som leveres av kilden v s. Det andre leddet gir strømdelingen mellom R 2 og R 3. Nortonresistansen R n er resistansen mellom nodene a og b når kildene er erstattet med sine indre resistanser. Kilden v s er erstattet med en kortslutning og i n er erstattet med en åpen krets. Det gir R n = R 1R 2 R 1 R 2 R 3 = 5790 Ω I n R n Figur 4.16: Nortonekvivalent til figur I eksempel 4.4 beregnet en den Théveninekvivalente spenningen a b v th = V og den den Théveninekvivalente resistansen R th = 5790 Ω Med det kan en beregne Nortonekvivalenten med en kildetransformasjon fra Théveninekvivalenten: i n = V th R n = ma R n = R th = 5790 Ω Eksempel 4.7 Figur 4.17 viser en krets med motstanden R l koblet mellom nodene a og b. Oppgaven er å beregne spenningen over R l med en Nortonekvivalent. v s R 1 R 3 R 2 Figur 4.17: Motstanden R l er koblet mellom nodene a og b. Oppgaven er å beregne spenningen over R l med en Nortonekvivalent. i s R l a b R l

59 4.3. KRETSTEOREMER 59 Komponentverdiene er: V 3 v s = 6.0 V i s = 1.0 ma R 1 = 3.3 kω R 2 = 5.6 kω R 3 = 1.0 kω R l = 8.2 kω V 5 V 4 V 6 R 4 R 5 R 3 R 6 V R 2 R n R 1 V 2 V n V 1 Nortonstrømmen er lik kortslutningstrømmen mellom nodene a og b. Den kan beregnes med superposisjonsprinsippet. Første beregner en i 1 som den delen av i n som skyldes strømkilden i s når v s = 0. Med v s som referanse blir Figur 4.19: Spenningen V i en node kan beregnes med Millman s teorem Spenningen V i noden kan finnes med Millman s teorem i 1 = i s (R 1 R 2 R 3 ) R 3 = ma Deretter beregnes i 2 som den delen av i n som skyldes spenningskilden v s når i s = 0. Det gir i 2 = v s R 2 = ma R 1 R 2 R 3 R 1 R 2 i n = i 1 i 2 = ma R n = R 1R 2 R 1 R 2 R 3 = 3076 Ω V 1 R 1 V 2 R V = 2 Vn R n 1 R 1 1 R 2 1 (4.3) R n Maksimal effekt teoremet Denne seksjonen beskriver overføring av energi fra kilde til last. Beskrivelsen gjelder når den indre motstanden i kilden R s og lasten R l kan modelleres som resistive komponenter. Senere i boken beskrives det tilfellet da de er komplekse impedanser. EnkildemedindreresistansR s overførermaksimal effekt til en last R l når R s = R l a V s R s R l i n R n R l Figur 4.18: Nortonekvivalent til figur Millman s teorem Figuren under viser en node med n grener inn i noden. b Figur 4.20: Kilden V s overfører maksimal effekt til lasten R l når R l = R s. Her følger et enkelt bevis for denne påstanden. Strømmen i kretsen er V s I = R s R l Effekten omsatt i lasten blir P = I 2 R l = Vs 2 R l (R s R l ) 2 (4.4)

60 60 KAPITTEL 4. KRETSTEOREMER Maksimal effektoverføring til lasten når P R l = 0 P = V 2 (R s R l ) s R l (R s R l ) 3 = 0 R s = R l Maksimal effekt til lasten når R l = R s i ligning (4.4). P m = V s 2 4R s 4.4 Oppgaver 3: Beregn spenningen v ab 4: Beregn spenningen v cb 5: Beregn strømmen i ba 6: Beregn strømmen i bc 7: Beregn effekten p 1 som omsettes i R 1 8: Beregn effekten p 2 som omsettes i R 2 9: Beregn effekten p 3 som omsettes i R 3 10: Beregn effekten p s1 fra v s1 11: Beregn effekten p s2 fra v s2 12: Beregn summen av alle effektene p 1 p 2 p 3 p s1 p s2 Oppgave (4.1) Oppgave (4.2) c R 1 R 3 a d v s1 b R 2 v s2 v s1 c R 1 R 3 a R 2 d v s2 Figur 4.21: Figuren viser en krets med to spenningskilder og tre resistanser. Komponentverdiene er v s1 v s2 = 10 V = 6 V R 1 = 12 kω R 2 = 10 kω R 3 = 3.3 kω 1: Bruk superposisjonsprinsippet til å beregne strømmen i bd. 2: Beregn spenningen v bd b Figur 4.22: Figuren viser en krets med to spenningskilder og tre resistanser. Komponentverdiene er v s1 v s2 = 2.0 V = 1.0 V R 1 = 1.0 kω R 2 = 2.2 kω R l = 4.7 kω 1: Finn en Théveninekvivalent for kretsen når R 2 regnes som last.

61 4.4. OPPGAVER 61 2: BeregnstrømmeniR 2 frathéveninekvivalenten. 3: FinnenNortonekvivalent forkretsennårr 2 regnes som last. 4: BeregnstrømmeniR 2 franortonekvivalenten. v s R 1 R p µa R 2 R 3 Oppgave (4.3) Figur 4.24: Figuren under viser en Wheatstone s bro. v s1 c R 1 R 3 a R 2 d v s2 R p er et potensiometer. Når en endre R p endres strømmen gjennom mikro amperemeteret. 1: Hvor stor er verdien av R p når amperemeteret viser 100 µa? b Figur 4.23: Figuren viser en krets med to spenningskilder og tre resistanser. Oppgave (4.5) Figur 4.25 viser en krets der lasten R l er koblet Komponentverdiene er: v s1 v s2 = 2.0 V = 1.0 V R 1 = 1.0 kω R 2 = 2.2 kω R 3 = 4.7 kω a v s2 R 1 R 2 b v s1 R l d i s c 1: Bevis Millman s teorem. 2: Beregn spenningen v bd med Millman s teorem Oppgave (4.4) De kjente komponentverdiene er v s = 10 V R 1 = 12 kω R 2 = 10 kω R 3 = 10 kω Figur 4.25: Figuren viser en elektrisk krets der lasten R l er koblet mellom terminalene a og b. mellom terminalene a og b. Komponentverdiene er: v s1 v s2 = 10 V = 1.0 V v s = 1.0 ma R 1 = 1.0 kω R 2 = 5.6 kω R 3 = 10 kω 1: Beregn en Théveninekvivalent for kretsen i figur 4.25.

62 62 KAPITTEL 4. KRETSTEOREMER 2: Beregn en Norton ekvivalent for kretsen. 3: Beregn spenningen V bc. 4: Beregnstrømmeni 1 gjennomresistansenr 1. 5: Beregnstrømmeni 2 gjennomresistansenr 2. 6: Beregn spenningen v cd over strømkilden i s. Oppgave (4.6) Figur 4.26 viser skjema for den figuren som skal beregnes i denne oppgaven. i s2 b R 3 4: Beregnspenningenv cd franortonekvivalenten. 5: Beregn spenningen V ec. 6: Beregnstrømmeni 1 gjennomresistansenr 1. 7: Beregnstrømmeni 2 gjennomresistansenr 2. 8: Beregn spenningenv ad over strømkilden i s1. 9: Beregn spenningen v ba over strømkilden i s2. Oppgave (4.7) Figur 4.27 viser skjema for den kretsen som skal beregnes i denne oppgaven. a i s1 R 1 R 2 c v s R 4 e R 1 R 3 a b c v s i s1 R 2 R 4 i s2 d d Figur 4.26: Oppgaven er å finne en Théveninekvivalent for kretsen for å beregne spenningen over R 4. Komponentverdiene er: v s = 6 V i s1 i s2 = 2.0 ma = 1.0 ma R 1 = 2.2 kω R 2 = 3.3 kω R 3 = 6.8 kω R 4 = 10 kω Figur 4.27: Eelktrisk krets med én spenningskilde, to strømkilder og fire motstander. Komponentverdiene er: v s = 10 V i s1 i s2 = 0.5 ma = 1.5 ma R 1 = 10 kω R 2 = 10 kω R 3 = 2.4 kω R 4 = 20 kω 1: Beregn en Théveninekvivalent for kretsen i 1: Bruk kildetransformasjon for å konvertere figur 4.26 for å beregne spenningen over R 4. spenningskilden v s1 og resistansen R 1 til en 2: Beregnspenningenv cd frathéveninekvivalenten. ekvivalent strømkilde. 3: Beregn en Nortonekvivalent for kretsen i figur 4.26 for å beregne spenningen over R 4. 2: Tegn skjema av den nye kretsen på minimal form.

63 4.5. FASIT 63 3: Beregn spenningen v bd med superposisjonsprinsippet. 4: Beregn spenningen v 1 over R 1 5: Beregn spenningen v 4 over R 4 6: Beregn spenningen v 3 over R 3 7: Beregn effekten p 1 som omsettes i R 1 8: Beregn effekten p 2 som omsettes i R 2 9: Beregn effekten p 3 som omsettes i R 3 10: Beregn effekten p 4 som omsettes i R 4 11: Beregn effekten p s fra kilden v s 12: Beregn effekten p s1 fra kilden i s1 13: Beregn effekten p s2 fra kilden i s2 14: Hvilke kilder konsumerer energi og hvilke leverer energi til kretsen? 15: Beregn summen av effektene p 1 p 2 p 3 p 4 p s p s1 p s2 Hva sier dette resultatet? 4.5 Fasit 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: v bd = i bd R 2 = V v ab = v s1 v bd = V v cb = v s2 v bd = V i ba = v bd v s1 R 1 i bc = v bd v s2 R 3 = ma = ma p 1 = v2 ab R 1 = mw p 2 = v2 bd R 2 = mw p 3 = v2 cb R 3 = mw p s1 = v s1 i ba = mw p s2 = v s2 i bc = mw Oppgave (4.1) 1: En beregnerførst strømmengjennom R 2 fra kildenv s1 vedåerstattev s2 medenkortslutning. R 2 R 3 i bd (s 1 ) = v s1 (R 1 (R 2 R 3 )) R 2 = ma Så beregner en strømmen gjennom R 2 fra v s2 når v s1 erstattes med en kortslutning R 1 R 2 i bd (s 2 ) = v s2 (R 3 (R 1 R 2 )) R 2 = ma i bd = I bd (s 1 )I bd (s 2 ) = ma 12: Oppgave (4.2) p 1 p 2 p 3 p s1 p s2 = 0 mw 1: Først beregner en den Théveninekvivalente spenningen v th. Strømmen i kretsen når R 2 er fjernet er i = v s 1 v s2 R 1 R 2 v th = v s1 i R 1 = V Den Théveninekvivalente kilderesistansen blir R th = R 1 R 2 = Ω

64 64 KAPITTEL 4. KRETSTEOREMER 2: Strømmen i bd i lasten blir 3: i bd = v th R th R 2 = ma i n = v s 1 R 1 v s 2 R 3 = ma R n = R 1 R 2 = Ω 1: R p v th (1) = V s R 1 R p R th (1) = R p R 1 R p R 1 v th (2) = V s R 2 R 2 R 3 4: R n i bd = i n = ma R 2 R n R th (2) = R 2 R 3 R 2 R 3 Oppgave (4.3) 1: Vi lager en Nortonekvivalent for noden. Kortslutningstrømmen inn i noden blir i n = v 1 R 1 v 2 R 2 v n R n Nortonresistansen R n blir 1 R n = 1 R 1 1 R 2 1 R n Spenningen v i punktet blir i = V th(1)v th (2) R th(1) R th(2) Løsning med hensyn på R p gir Oppgave (4.5) 1: R p = Ω V th = V s1 I s R 1 V s2 = 10 V R th = R 1 = 1 kω 2: v = i n R n = v bd = Oppgave (4.4) v 1 R 1 v 2 R 2 vn R n 1 R 1 1 R 2 1 R n v s1 R 1 vs 2 R 3 1 R 1 1 R 2 1 R 3 = V 2: 3: 4: R n = R 1 = 1000 Ω I n = I s V s 1 V s2 R 1 R l = 10 ma V ab = V th = V R th R l R th (1) R th (2) µa v th (1) v th (2) 5: I 1 = V s 1 V s2 V a R 1 = µa I 2 = I s = 2 ma Figur 4.28: En Théveninekvivalent for hver av de to spenningsdelerne. 6: V cb = V ab I s R 2 = V

65 4.5. FASIT 65 Oppgave (4.6) 3: Beregner først den delen av spenningen v bd som skyldes strømkilden i s2. 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: v th = v s i s2 R 2 = 9.3 V R th = R 2 = 3.3 kω R n = R 2 = 3.3 kω i n = i s2 v s R 2 = ma v ed = v th R 4 R th R 4 = V i 1 = i s1 i s2 = 3 ma i 2 = v s V ed R 2 = ma v ac = v s i 1 R 1 = 12.6 V v ba = v ed i s2 R 3 v ac = V 4: R t = R 3 R p v bd (i s2 ) = i s2 R t R 4 R t R 4 = V R p R 3 R p Beregner den delen av spenningen v bd som skyldes strømkilden i sp. R t = R 3 R 4 v bd (i sp ) = i sp R t R p R t R p = V v bd = v bd (i s2 )v bd (i sp ) = V v ab = v ad v bd = V 5: Beregner først den delen av spenningen v cd som skyldes strømkilden i sp. R t = R 3 R 4 v cd (i sp ) = i sp R t R p R t R p = V R 4 R 3 R 4 Oppgave (4.7) 1: i v = v s 1 R 1 = 1.0 ma R v = 10 kω R t = R p R 3 v cd (i s2 ) = i s2 R t R 4 R t R 4 = V v cd = v cd (i sp )v cd (i s2 ) = V 2: i sp = i sv i s1 = 0.5mA 6: v cb = v cd v bd = V R p = R 1 R 2 = 5.0 kω Figur 4.29 viser den minimale kretsen 7: p 1 = v2 ab R 1 = mw

66 66 KAPITTEL 4. KRETSTEOREMER 8: 9: 10: 11: 12: 13: p 2 = v2 bd R 2 = mw p 3 = v2 cb R 3 = mw p 4 = v2 cd R 4 = mw i ba = v bd v ad R 1 p s = v s i ba = mw p s1 = v bd i s1 = mw p s2 = v cd i s2 = mw 14: Kildene v s og i s2 leverer energi til kretsen. Kilden i s1 forbruker energi. 15: p 1 p 2 p 3 p 4 p s p s1 p s2 = 0 mw Den energien som kildene leverer forbrukes i kretsen. b R 3 c i sp R p R 4 i s2 d Figur 4.29: Kretsen er avledet fra figur 4.27 med kildetransformasjon.

67 Kapittel 5 Analyse av elektriske kretser En elektrisk krets er gitt med sine komponenter og verdier. Når kretsen aktiveres oppstår spenninger og strømmer i ulike deler av kretsen. Ofte er oppgaven å beregne disse verdiene ut fra komponentenes verdier og måten komponentene er koblet sammen til en helhet. Til dette er det utviklet tre forskjellige analysemetoder som skal behandles i dette kapitlet. Disse metodene er: Maskestrømmetoden Grenstrømmetoden Nodespenningsmetoden Først repeteres noen viktige begreper fra elektriske kretser generellt. En node er et punkt der to eller flere komponenter er koblet sammen. En gren er en strømveg mellom to noder. En strømsløyfe er en mangekant i en elektrisk krets. En maske er en strømsløyfe som ikke inneholder mindre strømsløyfer. Først noen betraktninger om forskjellen på maskestrømmer og grenstrømmer i analyse av elektriske kretser. Figur 5.1 viser de tre grenstrømmene i 1, i 2 og i 3. De er virkelige strømmer som kan ettervises med målinger i kretsen. En maskestrøm er en matematisk størrelse som brukes i analyse av elektriske kretser fordi det er hensiktsmessig ut v s1 c R 1 R 3 a i 1 i 2 i 3 i a b R 2 i b d v s2 Figur 5.1: Kretsen har tre strømsløyfer, to av disse er masker. Maskestrømmene er i a og i b. En refererer til en maske ved å referere til indeksen i maskestrømmen. Maske a har maskestrømmen i a. Det er fire noder: a,b,c og d. Det er tre grener. Én gren fra node c til node a med grenstrømmen i 1. Én gren fra node a til node b med grenstrømmen i 2 og én gren fra node a til node d med grenstrømmen i 3. fra regnetekniske begrunnelser. Figur 5.1 viser de to masketrømmene i a og i b. Disse strømmene er nyttige sammen med Kirchhoff s spenningslov for hver maske. Anta at oppgaven er å beregne de tre grenstrømmene. Det er tre ukjente verdier som krever tre ligninger. Løsningen av tre ligninger krever én bestemt arbeidsmengde i en datamaskin. Istedenfor å bruke de tre grenstrømmene kan en bruke de to maskestrømme i a og i b. Det er to ukjente som krever to ligninger. I en datamaskin løses ofte ligninger med invertering av matriser. Arbeidsmengden med invertering av en matrise øker med tredjepotensen av matisas dimensjon. Når en skal løse tre ligninger må en invertere en 3 3 matrise med arbeidsmengde 3 3 = 27. Når en skal løse to 67

68 68 KAPITTEL 5. ANALYSE AV ELEKTRISKE KRETSER ligninger må en invertere en 2 2 matrise med arbeidsmengde 2 3 = 8. En ser at arbeidsmengden går ned fra 27 til 8 når en reduserer antall ligninger fra 3 til 2. Forenklekretserbetyrdettelitemeddenprosesseringskraften som finnes i moderne datamaskiner. Men med komplekse kretser kan det være avgjørende. En krets som fører til 10 ligninger krever en arbeidsmengde lik Hvis en kan redusere antall ligninger til 5 reduseres arbeidsmengden til 125. Maskestrømmer leder til ferre ligninger en grenstrømmer. Figur 5.1 viser at maskestrømmene gir samtidig grenstrømmene i 1 og i 3, men ikke i 2 direkte. Men i 2 = i a i b. Det er en enkel aritmetisk operasjon. Da er vi ved konklusjonen. Ut fra regnetekniske hensyn er maskestrømmer bedre enn grenstrømmer, fordi det krever mindre prosessering i en datamaskin. Etterarbeidet med å beregne ønskede grenstrømmer er lite iforhold til løsning av mange ligninger. Maskestrømmetoden 1. Velg strømretning rundt hver maske. 2. Bruk Kirchhoff s spenningslov rundt hver maske. Det er den algebraiske summen av alle strømmene gjennom en komponent som bestemmer spenningen over komponenten. 3. Beregn maskestrømmene ved å løse ligningene som fremkommer ved å bruke Kirchhoff s spenningslov. 1. Strømretning er valgt for hver maske. En refererer til en maske ved å referere til indeksen i maskestrømmen. Maske a har strømmen i a. Maske b har strømmen i b. 2. Kirchhoff s spenningslov anvendt på maske a gir: 5.1 Maskestrømmetoden En introduserer maskestrømmetoden som en standard metode bestående av tre punkter. En starter med å identifisere antall masker i kretsen. Deretter bruke en Kirchhoff s spenningslov på disse maskene. Ved å følge hvert punkt i en standard arbeidsgang kommer en til riktig resultatet på en strukturert måte. Figur 5.2 viser en elektrisk krets der en skal beregne maskestrømmene. En følger arbeidsgangen som består av de tre punktene. v s1 R 1 i a R 2 (i a i b ) = 0 (5.1) Kirchhoff s spenningslov anvendt på maske b gir R 2 (i b i a )R 3 i b v s2 = 0 (5.2) 3. Ligningene(5.1) og(5.2) kan ordnes på følgende måte (R 1 R 2 )i a R 2 i b = v s1 R 2 i a (R 2 R 3 )i b = v s2 Ligningene løst med hensyn på i a og i b gir v s1 c R 1 R 3 a i a R 2 i b d v s2 i a = v s 1 (R 2 R 3 )v s2 R 2 R 1 R 2 R 1 R 3 R 2 R 3 i b = v s 1 R 2 v s2 (R 1 R 2 ) R 1 R 2 R 1 R 3 R 2 R 3 b Figur 5.2: Maskestrømmene i a og i b skal beregnes med maskestrømmetoden. Eksempel 5.1 En skal beregne de to strømmene i a og i b i figur 5.2 med følgende komponentverdier: v s1 v s2 = 10 V = 6 V

69 5.2. GRENSTRØMMETODEN 69 Resultatet er: R 1 = 5.1 kω R 2 = 10 kω R 3 = 6.8 kω i a = ma i b = ma For en alternativ beskrivelse av maskestrømmetoden henvises til referanse [3, side 78] 5.2 Grenstrømmetoden Grenstrømmetoden bruker Kirchhoff s spenningslov og strømlov for å beregne grenstrømmene. Når grenstrømmene er bestemt kan alle spenninger beregnes. Grenstrømmetoden innføres som en standard metode som består av 4 punkter. v s1 c R 1 R 3 a i 1 i 2 i 3 b R 2 d v s2 Figur 5.3: Figuren viser de tre grenstrømmene i 1, i 2 og i 3 som brukes i analysen. Grenstrømmetoden 1. Velg en strøm med retning i hver gren av kretsen. 2. Bruk Kirchhoff s spenningslov på hver maske i kretsen. Den algebraiske summen av spenningene rundt en maske er lik null. 3. Bruk Kirchhoff s strømlov på et minimum antall noder, slik at alle grenstrømmene blir inkludert. Den algebraiske summen av strømmene inn til en node er lik null. 4. Løs ligningene fra punktene 3 og 4 med hensyn på grenstrømmene. 1. Kretsen har tre grenstrømmer i 1, i 2 og i 3. Disse er valgt med retning. 2. Kretsen har to masker. En bruker Kirchhoff s spenningslov på hver maske. Maske b c a b gir: v s1 i 1 R 1 i 2 R 2 = 0 (5.3) Maske d b a d gir: v s2 i 2 R 2 i 3 R 3 = 0 (5.4) 3. Kirchhoff s strømlov brukes på et minimum antall noder slik at alle grenstrømmene blir inkludert. Hvis vi velger node a blir alle grenstrømmene inkludert i én ligning. Summen av alle strømmene inn til node a er lik null. i 1 i 2 i 3 = 0 (5.5) 4. Ligningene(5.3),(5.4) og(5.5) som fremkommer ved å bruke Kirchhoff s spenning- og strømlov kan skrives på formen R 1 i 1 R 2 i 2 0 i 3 = v s1 R 1 0R 2 i 2 R 3 i 3 = v s2 i 1 i 2 i 3 = 0

70 70 KAPITTEL 5. ANALYSE AV ELEKTRISKE KRETSER Løsningen av disse ligningene er: i 1 = v s 1 (R 2 R 3 )v s2 R 2 R 1 R 2 R 1 R 3 R 2 R 3 v s1 R 3 v s2 R 1 i 2 = R 1 R 2 R 1 R 3 R 2 R 3 i 3 = v s 1 R 2 v s2 (R 1 R 2 ) R 1 R 2 R 1 R 3 R 2 R 3 Når strømmene er bestemt kan en beregne ønskede spenninger. det([r]) = (R 1 R 2 R 1 R 3 R 2 R 3 ) v s1 R 2 0 v s2 R 2 R i 1 = = v s 1 (R 2 R 3 )v s2 R 2 det([r]) R 1 R 2 R 1 R 3 R 2 R 3 R 1 v s1 0 0 v s2 R v s1 R 3 v s2 R 1 i 2 = = det([r]) R 1 R 2 R 1 R 3 R 2 R 3 Eksempel 5.2 En skal beregne de tre strømmene i 1, i 2 og i 3 i figur 5.3 med følgende komponentverdier: Resultatet er: v s1 v s2 = 10 V = 6 V R 1 = 5.1 kω R 2 = 10 kω R 3 = 6.8 kω i 1 = ma i 2 = ma i 3 = ma i 3 = R 1 R 2 v s1 0 R 2 v s det([r]) = v s 1 R 2 v s2 (R 1 R 2 ) R 1 R 2 R 1 R 3 R 2 R Nodespenningsmetoden Nodespenningsmetoden bruker Kirchhoff s strømlov til å finne spenningen i hver node i en krets. Her følger en standard metode for å analysere en krets med nodespenningsmetoden på en strukturet måte. Nodespenningsmetoden Cramer s regel De tre ligningene kan skrives på matriseform og løses med Cramer s regel. På matriseform er de R 1 R 2 0 i 1 v s1 0 R 2 R 3 i 2 = v s i 3 0 [R] [I] = [V ] 1. Bestem antall noder i kretsen. 2. Velg en referansenode. Alle spenninger måles iforhold til referansenoden. Velg en betegnelse på hver node, der spenningen er ukjent. 3. Velg strømmer til hver node der spenningen er ukjent, med unntak av referansenoden. Strømretning er vilkårlige. R 1 R 2 0 det([r]) = 0 R 2 R R = R 2 R R R R Bruk Kirchhoff s strømlov på hver node der det er tilordnet strømmer. 5. Skriv strømligningene som funksjon av nodespenningene og løs disse med hensyn på nodespenningene. Enbrukermetodensombeståravdefempunktene til å analysere kretsen i figur 5.4.

71 5.3. NODESPENNINGSMETODEN 71 v s1 c R 1 R 3 a i 1 i 2 i 3 b R 2 d v s2 Figur 5.4: Figuren viser en elektrisk krets med nodene a, b, c og d. Node b velges som referansenode. Det vil si at v a = v ab. 1. I kretsen er det fire noder: a,b, c og d. 2. Node b velges som referansenode. 3. Node a er den eneste noden der spenningen er ukjent. En velger strømretninger som vist på figuren. 4. En bruker Kirchhoff s strømlov på hver node der det er tilordnet strømmer. Det er node a. Kirchhoff s strømlov for node a gir i 1 i 2 i 3 = 0 (5.6) 5. En skriver strømmene i ligning (5.6) som funksjon av spenningene. Det gir R 1 = 5.1 kω R 2 = 10 kω R 3 = 6.8 kω Ved å sette disse verdiene inn i ligning (5.10) får en v a = V En kan beregne i 1 med ligning (5.7) i 1 = v s 1 v a R 1 = ma En kan beregne i 2 med ligning (5.8) i 2 = v a R 2 = ma En kan beregne i 3 med ligning (5.9) i 3 = v a v s2 R 3 = ma For de som ønsker en alternativ beskrivelse av nodespenningsmetoden henvises til referanse [3, side 72] i 1 = v s 1 v a R 1 (5.7) i 2 = v a R 2 (5.8) i 3 = v a v s2 R 3 (5.9) Setter ligningene (5.7), (5.8) og (5.9) inn i ligning (5.6) og løser med hensyn v a v a = v 1 R 1 v 2 R 3 1 R 1 1 R 2 1 R 3 (5.10) Eksempel 5.3 En skal beregne nodespenningen v a og strømmene i 1, i 2 og i 3 i figur 5.4 med følgende komponentverdier: v s1 v s2 = 10 V = 6 V

72 72 KAPITTEL 5. ANALYSE AV ELEKTRISKE KRETSER 5.4 Oppgaver i 4 R 4 Oppgave (5.1) c R 1 R 3 a d i 1 a c d i s R 1 i 2 R 3 i 5 v s i a R 2 i b i c i 3 R 5 v s1 i a R 2 i b v s2 b b Figur 5.6: Figuren viser en elektrisk krets med de tre maskestrømmene i a, i b og i c. Figur 5.5: Figuren viser en elektrisk krets med de to maskestrømmene i a og i b. Komponentverdiene er: v s1 v s2 = 8.0 V = 12.0 V R 1 = 10.0 kω R 2 = 12.0 kω R 3 = 6.8 kω 1: Hvor mange noder er det i kretsen? 2: Hvor mange strømsløyfer er det i kretsen? 3: Hvor mange masker er det i kretsen? 4: Beregn maskestrømmene i a og i b. 5: Beregn spenningen v ab over R 2. Oppgave (5.2) Komponentverdiene til kretsen i figur 5.6 er: v s = 10 V R 1 = 2.2 kω R 2 = 10 kω R 3 = 5.1 kω R 4 = 10 kω R 5 = 12 kω 1: Beregn maskestrømmene i a, i b og i c. 2: Beregn grenstrømmene i 1, i 2, i 3, i 4 og i 5. 3: Beregn strømmen i s. 4: Hvor stor er kretsens ekvivalente resistans R s, sett fra kilden v s. 5: Hvor mye effekt p s leverer kilden v s. Oppgave (5.3) v s1 c R 1 R 3 a i 1 i 2 i 3 i a b R 2 i b d v s2 Figur 5.7: Figuren viser de tre grenstrømmene i 1, i 2 og i 3 og de to maskeetrømmene i a og i b. Komponentverdiene er: v s1 v s2 = 2.0 V = 1.0 V

73 5.4. OPPGAVER 73 R 1 = 1.0 kω R 2 = 2.2 kω R 3 = 4.7 kω 1: Beregn i 1, i 2 og i 3 med grenstrømmetoden. 2: Beregn maskestrømmene i a og i b. 3: Beregn i 1, i 2 og i 3 ut fra maskestrømmene i a og i b. 1: Beregn i 1, i 2, i 3, i 4 og i 5 med grenstrømmetoden. 2: Beregn maskestrømmene i a, i b og i c med maskestrømmetoden. 3: Beregn grenstrømmene i 1, i 2, i 3, i 4 og i 5 ut fra verdien til maskestrømmene. 4: Beregnspenningenev a,v c mednodespenningsmetoden. 4: Beregnspenningenv a mednodespenningsmetoden. Oppgave (5.4) Figuren under viser en krets med tre spenningskilder og seks resistanser. Oppgave (5.5) Figuren under viser en elektrisk krets med to spenningskilder, én strømkilde og tre motstander. c v s2 R 1 R 3 a d i 1 a R 3 i 3 c i 5 R 5 v s1 i a R 2 i b i s R 1 R 2 R 4 R 6 v s1 i 2 b i 4 v s2 v s3 b Figur 5.9: Maskestrømmene i a and i b skal beregnes med maskestrøm metoden. Figur 5.8: Elektrisk krets med tre spenningskilder og seks resistanser. v s1 v s2 v s3 = 3.0 V = 5.0 V = 2.0 V R 1 = 3.3 kω R 2 = 2.2 kω R 3 = 4.7 kω R 4 = 6.8 kω R 5 = 10 kω R 6 = 12 kω Komponentverdiene er: v s1 v s2 = 12.0 V = 4.0 V i s = 2.0 ma R 1 = 1.0 kω R 2 = 10 kω R 3 = 2.2 kω 1: Beregn maskestrømmene i a og i b. 2: Beregn spenningen v a. 3: Hvor mye effekt p 2 omsettes i R 2? Oppgave (5.6)

74 74 KAPITTEL 5. ANALYSE AV ELEKTRISKE KRETSER c v s2 R 1 R 3 a d c R 1 R 3 a i 3 d i 1 i 2 v s1 i a R 2 i b v s3 v s R 2 i s R 4 b Figur 5.10: Maskestrømmene i a and i b skal beregnes med maskestrømmetoden. Figuren under viser en elektrisk krets med to spenningskilder, én strømkilde og tre motstander. Komponentverdiene er: v s1 v s2 v s3 = 12.0 V = 4.0 V = 6.0 V i s = 2.0 ma R 1 = 1.0 kω R 2 = 10 kω R 3 = 2.2 kω b Figur 5.11: Grenstrømmene i 1, i 2 og i 3 brukes for å beregne spenningen v a. 1: Bruk grenstrømmene i 1, i 2 og i 3 til å beregne spenningen v a. 2: Beregn i 1. 3: Beregn i 2. 4: Beregn i 3. Oppgave (5.8) c R 1 R 3 a d 1: Beregn maskestrømmene i 1 og i 2. 2: Beregn spenningen v a. v s R 2 i s R 4 3: Hvor mye effekt P 2 omsettes i R 2? Oppgave (5.7) Figuren under viser en elektrisk krets med én spenningskilder, én strømkilde og fire motstander. Komponentverdiene er: v s = 12.0 V i s = 2.0 ma R 1 = 1.0 kω R 2 = 10 kω R 3 = 2.2 kω R 4 = 1.2 kω b Figur 5.12: Elektrisk krets med én spenningskilder, én strømkilde og fire motstander. Komponentverdiene til kretsen i figur 5.12 har følgende verdier: v s = 12.0 V i s = 2.0 ma R 1 = 1.0 kω R 2 = 10 kω R 3 = 2.2 kω R 4 = 1.2 kω

75 5.5. FASIT 75 1: Dukanbetraktei s ogr 2 somenstrømkilde. Konverter denne strømkilden til en ekvivalent spenningskilde. Tegn nytt skjema. 2: Beregn spenningen v a med Millman s teorem. Oppgave (5.9) Komponentverdiene er: 5.5 Fasit Oppgave (5.1) 1: 4 2: 3 3: 2 i s2 e R 3 4: c i c R 1 R 2 a d v s1 i a R 1 R 2 (i a i b ) = 0 v s2 R 2 (i b i a )R 3 i b = 0 i s1 i a v s i b R 4 Løsningen av disse ligningene gir b Figur 5.13: Elektrisk krets med én spenningskilder, to strømkilde og fire motstander. v s = 5.0 V i s1 i s2 = 2.0 ma = 1.0 ma R 1 = 1.0 kω R 2 = 1.0 kω R 3 = 10 kω R 4 = 10 kω 1: Beregn maskestrømmene i a, i b og i c. 2: Beregn spenningen v ac. 3: Beregn spenningen v ad. 4: Beregn spenningen v ed. 5: Beregn spenningen v db. 6: Beregn spenningen v cb over strømkilden i s1. 7: Beregn spenningen v ec over strømkilden i s2. 5: Oppgave (5.2) i a = µa i b = ma v ab = (i a i b )R 2 = V 1: De tre maskeligningene er: v s i a R 1 i c R 1 R 2 (i a i b ) = 0 R 2 (i b i a )R 3 (i b i c )i b R 5 = 0 R 1 (i c i a )i b R 3 i c (R 4 R 3 ) = 0 Løsningen med hensyn på de tre ukjente strømmene gir: i a = ma i b = ma i c = ma

76 76 KAPITTEL 5. ANALYSE AV ELEKTRISKE KRETSER 2: 3: 4: 5: Oppgave (5.3) i 1 = i a i c = ma i 2 = i a i b = ma i 3 = i b i c = ma i 4 = i c = ma i 5 = i b = ma i s = i 1 i 4 = ma R s = v s i s = kω p s = v s i s = mw Grenstrømmetoden er beskrevet på side 69. Maskestrømmetoden er beskrevet på side 68. Nodespenningsmetoden er bskrevet på side 70. 3: 4: i 1 = i a = ma i 2 = i a i b = ma i 3 = i b = µa i 1 = v s 1 v a R 1 i 2 = v a R 2 i 3 = v s 2 v a R 3 i 2 = i 1 i 3 v a R 2 = v s 1 v a v a = R 1 v a v s2 R 3 v s1 R 1 vs 2 R 3 1 R 1 1 R 2 1 R 3 (5.11) Innsetting av numeriske verdier gir v a = V En ser at ligning 5.11 er Milman s teorem. 1: Oppgave (5.4) v s1 i 1 R 1 i 2 R 2 = 0 i 2 R 2 i 3 R 3 v s2 = 0 i 2 = i 1 i 3 i 1 = ma i 2 = ma i 3 = µa 1: v s1 i 1 R 1 i 2 R 2 = 0 v s2 i 4 R 4 i 3 R 3 i 2 R 2 = 0 v s2 i 4 R 4 i 5 R 5 v s3 i 5 R 6 = 0 i 1 = i 2 i 3 2: i 3 = i 4 i 5 v s1 R 1 i a R 2 i a R 2 i b = 0 v s2 R 2 i a R 2 i b R 3 i b = 0 i a = ma i b = µa i 1 = ma i 2 = ma i 3 = ma i 4 = ma i 5 = µa

77 5.5. FASIT 77 2: v s1 i a R 1 i a R 2 i b R 2 = 0 Oppgave (5.5) i a R 2 i b R 2 i b R 3 i b R 4 i c R 4 v s2 = 0 v s2 i b R 4 i c R 4 i c R 5 v s3 i c R 6 = 0 1: v s1 i a R 1 v s2 R 2 (i a i b ) = 0 i a = ma i b = ma i c = ma i b = i s i a = v s 1 v s2 i s R 2 R 1 R 2 i b = i s = 2.0 ma = ma 3: i 1 = i a = ma i 2 = i a i b = ma i 3 = i b = ma i 4 = i b i c = ma i 5 = i c = µa 2: 3: v a = (i a i b )R 2 = V p 2 = v2 a R 2 = 8.26 mw 4: Oppgave (5.6) i 1 = i 2 i 3 i 3 = i 4 i 5 i 1 = v s 1 v a R 1 i 2 = v a R 2 i 3 = v a v c R 3 i 4 = v c v s2 R 4 i 5 = v c v s3 R 5 R 6 1: 2: v s1 i a R 1 v s2 R 2 (i a i b ) = 0 v s2 i b R 3 i b R 2 i a R 2 = 0 i a = ma i b = ma v a = (i a i b )R 2 = 6.90 V v s1 v a R 1 v a v b R 3 = v a R 2 v a v b R 3 = v b v s2 R 4 v b v s3 R 5 R 6 3: p 2 = v2 a R 2 = mw v a = V v b = V Oppgave (5.7)

78 78 KAPITTEL 5. ANALYSE AV ELEKTRISKE KRETSER 1: 2: 3: 4: i 1 = v s v a R 1 i 2 = v a i 3 = R 2 v a R 3 R 4 v a i 3 = i 1 i 2 i s = R 3 R 4 v a = v 1 v a v a i s R 3 R 4 R 1 R 2 v a = Oppgave (5.8) i s v 1 R 1 1 R 3 R 4 1 R 1 1 = V R 2 i 1 = v 1 v a R 1 i 3 = = ma i 2 = v a R 2 = ma v a R 3 R 4 = ma 2: v a = Oppgave (5.9) 1: v s1 R 1 vs 2 R 2 1 R 1 1 R 2 1 R 3 R 4 = V i a = i s1 = 2 ma i c = i s2 = 1 ma v s i 2 R 2 i 3 R 2 i 2 R 4 = 0 i b = v s i c R 2 R 2 R 4 = ma 2: v ac = R 1 (i c i a ) = 3 V 3: v ad = R 2 (i b i c ) = V 4: v ed = R 3 i c = 10 V 5: v db = R 4 i b = V 6: v cb = v s v ca = 2.0 V 7: v ec = v ed v db v cb = V 1: Figuren viser kretsen der strømkilden er konvertert til spenningskilde. c R 1 R 3 a d v s 1 R 2 v s2 b R 4 Figur 5.14: Strømkilden er konvertert til spenningskilde v s2 = i s R 2 = 20 V

79 Kapittel 6 Vekselspenning og vekselstrøm Vekselspenning og vekselstrøm er en stor del av elektrisitetslæra. I dette kapitlet introduseres de grunnleggende begrepene. I senere kapitler blir disse brukt i vekselstrømkretser fra ulike typer anvendelser. Mange nye begreper intoduseres. Det krever definisjoner som formaliserer notasjon og språkbruk. Spenning øyeblikksverdier: v(t) eller v én bestemt øyeblikksverdi: v(t 0 ) eller v 0 amplitudeverdi: V m effektivverdi: V 6.1 Definisjoner Vekselspenning og vekselstrøm er størrelser som varierer med tiden. En variabel størrelse betegnes med liten bokstav. Øyeblikksverdien skrives med samme notasjon som for en funksjon i matematikken. Som eksempel er v(t) en funksjon som beskriververdienetilenvarierendespenning.v(t 0 ) er verdien til spenningen v i tidspunktet t 0. En kan også bruke den forenklede notasjonen v istedenfor v(t), når det er klart fra sammenhengen at v representerer en tidsvarierende størrelse. En vekselspenning er begrenset og har en maksimalverdi,representertmedsymboletv m.entidsvarierende spenning har en effektivverdi (root mean square) som betegnes med V. V er også symbolet for en likespenning. Derfor må en vite i hvilken sammenheng V brukes. Effektivverdien V er definert slik at den omsetter samme effekt i en resistans som likespenningen V. Det betyr at V kan være en vekselspenning med effektivverdi V, eller likespenningen V. Det som sies om spenninger gjelder også strømmer og andre tidsvarierende størrelser i elektrisitetslæra. Her kommer de viktigste notasjonene for spenning og strøm, som eksempler. 79 kompleks amplitude, viser: V Strøm øyeblikksverdier: i(t) eller i én bestemt øyeblikksverdi: i(t 0 ) eller i 0 amplitudeverdi: I m effektivverdi: I kompleks amplitude, viser: I Vinkelmål Det matematiske vinkelmålet er radianer. Argumentet til en trigonometrisk funksjon må alltid være en vinkel målt i radianer. Vinkelmålet grader er imidlertid så innarbeidet i dette faget at det brukes i alle praktiske anvendelser. En vekselspenning forsinket med en kvart periode skrives som v(t) = V m cos(ωtπ/2) Vinkelen π/2 rad tilsvarer 90. En velger heller å skrive v(t) som v(t) = V m cos(ωt90 )

80 80 KAPITTEL 6. VEKSELSPENNING OG VEKSELSTRØM Når en skal beregne verdier med en kalkulator må en forsikre seg om at en bruker riktige argumenter til trigonometriske funksjonener. V m v s (t) = V m sin(ωt) 6.2 Sirkulære spenninger Elektrisitetslæra beskriver mange forskjellige tidsvarierende fenomener. Her nevnes spenning, strøm, magnetisk fluks og effekt, men det finnes mange flere. En bruker uttrykket elektriske spenninger som felles betegnelse og mener da én eller annen tidsvarierende størrelse, slik som spenning eller strøm. En spesiell klasse spenninger er de som varierer som sinus- eller cosinusfunksjonene. Disse forekommer naturlig ut fra de fysiske prosessene som ligger til grunn for deres eksistens. Ett eksempel er generering av en vekselspenning, beskrevet på side 87. Siden denne klassen er spesiellt viktig, innføres den matematiske beskrivelsen, slik den brukes i praksiske anvendelser Reelle spenninger Figur 6.1: Figuren viser én periode av spenningen v s (t). T kalles perioden og V m kalles amplituden. forsinker cosinus med en kvart periode får en sinus. cos[ω(tt/4)] = sin(ωt) T t En starter med å beskrive de to reelle sirkulære spenningene som beskrives med sinus og cosinusfunksjonene. V m v c (t) = V m cos(ωt) Sinusspenning En sinusspenning er beskrevet med funksjonen v s (t) = V m sin(ωt) T t Dette er vist i figur 6.1. v s (t) er en sinusspenning fordi den varierer med tiden på samme måten som en sinusfunksjon. Sinusfunksjonen er periodisk. Varigheten til én periode kalles periodetiden og betegnes med T. Figur 6.2: v c (t) = V m cos(ωt) Cosinusspenning En cosinusspenning er beskrevet med funksjonen v c (t) = V m cos(ωt) Dette er vist i figur 6.2. Forskjellen mellom sinus og cosinus er en forskyvning i tid. Hvis en Forsinket cosinusspenning Spenninger kan forsinkes eller fremskyndes i tid i forhold til en referansetid. For de to spenningene over satte en t = 0 som referanse og fremstilte de grafisk etter det. Figur 6.3 viser en cosinusspenning forsinket med T/8 s i forhold til den valgte

81 6.2. SIRKULÆRE SPENNINGER 81 referansen. v c (t) = V m cos[ω(tt/8)] = V m cos(ωt45 ) En definerer en basis for reelle sirkulære sepnningerpåenslikmåteat envilkårlig reell sirkulær sepnning kan beskrives med denne basisen. En skal se at det er mange gode grunner til å gjøre følgende definisjon: V m v c (t) = V m cos(ωt45 ) Definisjon 6.1 (Reell basis ) Basisen u(t) for reelle sirkulære signaler er definert ved u(t) = cos(ωt) T t Denne basisen har tre parametre som brukes når en velger én bestemt referansespenning. Disse er: u(t) kan skaleres med en amplitude V m. Periodetiden T og dermed frekvensen kan velges ved å velge vinkelfrekvensen ω. Figur 6.3: Cosinusspenning forsinket T/8 s i forhold til referansen. Den stiplede kurven er referansen. Fasevinkel Argumentet til en trogonometrisk funksjon er alltid en vinkel. Det matematiske vinkelmålet er radianer med symbolet rad. I funksjonen cos(ωt) er ω vinkelsfrekevensen som måles i rad/s. t måles i s. Derfor blir ωt en vinkel i radianer. Hvis cos(ωt) forsinkes med tiden τ skrives det formelt riktig som cos[ω(tτ)]. Når en løser opp parantesen blir det cos(ωtωτ) og det skriver en som cos(ωtφ) der φ = ωτ. φ kalles en fasevinkel. Istedenfor å skrive forsinkelsen τ som en tid kan en bruke fasevinkelen som avledes fra tiden ved relasjonen φ = ωτ. Senereskal ense at tiden brukes i en tidsdomenebeskrivelse og fasen brukes i en frekvendomenebeskrivelse Basis for sirkulære spenninger I analysen av elektriske kretser bruker en standard referansespenninger. En skiller mellom reelle og komplekse referansespenninger. Reelle referansespenninger er ofte reelle sirkulære sepnninger. u(t) kan forsinkes eller fremskyndes i tid med tiden τ som tilsvarer fasevinkelen φ = ωτ Med disse parametrene skrives en generell referansespenning på formen v(t) = V m cos(ωtφ) φ = ωτ (6.1) v er en funksjonog v(t) er verdiene til funksjonen. V m, ω og τ er parametre som brukes når en velger ett bestemt referansesignal med én bestemt amplitude, én bestemt vinkelfrekvens og én bestemt forskyvning langs tidsaksen Basis for komplekse spenninger Basisen for reelle sirkulære spenninger er den reelle funksjonen u(t) = cos(ωt) Nå utvider en dette konseptet og definerer en basis generellt for komplekse signaler ved å definere Definisjon 6.2 (Kompleks basis ) Basisen u(t) for komplekse sirkulære signaler er definert ved u(t) = cos(ωt)jsin(ωt) = e jωt

82 82 KAPITTEL 6. VEKSELSPENNING OG VEKSELSTRØM Denne basisen kan skaleres med amplituden V m og forskyves i tid. Det gir den generelle komplekse referansespenningen v(t) = V m e j(ωtφ) Fasen kan trekkes ut som en egen faktor ved å bruke egenskaper til eksponensialfunksjonen v(t) = V m e jφ e jωt En ser at v(t) er et produkt av to faktorer v(t) = V u(t) V = V m e jφ u(t) = e jωt Kompleks amplitude og viser Siden u(t) er en basis blir V en kompleks skalar verdi. V skalerer basisen for komplekse spenninger påsammemåtensomv m skalererbasisenforreelle spenninger. Derfor er V m en reell amplitude og V en kompleks amplitude. En skriver v(t) på formen v(t) = Vcos(ωt)jVsin(ωt) (6.2) Høyresiden i ligning 6.2 består av to ledd. Det første er v (t) = Vcos(ωt) (6.3) Sammenligner en ligning (6.3) med ligning (6.1) er de like, med unntak av at i ligning (6.1) er amplituden V m reell og fasen φ en del av argumentet til cosinusfunksjonen mens i ligning (6.3) er fasen φ en del av den komplekse amplituden V. De to ligningene har samme innhold, men uttrykt på forskjellig måte. Utgangspunktet er basisen for reelle signaler u(t) = cos(ωt) Den kan skaleres med den relle amplituden V m og translateres i tid. En translasjon i tid tilsvarer en fasevinkel. Denne fasen kan kombineres med den reelle amplituden V m til en kompleks amplitude Vi kan skrive en spenning med en reell amplitude og en fasevinkel som to forskjellige parametre, eller en kompleks amplitude som inneholder de to reelle parametrene i ett komplekst tall. Reell amplitude v(t) = V m u(tτ) = V m cos(ωtφ) Kompleks amplitude v(t) = Vu(t) = Vcos(ωt) Dette leder direkte til en definisjon av kompleks amplitude. Definisjon 6.3 (Kompleks amplitude) For spenningen v(t) = V m cos(ωtφ) definerer en den komplekse amplituden V med V = V m e jφ V er en kompleks amplitude i form av et komplekst tall. Dette tallet kan fremstilles som en vektor i det komplekse planet, en vektor med faseinformasjon. Derfor kalles den på engelsk en phasor (phase vector). På norsk kalles den en viser. Dette er vist i figur 6.4. Kompleks amplitude skrives på én av tre forskjellige måtene Eksponensiell notasjon V = V m e jφ Trigonometrisk notasjon V = V m [cos(φ)jsin(φ)] Vinkel notasjon Det gir oss valget. V = V m φ V = V m φ

83 6.2. SIRKULÆRE SPENNINGER 83 φ V ved I = I θ A rms Spenninger og strømmer med denne definisjonen er komplekse tall. Når tallene representeres som vektorer i det komplekse planet kalles de visere på vanlig måte. Dette brukes i beregning av effekter i trefasesystemer En utfyllende forklaring En reell referansespenning skrives på formen v(t) = V m cos(ωtφ) Figur 6.4: Den kompleks amplituden V = V m φ er en viser i det komplekse planet. Begrepene kompleks amplitude og viser brukes forskjellig i ulike miljøer. I denne boken etableres følgende konvensjon: Når en spenning representeres med en analyttisk beskrivelse kan den ha en kompleks amplitude. Når en kompleks amplitude fremstilles som en vektor i det komplekse planet kalles den en viser Alternativ definisjon Kompleks amplitude er innført med en definisjon. Til spenningen v = V m cos(ωt φ) definerer en den komplekse amplituden V = V m φ V. Det er amplitudeverdien til spenningen som inngår i definisjonen. I noen sammenhenger er det hensiktsmessig å regne med effektivverdier, istedenfor amplitudeverdier. Det er helt greit å definere en spenning ut fra sin effektivverdi når det går klart frem av beskrivelsen. Se referanse {[10] side 196}. En kan definere den komplekse spenningen V ved V = V φ V rms Nå er det effektivverdien som inngår i definisjonen. Det gjøres klart i benevingen V rms. På tilsvarende måte kan en definere en kompleks strøm Spenningenerenfunksjonavtident.Denerbestemt av de tre parametrene V m, ω og φ. Tenk to forskjellige spenninger v 1 (t) = V m1 cos(ω 1 tφ 1 ) v 2 (t) = V m2 cos(ω 2 tφ 2 ) Spenningene har forskjellig amplitude, vinkelfrekvens og fase. Oppgaven er å finne summen av spenningene: v 3 (t) = v 1 (t)v 2 (t). Siden alle tre parametrene er forskjellige har vi ingen annen mulighet enn å beregne v 3 (t) for alle de verdier av t som er aktuelle. Det kan bli mye arbeide. Ofte er det slik at vinkelfrekvensen er den samme for begge spenningene. Da er det bare amplitude og fase som skiller de. Spenningene kan da beskrives med v 1 (t) = V m1 cos(ωtφ 1 ) V 1 cos(ωt) v 2 (t) = V m2 cos(ωtφ 2 ) V 2 cos(ωt) V 1 = V m1 φ 1 V 2 = V m2 φ 2 Nå kan en finne den komplekse amplituden til v 3 (t) ved å addere de komplekse amplitudene til v 1 (t) og v 2 (t). V 3 = V 1 V 2 = V m3 φ 3 Amplituden fremkommer ved å addere to komplekse tall. Med det kan en skrive v 3 (t) direkte. v 3 (t) = V m3 cos(ωtφ 3 ) Dette blir illustrert med to konkrete spenninger.

84 84 KAPITTEL 6. VEKSELSPENNING OG VEKSELSTRØM Addisjon av to spenninger med samme frekvens Når en analyserer et nettverk har en ofte flere spenninger og strømmer med et innbyrdes forhold i amplitude og fase, bestemt av nettverket og nettverkets parametre. En velger en referanse for tid og beskriver spenninger og strømmer ut fra denne referansen. Det er vanlig å velge t = 0 som referanse, men en er fri til å velge en vilkårlig annen verdi. Når en skal addere eller subtrahere spenninger med samme frekvens trenger en bare amplitudeverdien og fasen til spenningene. Det vil si en trenger de komplekse amplitudene. Addisjon av to spenninger blir addisjon av to komplekse amplituder som er addisjon av komplekse tall. På samme måte blir subtraksjon av to spenninger subtraksjon av to komplekse tall. Med det ser en begrunnelsen for at cosinusfunksjonen er valgt i definisjon av kompleks amplitude. Med spenninget V 1 og V 2 er komplekse amplituder representert med komplekse tall. Den komplekse amplituden til summen blir V 3 = V 1 V 2 som er addisjon av to komplekse tall. Den komplekse amplituden til differansen blir V 4 = V 2 V 1 som er subtraksjon av to komplekse tall. Dette er vist med følgende eksempel: Eksempel 6.1 En har gitt de to spenningene Da er v 1 (t) = 40cos(ωt60 ) v 2 (t) = 50sin(ωt70 ) v(t) = V m cos(ωt) og t = 0 som referanse for tid blir spenningen representert med sin amplitude V m. Med spenningen V 1 = = 40[cos(60 )jsin(60 )] = 20j v(t) = V m cos(ωtφ) = Vcos(ωt) og t = 0 som referanse for tid blir spenningen representert med sin komplekse amplitude V = V m φ. Dette er et elegant konsept som illustreres med de to spenningene v 1 (t) og v 2 (t). V 2 = 50 (70 90 ) = 50[cos(20 )jsin(20 )] = j v 1 (t) = V m1 cos(ωtφ 1 ) V 1 = V m1 φ 1 v 2 (t) = V m2 sin(ωtφ 2 ) En bruker identiteten sin(x) = cos(x90 ) til å omskrive v 2 (t) til V 3 = V 1 V 2 = ( ) j( ) Da er = V v 3 (t) = cos(ωt ) V v 2 (t) = V m2 cos(ωtφ 2 90 ) V 2 = V m2 (φ 2 90 ) Dette er vist som visere i figur 6.5. Differansen mellom spenningene blir

85 6.3. KIRCHHOFF S LOVER 85 Im 6.3 Kirchhoff s lover V 1 V 2 Komplekse amplituder fører til at Kirchhoff s lover kan formuleres på samme måte for vekselspenning som for likespenning. V 3 Re Kirchhoff s spenningslov: V 1 V 2 V i V n = 0 Figur 6.5: Viserne V 1, V 2 og V 3. V i = V mi φ i V 4 = V 2 V 1 = j = V Da er v 4 (t) = cos(ωt ) V Den algebraiske summen av spenninger representert med sine komplekse amplituder rundt en strømsløyfe er lik 0. Kirchhoff s strømlov: I 1 I 2 I j I k = 0 I j = I mj φ j Dette er vist som visere i figur 6.6. Im Re Den algebraiske summen av strømmer representert med sine komplekse amplituder inn til en node er lik null V4 V 2 V 1 Figur 6.6: Viserne V 1, V 2 og V 4. I likestrømkretser er alle spenninger representert med reelle tall. Det å summere spenninger rundt en strømsløyfe er å summere reelle tall. I vekselstrømkretser er alle amplituder komplekse. Da må en summere komplekse tall. En regner med komplekse tall i vekselstrømkretser på samme måte som en regner med reelle tall i likestrømkretser. Når en skal beregne effekt i en vekselstrømkrets må en ta hensyn til fasevinkelen mellom spenning og strøm. Se ligning (10.5) på side 140. Eksemplet viser addisjon og subtraksjon av to spenninger. Ved å bruke komplekse amplituder kan en ha et vilkårlig antall spenninger. Det samme gjelder for strømmer. Dette fører til at Kirchhoff s lover kan formuleres på samme måte for vekseletrømkretser som for likstrømkretser. 6.4 Tidsdomenet Figur 6.7 viser én periode av basisfunksjonen u(t). En ser tidsaksen og verdiene til funksjonen som funksjon av tiden. En sier at basisfunksjonen er representert i tidsdomene.

86 86 KAPITTEL 6. VEKSELSPENNING OG VEKSELSTRØM 1 u(t) = cos(ωt) ω u 1 t θ Figur 6.7: Én periode av basisfunksjonen u(t) 6.5 Frekvensdomenet Figur 6.8 viser basisen u som en vektor. u har amplituden 1. Den starter med fasen φ = 0 og roterer med vinkelhastigheten ω mot urviseren. u er en kompleks funksjon av én reell variabel t. I figuren ser en ikke tiden t. Derfor er det ikke en tidsdomenebeskrivelse, til tross for at det er tiden som er den underliggende frie variable. Figuren viser en vektor som danner en vinkel θ med den reelle aksen. Vinkelen øker med tiden ved at θ = ωt.dette ledertil ideenomåbrukeθ somvariabel i stedenfor tiden. Vi sier at tiden t blir avbildet på vinkelen θ ved å multiplisere t med ω. Den viktige informasjonen fra figuren er hvor fort u roterer, for det er et direkte mål på frekvensen til u. Hastigheten til u er den deriverte av fasen som gir dθ dt = ω rad/s Derfor er figuren en frekvensdomenebeskrivelse og én faserespons φ(ω). De to responsene tilsammen kalles et Bode plot. Vinkelfrekvensen ω forteller noe om periodisiteten til u. Den tiden vektoren u bruker på én omdreining i det komplekse planet kalles periodetiden T. Antall perioder per sekund kalles frekvensen f. Den måles i Hz. Sammenhengen mellom periodetid og frekvens blir f = 1/T Hz I løpet av én periode har vektoren u tilbakelagt 2π rad. Det gir en sammenheng mellom frekvens Figur 6.8: Basisen u er en kompleks funksjon i en reell variabel t. Den representeres med en vektor u som roterer mot urviseren i det komplekse planet. Vektoren har lengde 1. og vinkelhastighet gitt ved ωt = 2π ω = 2π/T = 2πf ω = 2πf rad/s Det finnes forskjellige frekvensdomenebeskrivelser som brukes i ulike sammenhenger. En viktig klasse kalles frekvensresponser. I det generelle tilfellet vil frekvensresponsen til et lineært nettverk være kompleks. Denne responsen kan fremstilles som en parametrisert kurve i det komplekse planet, der frekvensen er parameter. Dette kalles et Nyquist plot. Den komplekse responsen kan splittes i to reelle responser: Én amplituderespons M(ω) 6.6 Generering av vekselspenning En vikling med N tørn er montert på en rotor i et homogent magnetisk felt. Dette er vist i figur 6.9. Når viklinga roterer i feltet vil det ifølge Faraday s induksjonslov induseres en spenning gitt ved v i (t) = N dφ dt V

87 6.8. KVADRATISK MIDDELVERDI 87 Mellom de magnetiske polene er det en tilnærmet konstant magnetisk fluks med maksimalverdi Φ m. Fluksen gjennom ett tørn i rotoren blir φ(t) = Φ m sin(ωt) Wb V m 0 Spenningen en kan ta ut over rotorklemmene blir v(t) = N dφ dt = ω N Φ m cos(ωt) = V m cos(ωt) V Når viklinga kobles til en ytre last går det en strøm i lasten. Denne strømmen genererer et magnetfelt med en retning som motvirker den induserte spenningen. Dette er Lenz s lov. Når generatorenbelastes,måenbrukeenkraftforårotere rotoren. Generatorprinsippet går ut på at energien fra denne kraften omdannes til en elektrisk energi som kan leveres til en bruker. En kraftstasjon som leverer mye energi til fordelingsnettet må ha en stor vannkraft som betyr høyt fall og store vannrør. Den induserte spenningen er vist som funksjon av tiden t. Figuren viser en spenning medperiodet = 20 mssomtilsvarerf = 50 Hz. Det er standard nettfrekvens i Europa. V m V v(t) t ms 20 Figur 6.10: Vekselspenning T/2 T t Figur 6.11: Én periode av en vekselspenning med amplituden V m og periode T s. N S veksling er V = 2V m T T/2 0 sin(ωt)dt = 2V m π Middelverdien over av én negativ veksling blir på tilsvarende måte Figur 6.9: Enkel generator 6.7 Aritmetisk middelverdi Figur 6.11 viser én periode av en vekselspenning med amplituden V m og periode T s. Én periode består av 2 vekslinger, en positiv og en negativ. Middelverdien over av én positiv V = 2V m T T/2 0 sin(ωt)dt = 2V m π Middelverdien over et helt antall perioder er lik Kvadratisk middelverdi rms verdien til en vekselspenning defineres som roten av middelverdien til kvadratet av spennin-

88 88 KAPITTEL 6. VEKSELSPENNING OG VEKSELSTRØM gen over en hel periode. Figur 6.12 viser v 2 (t) sammen med middelverdien V 2 = v 2 (t) v(t) Nettspenningen v 2 (t) V 2 m t ms v 2 (t) 207 T/2 T t Figur 6.13: Nettspenningen Figur 6.12: Figuren under viser v 2 (t) sammen med middelverdien V 2 = v 2 (t) Middelverdien av kvadratet til v(t) blir 1 T T 0 v 2 (t)dt = V m 2 T T 0 sin 2 (ωt)dt = V m 2 Nå definerer en rms verdien til v(t) ved V = 1 T v T 2 (t)dt = Vm 0 2 rms verdien V til en vekselspenning vil omsette samme effekt i en resistiv last som en likespenning med verdien V. Eksempel 6.2 (Nettspenningen) Spenningen i en vanlig stikkontakt kan være én fase fra et 3-fase fordelingsnett. Nominell nettspenning i Norge er V = 230 V med frekvensen f = 50 Hz. Dette er vist i figur Når en sier at nettspenningen er V = 230 V mener en alltid effektivverdien. Den verdien av vekselspenningen som omsetter samme effekt som likepsenningen V = 230 V i en resistiv last. Maksimalverdien blir V m = = 325 V Middelverdien over en halv periode blir V = /π = 207 V Vekselspenning over en resistans Figuren under viser en vekselspenning som ligger over en resistans R. V Figur 6.14: Vekselspenning over en resistans. Det er vanlig å angi spenninger og strømmer med sine effektivverdier. I dette tilfellet er spenningens effektivverdi V og strømmens effektivverdieri.dakanenregnemedspenninger,strømmer og effekter på samme måte som for likespenning og likestrøm. V = R I, I = V R, R = V I, P = I2 R = V 2 En kan regne med øyeblikksverdier. Det gir i(t) = v(t) R v(t) = i(t) R I R p(t) = i 2 (t) R = v2 (t) R R

89 6.9. VEKSELSPENNING OVER EN RESISTANS 89 der p(t) er øyebliksverdien av effekten som omsettes ved tidspunktet t. Strømmen i en resistans har samme fase som spenningen. Spenning og strøm har sine minste og største verdier til samme tid. Dette er vist i figurene 6.15 og v c = V m cos(ωt) = V m cos(2πft) Im v v V m V 0 T t φ 1 Re vc Vm t1 Figur 6.15: Spenningen v = V m sin(ωt). V m er amplitudeverdien og V er effektivverdien. i I m I T t 0 T t Figur 6.17: Den reelle spenningen v c = V m cos(ωt) fremkommer som projeksjonen av vektoren v ned på den reelle aksen. Figur 6.16: Strømmen i = I m sin(ωt). I m er amplitudeverdien og I er effektivverdien Beskrivelse av cosinusspenning Figur 6.17 viser vektoren v som roterer med vinkelhastigheten ω mot urviseren i det komplekse planet. Etter tiden t = t 1 har vektoren rotert vinkelen φ 1. Projeksjonen av v ned på den reelle aksen er v cos(φ 1 ) = V m cos(ωt 1 ) Dette gjelder for alle verdier av t [0..T). Siden v = V m kan spenningen v c skrives på formen Beskrivelse av sinusspenning Figur 6.18 viser vektoren v som roterer mot urviserenmedvinkelhastighetenω.spenningenv s fremkommer som projeksjonen av v inn på den imaginære aksen. Her er en utvikling av to samtidige begivenheter. v roterer mot urviseren samtidig som spenningenv s endrersineverdier som funksjonav tiden t. En velger at v starter når den ligger langs den reelle aksen i det komplekse planet. Da settes t = 0. Når v roterer mot urviseren med vinkelhastigheten ω vil vinkelen φ som vektoren danner med den reelle aksen øke proporsjonalt med tiden. Når vektoren har rotert én omdreining har den gjennomløpt 2π radianer. Dette har den gjort i løpet av T s. T kalles periodetiden til v s. Antall

90 90 KAPITTEL 6. VEKSELSPENNING OG VEKSELSTRØM perioder per sekund kalles frekvensen og måles i hertz Hz. Det gir f = 1 T Hz Siden vektoren v gjennomløper 2π radianer i løpet av T s får den vinkelhastigheten Im ω = 2π T = 2πf rad/s V m v s spenning. Det er tilstrekkelig å beskrive spenningen med parametrene V m, ω og φ. Når v(t) fremstilles som en funksjon av tiden t sier en at v(t) er beskrevet i tidsdomenet. Når v(t) beskrives med parametrene V m, ω og φ sier en at den er fremstilt i frekvensdomenet. Frekvensdomenebeskrivelsengjøresmedenvektor v idet komplekseplanet. Den starter med fasevinkelen φ ved t = 0 og roterer mot urviseren med vinkelfrekvensen ω. Lengden av vektoren er V m. I det følgende vises spenningene v 1 = V m1 sin(ωt) v 2 = V m2 sin(ωtφ) v i frekvensdomenet og tidsdomenet samtidig for å klargjøre sammenhengen mellom de to domenene. φ 1 t 1 T t Spenningene v 1 og v 2 med v 1 som referanse Figur 6.18: Den reelle spenningen v s = V m sin(ωt) fremkommer som projeksjonen av vektoren v inn på den imaginære aksen. Etter tiden t = t 1 har v rotert mot urviseren vinkelen φ 1 rad. Projeksjonen av v inn på den imaginære aksen er v sin(φ 1 ) = V m sin(ωt 1 ) Dette gjelder for alle verdier av t [0..T) Siden v = V m kan spenningen v s skrives på formen v s = V m sin(ωt) = V m sin(2πft) 6.10 Fase En standard referansspenning er gitt ved v(t) = V m cos(ωtφ) Dette er en tidsdomenebeskrivelse av spenningen v(t) med parametrene V m, ω og φ. I mange sammenhenger har en ikke bruk for tidsforløpet til en Når en beskriver tidsvarierende fenomener velges en referanse for tid og tider måles i forhold til denne referansen. Figur 6.19 på side 91 viser de to spenningene v 1 og v 2. En velger en referanse for tid ved å sette t 1 = 0 i figur Alle tider måles i forhold til denne referansen. Når t = 0 ligger vektoren v 1 langs den positive reelle aksen i det komplekse planet i figuren over. Når v 1 har tilbakelagt tiden τ har v 1 rotert vinkelen φ τ rad. Spenningen v 2 går gjennom 0 når t = t 2. Tiden øker fra t = 0 mot høyre. Det vil si at t 2 er et senere tidspunkt enn t 1. Vi sier at v 2 er forsinket med tiden t = t 2 t 1 i forhold til v 1. Eller at v 2 ligger t etter v 1 i tid. Av figuren over ser en at tidsforsinkelsen t mellom v 1 og v 2 fører til vinkelen φ mellom vektorene v 1 og v 2. En sier at v 2 ligger φ grader etter v 1 i fase. Eller at v 1 ligger φ rad foran v 2 i fase. Begge vektorene roterer mot urviseren med vinkelfrekvensen ω. Projeksjonen av vektorene inn på den imaginære aksen gir tidsfunksjonenev 1 (t) og v 2 (t). Den høyre delen av figuren er en beskrivelse i tidsdomenet fordi det er tiden t som er den uavhengige variable. Den venstre delen av figuren er en beskrivelse i frekvensdomenet fordi det er vinkelfrekvensen ω = 2πf og fasen φ som er de uavhengige variable.

91 6.10. FASE 91 Med den referansen som er valgt i dette eksemplet blir t en forsinkelse i tid. Vinkelen φ kalles fasevinkelen mellom v 1 og v 2. Tiden t i tidsdomenet tilsvarer fasevinkelen φ i frekvensdomenet. Vi kan si at v 2 ligger t sekunder etter v 1 i tid, eller at v 2 ligger φ grader etter v 1 i fase. Den første er i tidsdomenet, den andre er i frekvensdomenet. Spenningenv 1 går gjennom 0 med positiv gradient ved tidspunktet t 1. Spenningen v 2 går gjennom 0 med positiv gradient ved tidspunktet t 2. Im v(t) v 1 v 2 v 1 φ τ φ Re τ T t t 1 t 2 v 2 Figur 6.19: Spenningene v 1 og v 2 med v 1 som referanse Spenningene v 1 og v 2 med v 2 som referanse Tider er relative til en referansetid og referansetidenkanvelges ut fraulikekriterier. I detteeksemplet valgte en å sette t 1 = 0. En kan like gjerne sette t 2 = 0 og bruke v 2 som en referanse. Det gir beskrivelsene v 1 (t) = V m1 sin(ωtφ) v 2 (t) = V m2 sin(ωt) Når t = 0 ligger vektoren v 2 langs den reelle aksen i det komplekse planet mens v 1 har vinkelen φ i forhold til den reelle aksen. Etter tiden τ har begge vektorene rotert fasevinkelen φ τ grader mot urviseren. En setter t = (t 2 t 1 ) og sier at v 1 ligger tsekunderforan v 2 i tid.påtilsvarende måte sier en at v 1 ligger φ rad foran v 2 i fase. Med denne referansen for tid blir t en fremskyndelse i tid. Ikke en forsinkelse. Når v 1 har tilbakelagt tiden τ har v 1 rotert vinkelen φ τ. Spenningen v 2 går gjennom 0 når t = t 2. t 2 er et senere tidspunkt enn t 1. En sier at v 2 er forsinket tiden t = t 2 t 1 i forhold til v 1. Eller at v 2 ligger t etter v 1 i tid. Av figuren ser en at tidsforsinkelsen t mellom v 1 og v 2 fører til vinkelen φ mellom vektorene v 1 og v 2. En sier at v 2 ligger vinklen φ etter v 1 i fase. Eller at v 1 ligger vinkelen φ foran v 2 i fase. Når t = 0 ligger vektoren v 2 langs den reelle aksen i det komplekse planet mens v 1 har vinkelen φ i forhold til den reelle aksen. Etter tiden τ har begge vektorene rotert fasevinkelen φ τ mot urviseren. En setter t = (t 2 t 1 ) og sier at v 1 ligger t sekunder foran v 2 i tid. På tilsvarende måte sier en at v 1 ligger φ foran v 2 i fase. Med denne referansen for tid blir t en fremskyndelse i tid. Ikke en forsinkelse.

92 92 KAPITTEL 6. VEKSELSPENNING OG VEKSELSTRØM Im v(t) v 1 v 1 v 2 φ v 2 φ τ Re τ T t t 1 t 2 Figur 6.21: Spenningene v 1 og v 2 med v 2 som referanse 6.11 Oppgaver Oppgave (6.1) Figuren under viser en vekselspenningskilde V som er belastet med resistansen R. Figur 6.14 på side 88 viser en vekselspenningskilde over en resistans. Spenningen kan beskrives med funksjonen v(t) = 20 sin(2000πt) Resistansen R = 100 Ω 1: Hvor stor er spenningens amplitudeverdi? 2: Hvor stor er spenningens effektivverdi? 3: Hvor stor er spenningens middelverdi over en positiv veksling? 4: Hvor stor er frekvensen f? 5: Hvor stor er vinkelfrekvensen ω? 6: Hvor stor er periodetiden T? 7: Hvor stor er strømmen I? 8: Skriv strømmen på formen i(t) = I m sin(ωt) 9: Hvor stor er den midlere effektomsetningen i R? 10: Hvor stor er den maksinale øyeblikksverdien av effekten i R? 11: Hvor mye energi omsettes det i R i løpet av én periode? Oppgave (6.2) En har gitt de 2 spenningene v 1 (t) = 4sin(ωt45 ) v 2 (t) = 2cos(ωt30 ) 1: Beregn de komplekse amplitudene V 1 og V 2. 2: Beregn summen V 3 = V 1 V 2. 3: Beregn effektivverdien til V 3. 4: Vis de 3 viserne V 1, V 2 og V 3 i det komplekse planet.

93 6.11. OPPGAVER 93 Oppgave (6.3) En varmeovn er tilkoblet den vanlige nettspenningen. Når ovnen står på 1 gir den P 1 = 250 W. Når den står på 2 gir den P 2 = 500 W og når den står på 3 gir den P 3 = 1000 W. 1: BeregnstrømmeneI 1,I 2 ogi 3 forde3forskjellige trinnene. 2: Anta at varmeelementene representerer rene resistanser. Beregn resistansene R 1, R 2 og R 3 for de 3 forskjellige trinnene. 3: Beregn forholdene P 1 /P 2, P 1 /P 3 og P 2 /P 3. 4: Beregn forholdene I 1 /I 2, I 1 /I 3 og I 2 /I 3. 5: BeregnforholdeneR 1 /R 2,R 1 /R 3 ogr 2 /R 3. 6: Hvordan kan en lage de 3 trinnenemed bare 2 varmeelementer? Beregn resistansen for hver av de 2. 3: HvormyeeffektP 3 omsettesdetiresistansen R hvis v(t) = 2sin(ωt)3sin(ωt) 4: HvormyeeffektP 4 omsettesdetiresistansen R hvis v(t) = 2sin(ωt)3sin(ωtπ/4) 5: HvormyeeffektP 5 omsettesdetiresistansen R hvis v(t) = 2sin(ωt)3sin(ωtπ) 6: Hvorfor er P 1 P 2 P 3? Oppgave (6.5) Figuren under viser en likespenningskilde V dc og en vekselspenningskilde v(t) som er koblet i serie og belastet med resistansen R = 100 Ω. Oppgave (6.4) Figuren under viser en spenningskilde v(t) med den resistive lasten R = 10 Ω. v(t) V s R i(t) v(t) R Figur 6.23: En likespenningskilde V s i serie med en vekselspenningskilde v(t). Figur 6.22: En vekselspenningskilde v(t) belasted med resistansen R. 1: HvormyeeffektP 1 omsettesdetiresistansen R hvis v(t) = 2sin(ωt) 2: HvormyeeffektP 2 omsettesdetiresistansen R hvis v(t) = 3sin(ωt) 1: HvormyeeffektP 1 omsettesdetiresistansen hvis V = 10 V og v(t) = 0 V? 2: HvormyeeffektP 2 omsettesdetiresistansen hvis V s = 0 V og v(t) = 10sin(ωt) V? 3: Lag et generellt uttrykk for effektomsetning i en resistans R med likespenningen V s og vekselspenningen v(t) = V m sin(ωt). 4: HvormyeeffektP 3 omsettesdetiresistansen hvis V s = 10 og v(t) = 10sin(ωt)? 5: Hvorfor er P 1 P 2 = P 3 i dette tilfellet?

94 94 KAPITTEL 6. VEKSELSPENNING OG VEKSELSTRØM Oppgave (6.6) 5: ω = rad/s 1: Beregn den komplekse amplituden til spenningen 6: T = 1 f = 1.0 ms v 1 (t) = 100cos(ωt70 2: Beregn den komplekse amplituden til spenningen v 2 (t) = 60cos(ωt50 3: Beregn den komplekse amplituden til spenningen v 3 (t) = 40sin(ωt110 ) 4: Beregn den komplekse amplituden til summen av spenningene v(t) = v 1 (t)v 2 (t)v 3 (t) 7: 8: 9: 10: 11: I = V = ma R i(t) = 0.2sin(2000πt) A P = V I = V m 2 2R = 2.0 W P m = V m 2 R = 4.0 W W = P T = 2.0 mws 5: Vis spenningene som visere i det komplekse planet Oppgave (6.2) 1: 6.12 Fasit V 1 = 4 (135 ) = j V Oppgave (6.1) V 2 = 2 (30 ) = j1.0 V 1: 2: 3: 4: V m = 20 V V = Vm 2 = V V = 2V m π = V 2000π = 2πf f = 1000 Hz 2: V 3 = V 1 V 2 = j V 3: V 3 = V 3 2 = V 4: Figuren under viser de 3 viserne V 1, V 2 og V 3 i det komplekse planet. Oppgave (6.3)

95 6.12. FASIT 95 Im V 2 Re 1: 2: P 1 = V m 2 2R = = 0.2 W P 2 = V m 2 2R = = 0.45 W V 1 V 3 3: I dette tilfellet er v(t) summen av to spenninger med samme frekvens og samme fase. Da er amplitudeverdien lik summen av amplitudene. 1: 2: Figur 6.24: De tre viserne V 1, V 2 og V 3. I 1 = P 1 V = = A I 2 = P 2 V = = A I 2 = P 3 V = = A R 1 = V 2 P 1 = = Ω R 2 = V 2 P 2 = = Ω R 3 = V 2 P 3 = = 52.9 Ω 3: P 1 /P 2 = 0.5 P 1 /P 3 = 0.25 P 2 /P 3 = 0.5 4: I 1 /I 2 = 0.5 I 1 /I 3 = 0.25 I 2 /I 3 = 0.5 5: R 1 /R 2 = 2 R 1 /R 3 = 4 R 2 /R 3 = 2 6: En kan bruke 2 elementer med verdien R 2. 2 elementer kobles i serie i stilling 1. 2 elementer kobles i parallell i stilling 3. Ett element brukes i stilling 2. Oppgave (6.4) P 3 = V m 2 2R = (23)2 20 = 1.25 W 4: I dette tilfellet er v(t) summen av to spenninger med samme frekvens, men ulik fase. Da blir den resulterende amplituden lik 5: V 2 m = cos(π/4) = P 4 = V m 2 2R = = W 20 V m 2 = cos(π) = 1 P 5 = V m 2 2R = 1 = 50 mw 20 6: Fordi effekt avhenger av spenning kvadrert. Oppgave (6.5) 1: 2: 3: 4: P 1 = V s 2 R = 1 W P 2 = V m 2 2R = 0.5 W 2 P = V s 2 R V m 2R P 3 = = 1.5 W

96 V 96 KAPITTEL 6. VEKSELSPENNING OG VEKSELSTRØM 5: Fordi V s og v(t) er ukorrelerte spenninger har de ingen krysseffekt. Oppgave (6.6) 1: 2: 3: 4: V 1 = V V 2 = V V 3 = V V = V 5: Figur 6.25 viser de fire viserne. Im V 3 V 2 V 1 Re Figur 6.25: De fire viserne V, V 1, V 2 og V 3.

97 Kapittel 7 Magnetisme Magnetisme er en egenskap hos noen materialer og ikke andre. Noen materialer er naturlig magnetiske, eller de lar seg magnetisere. Andre er umagnetiske og kan heller ikke magnetiseres. Magnetisme har vært kjent som fenomen fra lenge før Kristi fødsel. I byen Magnesia i Lilleasia fant en jernmalm som har evnen til å trekke til seg andre jernholdige materialer. Materialer med denne egenskapen kalles permanentmagneter. Den danske fysikeren Hans Christian Ørsted ( ) oppdaget at når det går strøm gjennom en leder opptrer den samme kraftvirkningen rundt lederen som fra en permanentmagnet. Dette kalles elektromagnetisme. Den franske fysikeren André Marie Ampère ( ) oppdaget den samme kraftvirkningen mellom to strømførende ledere. Ampère laget også en teori som forklarer magnetisme som resultat av elektriske strømmer. Han forklarte permanentmagneter som et resultat av mange små strømmer i materialet. Dette er en teori som stemmergodt meddenfysiskemodellen viharav magnetisme. Der det er elektriske ladninger i bevegelse er det et magnetisk felt. Alle stoffer er bygd opp av atomer. En enkel modell av atomet er en sentral kjerne med ett eller flere positive protoner og nøytrale nøytroner. Rundt kjerna kretser ett eller flere elektroner. Ett elektron har en negativ elektrisk ladning, den minste som er observert. I tillegg til sin orbitale bevegelse rundt kjerna har elektronet et spinn om sin egen akse som beskrives med en vektor. Spinnet har en tallverdi og en retning. De magnetiske egenskapene til en permanentmagnet kan forståes ut fra de små magnetiske strømsløyfene som finnes i magnetiske materialers mikrostruktur. 7.1 Kraftvirkningen fra en permanentmagnet Magnetisme som fenomen kjennetegnes ved en kraft som virker på andre magnetiske materialer i området. Kraftvirkningen mellom magneter beskrives med et magnetisk felt. Et magnetisk felt er en romlig beskrivelse av kraften og retningen på kraften som virker på en elementærmagnet som bringes inn i området. Et magnetisk felt vises med feltlinjer som gir et geometrisk bilde avf feltet. Tangenten til en feltlinje i et punkt viser retningen på kraften. Feltet er sterkt i områder der det er liten avstand mellom feltlinjene og svakere der avstanden blir større. 7.2 Elektromagnetisme Et magnetisk materiale kan magnetiseres med en strøm gjennom en vikling som omslutter materialet. Dette er vist i figur 7.2. Dette aklles elektromagnetisme. Det er ingen prinsippiell forskjell mellom en permanentmagnet og en elektromagnet. I en permanetmagnet skapes magnetismen med små ringstrømmer i materialets mikrostruktur. I en elektromagnet skapes magnetismen med makrskopisk ringstrøm som omslutter materialet. 97

98 98 KAPITTEL 7. MAGNETISME N S N S Figur 7.1: En liten kompassnål som bringes inn i området rundt en magnet blir påvirket av en kraft. Magneten har en nordpol og en sydpol. Kompassnåla er i seg selv en magnet. Når den kommer i nærheten av magneten vil den dreie og innta én bestemt retning. Bringer en nåla ut av denne stillingen vil den bevege seg tilbake når den slippes. Forssøket viser at kraften på kompassnåla må beskrives med en vektor. 7.3 Lorenz kraftlov Rundt en permanentmagnet, eller en strømførende leder virker det krefter på et magnetisk materiale eller en annen strømførende leder. Området er i en spesiell tilstand på grunn av magnetismen. En sier at det er et magnetisk felt i området. En modellerer feltet med en beskrivelse av magnetisme som fysisk fenomen. Et elektrisk felt ble definert ved kraften på en prøveladning. Vi gjør det samme med et magnetisk felt. Vi fører en prøveladning q inn i feltet og registrerer kraftvirkningen. Først holder vi ladningen i ro. Hvis det er et elektrisk felt i tillegg til det magnetiske virker kraften F e = q E N som den eneste kraften på ladningen. Hvis ladningen får en bevegelse representert med vektoren v oppstår en ny kraft F m som skyldes magnetfeltet. Eksperimenter viser at denne kraften er proporsjonal med q. F m = 0 når ladningen beveger Figur 7.2: Det magnetiske materialet magnetiseres ved at det går en strøm gjennom viklinga som omslutter materialet seg parallelt med feltvektoren i punktet der ladningen er. F m er maksimal når ladningen beveger segnormaltpåfeltets retning. Detvil si at kraften som skyldes det magnetiske feltet er et vektorprodukt mellom hastigheten og en feltvektor multiplisert med ladningen q. F m = q v B N (7.1) der B kalles den magnetiske flukstettheten. Ligning(7.1)erdefinisjonenavvektoren B.Hvishastighetsvek toren v stårnormaltpå B kanligning(7.1) skrives på formen F = qvb N (7.2) Dette er definisjonen av magnetisk flukstetthet. Magnetisk flukstetthet måles i tesla (T). Magnetisk flukstetthet kalles også magnetisk induksjon. Hvis ladningen befinner seg i et område med både et elektrisk og et magnetisk felt blir den totale kraften F = q E q v B N (7.3) Dette er Lorenz kraftlov. Den er en av de mest fundamentale lovene i fysikken.

99 7.4. DEFINISJONER Biot-Savart s lov Når det går strøm i en leder blir det et magnetfelt rundt lederen. Med Biot-Savar s lov kan en beregne magnetfeltet i et vilkårlig punkt i en avstand fra lederen. Figuren under viser et utsnitt av en leder med strømmen I. I p 7.4 Definisjoner Når vi snakker om et magnetisk felt mener vi den spesielle tilstanden rundt en magnet eller en strømførende leder som fører til en kraftvirkning på et magnetisk materiale eller andre strømførende ledere.etmagnetiskfeltharalltid sinårsakielektriske strømmer. For å karakterisere et magnetisk felt definerer vi noen størrelser som er hensiktsmessige ut fra å bevare en analogi med tilsvarende størrelser for elektriske felt. r Magnetisk flukstetthet B d l u r Figur 7.3: Et infinitdesimalt lite strømelement er representert med vektoren d l. Avstanden fra strømelementet til punktet p er gitt med vektoren r der r = r. u r er en enhetsvektor i r sin retning. Med Biot-Savar s lov kan vi beregne et infinitesimalt lite bidrag d B av magnetfeltet i punktet p. Et infinitesimalt lite bidrag d B i punktet p fra strømelementet d l er gitt med Biot-Savar s lov. db = µ 0I 4π d l u r r 2 B = µ 0 I d l u r 4π Γ r 2 T Siden et magnetfelt er kjennetegnet ved sin kraftvirkning har en valgt å bruke kraften på en elektrisk ladning som beveger seg i feltet som et mål for feltets styrke. Dette er gitt ved ligning (7.1) som introdusererdenmagnetiske flukstettheten B som en vektor. Siden B er en vektor må vi ha en oppfatningom hvavimenermedfluksentil envektor. Begrepet fluks i magnetisme har sin analogi med fluks i hydrodynamikken. Ordet kommer fra det latinske ordet fluere som betyr å strømme. Når en veske strømmer i et avgrenset område har vi et strømningsfelt. Molekyler i veska som beveger seg i bestemte retninger med en bestemt fart. Dette feltet må beskrives med en feltvektor for å ta hensyn til fart og retning. I noen områder er strømningsfeltet kraftigere enn i andre områder. Dette er grunnlaget for å snakke om en flukstetthet. Magnetisk flukstetthet kalles også ofte magnetisk induksjon i forbindelse med ferromagnetiske materialer Magnetisk fluks Φ T Feltvektoren B beskriver tettheten av den magnetiske fluksen. Den har enheten tesla (T) og dimensjonenvs/m 2.Vikantenkepådetmagnetiske Det totale bidraget fra en lengde av lederen beskrevet med kurven Γ kan beregnes med linjeintegralet feltet som et strømningsfelt. Gjennom et tverrsnitt i feltet er det en total fluks avhengig av flukstettheten B. Ved å integrere feltvektoren B over en flate S får vi den totale magnetiske fluksen gjennom flata. Dette er gitt ved

100 100 KAPITTEL 7. MAGNETISME Φ = S B nds (7.4) der n er normalkomponenten av B på flateelementet ds. Magnetisk fluks er en skalar og måles i weber (Wb) med dimensjonen (Vs) Magnetisk feltstyrke H Den magnetiske flukstettheten er forskjellig i forskjel-delige materialer for de samme strømmene som gir gir årsaken til magnetismen. Derfor er det hensiktsmessig å innføre den magnetiske feltstyrken H som et mål for kilden til et magnetfelt. Sammenhengen mellom B og H er avhengig av materialet der feltet oppstår. I tomt rom er sammenhengen gitt ved konstanten µ 0 i likninga B = µ 0 H (7.5) µ 0 kalles toromspermeabiliteten. Den numeriske verdien finnes i tabell 2.4. Den magnetiske feltvektoren H eretmålforkildentilfeltet,mensfeltvektoren B eret mål forvirkningenav H. Virkningen av en magnetisk feltstyrke er avhengig av det materialet som magnetiseres. Derfor har en innført den relative permeabiliteten µ r til et materiale i ligninga B = µ 0 µ r = µ H (7.6) for å generere et magnetisk felt. En definerer den magnetomotoriske spenningen F m = I N (At) N Hvis vi integrerer H langs en lukka kurve får vi Ampère s lov som sier H d s = H l = IN At Γ H = IN l At/m 7.5 Ohm s lov for magnetiske kretser Vi skal vise at sammenhengen mellom magnetisk fluks, magnetomotorisk spenning og reluktans er analog til Ohm s lov for strøm, spenning og resistans. Derfor snakker en om Ohm s lov for magnetiske kretser. Figuren under viser en magnetisk ringkjerne med N tørn. V s I N der µ = µ 0 µ r kalles den absolutte permeabiliteten tilmaterialet. µ r erenmaterialkonstant ogforteller noe om i hvilken grad et materiale lar seg magnetisere. I noen sammenhenger kan den relative permeabiliteten være en kompleks størrelse. Det behandles ikke i denne boken Magnetomotorisk spenning F m Figur 7.4: Den elektriske spenningen V s gir en magnetisk spenning F m = IN. Den magnetiske spenningen genererer en magnetisk fluks Φ i kjerna. Denne fluksen er begrenset av den magnetiske reluktansen R m i jernet. Når Strømmen I går gjennom en spole med N tørn genereres det en magnetisk fluks i området rundt spolen. For en gitt magnetisk krets er fluksen proporsjonal med strømmen og med antall viklinger i spolen. Det er strømmen gjennom et antall viklinger i spolen som er den drivende kraften Til viklinga er det koblet en spenningskilde V. I viklinga er det en resistans R som begrenser strømmen I. Spenningen V, strømmen I og resistansen R er en elektrisk krets der sammenhengene er gitt ved Ohm s lov. Strømmen i viklinga gir en magnetomotorisk spenning F m = I N.

101 7.6. MAGNETISKE MATERIALER 101 Denne magnetiske spenningen setter opp en fluks Φ i kjerna. For en gitt magnetisk spenning F m er fluksen begrenset av den magnetiske motstanden i kjerna. Med det ser en analogien mellom Ohm s lov for elektriske kretser og Ohm s lov for magnetiske kretser. Vi skal gi en generell beskrivelse av disse sammenhengene. En magnetisk feltstyrke H genererer et magnetisk felt i et materiale. Flukstettheten B er proporsjonal med den magnetiske feltstyrken H B = µh = µ 0 µ r H T µ 0 er tomromspermeabiliteten og µ r er den relative permeabiliteten for et bestemt materiale. Den magnetiske fluksen Φ er avhengig flukstettheten B og arealet S 7.6 Magnetiske materialer Alle stoffer påvirkes av et magnetfelt. De magnetiske egenskapene til et materiale er bestemt av de atomene materialet er bygd opp av og den strukturen som finnes materialkomposisjonen. Ett atom bestårav ensentral kjernemedett eller flere positive protoner og et antall nøytroner. Rundt kjerna kretser et antall elektroner i bestemte baner. Elektronet har et kvantemekanisk spinn rundt sin egen akse. Materialets magnetiske egenskaper er knyttet til elektronets orbitale bevegelse og kvantemekaniske spinn. m Φ = B S = µ H S = µ IN l der S = µs l IN = Λ F m Λ = µs H l kalles den magnetiske permeansen. Inversverdien til den magnetiske permeansen kalles den magnetiske reluktansen og er gitt ved R m = 1 Λ = l µs 1/H Disse definisjonene gir en fin analogi mellom en elektrisk krets og en magnetisk krets. strøm I (A) fluks Φ Wb resistans R (Ω) reluktans R m 1/H spenning V (V) spenning F m At Da kan vi skrive opp Ohm s lov for en magnetisk krets Φ = F m R m R m = F m Φ F m = R m Φ (I = V/R) (R = V/I) (V = R I) I Figur 7.5: Et atom er en liten strømsløyfe med et lite magnetisk moment representert med vektoren m = I S n der n er en enhetsvektor som står normalt på flaten S Paramagnetisme For de fleste materialer er det slik at det magnetiske momentet av atomene er null. For andre materialer har atomene et netto magnetisk moment forskjellig fra null. Retningen på momentet er tilfeldig og summen av alle momentene over et makroskopisk volum er null. Vi sier at materialet er umagnetisk. Når et slikt materiale bringes inn i et magnetisk felt vil feltet påvirke de magnetiske momentene med et dreiemoment. Kraften virker slik at de magnetiske momentene dreies i retning av det ytre feltet. Resultatet er at de magnetiske momentene i atomene adderer seg til det ytre feltet og gir en økning i det totale feltet. Denne S

102 102 KAPITTEL 7. MAGNETISME økningen skyldes materialet og kalles magnetisering. Den betegnes med vektoren M. Et materiale som påvirkes av en magnetisk feltstyrke får et magnetfelt som kan beskrives med B = B 0 µ 0 M = µ0 ( H M) T der B 0 skyldes den magnetiske feltstyrken H og M er en intern magnetisering som skyldes materialet. Et slikt materiale kalles paramagnetisk. Det karakteriseres ved en relativ permeabilitetµ r eller en magnetisk suseptibilitet χ. B = µ 0 µ r H = µ0 H µ0 M T µ r H = H M 1/H (µ r 1) H = χ H = M 1/H χ = M/ H er den magnetiske destruktibiliteten χ = µ r 1 Aluminium er et paramagnetisk materiale med µ r = I et materiale er det en termisk energi W T = k T som gir en termisk agitasjon. Denne energien gir bevegelser i materialet som hindrer atomenes magnetiske momenter i å innrette seg i bestemte retninger. Denne effekten øker med temperaturen. Den temperaturavhengige virkningen på magnetfeltet kan uttrykkes med Curies lov (Pierre Curie ) M = C B T 1/H C kalles Curie konstanten Diamagnetisme I noen materialer er det totale magnetiske momentet av atomenes strømsløyfer lik null når de ikke påvirkes av et magnetfelt fra utsiden. Når et slikt materiale påvirkes av et felt blir elektronenes bevegelser i atomene påvirket. Dette fører til nye strømsløyfer og magnetiske momenter som har sin analogi med elektriske dipoler i forbindelse med elektriske felter. Disse induserte magnetiske momentene får alltid en retning motsatt det feltet som har indusert de. Dette forklares med Lenz s lov. Den sier at en indusert strøm har en retning som hindrer det feltet som har skapt den. Slike materialer kalles diamagnetiske. De har en negativ suseptibilitet. Kobber er et eksempel på et diamagnetisk materiale Ferromagnetiske materialer Noen materialer kalles ferromagnetiske. Det er jern, kobolt, nikkel og legeringer av disse som har denne betegnelsen. I disse materialene har alle atomene i et avgrenset område innrettet sine magnetiske momenter i samme retning og får derfor en netto magnetisering i dette området. Et slikt område kalles et magnetisk domene. Hele materialet er delt opp i slike domener. Magnetiseringen fra domenet er imidlertid tilfeldige slik at materialets totale magnetisering er lik null. Dette er vist i figuren under. 7.7 Magnetisk hysterese Magnetisering av et ferromagnetisk materiale er en sterkt ulineær prosess. Når materialet utsettes for et magnetisk felt tilføres de magnetiske domenene en energi. De utsettes for en kraft. Feltet må over en viss verdi før domenene endrer magnetiseringsretning. Dette gir en magnetisk hysterese. Figur 7.7 viser hysteresekurven for et vanlig transformatorblikk. Flukstettheten B som funksjon av den magnetiske feltstyrken H gir en kurve som vist i figuren under. Anta at materialet er helt umagnetisk når målingene starter. Når en øker feltstyrken øker induksjonen og følger den stiplede kurven i figuren under. Når feltstyrken blir tilstrekkelig stor flater magnetiseringskurven ut og jernet når magnetisk metning. Nesten alle domener er rettet i samme retning. Når en så reduserer feltstyrken følger ikke induksjonen samme kurve tilbake. Når H = 0 har materialet en remanent induksjon som kalles B r. En må snu felt retningen til H c for åfå induksjonenijernet til å bli null. H c er koersitivstyrken. Etter hvert som magnetfeltet blir mere negativt når en metningsinduksjonen B s som er like stor, men motsatt rettet B s. Ved å snu feltet igjen og øke i positiv retning vil induk-

103 7.8. OPPGAVER 103 B (T) Figur 7.6: Når materialet påvirkes av et magnetfelt vil magnetiseringesvektorene i domenene rette seg inn i feltets retning. Det gir et netto magnetfelt i materialet som er større enn det ytre feltet. Når det ytre feltet blir sterk nok har alle domenene samme retning. Det kalles magnetisk metning. For et ferromagnetisk materiale er det en ulineær sammenheng mellom det påtrykte feltet representert med H og den magnetiske flukstettheten B som opptrer i materialet. sjonen bli lik null når H = H c. En ytterligere økning av magnetfeltet bringer jernet i metning medverdienb s.den stipledekurvenkalles nykurven. Det er magnetiseringskurven av første magnetisering. Etter det følger magnetiseringen den såkalte hysteresekurva som vist i figur 7.7. Magnetiseringstapene er proporsjonal med arealet av hysteresekurva. 7.8 Oppgaver Oppgave (7.1) Figur 7.8 viser en ringkjerne med N = 100 tørn H c B s B r B r B s H c H (A/m) Figur 7.7: Hysteresekurva viser ulinearitetetn mellom magnetisk felt og induksjon i et magnetisk materiale Kjerna er laget av et magnetisk materiale med µ r = Ytre diameter i kjerna er 10 cm og indre diameter er 8 cm. Kjernas tverrsnitt er sirkulært. Strømmen er I = 10 ma. 1: Beregn kjernas tverrsnitt S j. 2: Beregn midlere lengde l j av en flukslinje. 3: Beregn kjernas magnetiske reluktans R m. 4: Beregn den magnetiske spenningen F m. 5: Beregn den magnetiske fluksen Φ i kjerna. 6: Beregn den magnetiske induksjonen B i kjerna. 7: Beregn den magnetiske feltstyrken H i kjerna.

104 104 KAPITTEL 7. MAGNETISME 2: Beregn kjernas tverrsnitt S j. 3: Beregn den magnetiske reluktansen R mj i kjerna. 4: Beregn den magnetiske reluktansen R ml i luftspalten. 5: Hvor stor må den magnetomotoriske spenningen F m være for at induksjonen i jernet skal bli 1 T? 6: Hvor stor blir strømmen I med denne induksjonen? Figur 7.8: Ringkjerne av magnetisk materiale. 7: Tegn et ekvivalent skjema for den magnetiske kretsen. Oppgave (7.2) Figur 7.9 viser en jernkjerne med en luftspalt. I figuren er 7.9 Fasit I t ll Oppgave (7.1) 1: 2: S j = π/4 cm 2 l j = 9π cm l Figur 7.9: Jernkjerne med luftspalt. l = 10 cm t = 2 cm l l = 1 mm N = 1000 µ r = : Beregndenmidlerelengdenl j forenfeltlinje i kjerna. t 3: 4: 5: 6: 7: R m = /H F m = I N = 1.0 At Φ = F m R m = Wb B = Φ S j = T H = B µ 0 µ r = At/m

105 7.9. FASIT 105 Oppgave (7.2) 1: l j = 4(l t)l l = 319 mm 2: S j = t t = 4 cm 2 3: R mj = l µ 0 µ r S = π = /H 4: R ml = l µ 0 S = π = /H F m R mj R ml 5: Den totale magnetiske reluktansen i kretsen er Figur 7.10: Ekvivalent skjema for den magnetiske kretsen. R m = R mj R ml = /H 6: F m = R m Φ = R m B S = At I = F m N = 1.05 A 7: Figuren under viser et ekvivalent skjema for den magnetiske kretsen.

106 106 KAPITTEL 7. MAGNETISME

107 Kapittel 8 Induktive komponenter En motstand er en passiv resisitv komponent. Den forbruker effekt. Spenningen over motstanden og strømmen gjennom den har samme fase. Derfor er den en reell komponent. En spole er en passiv induktiv komponent. En ideell spole forbruker ingen effekt. Strømmen gjennom den er faseforskjøvet 90 etter spenningen over spolen. Denne faseforskjellen gjør spolen til en imaginær komponent. En motstand og en spole er to passive komponenter med helt forskjellige egenskaper. Det viktigste målet med dette kapitlet er å få leseren til å innse denne forskjellen fortest mulig. Et senere stadium av festen vil avsløre at disse helt spesielle egenskapene til en spole tillater å realisere kretser med egenskaper som ikke er mulig med bare resistive komponenter. Noen kaller egenskapene hukommelse. Vi kommer tilbake med en forklarng av det. Dette kapitlet behandler induktive komponenter med hovedvekt på magnetisk koblede kreser. Teorien for en vanlig transformator beskrives forholdsvis detaljert. antall viklinger genereres det en magnetisk fluks slik at den deriverte får en helt bestemt verdi. Av uttrykket ser vi også at med samme påtrykt spenning v vil den deriverte av fluksen dobles når antall viklinger halveres. Spolen har en evne til å indusere en spenning som er like stor, men motsatt rettet den påtrykte spenningen. Når antall viklinger reduseres må fluksendringen øke med samme v. Denne egenskapen til spolen kalles selvinduksjon. Det er spolens evne til å indusere en spenning med en bestemt fluksendring. Men den magnetiske fluksen skapes av strommen i. Så en kan gjerne snakke om spolens evne til å indusere en spenning med én bestemt strømendring. Det kan en formulere på denne måten v = N dφ dt = Ndφ dt di di = Ldi dt L = N dφ di L kalles spolens selvinduksjon. Den måles i Henry og har symbolet (H). H V 8.1 Definisjon av induktivitet Figur 8.1 viser en spole som påtrykkes spenningen v. Spenningen som induseres i spolen er ifølge Faraday s induksjonslov v = N dφ dt Der N er antall viklinger på spolen. Uttrykket sier atmedénbestemtpåtryktspenningogetbestemt Induktiv reaktans Relasjonen mellom spenning og strøm i en spole er en tidsdomenebeskrivelse. Da vi beskrev spenning og strøm for en resistans bruktevi en skalert verdi avbasisenforellesignaler.detvarheltgreitforen resistans er en resistiv komponent. For en spole er det anderledes. Spenningen er proporsjonal med den deriverte av strømmen. Det gjør en splole til en imaginær motstand. Får å få med den egenskapen bruker vi basisen for komplekse spenninger 107

108 108 KAPITTEL 8. INDUKTIVE KOMPONENTER φ i(t) dt = I mjωe jωt = Ije jωt Setter vi dette inn i ligning i får vi v(t) = L di dt v L Ve jωt = IjωLe jωt (8.1) Av denne ligninga ser en basisen e jωt kan forkortes. Det gir V = IjωL V I = jωl = jx L = Z L X L = ωl kalles den induktive reaktansen. Den måles i Ω. Z L = jωl Figur 8.1: En spole påtrykkes spenningen v. Det gir strømmen i. Sammenhengen mellom spenning og strøm tidsdomene er v = Ldi/dt, det er en enkel differensialligning. Sammenhengen mellom spenning og strøm i frekvensdomene er V = jωli, det er en enkel algebraisk ligning. kalles den induktive inpedansen. Den måles i Ω. Av ligning 8.1 ser en at basisen e jωt kan forkortes. Når en forkorter basisen sitter en igjen med de komplekse amplitudene. Dette skjer i alle slike sammenhegre. Derfor trenger en ikke ha med basisen. En kan gå direkte på de komplekse amplitudene med en gang. Dette er vist i det følgende som utgangspunkt for utledningen. Basisen for komplekse spenninger og strømmer er v V i I di jωi dt u(t) = e jωt Vi antar at den påtrykte spenningen v(t) er en skalert versjon av basisen v(t) = V m e jωt = Ve jωt Vi antar at strømmen i(t) er en skalert versjon av basisen i(t) = I m e jωt = Ie jωt Den deriverte av strømmen blir Dette gir direkte v = L di dt V = jωli Med det får vi Ohm s lov for en induktivitet: V = jωli = Z L I En ser at det er en faseforskjell på 90 mellom påtrykt spenning og strøm i spolen. En sier at spenningenover spolen ligger 90 foran strømmen i fase. En kan også si at strømmen ligger 90 etter spenningen i fase. Fase er et relativt begrep. Fasen

109 8.3. PARALLELKOBLING AV INDUKTANSER 109 Im V Re L 1 v 1 v L 2 v 2 I L 3 v 3 Figur 8.2: Strømmen i en spole ligger 90 etter spenningen i fase. til et signal må angis i forhold til et referansesignal. Dette er vist i figur 8.2. Fasen til strømmen I måles i forhold til den påtrykte spenningen V. Metoden med å transformere fra tidsdomenet til frekvensdomenet er helt generell. For reaktive komponenter er sammenhengen mellom spenning og strøm gitt ved derivasjon. Kirchhoff s lover for spenning og strøm i kretser som inneholder reaktive komponenter leder til lineære differensialligninger. Orden til ligningene blir lik antall reaktive komponenter i kretsen. Med riktige initsialbetingelser kan disse ligningene løses med hensyn på spenninger og strømmer. Det gir en fullstendig beskrivelse av kretsen. Løsning av differensialligninger medhøyordenertidkrevendeogkanværevanskelig. Isteden kan en transformere ligningene fra en tidsbeskrivelse til en frekvensbeskrivelse. Det fører til en algebraisk sammenheng mellom spenning og strøm (nice!). Da kan Ohm s lov og Kirchhoff s lover formuleres på samme måte for reaktive komponenter som for en resistanser. 8.2 Induktanser i serie Figur 8.3: Tre induktanser er koblet i serie. v 3 = L 3 di dt Summen av spenningene er lik den påtrykte spenningen v. di v = L 1 dt L di 2 dt L di 3 dt = (L 1L 2 L 3 ) di dt = L di t dt Dette resonnementet kan utvides til å gjelde n induktanser i serie. Dermed får vi at seriekoblingen av n induktanser er lik summen av induktansene. V L t = L 1 L 2 L n H 8.3 Parallelkobling av induktanser Figuren under viser parallelkoblingen av tre induktanser. v L 1 L 2 L 3 Figur 8.4: Tre induktanser koblet i serie. Strømmene i de tre induktansene er: Figur 8.3 viser tre induktanser koblet i serie. Den samme strømmen går gjennom alle induktansene. Spenningene: di v 1 = L 1 dt di v 2 = L 2 dt V V di 1 dt di 2 dt di 3 dt = v L 1 = v L 2 = v L 3

110 110 KAPITTEL 8. INDUKTIVE KOMPONENTER Den deriverte av den totale strømmen er lik summen av de deriverte: di dt = v L t = v L 1 v L 2 v L 3 Dette resonementet kan utvides til å gjelde for n induktanser i parallell. Dermed får vi at den totale induktansen av n induktanser i parallell blir 1 L t = 1 L 1 1 L 2 1 L n 1/H Derfor har vi sammenhengen φ 22 = φ 2 φ 21 i 2 vil indusere en spenning v 1 i L 1 gitt ved v 1 = M di 2 dt φ Energien i en induktans i 1 φ 1 φ 12 Når det går en strøm gjennom en spole lagres det energi i magnetfeltet rundt spolen. Denne energien er v 1 L 1 L 2 v 2 W = 1 2 LI2 J 8.5 Gjensidig induksjon Figuren over viser i tillegg en sploe L 2 som er plassert i feltet fra L 1. Vekselstrømmen i 1 genererer en fluks φ 11 rundt L 1. Fluksen φ 12 er den fluksen fra φ 11 som omslutter L 2. Fluksen φ 1 er den fluksen fra φ 11 som ikke omslutter L 2. Derfor har vi sammenhengen φ 11 = φ 1 φ 12 En del av fluksen fra L 1 vil indusere en spenning v 2 i L 2. v 2 = N 2 dφ 12 dt Hvis φ 12 er proporsjonal med i 1 kan vi skrive Figur 8.5: sdfsfsdf Figuren under viser skjema for en induktivt koblet krets med en spenningskilde på primærsiden og en impedans Z 2 på sekundærsiden. M i 1 i 2 v 1 L 1 L 2 Z 2 N 2 φ 12 = Mi 1 derm erenkonstantsomavhengeravgeometriske egenskaper til L 1 og L 2. M kalles den gjensidige induktiviteten mellom L 1 og L 2. Den måles i Henry (H). Figuren under viser den samme kretsen, men med vekselspenningen v 2 over L 2. Strømmen i 2 genererer fluksen φ 22. Fluksen φ 21 er den delen av φ 22 som omslutter viklingene i L 1. Fluksen φ 2 er den delen av φ 22 som ikke omslutter i L 1. Figur 8.6: En magnetisk koblet krets. Med Kirchhoff s lover kan vi sette opp kretsligningene. di 1 L 1 dt Mdi 2 dt M di 1 dt i di 2 2Z 2 L 2 dt = v 1 = 0

111 8.6. TRANSFORMATOR 111 I primærviklinga er det en resistans R 1 og i sekundærviklinga R 2. Med disse resistansene får en en modell for gjensidig kobling mellom to induktanser som er mer realistisk. Det gir følgende kretsligninger. i φ di 1 i 1 R 1 L 1 dt Mdi 2 dt M di 1 dt i di 2 2(R 2 Z 2 )L 2 dt Koblingsfaktoren k = v 1 = 0 Figur 8.7: En spole med strøm og fluks. Det illustrerer retningen av fluksen i forhold til strømmen. En definerer koblingsfaktoren mellom L 1 og L 2 ved φ21 φ 12 k = = M φ11 φ 22 L1 L 2 M = k L 1 L 2 H Prikknotasjon og polaritet Det er vanlig å angi polariteten av spenninger i en transformator med to prikker. Velg en terminalledning på primærsiden og den terminalledningen på sekundærsiden som har samme polaritet. Merk de to terminalene med en prikk. Da vet en at hvis strømmen på primærsiden går inn i transformatoren i den terminalen som er merket, vil strømmen på sekundærsiden gå ut av transformatoren og inn i lasten fra den terminalen som er merket. 8.6 Transformator Figuren til høyre viser den enkleste formen for en transformator. Den består av en jernkjerne med to viklinger. Viklingen til venstre er primærviklingen. Den har N 1 tørn og induktiviteten L 1 (H). V 1 er primærspenningen og I 1 er primærstrømmen. Viklinga til høyre er sekundærviklinga. Den har N 2 tørn med induktiviteten L 2. V 2 er sekundærspenningen og I 2 er sekundærstrømmen. I 1 N 1 N V 2 1 V L 2 1 L 2 I 2 Z 2 Høyrehåndsregelen Noen ganger trenger en å bestemme sammenhengen mellom retningen på den magnetiske fluksen og den strømmen som genererer fluksen. Dette kan en gjøre med høyrehåndsregelen: Grip over viklingene med høyre hånd slik at fingrene peker i strømmens retning. Da vil tommelfingeren peke i den retningen fluksens har inne i spolen eller jernkjerna. Dette sammen med Faraday s induksjonslov bestemmer på en entydig måte polaritet for spenninger og strømmer i en transformator. Figur 8.8: Transformator En transformator er en passiv komponent som brukes for å overføre elektrisk energi fra én krets til en annen med et magnetisk felt. Her er noen anvendelser: For å lage et galvanisk skille Transformere spenning Transformere strøm

112 112 KAPITTEL 8. INDUKTIVE KOMPONENTER Impedanstilpasning Båndpassfiltrering i RF kretser Transformatorens virkemåte Figuren under viser en enkel transformator tilkoblet en spenningskilde på primærsiden og impedansen Z 2 på sekundærsiden. i 1 φ 12 φ 21 v 1 Z 2 φ = φ 12 φ 21 Figur 8.9: Enkel transformator med last på sekundærsiden. Strømenn i 1 går gjennom primærviklinga og genererer fluksen φ 11. Den delen av φ 11 som går gjennom sekundærviklinga kalles φ 12. Resten er en spredefluks på primærsiden. Da har vi sammenhengen at φ 12 = kφ 11 der k er koblingsfaktoren mellom primær og sekundærsiden. Spredefluksen på primærsiden blir i 2 Anta at transformatoren ikke belastes. Da er i 2 = 0 og φ = φ 12. Når sekundærsiden belastes vil spenningen v 2 drive en strøm gjennom lasten og sekundærvikli ga. Denne strømmen genererer fluksen φ 21, motsatt rettet φ 12. Det sier Lenz lov. Men da må φ 12 øke. φ 12 øker så mye at differansen φ = φ 12 φ 21 er konstant, uavhengig av belastningen på sekundærsiden. Det krever Faraday s induksjonslov. Magnetiseringsfluksen φ er ikke helt konstant. Tapene i transformatoren fører til at den reduseres noe når transformatoren belastes. Det betyr at induksjonen i jernkjerna er størst når transformatoren ikke belastes. Med en ideell transformator vil φ være konstant og uavhengig av belastningen på sekundærsiden Ideell transformator Figuren under viser skjema for en ideell transformator. En kan velge å tegne polariteten mellom primær- og sekundærside slik en ønsker. Det er vanlig å tegne det slik som figuren viser. i 1 i 2 v 1 N 1 N 2 v 2 Z 2 φ 1 = φ 11 kφ 11 = (1k)φ 11 = σφ 11 det σ = 1k kalles spredefaktoren. På tilsvarende måtevilstrømmeni 2 påsekundærsidenprodusere fluksen φ 22. Den delen av φ 22 som går gjennom primærviklinga kalles φ 21. Resten er en spredefluks på sekundærsiden. Da har vi sammenhengen at φ 21 = kφ 22. Spredefluksen på sekundærsiden blir Figur 8.10: En ideell transformator. En definerer transformatorens omsetningsforhold n = N 1 N 2 De induserte spenningene er φ 2 = φ 22 kφ 22 = (1k)φ 22 = σφ 22 Differansen φ = φ 21 φ 12 er kjernas magnetiseringsfluks. Den er alltid slik at v 1 = N 1 dφ dt Det fører til at og v 2 = N 2 dφ dt v 1 = N 1 dφ dt v 1 v 2 = N 1 N 2 = n v 1 = nv 2

113 8.7. TAP I TRANSFORMATORER 113 Hvis vi antar at transformatoren er tapsfri er tilført effekt på primærsiden lik avgitt effekt på sekundærsiden Det gir i 2 v 1 i 1 = v 2 i 2 = v 1 = n i 2 = n i 1 i 1 v 2 Strømmen i 1 genererer fluksen φ 12. Strømmen i 2 genererer fluksen φ 21. Når φ 21 = 0 er φ 12 = φ som er magnetiseringsfluksen. Den spesielle verdien av i 1 betegnes med i φ og kalles magnetiseringstrømmen. En belastning på sekundærsiden gir strømmen i 2. Da øker primærstrømmen med i 2 /n. Den totale primærstrømmen blir i 1 = i φ i 2 /n Beregning av maksimal induksjon Energien tilføres primærsidenmed spenningenv 1. Den induserte spenningen er v 1 = N 1 dφ dt Anta at den påtrykte spenningen er på formen v 1 = V m cos(ωt) Innsatt i ligningen og løst med hensyn på φ gir det φ = V m ωn 1 sin(ωt) Den maksimale positive fluksen i kjerna opptrer når sin(ωt) = 1. Det gir Φ m = V m ωn 1 Sammenhengen mellom fluks og induksjon er Φ m = B m S der S er arealet av kjernetversnitt i m 2. Dermed blir den maksimale induksjonen B m = V m ωn 1 S For mindre transformatorer med jernblikk som beskrevet i tabellen på side 115 kan en estimere tverrsnittet på kjerna med følgende empiriske formel: S = 0.5 (V A) cm 2 der(v A) er antall Volt-Ampere som skal overføres til en last på sekundærsiden. Transformasjon av impedans En impedans på sekundærsiden får en annen verdi på primærsiden. Det er lett å innse med følgende utledning v 2 = i 2 Z 2 v 1 n = ni 1Z 2 v 1 i 1 = Z i = n 2 Z Tap i transformatorer I en praktisk transformator er det flere typer tap. Tapene fører til at den tilgjengelige effekten på sekundærsiden blir mindre enn tilført effekt på primærsiden. Forskjellen mellom tilført effekt og nytteeffekt er tap som i det alt vesentlige omsettes til varme. De viktigste tapene er: Kobbertap Spredningstap Jerntap Virvelstrømtap Hysteresetap Kobbertapene Viklingene i en transformator lages normalt med kobbertråd. Selv om kobber har en god ledningseve har den likevel en resistans som gir tap når transformatoren belastes. Figuren under viser en modell av disse tapene ved at R 1 er resistansen i primærviklingaogr 2 erresistansenisekundærviklinga. Måler en disse resistansene med et ohm meter når transformatoren ikke brukes får en to bestemte verdier. Når transformatoren belastes blir den varm. Varmen fører til at resistansene i primær og sekundærvik gene øker betydelig. Dette må en ta hensyntil når en skal beregne verdien av de resistive tapene i viklingene.

114 114 KAPITTEL 8. INDUKTIVE KOMPONENTER R i 1 R 2 1 i 2 M m v 1 Z 2 Med det kan en beregne strømmen I 1 I 1 = (R 2 Z 2 jωl 2 ) V 1 (8.2) det(z) På tilsvarende måte kan en beregne strømmen I 2 og spenningen V 2 di 1 R 1 i 1 L 1 dt Mdi 2 dt M di 1 dt (R di 2 2 Z 2 )i 2 L 2 dt = v 1 = 0 Disse to ligningene gir en tidsdomenebeskrivelse av spenninger og strømmer. Vi kan transformere ligningene til frekvensdomene og får dermed en rent algebraisk sammenheng mellom spenning og strøm. v 1 V 1 i 1 I 1 di 1 dt jωi 1 i 2 I 2 di 2 dt jωi 2 Dette gir ligningene (R 1 jωl 1 )I 1 jωmi 2 = V 1 jωmi 1 (R 2 Z 2 jωl 2 )I 2 = 0 Disse ligningene kan skrives på matriseform [ R1 jωl 1 jωm jωm R 2 Z 2 jωl 2 Z I = V ] [ I1 I 2 ] = [ V1 0 En kan beregne strømmene I 1 og I 2 ut fra denne matrisebeskrivelsen ved å bruke Cramer s regel. Da beregner en først determinanten til impedansmatrisen Z. Det gir det(z) = R 1 R 2 ω 2 L 1 L 2 (k 2 1) jω[l 1 (R 2 Z 2 )L 2 R 1 ] ] I 2 = jωm det(z) V 1 V 2 = Z 2 I 2 (8.3) Inngangsimpedansen på primærsiden med last på sekundærsiden blir Z 1 = V 1 I 1 (8.4) Dette gir en enkel matematisk modell for en transformator når det er tilstrekkelig å bare ta hensyn til kobbertapene. Det er ofte tilfelle når transformatoren belastes maksimalt. Da vil kobbertapene være mye større enn jerntapene. Et ekvivalent skjema for transformatoren er vist i figuren under. V 1 V c R 1 n 2 R 2 nm nv n 2 2 Z2 Alle verdiene på sekundærsiden er transformert over til primærsiden Spredningstap Når det går strøm gjennom primærviklinga blir det en magntisk fluks i jernet. Jernet har en høy relativ permeabilitet som gir en god magnetisk ledningsevne. Størstedelen av fluksen ledes i jernet og vil indusere spenning i sekundærviklinga. For en praktisk transformator vil en del av primærfluksen gå utenfor sekundærviklinga. Denne delen kalles den primære spredefluksen og betegnes med φ 1 i figuren på side (110). Spenningen som genereres påsekundærsidendriver en strøm i 2 gjennom lasten. Denne strømmen setter opp fluksen φ 22.

115 8.7. TAP I TRANSFORMATORER 115 Fluksen φ 12 er den delen av φ 12 som går gjennom primærviklinga. Fluksen φ 2 er den delen av fluksenφ 22 som ikke går gjennomprimærviklinga. Den kalles den sekundære spredefluksen. Spredefluksen er direkte relatert til koblingsfaktoren k i forbindelse med definisjon av gjensidig induktivitet. M = k L 1 L 2 H Den maksimale koblingen har vi når k = 1.0. Da er M m = L 1 L 2 H Derfor er M = km m (H). På tilsvarende måte som at k er en koblingsfaktor kan vi definere en spredefaktor σ ved σm m = M m M = M m km m = M m (1k) σ = 1k Data for transformatorblikk B m = 1.5 (T) Type t (mm) P j (W/kg) M M M M Virvelstrømtap Figuren under viser en ringkjerne med luftspalt. På kjerna er det viklet et bestemt antall vindinger som er tilkoblet spenningskilden V s. Med spredefaktoren σ kan vi definere en spredeinduktivitet på primærsiden ved å multiplisere spredefaktoren med primærinduktiviteten og får σl 1. På tilsvarende måte kan vi definere en spredeinduktivitet på sekundærsiden ved σl 2. Figuren under viser et ekvivalent skjema for en transformator med spredefluks R i 1 σl 1 σl R 1 M 2 2 i 2 v ω v Jerntap Z 2 Det er montert en kobberskive som kan bevege seg i luftspalten. Nå antar vi at kobberskiva er i ro og at spenningskilden er v = V cos(2πft) Mindre transformatorer lages normalt med silisium legert jernblikk. Mye brukt er en legering med 96.9 % jern og 3.1 % silisium. Rent kaldvalset jern har gode magnetiske egenskaper, men det har en høy elektrisk ledningsevne. Det fører til virvelstrømtap. Derfor tilsettes silisium. Da beholder en de gode magnetiske egenskapene, men ledningseven går ned. Det gir mindre virvelstrømstap. Vivelger enlavfrekvens,f.eks.f = 100 Hz.Etter en stund kan vi merke at kobberskiva blir varm i området av luftspalten. Den varierende magnetiske fluksen induserer spenninger i kobberskiva som skaper små ringstrømmer. Disse strømmene kalles virvelstrømmer. En virvelstrøm i et materiale med en resistans fører til en omsatt effekt som blir til varme. Dette er virvelstrømtap. Nå

116 116 KAPITTEL 8. INDUKTIVE KOMPONENTER øker vi frekvensen til f.eks. f = 1000 Hz og gjentar forsøket. Nå blir skiva varmere. Det betyr at virvelstrømtapene øker med frekvensen. Anta at spenningskilden endres til en likespenning V og at skiva roterer med vinkelhastigheten ω rad/s. Først setter vispenningenv = 0. Vi antar at kobberskiva er festet i lagre med ekstremt liten friksjon. Setter vi skiva i bevegelse vil den rotere lett i lang tid før den stopper. Nå setter vi skiva i bevegelse mens spenningen V = 0. Mens skiva roterer setter vi spenningen til en verdi V > 0. Da stopper skiva nesten momentant. Den magnetiske fluksen induserer virvelstrømmer i skiva. Disse strømmene har en retning, slik at Lorenzkraften som virker på ladningene som utgjør strømmen bremser skiva. Denne kraften må overvinnes med et dreiemoment hvis hastigheten skal oppretholdes. Dette er en magnetisk brems. Nå erstatter vi kobberskiva med en silisiumskive. En skive av rent silisium har liten elektrisk ledningsevne. Denne skiva blir ikke varm og den stoppes ikke av en varierende magnetisk fluks. Den høye rsistansen i intrinsik silisium hindrer at det oppstår virvelstrømmer. Da blir det heller ikke virvelstrømtap Virvelstrømmer i en transformatorkjerne Når det går en magnetisk fluks i en transformatorkjerne oppstår det virvelstrømmer med samme begrunnelse som den som er beskrevet. For å redusere virvelstrømmene pakker en kjerna av tynne blikk som har et isolerende skikt. Dette er vist i figuren under. Den øverste figuren viser en kompakt kjerne med en ringstrøm. I dette tilfellet går strømmen i et materiale med en forholdsvis god elektrisk ledningsevne. Figuren under viser en laminert kjerne. Her er det vist en avstand mellom blikkene for å redusere den elektriske ledningsevnen. En forsøker å holde denne avstanden minst mulig og fremskaffe redusert ledningsevne ved at blikkene har et isolerende skikt på overflaten. Laminering med isolerende blikk fører til en redusert fyllfaktor η. For en kompakt kjerne er η = 1. Med laminering blir η < 1. Det fører til at ikke hele kjernas volum inneholder jern. Den finnes en empirisk formel som kan brukes for å beregne virvelstrømtap. P v = 895 f 2 B 2 m t2 W/kg Figuren på side 121 viser virvelstrømtap i transformatorblikk av den typen som er vist i tabellen på side 115. Figuren viser tapene som funksjon av maksimal induksjon B m med blikktykkelsen t som parameter. Det er grunn til å advare mot en ukritisk bruk av denne formelen. Formelen er rent empirisk og har derfor et begrenset gyldighetsområde. I tillegg er det også slik at alle empiriske formler gir bare tilnærmede verdier Hysteresetap Elektronene i et atom går i baner rundt kjerna. I tillegg har elektronet et spinn rundt sin egen akse. Det er denne sammensatte bevegelsen som er årsaken til magnetisme. Ferromagnetisk materiale har en struktur med magnetiske domener. Innen én domene bidrar alle atomene med magnetisme i samme retning. Én domene blir karakterisert med en magnetiseringsvektor M, se side 103. Den vektorielle summen av disse magnetiseringsvektorene fra et makroskopisk volum av materialet er lik null. Et bløtt ferromagnetisk materiale lar seg magnetisere. De magnetiske domenene innretter sin magnetisering i samme retning som et ytre magnetfelt. Denne magnetiseringen følger hysteresekurva, som vist på side 103. Det viser seg at denne

117 8.8. EKVIVALENT SKJEMA 117 prosessen er forbundet med tap. Det kalles hysteresetap. Det finnes en empirisk formel for å beregne hysteresetapene. Den er vist under. nm = kl 1 :Detteerdeninduktivitetensombidrar til magnetisk fluks i jernet når transformatoren er i tomgang. P h = f B 1.5 m W/kg Figuren på side 121 viser hysteresetapene som funksjon av den maksimale induksjonen B m, med frekvensen som parameter. Det er viktig å vite at vanlig transformatorblikk ikke er egnet ved høye frekvenser Totale jerntap De totale jerntapene er summen av virvelstrømtapeneer en viktig parameter og den er sterkt ulineær. I og hysteresetapene. Figuren på side 122 viser de totale jerntapene i transformatorblikk av den typen som vist i tabellen på side 115. P j = P v P h. 8.8 Ekvivalent skjema Figuren under viser et ekvivalentskjema for en transformator. Det er et rent elektrisk skjema som ikke har med at en transformator gir et galvanisk skille mellom primær og sekundærside. Sekundærparametrene er transformert over til primærsiden med omsetningsforholdet n. V 1 R σl 1 n 2 1 σl 2 n 2 R 2 R c V c nm Figur 8.11: asdada R 1 n 2 R 2 :Detteerdentotaleresistanseniviklingene, sett fra primærsiden. Effektomsetningen i disse resistansene er lik kobbertapene i transformatoren. σl 1 n 2 σl 2 : Dette er den totale spredningsinduktiviteten sett fra primærsiden. V 2 R c : Denne resistansen modellerer de totale jerntapene. P j = V c 2 = R c = V c 2 R c Eksempel 8.1 (Ringkjernetransformator) En transformator er en ulineær komponent. Det er en ulineær sammenheng mellom magnetisk feltstyrke H og induksjon B. Den relative permeabiliteten µ 0 tillegg kommer at transformatoren blir varm når den belastes. Da endres flere parametre som har betydning for transformatorens ytelse. Til tross for dette er det mulig å utføre beregninger som gir nyttige data for transformatoren. I dette eksemplet brukes en ringkjernetransformator fra Noratel på Hamar. Transformatoren har typebetegnelsen Type: Transformatoren er beregnet for V 1 = 230 V primærspenning og det er 2 sekundærviklinger beregnet til V 2 = 12 V hver. Transformatoren er beregnet til å levere inntil S = 30 VA på sekundærsiden. Den er laget med jernblikk av typen M5, se tabellen på side 115. Når transformatoren ikke belastes er strømmen i primærviklin ga I 0 = 3.0 ma. Ringkjernetransformatorer har en god fyllfaktor. For denne transformatoren setter en η = Alle transformatorer har spredningstap, men i dette tilfelle er det så lite at det kan utelates i beregningene. Det opplyses fra produsenten at på primærsiden er det N 1 = 2587 tørn. Lengden på kobbertråden er l 1 = m og diameteren er d 1 = 0.3 mm. På sekundærsiden er det N 2 = 165 tørn. Lengden av kobbertråden er l 2 = 20.2 m og diameteren er d 2 = 0.56 mm. Den spesifikke resistansen for kobber finnes på side 27. Med dette er det enkelt å beregne resistansene R 1 = Ω Spenningen V c over viklinga blir P j R 2 = Ω V c = V 1 R 1 I 0 = V

118 118 KAPITTEL 8. INDUKTIVE KOMPONENTER Figuren under viser dimensjonene på kjerna. 60 (mm) 40 (mm) 25 (mm) Fasevinkelen er φ = arctan(i φ /I c ) = Dette er vist i figuren under. Im I c Re φ Vi setter massetetheten for jern til 7.8. Med en fyllfaktor η = 0.97 blir kjernas effektive masse m j = kg. Kjernas tversnitt er S = 2.5 cm 2. Med det kan vi beregne den maksimale induksjonen B m. 2Vc B m = ωn 1 S = 1.6 T De totale jerntapene når transformatoren ikke belastes blir P j = P v P h = W/kg Tapene for denne aktuelle transformatoren med den effektive massen blir P t = P j m j = W Nå kan vi beregne R c ut fra at R c = V c 2 = 164 kω P t Strømmen som går fra primærkilden når transformatoren ikke belastes består av to komponenter. Den ene er reell og skyldes jerntapene. Den betegnes med I c. Den blir I c = V c R c = 1.4 ma Den andre er magnetiseringstrømmen i primærviklinga. Den betegnes med I φ. Den blir I φ = I0 2 I2 c = 2.65 ma I φ Primærinduktiviteten blir I 0 L 1 = V c 2πfI φ = 276 H Vi beregner den relative permeabiliteten for jernblikket. Den midlere lengden for en feltlinje i jernet blir l j = 5 π = cm. Den maksimale feltstyrken i kjerna blir H m = 2 Iφ N 1 l j Omsetningsforholdet er = A/m µ r = B m µ 0 H m = n = N 1 N 2 = Med L 1 og omsetningsforholdet kan vi beregne verdien av L 2 L 2 = L 1 n 2 = H Et ekvivalentskjema for transformatoren er vist i figuren under.

119 8.9. INDUKTANSEN TIL EN RETT LEDER 119 V c 8.9 Induktansen til en rett leder V 1 R 1 n 2 R 2 R nv n 2 c L 1 2 Rl Beregningene som er utført så langt er gjort uten belastning på sekundærsiden. Når transformatoren belastes vil tapene føre til at resistansene i kobberviklingene øker. Da vil virkningsgraden reduseres. Anta at temperaturen øker med 40 C. Temperaturkoeffisisenten for kobber finnes i tabellen på side 27. De nye motstandsverdiene blir R 1 = Ω R 1 = Ω Vi beregner spenningen V 2 med ligning (8.3). En ser bort fra spredningstapene ved å sette koblingsfaktoren k = 1.0. En setter Z 2 = (9 0 ) Ω og V 1 = (325 0 ) V Når en i praktisk elektrisitetslære bruker en leder, tror en at den representerer en kortslutning for slektriske strømmer. Det er ikke riktig ved høye frekvenser. Det er to ulike forhold som en må ta hensyn til. En leder har en induktans som kan representere en betydelig reaktans ved høye frekvenser. Ved høye frekvenser er det bare overfaten av lederen som bidrar med ladningstransport. Det betyr at det effektive arealet som bidrar med ladningstransport blir sterkt redusert. Dette kalles skineffekt. Det er utviklet en formel for å beregne induktansen til en rett leder med lengde l m og diameter d m. Se referansene [1, side 10] og [16, side 48] L = 0.2 l ln ( ) 4 l d 0.75 µh (8.5) V 2 = Resultatet er jωmz 2 R 1 R 2 jω[l 1(R 2 Z 2)L 2 R 1 ]V 1 V 2 = ( ) V V 2 = 12 V S = 16 VA Beregner strømmen I 1 med ligning (8.2) og impedansen Z 1 I 1 = ( ) A Z 1 = V 1 I 1 = ( ) Ω Hver sekundærvikling kan levere 16 VA når sekundærspenningen er 12 V. Det betyr at transformatorens ytelse møter spesifikasjonene med gode marginer. Til tross for de små dimensjonene på kjerna kan transformatoren levere S = 32 VA. Det er fordi jernblikket har en ekstremt høy kvalitet.

120 120 KAPITTEL 8. INDUKTIVE KOMPONENTER L (nh) 100 L (mh) (m) k (m) 10k Figur 8.12: Figuren viser induktansen til en rett leder som funksjon av lederens legde, med to forslkellige diametre. Den heltrukne kurven er en leder med diameter d = 1 mm. Den stiplete kurven er en leder med diameter d = 10 mm. Lengden er fra 10 mm til 10 m. Figur 8.13: Figuren viser induktansen til en rett leder som funksjon av lederens legde, med to forslkellige diametre. Den heltrukne kurven er en leder med diameter d = 1 mm. Den stiplete kurven er en leder med diameter d = 10 mm. Lengden er fra 10 m til 10 km.

121 8.9. INDUKTANSEN TIL EN RETT LEDER t=0.3 f=70 (Hz) t= f=60 (Hz) f=50 (Hz) Pv (W/kg) 0.3 t=0.23 Ph (W/kg) f=40 (Hz) f=30 (Hz) t= Bm (T) Bm (T) Figur 8.14: Virvelstrømtap: P v Figur 8.15: Hysteresetap: P h

122 122 KAPITTEL 8. INDUKTIVE KOMPONENTER t=0.3 t=0.27 t=0.23 Oppgave (8.2) Enspole medl = 100 mh påtrykkes vekselspenningen v = 100 sin(10000π t) 1: Beregn spenningens effektivverdi V. 2: Beregn frekvensen f Pj (W/kg) t=0.18 3: Beregn periodetiden T. 4: Hvor stor er den induktive reaktansen X L ved frekvens f? 5: Hvor stor er strømmen i gjennom spolen? 6: Hvor mye energi er det lagret i magnetfeltet rundt spolen når strømmen har sin maksimale positive eller negative verdi? 7: Tegn et vektordiagram for spenningen v og strømmen i. Velg den påtrykte spenningen som referanse Bm (T) Figur 8.16: Totale jerntap: P j = P v P h Oppgave (8.3) Denne oppgaven behandler en magnetisk kobling mellom to spoler slik som vist i figuren på side 110. Parametrene er L 1 = 100 mh 8.10 Oppgaver Oppgave (8.1) To spoler L 1 = 2 mh og L 2 = 8 mh er koblet i serie. Strømmen I = 10 ma går gjennom spolene. 1: Hvor stor er den totale induktansen av seriekoblingen? 2: Hvor mye energi lagres det i magnetfeltet rundt L 1? 3: Hvor mye energi lagres det i magnetfeltet rundt L 2? L 2 = 500 mh N 1 = 25 N 2 = 100 k = 0.4 1: Beregn den gjensidige induktiviteten mellom L 1 og L 2. 2: Beregn spenningenv 1 nårfluksenφ 11 endrer seg med 500 (mwb/s). 3: Beregn den induserte spenningen v 2 for den samme fluksendringen. 4: Beregn v 1 og v 2 når strømmen i 1 endrer seg 0.1 A/ms.

123 8.11. FASIT 123 Oppgave (8.4) Denne oppgaven behandler en transformator som vist på side 112. Parametrene er V 1 = 230 V f = 50 Hz N 1 = 1000 V 2 = 920 V S = 10 3 m 2 1: Beregn den maksimale fluksen φ m i kjerna. 2: BeregndenmaksimaleinduksjonenB m ikjerna. 3: Beregn omsetningsforholdet n. 4: Beregn N 2. Oppgave (8.5) Denne oppgaven behandler en transformator som vist på side 112. Parametrene er N 1 = 100 N 2 = 50 R l = 10 kω I 2 = 10 ma 1: Beregn primærstrømmen I 1. 2: Beregn spenningen V 1. V 1 V 2 Figur 8.17: Symbol for en transformator med jernkjerne. 1: Hva symboliserer magnetiske feltlinjer? 2: Hva er magnetisk reluktans? 3: Hva er magnetisk induksjon? 4: Forklar det fysikalske prinsippet for en transformator. 5: Hvorfor kan en transformator transformere spenning? 6: Hvorfor kan en transformator transformere strøm? 7: Hvorfor er tilgjengelig effekt til en last på sekundærsiden alltid mindre en tilført effekt på primærsiden? 8: Forklar innholdet i Faraday s induksjonslov Fasit Oppgave (8.1) 3: Beregn impedansen. Z 1 = V 1 I 1 W 1 = 1 Oppgave (8.6) 2 L 1I 2 = 0.1 µws Figur 8.17 viser symbolet for en transformator. 3: Kjerna består av jernblikk som har en god W 2 = 1 2 L 2I 2 = 0.4 Ws magnetisk ledningsevne. Primærspenningen er V 1 ogsekundærspenningenerv 2.Antalltørnpåprimærsiden er N 1 mens antall tørn på sekundærsiden er Oppgave (8.2) N 2. 1: 2: L = L 1 L 1 = 10 mh

124 124 KAPITTEL 8. INDUKTIVE KOMPONENTER 1: 2: 3: 4: 5: V = = V f = 10000π 2π = 5000 Hz T = 1/f = 200 s X l = ωl = Ω v i = jx l = j31.831sin(10000π t) ma 6: Strrømmens amplitudeverdi er (mA). Energien i magnetfeltet med denne strømmen blir W = 1 2 LI2 = µws 7: Figur 8.18 viser spenning og strøm som visere.strømmenispolenligger90 etterpåtrykt spenning i fase. 3: 4: v 2 = N 2 dφ 21 dt Oppgave (8.4) 1: 2: 3: 4: φ m = = N 2 k dφ 11 dt v 1 = L 1 di 1 dt = 10.0 V v 2 = M di 1 dt = V = 20.0 V 2V1 ωn 1 = mwb B m = φ m S = T n = V 1 V 2 = 0.25 N 2 = N 1 /0.25 = 4000 V s Oppgave (8.5) 1: Omsetningsforholdet er I Figur 8.18: Spenning og strøm som visere. Oppgave (8.3) 1: M = k L 1 L 2 = mh 2: Primærstrømmen blir n = N 1 N 2 = 2 I 1 = I 2 /n = 5 ma V 2 = R l I 2 = 100 V V 1 = n V 2 = 200 V 2: v 1 = N 1 dφ 11 dt = = 12.5 V 3: Z 1 = n 2 R l = V 1 I 1 = 40 kω

125 8.11. FASIT 125 Oppgave (8.6) 1. Magnetiske feltlinjer symboliserer kraftvirkningen på en elementærmagnet som bringes inn i feltet. Tangenten til en feltlinje i et punkt er retningen til feltet i dettte punktet. Tettheten av feltlinjer symboliserer intensiteten i feltet. Magnetisk fluks har symbolet φ og måles i Weber. 2. Magnetisk reluktans er en motstand mot at et magnetisk felt skal oppstå i et materiale. Reluktansen er proprosjonal med lengden av den lukkede magnetisk kretsen. Den er omvendt proporsjonal med arealet S av den magnetiske kretsen og permeabilitetetn µ. R = l µs 3. En magnetomotorisk kraft induserer en magnetisk fluks. Flukstetheten 4. En elektrisk strøm genererer et magnetisk felt. En varierende strøm genererer et varierende magnetisk felt. Når det går en vekselstrøm gjennom primærviklinga på en transformator genereres det en magnetisk fluks i kjerna med samme variasjon som primærstrømmen. Jernkjerna har vanligvis en høy permeabilitet og dermed en god magnetisk ledningsevne. Mesteparten av den genererte magnetiske fluksen vil kortsluttes av kjerna og går derfor gjennom sekundærviklinga. Ifølge Faraday s induksjonslov vil det induseres en spenning i sekundærviklinga som er proporsjonal med antall viklinger på sekundærsiden V 2 = N 2 dφ dt Den induserte sekundærspenningen er proporsjonal med antall vindinger i sekundærspolen og den tidsderiverte av den magnetiske fluksen. 5. DenindusertesekundærspenningenV 2 erproporsjonal med tørntallet N 2 ifølge Faraday s induksjonslov. Hvis N 1 = N 2 er V 1 = V 2. Hvis N 1 < N 2 er V 1 < V 2. Hvis N 1 > N 2 er V 1 > V 2. Derfor kan en bruke omsetningsforholdet n = N 1 N 2 til å transformere sekundærspenningen opp eller ned iforhold til primærspenningen. 6. Vi antar en transformator med så små tap at den kan betraktes som ideell. Da er den tilgjengelige effekten til en last på sekundærsiden lik den tilførte effekten på primærsiden. Vi antar at sekundærsiden belastes medresistansenr 2.Detgir enprimærstrøm I 1 og en sekundærstrøm I 2. Effektene på begge sider er like V 1 I 1 = V 2 I 2 B = φ/s kalles den magnetiske induksjonen. V 1 V 2 = I 2 I 1 = N 1 N 2 = n I 2 = I 1 n Forholdet mellom primærstrøm og sekundærstrøm kan endres med omsetningsforholdet n. Dette gir en transformasjon av strøm. 7. Den tilgjengelige effekten på sekundærsiden er alltid mindre enn den tilførte effekten på primærsiden for en virkelig transformator på grunn av tap. De viktigste tapene er Kobbertap. Det er vanlig at primærviklinga og sekundærviklinga vikles med kobbertråd. Vanlig kobbertråd er en god leder, men har en liten resistans som gir et effekttap Transformatoren er viklet på en kjerne av et bløtt magnetisk materiale. Materialet har en høy permeabilitet som gir en god magnetisk ledningsevne. Materialet har en magnetisk hysterese som

126 126 KAPITTEL 8. INDUKTIVE KOMPONENTER fører til et effekttap. Dette kalles transformatorens hysteresetap. Den magnetiske kjerna kan være av et materiale med en forholdsvis god elektrisk ledningsevne. Det magnetiske feltet som oppstår vil indusere lokale strømmer i kjerna. Disse strømmene sammen med resistiviteten i kjerna fører til et effekttap som kalles transformatorens hvirvelstrømstap. Til tross for at transformatoren har en kjerne med god magnetisk ledningsevne vil ikke all fluksen som genererers av primærviklingen overføres til sekundærviklingen. Noe av fluksen opptrer som en spredefluks som fører til at koblingsfaktoren mellom primærside og sekundærside blir mindre enn 1. Dette kalles spredningstap. 8. Vi antar en spole med N tørn som befinner seg i et varierende magnetisk felt. Faraday s induksjonslov sier at den induserte spenningen i spolen er proporsjonal med antall tørn og den tidsderiverte av den magnetiske fluksen. v i = N dφ dt Minustegnet i denne ligninga kommer fra Lenz lov. Den induserte spenningen har en retning som forsøker å motvirke det feltet som har indusert spenningen.

127 Kapittel 9 Kondensatorer 9.1 Kondensator og kapasitans En kondensator er en passiv komponent. Den kan lagre energi i et elektriske felt mellom to ledende materialer, adskilt med et ikkeledende dielektrisk materiale. Det elektriske feltet oppstår ved et overskudd av positive ladninger på den ene delen av kondensatoren og et like stort overskudd av negative ladninger på den andre. Figur 9.1 viser to plater a og b med tilledninger. Mellom platene er det et isolerende materiale, et dielektrikum. Det er karakterisert ved sin relative dielektrisitetskonstant ε r. Når en plate har like mange positive som negative ladninger er den elektrisk nøytrale. Da er spenningen og det elektriske feltet mellom platene lik null. Når kondensatoren tilkobles spenningen V s gjennom en resistans R vil det gå negative ladninger fra plate a til plusspolen på spenningskilden samtidig som det går negative ladninger fra minuspolen til plate b. Plate a får et overskudd av positive ladninger og plate b får et overskudd av negative ladninger. Det oppstår en spenning mellom platene og et elektrisk felt i det dielektriske materialet. Denne ladningstransporten fortsetter inntil spenningen over kondensatoren er V s. En endring av ladningen på platene fører til en endring av spenningen mellom de. Mengden av ladninger en kondensator kan lagre per volt spenning er definert som kondensatorens kapasitans. Den måles i farad med symbolet F. C = Q V F 1Ferkapasitansen til enkondensator somhar spenningen 1 V når ladningsmengden er 1 C. 1 F er en stor enhet. Derfor bruker en prefiksene µf = 10 6 F, nanofarad, nf = 10 9 F og picofarad, pf = F. a b ε r R V s a b Figur 9.1: Prinsippet for en platekondensator. To ledende plater et et dielektrikum mellom. 9.2 Kondensator med luft Prinsippet for en platekondensator er vist i figur 9.2. Den lages av to elektrisk ledende plater med ɛ r S Figur 9.2: Prinsippet for en platekondensator. To plater med areal S i en avstand d adskilt med et dielektrisk materiale. areal S (m 2 ). Platene er adskilt med et isolerende dielektrikum. Med luft mellom platene er kapa- d E 127

128 128 KAPITTEL 9. KONDENSATORER sitansen proporsjonal med arealet S og omvendt proporsjonal med avstanden d(m) mellom platene C = ε 0 S d (F) Proporsjonalitetsfaktoren ε 0 kalles tomromspermitiviteten. Verdien av ε 0 finnes i tabell 2.4 på side 18. påvirkes av det elektriske feltet ved at de strekkes mot platene. Elektronene strekkes mot den positive plata og elektronene mot den negative. Det oppstår en polarisasjon i form av et indusert elektrisk felt E i i materialet. Retningen av E i er motsatt retningen av det feltet som skapes av spenningskilden V s. Dette er vist i figuren under. 9.3 Kondensator med dielektrikum En bruker et dielektrisk materiale mellom platene på en kondensator for å øke kapasitansen. Materialet er en isolator med dielektriske egenskaper. Et materiale som får et indusert elektrisk felt når det plasseres i et elektrisk felt. Her beskrives en enkel modell for de dielektriske egenskapene til et materiale. Et dielektrikum er en isolator, bygd opp av atomer og molekyler. Et atom består av en positiv sentral kjerne med ett eller flere negative elektroner i bane rundt kjerna. Se figur 9.3 til vesntre. V s E V s Figur 9.4: Polariseringen av atomene i dielektrikumet fører til et indusert elektrisk felt E i. Feltet E i kalles elektrisering. Graden av elektrisering er avhengig av hvilket materiale som brukes. Det totale feltet i dielektrikumet reduseres med faktoren ε r i forhold til feltet med bare luft. ε r kalles den relative dielektrisitetskonstanten for dielektrikumet. Sammenhengen mellom disse størrelsene er gitt ved E E i = E ε r E i E i = E εr 1 ε r = E χ ε r Figur 9.3: Til vesntre i figuren er et enkelt atom med en positiv kjerne og et elektron. I dielektrikumet mellom platene er atomene fast bundet i en krystallstruktur. Det elektriske feltet fra spenningen V s gir en polarisering av atomene i dielektrikumet. Det fører til et indusert felt E i. Til høyre er en platekondensator med et dielektrikum. Spenningen V s gir et elektrisk felt E mellom platene. Atomene i materialet påvirkes av feltet. Siden det er en isolator er alle elektronene bundet i krystallstrukturen og har ingen mobilitet. De negative elektronene og de positive kjernene der χ kalles den elektriske susceptibiliteten til dielektrikumet. Relasjonen mellom ε r og χ blir ε r = 1χ Tenk en kondensator ladet til spenningen V med luft mellom platene. Et dielektrisk materiale føres inn mellom platene. Materialet har en relativ dielektrisitetskonstant lik ε r. Den elektriske feltstyrken mellom platene reduseres til E/εr. Da rsynker spenningen mellom platene til V/ε r. En må øke ladningsmengden på platene fra Q til Q ε r for å få tilbake spenningen V mellom platene. Men

129 9.5. PARALLELLKOBLING AV KONDENSATORER 129 det betyr at kapasitansen har økt med faktoren ε r. Med det blir den generelle formelen for kapasitans lik C = ε 0 ε r S d = εs d F 9.5 Parallellkobling av kondensatorer Figuren under viser parallellkoblingen av tre kondensatorer. ε = ε 0 ε r kalles den absolutte permitiviteten. V s C 1 C 2 C Seriekobling av kondensatorer Figur 9.5viser seriekobling av tre kondensatorer med spenningskilden V s. Figur 9.6: Parallelkobling av en spenningskilde og tre kondesatorer. DensammespenningenV s ligger over allekondensatorene. Q = Q 1 Q 2 Q 3 C 1 V 1 C t V s = C 1 V s C 2 V s C 3 V s Når V s forkortes blir resultatet V s C 2 V 2 C t = C 1 C 2 C 3 C 3 V 3 Resonementet kan utvides til n kondensatorer i parallell C t = C 1 C 2 C n Figur 9.5: Spenningskilde over tre kondensatorer. Den samme ladningsmengden Q går gjennom alle kondensatorene. Den resulterende kapasitansen er C t. Spenningen V s fordeler seg over de tre kapasitansene i forhold til deres verdier V s = V 1 V 2 V 3 = Q C t = Q C 1 Q C 2 Q C 3 Når Q forkortes blir resultatet 1 C t = 1 C 1 1 C 2 1 C 3 Resonementet kan utvides til n kondensatorer i serie. 1 = C t C 1 C 2 C n 9.6 Kondensator i vekselstrømkretser En kondensator har spesielle egenskaper når den brukes i en vekselstrømkrets. I definisjonsligninga for kapasitet C = Q V er ladningen Q og spenningen V konstante. Med en vekselspenning v over kondensatoren vil ladningstransporten og dermed strømmen til og fra kondensatorplatene variere på samme måte som spenningen v. Ut fra definisjonen av kapasitans kan en skrive q = C v Kondensatoren er en lineær komponent. Ladningstransporten q endre seg på samme måte som spenningen v. Med definisjonen av elektrisk strøm finner

130 130 KAPITTEL 9. KONDENSATORER en et uttrykk for strømmen i kondensatoren som funksjon av den påtrykte spenningen v. Elektrisk strøm er definert som ladningstransport per tidsenhet. i = C dv (9.1) dt Ligning(9.1) er en beskrivelse i tidsdomene. Strømmen er proporsjonal med den deriverte av spenningen. Strøm og spenning kan skrives med basisen for komplekse signaler i = I m e jωt = Ie jωt v = V m e jωt = Ve jωt Hvert enkelt ledd i tidsdomene kan erstattes med en tilsvarende kompleks amplitude i I v V Dette innsatt i ligning (9.1) gir I = jωc V dv dt Det gir Ohm s lov for en kondensator. I = jωc V I V = jωc V = jx C I X C = 1 ωc jωv kalles den kapasitive reaktansen. Den måles i ohm med symbolet Ω. Den kapasitive impedansen er Z C = 1 jωc = jx C Den måles i ohm med symbolet Ω. For en kondensator ligger strømmen 90 foran spenningen i fase. Dette er vist i figur 9.7. Im I V Re Figur 9.7: Viserdiagram for spenning og strøm i en kondensator. Strømmen ligger 90 foran den påtrykte spenningen i fase. 9.7 Energi i en kondensator En kondensator har evnen til å lagre elektrisk energi. Når kondensatoren lades opp øker mengden av positive ladninger på den ene plata og like mange negative ladninger på den andre. Da øker det elektriske feltet i dielektrikument. Energien som tilføres kondensatoren lagres i dette feltet. En kondensator har ladningene q og q som fører til spenningen v mellom platene. Hvis spenningskilden skal øke ladningsmengden med dq må den levere energien dw = v dq = Cvdv Hvis kondensatoren lades fra v = 0 til v = V må kilden levere energien W = C V 9.8 Oppgaver 0 Oppgave (9.1) vdv = 1 2 CV 2 = Q2 2C Ws En kondensator C = 200 µf lades til spenningen V m = 1000 V. 1: Hvor mye energi lagres det i kondensatoren?

131 9.9. FASIT 131 2: Hvor høyt må du løfte en masse på 1 kg for å øke massens potensielle energi like mye som energien i kondensatoren når den er ladet til 1000 V? 9.9 Fasit Oppgave (9.1) Oppgave (9.2) To kondensatorer C 1 = 2 µf og C 2 = 8 µf er koblet i serie. 1: Hvor stor er den totale kapasitansen C til seriekoblingen? 2: Spenningen V = 10 V legges over seriekoblingen. Hvor stor er den totale ladningsmengden Q som tilføres kapasitansene? 1: 2: Oppgave (9.2) W = 1 2 CV 2 m = 100 Ws h = W F = W m g = m 3: Hvor mye energi tilføres kapasitansene fra kilden? 4: Hvor stor blir spenningen V 1 over kondensatoren C 1? 5: Hvor stor blir spenningen V 2 over kondensatoren C 2? 6: Hvor mye energi W 1 lagres i C 1? 7: Hvor mye energi W 2 lagres i C 2? 1: 2: 3: C = C 1 C 2 C 1 C 3 = 1.6 µ F Q = C V = 16 µc W = 1 2 CV 2 = 80 µws Oppgave (9.3) To kondensatorer C 1 = 2 µf og C 2 = 8 µf er koblet i parallell. 1: Hvor stor er den totale kapasitansen C til parallellkoblinga? 2: Spenningen V = 10 V legges over parallelkoblinga. Hvor stor er den totale ladningsmengden Q som tilføres kapasitansene? 3: Hvor mye energi tilføres kapasitansene fra kilden? 4: Hvor stor blir ladningsmengden Q 1 på C 1? 5: Hvor stor blir ladningsmengden Q 2 på C 2? 6: Hvor mye energi W 1 lagres i C 1? 7: Hvor mye energi W 2 lagres i C 2? 4: Den samme ladningen Q går gjennom begge kapasitansene. Det gir Q = C 1 V 1 V 1 = Q C 1 = 8 V 5: Den samme ladningen Q går gjennom begge kapasitansene. Det gir 6: 7: Q = C 2 V 2 V 2 = Q C 2 = 2 V W 1 = 1 2 C 1V 2 1 W 2 = 1 2 C 2V 2 2 = 64 µws = 16 µws

132 132 KAPITTEL 9. KONDENSATORER Oppgave (9.3) 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: C = C 1 C 2 = 10 µf Q = V C = 100 µc W = 1 2 CV 2 = 500 µws Q 1 = VC 1 = 20 µc Q 2 = VC 2 = 80 µc W 1 = 1 2 C 1V 2 = 100 µws W 2 = 1 2 C 2V 2 = 400 µws

133 Kapittel 10 RC kretser 10.1 Serie RC krets Figur 10.1 viser seriekoblingen av en motstand og en kondensator. Det er en reell komponent i serie med en rent imaginær komponent. Resultatet er en kompleks impedans Z. V s Figur 10.1: Seriekobling av en motstand og en kondensator Den komplekse impedansen Impedansen til seriekoblinga er summen av resistansen og den kapasitive impedansen. I Z = RjX C Ω Z, R og X C måles i ohm. R er den resistive delen av Z. X C er den reaktive delen av Z. Z er kompleks med en modul og et argument. Modulen til Z er Z = R 2 XC 2 Ω Argumentet til Z kalles fasen. ( ) XC φ = arctan R R C rad Den komplekse admitansen Inversverdien til Z blir Y = 1 RjX C = GjB S Y kalles den komplekse admittansen. G er konduktansenogb ersusceptansen.y,gogb måles i siemens med symbolet S. Y = G 2 B 2 ermodulen til Y Argumentet til Y er ( ) B φ = arctan G Det kalles fasevinkelen til Y og måles i radianer. Eksempel 10.1 En skal beregne et eksempel med kretsen i figur Komponentverdiene er v s = V m cos(ωt) V s = V m 0 V V m = 1.0 V f = 1000 Hz R = 1000 Ω C = 100 nf En skal beregne Vinkelfrekvensen ω. Den kapasitive reaktansen X C. Kretsens totale impedans Z. Strømmen I i seriekretsen. 133

134 134 KAPITTEL 10. RC KRETSER Spenningen V R over resistansen R. Spenningen V C over kapasitansen C. Vis spenningene v s, v R og v C i tidsdomene. Vis de komplekse amplitudene V s, V R og V C som visere i frekvensdomene. 1.0 v R v s t ω = 2πf = rad/s v C X C = 1 ωc = Ω Z = 1000j = Ω I = V s = ( j ) 103 Z = ( ma V R = ( j ) 1.0 = V V C = (jx C I) = j = V V R V C V s Figur 10.2: Viserne V s, V R og V C Spenningene v s, v R og v C er vist i figur Parallell RC krets Figur 10.4 viser parallelkoblingen av en motstand og en kondensator. Figur 10.3: De tre spenningene v s, v R og v C V s I Figur 10.4: Parallelkobling av en motstand og en kondensator Strømmen I som leveres av spenningskilden er summen av strømmen i resistansen og strømmen i kapasitansen. X C = 1 ωc I R R I R = V s R C I = I R I C = V s ( 1 R j X C I C I C = j V s ) X C Kretsens totale impedanse er forholdet mellom spenningen V s og strømmen I. Z = V s I = 1 1 R j X C Z = R X C X 2 C R2 (X C jr) Eksempel 10.2 En skal beregne kretsen i figur Komponentverdiene er V s = V f=1000 Hz

135 10.2. PARALLELL RC KRETS 135 R=1000 Ω C=100 nf Vi skal beregne Vinkelfrekvensen ω Den kapasitive reaktansen X C Strømmen I R I C I I R Strømmen I C Den totale strømmen I Kretsens totale impedans Z Fasevinkelen φ 1 mellom V s og I R Figur 10.5: Visere for strømmene I, I R og I C 1.0 i C Fasevinkelen φ 2 mellom V s og I C Fasevinkelen φ 3 mellom V s og I i i R t ω = 2πf = rad/s X C = 1 ωc = Ω I R = V s R = (1.0 0 ) ma I C = j V s X C = j = ( ) ma I = I R I C = (1.0j ) 10 3 = ( ) ma Z = V I = 717j450 = ( ) Ω φ 1 = arg(i R ) = arctan(0/1) = 0.0 φ 2 = arg(i C ) = arctan(0.6283/0) = 90.0 φ 3 = arg(i) = arctan(0.6283/1.0) = Figuren under viser de tre strømmene I, I R og I C fremstilt som visere i det komplekse planet der spenningen V s er referansen. Figur 10.6: De tre strømmene i, i R og i C Eksempel 10.3 I dette eksemplet skal en vise Kirchhoff s lover med visere i det komplekse planet. Figur 10.7 viser en RC-krets. V s R 1 C 1 R 3 I 1 I 2 I3 R 2 C 2 Figur 10.7: Kirchhoff s lover i en RC krets Kretsen har følgende parametre: a V 1 = 10 0 V b R 1 = 1000 Ω R 2 = 2200 Ω

136 136 KAPITTEL 10. RC KRETSER R 3 = 5100 Ω Im X C1 X C2 = 1000 Ω = 4000 Ω I 1 Node b velges som referansenode for alle spenninger. Beregner spenningen V a med Millman s teorem: V a = V s R 1 jx 1 1 R 1 jx C1 1 R 2 1 R 3 jx C2 = 4.437j1.574 = V Im I 3 I 2 Figur 10.8: ele346 Re I 1 = V s V a R 1 jx C1 = 3.568j1.995 = ma I 3 I 1 I 2 I 2 = V a R 2 = 2.017j = ma V a I 3 = R 3 jx C2 = 1.552j1.28 = ma Bruker vi Kirchhoff s strømlov på node a får vi I 1 I 2 I 3 = 0 Figur 10.9 viser de tre strmmene som visere. Det gir en geometrisk fremstilling av Kirchhoff s strømlov. Re Figur 10.9: Strømmene I 1, I 2 og I 3 er vist som visere i det komplekse planet. V C2 = V = ji 1 X C2 = 1.024j1.241 = V V R1 = I 1 R 1 = 3.568j1.995 = V V C1 = ji 1 X C1 = 1.995j3.568 = V V R3 = I 3 R 3 = j2.815

137 10.3. LAVPASSFILTER MED R OG C 137 Im R V R1 V a V s C V s Re Figur 10.12: RC lavpassfilter VC 1 Spenningen V C på utgangen av filteret blir lik strømmeni s multiplisertmeddenkapasitivereaktansen jx C Im Figur 10.10: ele344 1 V C = I s jωc = V 1 s R 1 jωc jωc = V s 1jωRC V a V C1 V s Re Frekvensresponsen ForholdetmellomutganspenningenV C oginngangspenningenv s definererfilteretsfrekvensresponsh(jω). V R1 V C V s = H(jω) Med filteret i figur blir frekvensresponsen Figur 10.11: ele Lavpassfilter med R og C Figuren under viser skjema og aktuelle responser for et RC lavpassfilter. Signalkilden V S leverer en spenning inn til filteret. Spenningen V C over kondensatoren er utgangen av filteret. Vi skal beregne en funksjon som beskriver forholdet mellom utgangen og inngangen av filteret. Kilden V s ser en seriekobling av resistansen R ogdenkapasitivereaktansenx C medimpedansen Z = R 1 jωc Strømmen som leveres fra kilden blir dermed I s = V s Z = V s R 1 jωc H(jω) = Nyquist plot 1 1jωRC For hver verdi av ω evalueres H(jω) til et komplekst tall som en vektor i det komplekse planet. Lengden av vektoren er modulen til tallet og argument er vinkelen som vektoren danner med den reelle aksen. Modulen er tallverdien av frekvensresponsen M(ω) = H(jω) Argumentet er vinkelen som vektoren danner med den reelle aksen. Det gir M(ω) = 1 1(ωRC) 2 φ(ω) = arctan(ωrc)

138 138 KAPITTEL 10. RC KRETSER For hver verdi av ω gir M(ω) lengden av vektoren og φ(ω) gir vinkelen vektoren danner med den reelle aksen. Hvis en plotter endepunktet til denne vektoren for tilstrekkelig mange verdier av ω får vi et Nyquist plot dom vist i figur Figur kalles amplituderesponsen til filteret. M(ω) (db) ω (rad/s) Figur 10.14: Amplituderesponsen M(ω) Figur kalles faseresponsen til filteret φ(ω) Figur 10.13: Figuren viser en parametrisk fremstilling av frekvensresponsen H(jω) med ω som parameter ω (rad/s) Bode plot Istedenfor å fremstille H(jω) som en parametrisert kurve i det komplekse planet kan en fremstille modulen M(ω) og argumentet φ(ω) som to separate kurver som funksjone av frekvensen. Det kalles et Bod plot. I den sammenhengen kalles M(ω) = H(jω) for amplituderesponsen og argumentet φ(ω) = arg(h(jω) kalles faseresponsen. Når ω = 0 er amplituderespensen M(0)=1. Når ω = 1/RC er amplituderespensen M(1/RC) = 1/ 2 Daharresponsenfaltmed3dB.Dennefrekvensen kalles 3 db frekvensen og betegnes med f 0 = 1 2πRC Figur 10.15: Faseresponsen φ(ω) 10.4 Oppladning av kondensator Figur viser en RC krets der en kondensator lades gjennom en motstand fra kilden v s. Spenningen v s er definert ved definert ved v s (t) = i R 1 C { Vs : t > 0 0 : t < 0 t 0 i(τ)dτ = v s

139 10.6. TIDSKONSTANTEN 139 R v C V s v s C 0.37V s Figur 10.16: En kondensator lades fra spenningskilden v s gjennom en motstand. RC t s Løsningen av denne ligninga med gitte grensebetingelser er i = V s R et/rc (10.1) RC får enheten sekunder. Den kalles kretsens tidskonstant. Spenningen over resistansen er v R = V s e t/rc Spenningen over kondensatore er lik ( v C = V s 1e t/rc) Spenningen v C er vist i figur V s 0.63V s v C Figur 10.18: Utladning av en kondensator. Etter tiden t = RC har kondensatoren ladet seg ut til 37% av startverdien V s Tidskonstanten Tidskonstanten er bestemt ved τ = RC. Den har enheten sekunder. Tidskonstanten bestemmer hvor raskt kondensatoren lader seg opp eller ut. Hvis en legger en tangent til grafen for oppdningskurven i punktet t = 0 i figur vil denne krysse verdien for V s når t = RC. I det tidspunktet har kondensatoren ladet seg opp til en verdi som er v C (RC) = V s (11/e) = 0.63V s Dette er vist i figur Tilsvarende kan en gjøre for utladning av en kondensator. En finner at spenningen over kondensatoren har ladet seg ut til verdien 0.37V s etter tiden t = RC. Se figur RC Figur 10.17: Oppladning av kondensator. Etter tiden t = RC har kondensatoren ladet seg opp til 63% av maksimalverdien V s 10.5 Utladning av kondensator t s v C = V s e t/rc (10.2) 10.7 Effekt i vekselstrømkretser Vi skal definere effekt for vekselstrømkretser der spenning og strøm kan ha forskjellig fase. Figuren under viser en elektrisk krets som påtrykkes spenningen V og som resulterer i strømmen I. Vi betrakter det generelle tilfellet da spenning og strøm er representert med sine komplekse amplituder: V = V m φ v (10.3) I = I m φ i (10.4)

140 140 KAPITTEL 10. RC KRETSER V I Den reaktive komponenten av Z dissiperer ingen effekt. Vekselspenningen V s over Z produserer strømmen I = V Z Figur 10.19: Vekselspenningen V sammen med vekselstrømmen I leverer en effekt. som vist i figur I Kompleks effekt En definerer den komplekse effekten S ved V Z S = 0.5 V I der betyr kompleks konjugering. Ved å bruke ligningene (10.3) og (10.4) kan vi skrive den komplekse effekten på formen S = 0.5 V I = 0.5(V m φ v ) (I m φ i ) = 0.5 V m I m (φ v φ i ) = 0.5 V m I m φ (φ = φ v φ i ) = 0.5V m I m [cos(φ)jsin(φ)] = P jq S = P jq P = 0.5V m I m cos(φ) Q = 0.5V m I m sin(φ) S kalles den komplekse effekten. S = P 2 Q 2 kalles den tilsynelatende effekten. P kalles den aktive effekten. Q kalles den reaktive effekten Vi betrakter en generell impedans Z = R±jX der R er en resistans og X er en reaktans. jx er en induktiv reaktans mens jx er en kapasitiv reaktans. Fasevinkelen til Z er ( ) X φ = ±arctan R Figur 10.20: Spenningen V over impedansen Z Effekten som leveres fra kilden V blir P = V mi m 2 cos(φ) W (10.5) P kalles ofte den aktive effekten. En definerer også den tilsynelatende effekten ved S = V mi m 2 VA der VA står for Volt Ampere. En definerer også den reaktive effekten ved Q = V mi m 2 sin(φ) VAR der VAR står for Volt Ampere Reaktiv. En definerer effektfaktoren λ ved λ = P S For harmoniske spenninger og strømmer er Det er lett å innse at λ = cos(φ) S 2 = P 2 Q 2 Denne relasjonen fremstilles med effekttrekanten som vist i figuren under.

141 10.7. EFFEKT I VEKSELSTRØMKRETSER 141 Beregning av effekt med effektivverdier S Q spenning v = V m cos(ωtφ v ) V = V φ v V = Vm 2 P Figur 10.21: Effekttrekanten. P er den aktive effekten. Q er den reaktive effekten. S er den tilsynelatende effekten Beregning av effekt med amplitudeverdier spenning v = V m cos(ωtφ v ) V = V m φ v strøm i = I m cos(ωtφ i ) I = I m φ i S = VI 2 = V m I m 2 = P jq kompleks effekt cos(φ)j V m I m 2 sin(φ) strøm i = I m cos(ωtφ i ) I = I φ i I = Im 2 S = VI kompleks effekt = V Icos(φ)jV Isin(φ) = P jq tilsynelatende effekt S = S = V I = P 2 Q 2 aktiv effekt P = V Icos(φ) reaktiv effekt Q = V I sin(φ) tilsynelatende effekt S = S = V m I m 2 aktiv effekt P = V m I m 2 = P 2 Q 2 cos(φ) reaktiv effekt Q = V m I m 2 sin(φ)

142 142 KAPITTEL 10. RC KRETSER 10.8 Oppgaver Oppgave (10.1) Figuren under viser en RC seriekrets. I 10: Hvor mange µs ligger spenningen V R foran V C i tid? 11: Hvorfor er denne tiden en fjerdedel av én periode? 12: Vis V s, V R, V C, φ 1 og φ 2 i det komplekse planet. V s R C Oppgave (10.2) Figuren under viser en RC parallellkrets. Figur 10.22: Spenningskilden V s leverer spenningen V s I I R R C I C v s = V m cos(2ωt) V s = V m 0 V s brukes som referanse. Komponentverdiene er V m = 1.0 V R = 1000 Ω C = 10 nf f = 5000 Hz 1: Beregn vinkelfrekvensen ω. 2: Beregn den kapasitive reaktansen X C. 3: Beregn kretsens totale impedans Z. 4: Beregn strømmen I i seriekretsen. 5: Beregn spenningen V R over resistansen R. 6: Beregn fasevinkelen φ 1 mellom V s og V R. 7: Beregn spenningen V C over kapasitansen C. 8: Beregn fasevinkelen φ 2 mellom V s og V C. 9: Hvor mange µs ligger spenningen V R foran V s i tid? Spenningskilden leverer et signal på formen: v s = V m cos(ωt) V s = V R = 1200 Ω C = 20 nf f = 4000 Hz 1: Beregn vinkelfrekvensen ω. 2: Beregn den kapasitive reaktansen X C. 3: Beregn strømmen I R. 4: Beregn strømmen I C. 5: Beregn den totale strømmen I. 6: Beregn kretsens totale impedans Z. 7: Beregn fasevinkelen φ 1 mellom V s og I R. 8: Beregn fasevinkelen φ 2 mellom V s og I C. 9: Beregn fasevinkelen φ 3 mellom V s og I

143 10.8. OPPGAVER : Vis V s I R, I C, I og φ 3 i det komplekse planet. R 1 C 1 a R 3 Oppgave (10.3) Vi har gitt en RC krets som vist i figur R = 1000 (Ω) C = 100 (nf) V s a R 2 I a I b b Figur 10.23: ele348 b C 2 v(t) = 0 for t < 0 v(t) = 1 for t > 0 Kondensatoren har ingen ladninger når t < 0. 1: Beregn tidskonstanten τ = RC. 2: Hvor stor er spenningen over kondensatoren etter t = 10 (µs)? 3: Hvor stor er spenningen over kondensatoren etter t = 200 (µs)? Oppgave (10.4) Figur viser en elektrisk krets med de to maskestrømmenei a ogi b.nodebvelgessomreferanse og settes til 0 V. Kretsen har følgende parameterverdier: 6: Hvor mye effekt P 1 omsettes det i R 1? 7: Beregn spenningen V R3 over R 3. 8: Beregn spenningen V C2 over C 2. 9: Hvor mye effekt P 3 omsettes det i R 3? 10: Beregn den komplekse effekten S s fra kilden V s 11: Beregn den aktive effekten P s fra kilden V s 12: Vis at P s = P 1 P 2 P 3 13: Vis Kirchhoff s spenningslov for maske a med visere i det komplekse planet. 14: Vis Kirchhoff s spenningslov for maske b med visere i det komplekse planet. V s = 10 0 V R 1 = 1200 Ω Oppgave (10.5) R 2 = 2700 Ω R 3 = 3900 Ω X C1 = 820 Ω R 1 C 1 a R 3 X C2 = 5000 Ω V s R 2 C 2 1: Beregn maskestrømmene I a og I b. 2: Beregn spenningen V a 3: Hvor mye effekt P 2 omsettes det i R 2? Figur 10.24: ele349 b 4: Beregn spenningen V R1 over R 1. 5: Beregn spenningen V C1 over C 1. V 1 = 10 0 V

144 144 KAPITTEL 10. RC KRETSER 1: 2: 3: R 1 = 1000 Ω R 2 = 2200 Ω R 3 = 5100 Ω X C1 X C2 = 1000 Ω = 4000 Ω 5: 6: V R = I R = j = ( ) V ( ) φ 1 = arctan = : 7: 5: 6: V C = jx C I = j = ( ) V 7: 8: 9: 10.9 Fasit Oppgave (10.1) 1: 2: 3: ω = 2πf = rad/s X C = 1 ωc = Ω Z = RjX C = 1000j = ( ) Ω 8: φ 2 = arctan ( ) = : Frekvensen er f = 5000 Hz. Periodetiden er T = 1/f = 200 µs 10: t 1 = = µs t 2 = = 50 µs : Denne tiden er 1/4 av en periode fordi strømmen ligger90 foranspenningenoverkondensatoren i fase. 12: Figuren under viser V s, V R, V C, φ 1 og φ 2 i det komplekse planet. V R 4: I = Vs Z = ( j ) 10 3 = ( ) ma φ 1 φ 2 V C V s

145 10.9. FASIT 145 I Oppgave (10.2) I C 1: ω = 2πf = rad/s φ 3 I R V s 2: 3: 4: 5: X C = 1 ωc = Ω I R = V s R I C = jx C = j = ma V s = ( ) ma I = I R I C = ( j ) 10 3 = ( ) ma Oppgave (10.3) En kondensator lader seg opp etter funksjonen v C (t) = V (1e t/τ) 1: τ = RC = 100 µs 2: v C (10 5 ) = 1 (1e 0.1 ) = V 3: v C ( ) = 1 (1e 2 ) = V Oppgave (10.4) 6: Z = V s I = j = ( ) Ω 1: (R 1 R 2 jx C1 )I a R 2 I b = V s R 2 I a (R 2 R 3 jx C2 )I b = 0 7: 8: 9: φ 3 = arctan φ 1 = 0.0 φ 2 = 90.0 ( ) = : Figuren under vis V s, I R, I C, I og φ 3 i det komplekse planet. 2: Løsningen av disse to ligningene med hensyn på I a og I b gir I a = 2.653j1.121 = ma I b = j = ma V a = (I a I b )R 2 = 5.897j0.83 = V

146 146 KAPITTEL 10. RC KRETSER 3: 4: P 2 = V ava = mw 2R 2 V R1 = I a R 1 = 3.183j1.345 Im V a V C1 V R1 V s Re = V 5: Figur 10.25: Figuren viser Kirchhoff s spenningslov for maske a i figur V C1 = ji a X C1 = 0.919j2.175 Im 6: = V P 1 = 0.5I a Ia R 1 = mw V C3 V a V R3 V s Re 7: 8: 9: 10: 11: 12: V R3 = I b R 3 = 1.828j3.174 V C2 = V = ji b X C2 = 4.069j2.344 = V P 3 = 0.5I b I b R 3 = 1.72 mw S s = 13.26j5.61 mva P s = Re(S s ) = mw P 1 P 2 P 3 = mw = P s Figur 10.26: Figuren viser Kirchhoff s spenningslov for maske b i figur : Kirchhoff s spenningslov for maske b gir V a V R3 V C2 = 0 Dette er vist med visere i figur Oppgave (10.5) 1: 2: 3: 4: 13: Kirchhoff s spenningslov for maske a gir V s V R1 V C1 = 0 Dette er vist med visere i figur : 6: 7:

147 10.9. FASIT 147 8: 9:

148 148 KAPITTEL 10. RC KRETSER

149 Kapittel 11 RL kretser 11.1 RL seriekrets Figuren under viser en RL seriekrets. V s I a b Figur 11.1: Spenningskilde over en seriekobling av en motstand og en spole Z = RjX L Ω Impedansen måles i ohm. Impedansen har en tallverdi Z og en modul φ. Z = R 2 XL 2 Ω [ ] XL φ = arctan rad R Inversverdien av Z er Y = R L 1 RjX L = GjB S Den kalles admittansen. Den måles i siemens. G kalles konduktansen og B kalles den induktive suceptansen. Admittansen har en tallverdi Y og en modul φ. Y = G 2 B 2 S φ = arctan [ ] B G rad VifinnerstrømmenI,spenningenV L ogspenningen V R ved å bruke Ohm s lov på vanlig måte. Z = RjX L I = V s Z = V s RjX L V R = IR = V sr RjX L V L = IjX L = V sjx L RjX L I, V R og V L er komplekse størrelser med sin modul og sitt argument. For å bestemme argumentet må en velge en referanse. Det er vanlig å bruke kildespenningen V s som referanse. I = I φ 1 V R = V R φ 1 V L = V L φ 2 Eksempel 11.1 Vi har en seriekrets som vist i figuren over med følgende komponentverdier V m = 10 V R = 1000 Ω L = 0.1 H f = 1000 Hz Påtrykt spenning til kretsen erv s = V m cos(ωt) V s = V m 0 149

150 150 KAPITTEL 11. RL KRETSER Beregn de relevante størrelsene for denne kretsen. Lag en fremstilling av spenningene v s, v L og v R i tidsdomene. Vis spenningene V s, V L og V R som visere i det komplekse planet. X L = 2πfL = Ω 1.0 v L v s t v R Z = RjX L = (1000j ) = ( ) Ω Figur 11.3: De tre spenningene v s, v R og v L fremstilt i tids domene Y = 1 = ( j ) Z = ( ) ms V s I I R R I L L I = V s Z = ( j ) = ( ) ma V R = IR = ( j ) = ( ) V V L = IjX L = ( j ) = ( ) V Figur 11.4: Parallelkobling av spenningskilde, motstand og spole 11.2 RL parallelkrets Figur 11.4 viser en parallelkobling av motstand og spole. Kretsens totale impedans er parallellkoblingen av resistansen og den induktive reaktansen. Z = RjX L RjX L Ω Strmmen I finnes på vanlig måte som forholdet mellom spenning og impedans. V L V s I = V s Z = V s(rjx L ) = V s jrx L R V s = I R ji L jx L V R I = I φ 1 A I R = V/R I L = I L φ 2 Eksempel 11.2 Kretsen i figur 11.4 har følgende komponentverdier: Figur 11.2: De tre spenningene V s, V R og V L som visere V m = 10 V R = 1000 Ω

151 11.3. FØRSTE ORDENS HØYPASSFILTER MED RL 151 L = 100 mh f = 1000 Hz 20 ma i Påtrykt spenning til kretsen erv s = V m cos(cosωt) V s = V m 0 Beregn de relevante størrelsene for denne kretsen. Lag en fremstilling av strømmene i s, i R og i L i tidsdomene. Vis strømmene I, I L og I R som visere i det komplekse planet. i L i R t X L = 2πfL = Ω Figur 11.6: Strømmene i, i R og i L i tidsdomene. RjX L Z = RjX L = ( ) Ω Y = 1 = (1.0j ) 103 Z = ( ) ms 11.3 Første ordens høypassfilter med RL Figuren under viser skjema over et første ordens høypassfilter med resistans og induktans. I = V s Z = (0.01j ) = ( ) ma I R = V s R = 10.0 ma I L = V s jx L = (j ) = ( ) ma Frekvensresponsen Amplituderesponsen H(jω) = jωl RjωL M(ω) = ωl R(ωL) 2 I R Faseresponsen φ(ω) = [ ( )] ωl 90arctan R [rad] I L Figur 11.5: Strømmene I, I R og I L som visere I Gruppeforsinkelsen τ g (ω) = RL R 2 (ωl) 2 RC høypassfilter [s]

152 152 KAPITTEL 11. RL KRETSER R 11.4 Tidskonstant i RL kretser V s L V L Figur 11.7 viser en spole i serie med en resistans tilkoblet en spenningskilde i form av et enhetstep V u(t) der u(t) en enhetsfunksjonen. v s R i L Amplituderesponsen M(ω) M(ω) (db) ω (rad/s) Figur 11.7: xcvxcv L di dt ir = v s i(t) = V ( s 1e t/τ) u(t) τ = L R R τ kalles tidskonstanten. Figur 11.8 viser streømmen i slik at maksimalstrømmen er normalisert til I. φ(ω) Faseresponsen φ(ω) I i I ω (rad/s) Gruppeforsinkelsen τ g (ω) τ g (ω) (s) L/R Figur 11.8: Spenningen over spolen er gitt ved v L (t) = L di dt v L (t) = Ve t/τ Dette er vist i figur 11.9 t s ω (rad/s)

153 11.5. OPPGAVER 153 V s v L 4: Beregn strømmen I i seriekretsen 5: Beregn spenningen V R over resistansen R 6: Beregn fasevinkelen φ 1 mellom V s og V R 0.37V s 7: Beregn spenningen V L over induktansen L 8: Beregn fasevinkelen φ 2 mellom V s og V L L/R Figur 11.9: 11.5 Oppgaver t s 9: Hvor mange µs ligger spenningen V R etter V s i tid? 10: Hvor mange µs ligger spenningen V L foran V s i tid? 11: Vis V s, V R, V L, φ 1 og φ 2 i det komplekse planet. Oppgave (11.1) Figuren under viser seriekoblingen av en resistans og en induktans. I a Oppgave (11.2) Figuren under viser parallellkoblingen av en resistans og en induktans. R I V s L V s I R R I L L b Spenningskilden V s leverer spenningen v s = V m cos(ωt) V s = V m 0 Komponentverdiene er R = 1000 Ω L = 20 mh f = 5000 Hz V m = 1.0 V 1: Beregn vinkelfrekvensen ω. 2: Beregn den induktive reaktansen X L. 3: Beregn kretsens totale impedans Z. Spenningskilden V s leverer spenningen v s = V m cos(ωt) V s = V m 0 Komponentverdiene er R = 1000 Ω L = 50 mh f = 3000 Hz V m = 1.0 V 1: Beregn vinkelfrekvensen ω. 2: Beregn den induktive reaktansen X L. 3: Beregn kretsens totale impedans Z.

154 154 KAPITTEL 11. RL KRETSER 4: Beregn strømmen I R i resistansen. 5: Beregn strømmen I L i induktansen. 6: Beregn strømmen I til parallellkretsen 7: Beregn fasevinkelen φ 1 mellom V s og I R. 8: Beregn fasevinkelen φ 2 mellom V s og I L. 9: Beregn fasevinkelen φ 3 mellom V s og I. 10: Vis I, I R, I L og φ 3 i det komplekse planet. Oppgave (11.3) Figuren under viser en spenningskilde V s som er tilkoblet en seriekobling av en resistans og en induktans. 7: Beregn fasevinkelen φ mellom V s og I. 8: Beregn kretsens effektfaktor λ = cos(φ). 9: Beregn den aktive effekten P som leveres av kilden. 10: Beregn den reaktive effekten P Q som leveres av kilden. Oppgave (11.4) En spole med L = 50 mh påtrykkes vekselspenningen v s = 10 cos(6000π t) V s = 10 0 Energien som lagres i en induktivitet er I a W = 1 2 L I2 V s R L 1: Beregn spenningens effektivverdi V s. 2: Hva er spenningens frekvens f? 3: Hva er spenningens periodetid? Komponentverdiene er: V s = ( ) V R = 1000 Ω ωl = 1000 Ω 1: Beregn impedansen Z av seriekoblinga. 2: Beregn strømmen I. b 3: Beregn spenningen V R over resistansen R. 4: Beregn spenningen V L over induktansen L. 5: Fremstill V s, V R og V L som visere i det komplekse planet. 6: Beregn den tilsynelatende effekten P S som leveres av kilden. 4: Hvor stor er den induktive reaktansen X L ved frekvensen f? 5: Hvor stor er strømmen i gjennom spolen? 6: Hvor mye energi er det lagret i magnetfeltet rundt spolen når strømmen har sin maksimale positive eller negative verdi? 7: Tegn et viserdiagram for spenningen V s og strømmen I Fasit Oppgave (11.1) 1: ω = π10000 = rad/s

155 11.6. FASIT 155 2: 3: X L = ωl = Ω V L Z = RjX L = 1000j = ( ) Ω φ 2 φ 1 V s 4: I = V Z = ( j ) 10 3 = ( ) ma V R 5: Oppgave (11.2) 6: 7: 8: 9: 10: V R = IR = j = ( ) V ( ) φ 1 = arctan = V L = jix L = j = ( )V ( ) φ 2 = arctan = t 1 = t 2 = = µs 200 = µs 11: Figuren under viser V s, V R, V L som visere i det komplekse planet. 1: 2: 3: 4: 5: 6: ω = π6000 = rad/s X L = ωl = Ω Z = R jωl RjωL = ( j ) = ( ) Ω I R = V R = 1.0 ma I L = V jωl = j = ( ) ma I = I R I L = (1.0j ) 10 3 = ( ) ma

156 V R 156 KAPITTEL 11. RL KRETSER 7: 8: 9: φ 1 = 0 φ 2 = 90 ( ) φ 3 = arctan 1.0 = : V L = 5.0j5.0 = ( )V 5: FigurenunderviserV s, V R og V L som visere i det komplekse planet. V L 10: Figuren under viser I, I R, I L som visere i det komplekse planet. V s φ 3 I R I 2 6: P S = V I = mva Oppgave (11.3) 1: Z = RjωL = 1000j1000 = ( ) Ω 2: I L 7: 8: 9: 10: [ ] Im(I) φ = arctan Re(I) = 45.0 λ = cos(φ) = P = P S cos(φ) = 50.0 mw P Q = P S sin(φ) = 50.0 mw I = (5.0j5.0) 10 3 = ( ) ma Oppgave (11.4) 3: V R = 5.0j5.0 = ( ) V 1: V s = 10 2 = V

157 11.6. FASIT 157 2: 3: 4: 5: f = 6000π 2π = 3000 Hz T = 1/f = ms X L = ωl = Ω I = V s jx L = ( ) ma 6: Strømmens amplitudeverdi er I m = ma Energien i magnetfeltet med denne strømmen blir W = 1 2 LI2 m = µws 7: FigurenunderviserspenningenV s ogstrømmen I som visere i det komplekse planet. En ser atstrømmenispolenligger90 etterpåtrykt spenning i fase. V s I

158 158 KAPITTEL 11. RL KRETSER

159 Kapittel 12 RLC kretser I dette kapitlet skal vi behandle kretser med resistans, induktans og kapasitans. Vi starter med serieresonans Serie resonans Figuren under viser seriekoblingen av resistans, induktans og kapasitans. V s Strømmen i kretsen er gitt ved I = L C I R V s Rj ( ωl 1 ) ωc Spenningen over resistansen R blir V R = V s R Rj ( ωl 1 ) ωc V R En kan definere transferfunksjonen H(ω) fra spenningskildenv s tilspenningenv R overresistansen ved Transferfunksjonen får sin maksimale verdi når nevneren er minst mulig. Det inntreffer ved den vinkelfrekvensen da den induktive reaktansen er lik den kapasitive reaktansen Ved denne vinkelfrekvensen er transferfunksjonen lik H(ω 0 ) = 1 Det vil si at hele inngangspenningen V ligger over resistansenr.viskalseatvedalleandrefrekvenser er spenningen V R < V s. Transferfunksjonen kan skrives på formen H(ω) = D(ω) = 1 1j ( ωl R 1 ) = ωrc 1 1jD(ω) (12.1) ( ωl R 1 ) = ω2 LC 1 ωrc ωrc (12.2) Amplituderesponsen M(ω) defineres som modulen til frekvensresponsen M(ω) = 1 1D 2 (ω) (12.3) H(ω) = V R V s = R Rj ( ωl 1 ) ωc f 0 = Av ligning 12.3 ser en at amplituderesponsen M(ω) får sin største verdi når D(ω) = 0. Dette inntreffer ved den bestemte vinkelfrekvensen ω 0 når den induktive reaktansen er lik den kapasitive reaktansen. ω 0 L = 1 ω 0 C ω 0 = 1 LC 1 2π LC (12.4) 159

160 160 KAPITTEL 12. RLC KRETSER f 0 kalleskretsensresonansfrekvensogligning(12.4) kalles Thompsons formel for resonans. Dette fører til at D(ω) kan skrives på formen ω 2 ω0 2 D(ω) = ω ω 0 ω 0 RC = 1 ( ω ω ) 0 ω 0 RC ω 0 ω (12.5) En definerer dempningsfaktoren ζ ved ζ = ω 0RC 2 = R 2 C L (12.6) Det fører til at ligning (12.5) kan skrives på formen D(ω) = 1 ( ω ω ) 0 (12.7) 2ζ ω 0 ω En definerer kretsens godhetsfaktor Q ved Q = ω 0 W P (12.8) derw erdenmidlereenergiensomlagresikretsen og P er effekttapet. Dette gir Q = ω L I 2 m 0.5 R I 2 m = ω 0L R (12.9) Ved å kombinere ligning (12.6) og ligning (12.8) kan godhetsfaktoren Q uttrykkes ved dempningsfaktoren ζ Q = 1 (12.10) 2ζ Med det kan ligning (12.7) skrives på formen ( ω D(ω) = Q ω ) 0 ω 0 ω Med dette kan transferfunksjonen H(ω) skrives på formen 1 H(ω) = ) 1jQ( ω ω 0 ω 0 ω Modulen til H(ω) kalles amplituderesponsen og betegnes med M(ω). M(ω) = 1 1Q 2 ( ω ω 0 ω 0 ω ) 2 (12.11) Faseresponsen blir φ(ω) = arctan(q(ω/ω 0 ω 0 /ω)) (12.12) M(ω) er vist i figuren under for 3 forskjellige Q verdier Ved resonansfrekvensen er ω 0 L = 1 ω 0 C og spenningen over resistansen R blir lik den påtrykte spenningen V s / V R (ω 0 ) = V s Strømmen i kretsen ved resonans blir M(ω) Q = 2 Q = 5 Q = 10 I(ω 0 ) = V s R B ω 0 asda Denne strømmen går gjennom spolen og kondensatoren. Ved resonans blir spenningen over spolen lik V L (ω 0 ) = ji(ω 0 )ω 0 L = jv s ω 0 L R = jv sq Ved resonansfrekvensen er spenningen over spolen Q ganger såstor som den påtryktespenningenv s og ligger 90 foran i fase. Den samme strømmen går gjennom kondensatoren og gir spenningen V C (ω 0 ) = j I(ω 0) ω 0 C = jv 1 s ω 0 RC = jv sq Ved resonansfrekvensen er spenningen over kondensatoren Q ganger så stor som den påtrykte spenningen V s og den ligger 90 etter påtrykt spenningi fase. Dette er vistsomvisereidet komplekse planet for Q = 5. ω

161 12.1. SERIE RESONANS 161 V L = jqv R Med dette kan ligning (12.13) skrives på formen B = f 0 Q (12.14) V R = V s Båndbredden til kretsen er lik resonansfrekvensen dividert med kretsens Q verdi. Eksempel 12.1 Vi har gitt seriekretsen som vist i figuren under V C = jqv R L C I Figur 12.1: asdad Definisjon av båndbredde V s R V R Maksimalverdien av amplituderesponsen opptrer ved resonansfrekvensen M m = M(f 0 ) En definerer båndbredden B til kretsen som forskjellen mellom de frekvensene der M(f) = M m 2 Av ligning (12.11) ser en at dette inntreffer når ( f Q f ) 0 = 1 f 0 f Dette uttrykket kan omskrives på formen ( f f ) 0 = f2 f0 2 f 0 f ff 0 = (f f 0)(f f 0 ) ff 0 Nå sier en at = 1 Q (12.13) f f 0 = B 2 der B er kretsens båndbredde. Hvis ff 0 << f 0 kanenbruketilnærmingen f f 0 2f Kretsens parametre er L = 10 mh C = 1 nf R = 1000 Ω V s = 10 V 1. beregn kretsens resonansfrekvens f 0 2. Beregn den induktive reaktansen X L ved resonansfrekvensen 3. Beregn den kapasitive reaktansen X C ved resonansfrekvensen 4. Beregn kretsens Q verdi 5. Hvor stor er V R ved resonansfrekvensen? 6. Hvor stor er V L ved resonansfrekvensen? 7. Hvor stor er V C ved resonansfrekvensen? 8. Plot kretsens amplituderespons M(f). Løsning

162 162 KAPITTEL 12. RLC KRETSER 1. f 0 = 1 2π LC = Hz I s I R I C I L R C L 2. X L = ω 0 L = 3162 Ω X C = X L = 3162 Ω Q = X L R = V R = V s = (10 0 ) V V L = jqv R = ( ) V V C = jqv R = ( ) V 8. Figuren under viser kretsens amplituderespons rundt senterfrekvensen f 0. M(f) f Parallell resonans Figuren under viser en parallell resonanskrets. f StrømgeneratorenI s levererenkonstantstrøm som fordeler seg gjennom resistansen, induktansen og kapasitansen avhengig av deres verdier. Spenningen V over kretsen er lik strømgeneratoren I s multiplisert med impedansen Z. 1 Z = 1 R jωc 1 = jωl jωl 1ω 2 LC jωl/r Impedansen har sin største verdi når nevneren i Z har sin minste verdi. Det inntreffer ved den bestemte frekvensen f 0 når ω 0 L = 1/ω 0 C. Dette gir parallellresonans git ved 1 f 0 = 2π LC som er den samme formelen som for serieresonans. Ved parallellresonans er strømmene I C og I L like store og motsatt rettet slik at summen av de blir lik null. Strømgeneratoren leverer i dette tilfellet hele sin strøm til resistansen R. Da har Z sin største verdi og derfor har også V sin største verdi. Det gir V(ω 0 ) = I s R En definerer kretsesns Q-verdi ved ligning (12.8) som gir 2 W Q = ω 0 P = ω CV mo /2 0 2 V mo /2R = ω 0RC = R ω 0 L (12.15) Nå kan vi definere funksjonen V V(ω 0 ) = H(ω) = Dette gir H(ω) = jωl R(1ω 2 LC)jωL (12.16) 1 1jQ(ω/ω 0 ω 0 /ω) (12.17)

163 12.3. MODELL AV EN MOTSTAND 163 Tallverdien til H(ω) blir M(ω) = 1 1Q 2 (ω/ω 0 ω 0 /ω) 2 (12.18) a L R C L b Faseresponsen blir φ(ω) = arctan(q(ω/ω 0 ω 0 /ω)) (12.19) En ser at frekvensresponsen til spenningen over en parallellkrets som drives av en strømkilde er lik frekvensresponsen til strømmen i en seriekrets som drives av en spenningskilde. Figuren under viser en sammenlikning av de viktigste egenskapene til en seriekrets og en parallelkrets. Seriekrets Parallelkrets L Z R C Y R C L Figur 12.3: Ved høye frekvenser må en ta hensyn til at en motstand har både en kapasitiv og en induktiv komponent. Selve motstandskroppen har en kapasitans representert med kondensatoren C i figuren. Tilledningene til motstanden gir en induktiv komponent som er representert med induktansene L i figuren. Den er ( R Z = 1(ωRC) 2 j R 2 ) ωc 2ωL 1(ωRC) 2 (12.20) En er interessert i å finne den relative variasjonen av impedansen som funksjon av frekvensen. Derfor normaliserer en impedansen til R og får Z = RjωL1/jωC ω 0 = 1/ LC Q = ω 0 L/R = 1/ω 0 RC Y = 1/RjωC 1/jωL ω 0 = 1/ LC Q = ω 0 RC = R/ω 0 L ζ = ω 0 RC/2 = 1/2Q ζ = ω 0 L/2R = 1/2Q B = f 0 /Q = R/2πL B = f 0 /Q = 1/2πRC 12.3 Modell av en motstand Figur 12.2: Sammenligning seriekrets og parallellkrets Iseksjon2.5.1side23erdetenbeskrivelseavmotstander som kretselement. En motstnad er laget foråhaenbestemtresistans,menvedhøyefrekvenser er en motstand en kompleks impedans. Tilledningene har en induktivitet som kan beregnes med ligning 8.5 på side 119. Med utgangspunkt i figur 12.3 kan en beregne mpedansen Z mellom terminalpunktene a og b. Z r = Z R ( ) 1 2ωL Z r = 1(ωRC) 2 j R ωrc 1(ωRC) 2 Tallverdien til cpaz r er ( 2ωL R ) 2 1 Z r = (1(ωRC) 2 ) 2 ωrc 1(ωRC) 2 (12.21) Ligning er fremstilt grafisk for en kull-masse motstand i figur De samme kurvene for metallfilm motstander er vist i figur Dette viser at det er stor forskjell mellom metall-film og kullmasse motstander med hensyn på høyfrekvensegenskaper. Figur 12.6 viser kurver for disse to typene med resistansen 100 kω. I disse beregningene har en brukt maksimalverdier for kapasitans. Det er viktig å få frem tallverdier som representerer det mest ugunstige tilfellet for det vil helt sikkert inntreffe i en masseproduksjon. Konklusjonen er at kull-masse motstander er ikke egnet ved høye frekvenser. Selv om en metall-film motstand breukes ved høye frekvenser må en bruke lave resistansverdier hvis frekvensene er høye.

164 164 KAPITTEL 12. RLC KRETSER Z r Kull masse C = 1.0 pf Z r Metall film C = 0.2 pf kω 10 kω 1.0 kω f (MHz) MΩ 100 kω 10.0 kω f (MHz) Figur 12.4: Figuren viser den relative verdien av tre forskjellige kull-masse motstander. En kullmasse motstand med verdien 100 kω kan ikke brukes ved frekvenser over 100 khz. Skal en bruke kull-masse motstand ved 1 MHz må verdien være mindre enn 1000 Ω. Kull-masse motstander er ikke egnet ved høye frekvenser Resonansfrekvensen Imaginærdelen i ligning er X = ( R 2 ) ωc 2ωL 1(ωRC) 2 Når X = 0 er impedansen reell. Det inntreffer ved en resonansfrens som er gitt ved 12.4 Andre ordens lavpassfilter Figur 12.7 viser skjema for et andre ordens lavpassfilter med resistans, kapasitans og induktans. Frekvensresponsen H(jω) = Rj 1 jωc ( ωl 1 jωc En innfører resonansfrekvensen ω 2 0 = 1 LC Figur 12.5: Figuren viser den relative verdien av tre forskjellige metall-film motstander. En metall-film motstand med verdien 1 MΩ kan ikke brukes ved frekvenser over 100 khz. Skal en bruke en metall-film motstand ved 10 MHz må verdien være mindre enn 10 kω. En innfører dempningsfaktoren ζ = R 2 C L Dermed kan frekvsnsresponsen krives på formen H(jω) = Amplituderesponsen M(ω) = ω 2 0 ω 2 0 ω2 j2ζω 0 ω ω 2 0 (ω 2 0 ω 2 ) 2 (2ζω 0 ω) 2 Faseresponsen ( ) ω φ(ω) = arctan 2ζω 0 ω0 2 ω2 1 ) = (1ω 2 LC)jωRCGruppeforsinkelsen [rad] τ g (ω) = 2ζω 0 ω 2 0 ω2 (ω 2 0 ω2 ) 2 4ζ 2 ω 2 0 ω2 [s]

165 12.5. IMPEDANSBRO Z r R = 100 (kω) kull masse metall film M(ω) [db] f (MHz) ω [rad/s] Figur 12.6: Figuren viser frekvensresponsen for metall-film og kull-masse motstander med verdien 100 kω. Figur 12.8: Amplituderesponsen d R L Z x Z2 V s C V s a G c Z3 Z 1 Figur 12.7: Lavpassfilter med resistans, kapasitans og induktans 12.5 Impedansbro Figur 12.9 viser en impedansbro. Impedansbroa skalbrukessomenmålebroforåmåleimpedansen Z x somerukjent.z x koblesmellompunkteneaog d. Prinsippet er å bruke de andre impedansene til ånullstillebroa.detvilsiåendrepåimpedansene til galvanometeret G viser null utslag. Da vil en kunne beregne verdien av Z x. Betingelsen for at galvanometeret skal gi null utslag er gitt ved at V ab = 0. Det inntreffer når V ab = V cb. Det inntreffer når V s Z 3 Z x Z 3 = V s Z 1 Z 1 Z 2 Løst med hensyn på Z x gir dette betingelse for balanse i broa Z x = Z 2Z 3 Z 1 Figur 12.9: Impedansbro Begge sider av denne likheten er komplekse tall som er like. To komplekse tall er like hvis og bare hvis reladelene er like og imaginærdelene er like. Det gir b Z x = Z 2Z 3 Z 1 (12.22) Z x = R x jx x = Z 2Z 3 Z 1 = αjβ Nå kan en bestemme Z x ved å sette R x = α X x = β Dette skal brukes for å måle L og R i en spole med Maxwell s bro.

166 166 KAPITTEL 12. RLC KRETSER 12.6 Maxwell s bro Den generelle impedansbroa i figur 12.9 konkretiseres til en Maxwll s bro i figur En er- på en transformator. Primærviklinga kobles mellom bunktene a og d i figur I broa er R 2 = 10 kω og C = 1.0 µf. En justerer på R 1 og R 3 inntil broa er i balanse. Da kan en avlese verdiene V s R x L x a d R 3 G R 1 R 2 R 1 = 378 kω og R 3 = 4.21 kω. Med ligning beregner en de ukjente komponentverdiene. R x = 111 Ω og L x = 42.1 H C s 12.7 Oppgaver Figur 12.10: En Maxwell s bro bukes for å måle resistans og induktans i en induktiv komponent. Komponenten kobles mellom punktene a og d. En justerer verdiene av R 1 og R 3 til broa er i balanse ved at galvanometeret gir null utslag. Da kan de ukjente verdiene R x og L x beregnes med ligning statter de generelle impedansene i impedansbroa med følgende komponenter Z x = R x jx x 1 Z 1 = R 1 jωc s Z 2 = R 2 Z 3 = R 3 Oppgave (12.1) Figuren 12.7 viser en LRC seriekrets med komponentverdiene V s = V R = 10 Ω L = 10 mh C = 0.3 µ F En kan anta at spolen og kondensatoren er uten tap. V s R L C som vist i figur Dette innsatt i ligning gir betingelsen for at broa skal være i balanse R x = R 2R 3 R 1 Ω L x = R 2 R 3 C s H (12.23) I målebetingelsene skal realdelene være like og imaginærdelene like. Det krever to forskjellige variable som brukes for å nullstille broa. En velger R 1 og R 3 som variable, som vist i figur Eksempel 12.2 En skal bruke en Maxwell s bro for å måle resistans og induktans i primærviklinga Figur 12.11: RLC krets 1: Beregn resonansfrekvensen f 0? 2: Beregn den induktive reaktansen X L ved resonansfrekvensen. 3: Beregn den kapasitive reaktansen X C ved resonansfrekvensen.

167 12.7. OPPGAVER 167 4: Beregn strømmen i kretsen ved resonans. 1: Beregn kretsens impedans Z sett fra kilden. 5: Beregn spenningen V R over resistansen ved resonansfrekvensen. 6: Beregn spenningen V L over spolen ved resonansfrekvensen. 7: Beregn spenningen V C over kondensatoren ved resonansfrekvensen. 8: Beregn forholdet Q = V L V R ved resonansfrekvensen. Hva kalles dette forholdet? 2: Beregn strømmene I 1, I 2 og I 3. 3: Beregn spenningen V C over kondensatoren C. 4: Beregn spenningen V R over resistansen R. 5: Beregn spenningen V L over induktiviteten L. 6: VisspenningeneV s, V C, V R ogv L som visere i det komplekse planet. 7: Vis strømmene I 1, I 2 og I 3 som visere i det komplekse planet. 9: Beregn kretsens båndbredde B = f 0 /Q. 10: Anta at en dobler L-verdien og halverer C- verdien. Hvordan påvirker dette resonansfrekvensen, Q-verdien og båndbredden? Oppgave (12.3) Figuren under viser en RLC krets. R s L V s C 1 C 2 V 1 V 2 R l Oppgave (12.2) Figuren under viser en LCR parallellkrets. I 1 I 3 Komponetverdiene er: V s R s Z C I 2 R L V s = V R s = 1000 Ω X C1 = 500 Ω X L = 1000 Ω Komponentverdiene er V s = R s = 1000 Ω R = 100 Ω X L = 1000 Ω X C = 800 Ω Induktiviteten L kan regnes som tapsfri. X C2 = 2000 Ω R l = Ω 1: Beregn den totale impedansen Z i sett fra generatoren V s. 2: Beregn strømmen I s som leveres av generatoren. 3: Beregn spenningen V Rs. 4: Beregn spenningen V 1.

168 168 KAPITTEL 12. RLC KRETSER 5: Beregn spenningen V 2. 6: Beregn spenningen V L over spolen. 7: Beregn strømmen I 1 som går gjennom kondensattoren C 1. 8: BeregnstrømmenI L somgårgjennomspolen L. 9: Beregn strømmen I 2 som går gjennom kondensattoren C 2. 10: Beregn strømmen I l som går gjennom resistansen R l. 11: Beregn effekten P som leveres av kilden. 12: Beregn effekten P s som omsettes i R s. 13: Beregn effekten P l som omsettes i R l. 1: Beregn en Theveninekvivalent for kretsen når R l regnes som last. 2: BeregneffektomsetningeniR l utfratheveninekvivalenten. 3: Beregn en Nortonekvivalent for kretsen når R l regnes som last. 4: Beregn effektomsetningen i R l ut fra Nortonekvivalenten Fasit Oppgave (12.1) 14: Vis spenningene V s, V Rs, V 1 og V 2 som visere i det komplekse planet. 15: Vis strømmene I s, I 1, I 2 og I l som visere i det komplekse planet f 0 = 2π = Hz LC X L = 2πf 0 L = Ω Oppgave (12.4) Figuren under viser en passiv RLC krets. V s R s C 1 L C 2 V 1 V 2 R l X C = 1 2πf 0 C = Ω I 0 = V s R = (0.1 0 ) A V R = I 0 R = (1.0 0 ) V Komponetverdiene er: V s = V 6. V L = I 0 jx L = ( ) V R s = 1000 Ω 7. X C1 = 500 Ω V C = ji 0 X C = ( ) V X L = 1000 Ω X C2 = 2000 Ω R l = Ω 8. Q = V L V R = Q kalles kretsens godhetsfaktor.

169 12.8. FASIT B = f 0 Q = Hz L = 2 L C = C 2 f 0 = 1 2π L C = 1 2π LC = f 0 3. jx C I 3 = I 1 Rj(X L X C ) = (1.164 j8.734) = ( ) ma Q = ω 0L R i = 2 Q B = f 0 Q = B 2 V C = V s Z R S Z = ( j2.0378) = ( ) V 2 Resonansfrekvensen blir den samme. Q-verdien øker til det dobbelte. Båndbredden avtar til halvparten. Oppgave (12.2) Kilden består av spenningsgeneratoren V s med den indre resistansen R s. Kilden driver parallellkretsen bestående av R, L og C. 1. Z = (RjX L)(jX C ) Rj(X L X C ) = (1280j3360) = ( ) Ω V R = I 3 R = ( j0.8734) = ( ) V V L = I 3 jx L = (8.734j1.164) = ( ) V Viserdiagram for spenningene V s, V R, V C og V L V s I 1 = R s Z = ( j2.0378) = ( ) ma V s V R V L RjX L I 2 = I 1 Rj(X L X C ) = (2.547 j10.771) = ( ) ma V C 7. Viserdiagram for strømmene I 1, I 2 og I 3

170 170 KAPITTEL 12. RLC KRETSER I 2 3: V Rs = I s R s = j = ( ) V I 1 4: V s V 1 = V s I s R s = 1.324j2.794 = ( ) V 5: I3 V 2 = V 1 Z 1 Z 2 = 1.471j5.882 = ( ) V 6: Oppgave (12.3) V L = V 1 V 2 = 0.147j3.088 = ( ) V 1: Z 1 = jx C2 R l = j1923 = ( ) (Ω) 7: I 1 = j V 1 X C1 = (5.588j2.647) = ( ) ma Z 2 = jx L Z 1 = j = ( ) (Ω) Z 3 = jx C1 Z 2 = j = ( ) (Ω) 8: 9: I L = I s I 1 = (3.088 j0.1471) = ( ) ma 2: Z i = R s Z 3 = 1044j = ( ) Ω I 2 = j V 2 X C2 = (2.941 j0.7353) = ( ) ma I s = V s Z i = ( ) = ( ) ma 10: I l = V 2 R l = j = ( ) ma

171 12.8. FASIT : 12: 13: φ = arg(z i ) = rad P = 0.5 V s I s cos(φ) = mw P s = 0.5 I s 2 R s = mw P l = 0.5 V 2 2 R l = 1.84 mw 14: Figuren under viser spenningene V s, V Rs, V 1 og V 2 som visere i det komplekse planet VL V Rs 1: Først beregner vi den Theveninekvivalente spenningen V Th. Vi fjerner R l. Impedansen Z inn i kretsen etter R s blir Z = (jx C1 (jx L jx C2 ) = j = Ω Vi beregner spenningen V 1. V 1 = V s Z R s Z = 1.0j3.0 = ( ) V Vi beregner spenningen V 2. V Th = V 1 (jx C2 ) jx L jx C2 = 2.0j6.0 = ( ) V V1 V s Nå beregner vi den Theveninekvivalente impedanse Z Th Parallellkoblingen av R s og X C1 er Z p = R s (jx C1 ) R s jx C1 = (200j400) Ω V2 Z Th = jx C 2 (Z p jx L ) Z p jx C2 jx L = 400j800 = ( ) Ω 15: Figuren under viser strømmene I s, I 1, I 2 og I l som visere i det komplekse planet. I 1 I s Strømmen I l i lasten blir V Th I l = Z Th R l = ( j0.5882) (ma) = ( ) ma I 2 I L V s 2: P l = 0.5 I l 2 R l = 1.84 mw I l Oppgave (12.4) 3: Den ekvivalente Nortonimpedansen blir lik Theveninimpedansen Z n = jx C 2 (Z p jx L ) Z p jx C2 jx L = 400j800 = ( ) Ω

172 172 KAPITTEL 12. RLC KRETSER Vi beregner impedansen sett fra kilden V s når R l er kortsluttet. Z = 1000j 500 j1000 j1000j500 = (1000j1000) Ω Strømmen I s som leveres fra kilden blir I s = V s Z = (5j5) ma Den ekvivalente Nortonstrømmen blir j500 I n = I s = (5j5) ma j1000j500 Strømmen i lasten blir Z n I l = I n Z n R l = ( j0.5882) = ( ) ma 4: P l = 0.5 I l 2 R l = 1.84 mw

173 Kapittel 13 Trefase Motivet for trefase i denne boken er at alle som arbeider med elektro bør ha kjennskap til hvordan elektrisk energi gjøres tilgjengelig med eksisterende fordelingsnett. Teorien for trefase er i tillegg en god opplæring i å tenke elektro. Fremstilling av spenninger og strømmer som visere er gode eksempler på oppgaver en møter innen hele faget. På side 87 beskrives et enkelt prinsipp for å generere vekselspenning med én fase. Dette kapitlet beskriver vekselspenning med tre faser. Det finnes mye god literatur som behandler trefase på en fyldigere måte enn det som gjøres i denne boken. Her nevnes de tre referansene [18, side 158], [6, side 432] og [7, side 82] 13.1 Generering av tre faser Figur 13.2 viser prinsippet for en trefasegenerator. En generatorer beregnet for store effekter har tunge ankerviklinger. De monteres derfor på statoren. Det er vanskelig å lage kraftige permanentmagneter til bruk i store generatorer. Et bedre alternativ er å produsere magnetfeltet med en vikling på rotoren. I viklinga går magnetiseringstrømmen I m. Ankeret består av tre separate viklinger, montert med en innbyrdes vinkel på 120. Viklingene kalles faser og fasene betegnes med a, b og c. Fase a er viklingen terminert i tilkoblingene (U 1 U 2 ). Fase b er viklingen terminert i tilkoblingene (V 1 V 2 ). Fase c er viklingen terminert i tilkoblingene (W 1 W 2 ). En definerer fasespenningene V a, V b ogv c sompotensialforskjeller ideindusertespenningene: V a = U 1 U 2 V b = V 1 V 2 V c = W 1 W 2 Symbolene U, V og W brukes fordi det er en standard som sier at generatorer skal merkes på denne måten. En må ikke av den grunn bruke de samme symbolene i den teoretiske fremstillingen av faget. Denne boken velger en notasjon i samsvar med moderne literatur på området. Dette er vist i figur 13.3 En kan koble sammen punktene U 2, V 2 og W 2 til ett felles punkt. Dette kalles nøytralpunktet og har symbolet n. Det velges som referanse for fasespenninger. Med denne koblingen sier en at generatoren er koblet i en stjernekobling. Det skrives Y-kobling. De tre fasespenningene V a, V b og V c er komplekse spenninger som måles i forhold til nøytralpunktet n. Tidsdomenebeskrivelsen av hver enkelt fasespenning blir: v a = V m cos(ωt) v b = V m cos(ωt120 ) v c = V m cos(ωt240 ) Dette er vist i figur I elkraftsystemer er det vanlig å definere komplekse spenninger og strømmer med sine effektivverdier. Det forenkler beregning av effekter. Hvis en trenger en maksimalverdi 173

174 174 KAPITTEL 13. TREFASE V m v a v b v c V 1 W 2 0 U 1 V 1 U 2 U 1 W 1 U t (ms) I m F 1 F 2 V 2 W 2 Figur 13.1: De tre fasespenningene v a, v b og v c. W 1 V 2 er det så enkelt som å multiplisere effektivverdien med 2. Amplitudeverdien til en fasespenning er V m. Effektivverdien er V f = Vm 2 I dette kapitlet defineres spenninger og strømmer med sine effektivverdier, konsekvent. Dette er i samsvar med mye annen literatur innen elkraftsystemer. Med den definisjonen blir de komplekse fasespenningene: V a = V f 0 V b = V f 120 V c = V f 240 Det er vanlig å velge fase a som referanse. Figur 13.1 viser det tilfellet da fase a har sin maksimale verdi når t = 0. Av figuren ser en at neste maksimalverdi kommer fra fase b og neste kommer fra fase c. Dette kalles en positiv fasesekvens. Den symboliseres med a b c. Sekvensen a c b kalles en negativ fasesekvens. Det er ikke bare en generator som kan gi trefase spenninger. Trefase gjøres tilgjengelig for alle typer lavspent utstyr ved at høyspent trefase transformeres til lavere spenninger. Da er det sekundærsiden av transformatoren som er kilden. Når en i resten av dette kapitlet refererer til en trefase Figur 13.2: En generator er merket i samsvar med den internationale standarden IEC 617. Fase a merkes med U 1 og U 2, fase b merkes med V 1 og V 2 og fase c merkes med W 1 og W 2. kilde mener en sekundærsiden av en fordelingstransformator. De aller fleste trefase transformatorer er koblet i en stjernekobling på sekundærsiden Fasespenninger som visere I et skjema tegnes en trefasegenerator som tre adskilte spenningskilder. Dette er vist i figur De tre spenningskildene tegnes med en innbyrdes vinkel på120 for åmakere fasesekvensen. V a, V b og V c er de komplekse fasespenningene. I beregninger er det de komplekse spenningene som er viktige. De fremstilles som visere i det komplekse planet som vist i figur Komplekse tall og visere er et elegant konsept til å formalisere relasjoner mellom spenninger og strømmer i et trefasesystem. Med figur 13.5 kan en se direkte at summen av de tre viserne er lik null-viseren. V a V b V c = 0 (13.1)

175 13.4. Y-KOBLING 175 fase a U 1 c V a V a = U 1 U 2 V c fase b V b U 2 V 1 V b = V 1 V 2 n V a a V 2 V b fase c W 1 V c V c = W 1 W 2 b v a = V m cos(ωt) v b = V m cos(ωt120 ) v c = V m cos(ωt240 ) W 2 V a = V m 0 V b = V m 120 V c = V m 240 Figur 13.3: Definisjon av fasespenninger Det formelle beviset gjøres med de komplekse amplitudene på trigonometrisk form: V a V b V c = V f [1cos(120 )jsin(120 ) cos(240 )jsin(240 ] = V f [10.5j 3/20.5j 3/2] = 0 Merk at 0 er null-viseren; ikke det reelle tallet 0. Summen av to eller flere visere er en viser. 0 er grenseverdien til en viser når viserens lengde går mot null. Det er meningsløst å snakke om retningen til en viser som ikke har en lengde. Derfor defineres null-viseren som en grenseverdi når lengden går mot null Linjespenninger I tillegg til fasespenningenev a, V b og V c definerer en linjespenningene V ab, V bc og V ca. Dette er vist i figur Fase a er utgangspunkt for å de- Figur 13.4: Skjematisk fremstilling av en trefase generator. finere V ab, fase b er utgangspunkt for å definere V bc og fase c er utgangspunkt for å definere V ca. Linjespenningene har følgende definisjon: V ab = V a V b = 3V f 30 (L 1 ) V bc = V b V c = 3V f 90 (L 2 ) V ca = V c V a = 3V f 210 (L 3 ) Noen ganger ønsker en å referere til én vilkårlig av de tre linjespenningene. Det gjør en med notasjonenv l. Utledningenav dissetrespenningene gjøres i en oppgave på side 185. En ser at effektivverdien til en linjespenning er 3 ganger effektivverdien til en fasespenning. En ser også at linjespenningeneligger 30 forandenfasespenningen som er utgangspunkt for definisjonen. Den internasjonale standarden IEC 617 krever at for utstyr med linjespenninger mindre enn 1000 V merkes med L 1, L 2 og L Y-kobling I denne seksjonen behandles et trefasesystem der impedansenez a,z b ogz c erkobletieny-kobling.

176 176 KAPITTEL 13. TREFASE V c V c ω V ca V a V bc V a V b V ab Figur 13.5: De tre fasespenningene V a, V b og V c som visere i det komplekse planet. De roterer mot urviseren med vinkelhastigheten ω. Av figur 13.7 ser en at linjestrømmene I a, I b og I c er lik fasestrømmene i lasten. I en Y-kobling er fasestrømmene lik linjestrømmene. Strømmen i én impedans er en linjestrøm og spenningen over impedansen er en fasespenning. Linjestrømmene blir derfor I a = V a Z a I b = V b Z b I c = V c Z c Returstrøm i en Y-kobling Alle tre strømmene har en retur til generatoren gjennom lederen mellom nøytralpunktene, se figur Denne er summen av linjestrømmene I (nn ) = I a I b I c I (nn ) kan skrives på formen I (nn ) = V a Z a V b Z b V c Z c Når de tre impedansene er like er lasten symetrisk. Da er Z a = Z b = Z c = Z Y Med denne betingelsen blir strømmen i lederen mellom nøytralpunktene lik I (nn ) = V a V b V c Z Y V b Figur 13.6: Fasespenningene V a, V b og V c og linjespenningene V ab, V bc og V ca Men telleren i dette uttrykket er null, ifølge ligning (13.1). Strømmen i lederen mellom nøytralpunktene er null når lasten er symetrisk. Denne lederen utelates ofte i praktiske installasjoner. Viserdiagrammet for strømmene i returledningen er vist i figur Effekt i Y-kobling Når en beregner effekter er det hensiktsmessig å regne med effektivverdier. En fasespenning representert med en viser er normalt definert med spenningens amplitudeverdi: V = V m φ. En kan definere en viser med spenningens effektivverdi, når det går klart frem av definisjonen. Dette brukes ofte i elkraftsystemer når en beregner effekter. Vi gjør følgende definisjon V a = V f 0 V rms V b = V f 120 V rms V c = V f 240 V rms der V f er effektivverdien til en vilkårlig fasespenning. Hvis systemet er usymetrisk må en beregne

177 13.4. Y-KOBLING 177 c I c c V c Z c I b n V a a I a a Z a n V b I nn Zb b I b b I a Figur 13.7: En trefase generator koblet til impedansene Z a, Z b og Z c. Det er en leder mellom nøytralpunktet n i generatoren og nøytralpunktet n i Y-koblinga. effektene P a, P b og P c som omsettes i hver fase. Den totale effekten i lasten blir summen av de enkelte effektene. P Y = P a P b P c W I denne seksjonen regner en med at trefasesystemet er symetrisk, det vil si at Z a = Z b = Z c = Z Y Impedansen Z Y = Z Y φ Y har tallverdien Z Y og fasevinkelen φ Y. Effekten som omsettes i én fase blir P f = V f 2 cos(φ Z Y ) = If 2 Z cos(φ ) W Y Y Y Den totale effekten P Y i stjernekoblinga er tre ganger effekten i én fase. P Y = 3P f = 3 V f 2 cos(φ Z Y ) = 3If 2 Z cos(φ ) W Y Y Y Figur 13.8: Returstrømmene I a, I b og I c. Strømmene I a, I b og I c er definert i figur I c Formler for Y-kobling Formelene i denne seksjonen tar ikke med tap i linjenettet. Fasespenninger V f = kompleks fasespenning V rms V f = skalar fasespenning V rms V a = V f 0 V rms spenning fase a V b = V f 120 V rms spenning fase b V c = V f 240 V rms spenning fase c Linjespenninger V l = 3V f V rms skalar linjespenning V ab = V l 30 V rms linjespenningen L 1 V bc = V l 90 V rms linjespenningen L 2 V ca = V l 210 V rms linjespenningen L 3 Effekten kan også uttrykkes med linjespenningen V l og linjestrømmen I l = I f. Det gir P Y = V l 2 cos(φ Z Y ) = 3Il 2 Z cos(φ ) W (13.2) Y Y Y I f = I f = Strømmer kompleks fasestrøm A rms skalar fasestrøm A rms

178 178 KAPITTEL 13. TREFASE V c I c c c V c I c c c Z 2 n V a I a a a Z a Z c n n V a I a a a I ca Iab Z 1 Z 3 V b I b b b Zb V b I b b b I bc Figur 13.9: Sekundærsiden av en transformator er koblet til en last i Y- kobling. I l = I f A rms linjestrøm er lik fasestrøm I a = V a Z a A rms linjestrøm fase a I b = V b Z b A rms linjestrøm fase b I c = V c Z c A rms linjestrøm fase c Effekter P f = omsatt effekt i én fase W P Y = V f 2 cos(φ Z Y ) Y = V l 2 cos(φ 3Z Y ) Y = I 2 f Z Y cos(φ Y ) = I 2 l Z Y cos(φ Y ) = omsatt effekt i Y- kobling = 3P f W kobling De tre fasene kan kobles i en -kobling som vist i figur De tre linjestrømmene er I a = I ab I ca A rms Figur 13.10: I en -kobling ligger linjespenningene over de tre fasene av lasten. Linjestrømmene er 3 ganger fasestrømmene. I ab = V ab Z 3 I b = I bc I ab A rms I c = I ca I bc A rms I ca = V ca Z 2 I bc = V bc Z 1 Da kan linjestrømmen I a beregnes. I utledningen velger en strømmen I ab som referanse. I a = I ab I ca = I f [cos(φ)jsin(φ)cos(φ120 ) jsin(φ120 )] = 2I f [sin(φ60 )sin(60 ) jcos(φ60 )sin(60 )] = 3I f [sin(φ60 )jcos(φ60 )] = 3I f [cos(φ30 )jsin(φ30 )] = 3I f (φ30 ) I a = 3I f I l = 3I f Dette gjelder for alle tre linjestrømmene. I en trekantkobling er linjestrømmen 3 ganger fasestrømmen Effekt i -kobling For en -kobling er V l = V f og I l = 3I f. Den totale effekten P er lik summen av effektene som

179 13.6. (Y ) OMREGNING 179 omsettes i hver fase. Denne effekten kan skrives på de tre forskjellige måtene P P = 3V l I f cos(φ ) W = 3V l I l cos(φ ) W P = 3 V l 2 cos(φ Z ) W (13.3) Formler for -kobling Linjespenninger V l = kompleks linjespenning V rms V l = skalar linjespenning V rms P = I 2 f Z cos(φ ) = I2 l Z cos(φ 3 ) = omsatt effekt i en kobling = 3P f W 13.6 (Y ) omregning Hvis en kjenner impedansene Z 1, Z 2 og Z 3 i en -kobling kan en beregne impedansene Z a, Z b og Z c i en Y-kobling og omvendt. Y c c V ab = V l 30 V rms linjespenningen L 1 V bc = V l 90 V rms linjespenningen L 2 V ca = V l 210 V rms linjespenningen L 3 a Z a Z c a Z 1 Z 2 Zb Z3 Linjestrømmer I a = I ab I ca A rms linjestrøm fase a I b = I bc I ab A rms linjestrøm fase b I c = I ca I bc A rms linjestrøm fase c I l = 3I f skalar linjestrøm A rms I ab = V ab Z 3 A rms I ca = V ca Z 2 A rms I bc = V bc Z 1 A rms Fasestrømmer Effekter P f = omsatt effekt i én fase = V l I f cos(φ ) = V li l 3 cos(φ ) = V l 2 cos(φ Z ) b Figur 13.11: (Y ) skjema Oppgaven er å utlede formler for omregning mellom Y-kobling og -kobling slik at begge koblingene representerer den samme lasten. Da bruker en følgende resonement: Impedansen mellom punktene a og b i Y-koblinga er Z a Z b. Impedansen mellom punktene a og b i -koblinga er Z 3 (Z 1 Z 2 ). Disse settes like: Z a Z b = Z 3 (Z 1 Z 2 ) Det samme kan en gjøre mellom punktene b og c og c og a. Resultatet blir følgende tre ligninger. Z a Z b = Z 3(Z 1 Z 2 ) Z 1 Z 2 Z 3 Z b Z c = Z 2(Z 1 Z 3 ) Z 1 Z 2 Z 3 Z c Z a = Z 1(Z 2 Z 3 ) Z 1 Z 2 Z 3 b

180 180 KAPITTEL 13. TREFASE Kjenner en Z 1, Z 2 og Z 3 kan en løse disse ligningene med hensyn på Z a, Z b og Z c. Kjenner en Z a, Z b og Z c kan en løse disse ligningene med hensyn på Z 1, Z 2 og Z 3. Resultatet er de seks uttrykkene under. Z a = Z b = Z c = Med symetri får en Z 1 Z 3 Z 1 Z 2 Z 3 Z 2 Z 3 Z 1 Z 2 Z 3 Z 1 Z 2 Z 1 Z 2 Z 3 Z 1 = Z az b Z b Z c Z a Z c Z b Z 2 = Z az b Z b Z c Z a Z c Z a Z 3 = Z az b Z b Z c Z a Z c Z c effektomsetningen i en trekantkobling, P Y = P, må Z = 3Z Y. Hvis Z = Z Y vil det omsettes tre ganger så mye effekt i en trekantkobling som i en stjernekobling per-fase skjema Trefasesystemer er usymetriske i det generelle tilfellet. En må regne hver enkelt fase for seg, for så å beregne resultatet for hele systemet. Noen ganger kan en anta symetri. Det tillater en å regne med bare én fase, for de to andre er lik med untak av den konstante inbyrdes fasen på 120. Denne forenklingen leder til en beregningsmetode for symetriske trefasenett med navnet per-fase skjema. Figur viser et trefasesystem der lasten er koblet i en symetrisk Y-kobling. V c I c c Z l c og Z a = Z b = Z c = Z Y Z 1 = Z 2 = Z 3 = Z n V a I a a Z l a Z Y Z Y n Dette innsatt i én av de seks ligningene ovenfor gir Z Y = Z (13.4) 3 For en symetrisk Y-kobling er de tre impedansene V b I b b Z l b ZY Z Y = Z Y φ Y Da kan ligning (13.2) skrives P Y = V l 2 cos(φ Z Y ) (13.5) Y For en symetrisk -kobling er de tre impedansene lik Z = Z φ Da kan ligning (13.3) skrives P = 3 V l 2 cos(φ Z ) (13.6) Av ligningene (13.5) og (13.6) ser en at hvis effektomsetningen i en stjernekobling skal være lik Figur 13.12: Trefasesystem der lasten er koblet i Y. Spenningene V a, V b og V c er kjent med sine numeriske verdier. Modellen har med tap i tilledninger mellom transformator og last. Disse tapene representeres med impedansen Z l. Impedansen fører til spenningstap og effekttap i tilledningene. En overføringslednin kan ofte modelleres med en seriekobling av en resistans og en induktivitet. Det vil si en kompleks impedans Z l = Z l φ l Strømmen I f fører til et spenningstap over Z l. Multipliserer en denne spenningen med den kom-

181 13.7. PER-FASE SKJEMA 181 pleks konjugerte av strømmen får en den komplekse effekten assosiert med Z l. Det er hensiktsmessig å skrive kompleks effekt på den kartesiske formen S = P jq for da ser en den aktive og reaktive komponenten hver for seg. P er den aktive effekten som omsettes til varme i tilledningene. Q er den reaktive effekten som ikke gir effektap, men spenningstap. Symetrien fører til at Z a = Z b = Z c = Z Y = Z f En bruker indeksen f for å markere at en regner med et per-fase skjema. Trefasesystemet har tre faser som skiller seg fra hverandre med en innbyrdes vinkel på 120. Dette leder direkte til et per-fase skjema som vist i figur Beregning av per-fase skjema Med referanse til figur kan en beregne alle aktuelle parametre for referansefasen. 1. Beregning av fasestrømmen I f : I f = V f Z l Z f A rms 2. Spenningsfallet over én tilledning: V l = Z l I f V rms 3. Den komplekse effekten i Z l : S l = Z l I f I f = P l jq l VA V f f Z l f V f 4. Effekttapet i én linje: P l = Re{S l } W I f Z f 5. Spenningen over lasten Z f : n n V f = Z f I f V rms Figur 13.13: per-fase skjema til figur Parametrene er indeksert med indeksen f for å minne om at en regner med et per-fase skjema. En refererer ofte til figuren som en referansefase. I denne boken velger en fase a som referansefasen for beregning av et per-fase skjema. Det er naturlig å velge V f = V a = V f 0 V rms V f velges ofte som referanse for alle faser i systemet. og en kan sette I a = I b = I c = I f A rms I f = I f φ f A rms Med denne definisjonen av spenning og strøm blir φ f fasevinkelen mellom spenningen V f og strømmen I f. 6. Den komplekse effekten i Z f : S f = Z f I f I f = P f jq f VA 7. Omsatt effekt i lasten: P f = Re{S f } W 8. Virkningsgraden i overføringen: 9. Linjetap i tre faser: η = P f P f P l 100% P (3l) = 3P l W 10. Omsatt effekt i tre faser: P Y = 3P f W

182 182 KAPITTEL 13. TREFASE Fasespenninger og -strømmer for systemet i figur kan avledes fra per-fase skjemaet ved å introdusere de fasene som avviker fra referansefasen med vinklene 120 og 240. Det gir: Fasespenningen V f fra disse beregningen kan brukes for å beregne linjespenninger og linjestrømmer for systemet i figur Det gir V a = V f V rms V b = V f 120 V rms V c = V f 240 V rms I a = I f A rms I b = I f 120 A rms I c = I f 240 A rms Med det er systemet i figur beregnet (nice) kobling med symetrisk last Figur viser et trefasesystem med en symetrisk last i -kobling. n V c V a V b I c I a I b c a b Z l Z l Z l c a b Z Z Z V ab = 3V f 30 V rms V bc = 3V f 90 V rms V ca = 3V f 210 V rms I ab = V ab Z A rms I ca = V ca Z A rms I bc = V bc Z A rms De to siste oppgavene i dette kapitlett illustrerer hvordan denne metoden brukes i konkrete eksempler Symetrisk last En stor fordel med trefase er at en konstant last trekker en konstant effekt fra generatoren. Anta at de 3 fasespenningene er gitt ved V a = V f 0 V rms V b = V f 120 V rms V c = V f 240 V rms Vi antar at alle fasene har den samme lasten Z = Z a = Z b = Z c Figur 13.14: Symetrisk last i -kobling Siden det er symetri kan en beregne alle aktuelle parametre med et per-fase skjema som vist i figur En konverterer -koblingen til en Y-kobling med ligning En setter Z f = Z 3 og de 10 parametrene i seksjon kan beregnes for systemet i figur Ω Z = Z φ Ved å bruke enkle trigonometriske identiteter kanenviseat summenavdetremomentaneeffektene er konstant når lasten er konstant og symetrisk. Dette vises i en oppgave på side (187). Konstant effekt fra generatoren har mange fordeler. Da er dreiemomentet det samme rundt en hel omdreining av rotoren. Det gir en jevn gang og reduserer slitasje i lagrene.

183 FORDELINGSNETT Overføringstap I denneseksjonen skal en vise at tapene med overføring av elektrisk energi er mindre i et trefase nett, enn om en overfører den samme energien med bare én fase. n V f V f I f I f 3R 3R n V f I f V f pen I f I n 3R R Figur 13.15: En resistans R er er koblet til én vilkårlig fase i et trefase nett. Effektivverdien av fasespenningen er V f og effektivverdien av fasestrømmen er I f Den omsatte effekten i R figur blir P(1) = V f 2 R Lengden av tilførsels ledningen frem til lasten R er l (m). Tilførsels ledningen har en resistans gitt ved r Ω/m. Med det blir overføringstapene med en fase ( ) 2 Vf P ot (1) = 2 l r R Figur viser den totale effekten fordelt på tre faser, hver representert med en resistans på 3R Ω. Nå blir fasestrømmen I f = V f 3R Den totale omsatte effekten blir den samme som når lasten R kobles til én fase. P(3) = 3 V f 2 3R = V f 2 R = P(1) Figur 13.16: En last resistans med verdien 3R er koblet til de tre fasene i en stjernekobling Overføringstapene med tre faser blir ( ) 2 Vf P ot (3) = 3 l r 3R Forholdet mellom overføringstapene med 3 faser og 1 fase blir P ot (3) P ot (1) = 1 6 Dette viser at tapene i energitransporten er mindre med 3 faser enn med bare 1 fase Fordelingsnett Denne seksjonen gir en enkel innføring i lavspente fordelingsnett ut fra ønske om at alle som arbeider med elektrisk utstyr bør vite noe om hvordan den elektriske energien gjøres tilgjengelig for forbrukere. Elektrisk utstyr i ulike varianter er så vanligatvitardetsomenselvfølgeatpluggenkan stikkes i kontakten og så virker alt etter sin hensikt. For å oppnå dette har det foregått et omfattende standardiserings arbeide både internasjonalt og nasjonalt. Norsk Elektroteknisk Komite(NEK) har utarbeidet den Norske normen NEK 400 som i stor grad er en oversettelse av internasjonalt ak-

184 184 KAPITTEL 13. TREFASE septerte normer og tilpasset den europeiske standardiseringen. NEK 400 blir oppdatert jevnlig. Når denne boken skrives er det 2006 Elektriske lavspenningsinstallasjoner som er aktuell for det som skrives i denne boken. De lavspente fordelingsnettene skal føre den elektriske energien fra fordelingstransformatoren frem til brukeren. Nettene er karakterisert ved de fire begrepene spenning jording i fordelingsnettet N: Utsatte anleggsdeler er jordet i nettets jord via en beskyttelsesleder IT nett Figuren under viser et IT nett skjematisk. IT nett L 1 L 2 L 3 jording av utsatte deler i et anlegg antall ledere mellom nett og forbruker S Utsatte deler Med utsatte deler mener en ledende deler som lett kan berøres, og som ikke er spenningsførende, men som kan bli det på grunn av jordfeil. Spenninger oppgis alltid som effektivverdier. NEK har normert følgende spenningsverdier for lavspente fordelings nett i Norge. 230 V 230/400 V 400/690 V 1000 V Når bare én spenningsverdi oppgis betyr det at nøytrallederen ikke føres frem til forbruker. Da er bare linjespenningen tilgjengelig. Verdiene 230/400 V forteller at linjespenningen er 400 V og fasespenningen er 230 V. De internasjonale normene beskriver jordingsforholdene i nettene og anleggene med en kombinasjon av 2 bokstaver. Første bokstav forteller om jording i nettet. T: Et punkt i nettet, vanligvis nøytralpunktet i transformatorens sekundærvikling, har direkte forbindelse til jord. I: Alle spenningsførende deler i nettet er isolert fra jord. Det kan være et gjennomslagsvern mellom nøytralpunktet og jord. Den andre bokstaven beskriver jording av utsatte deler i anlegget. T: Det er en direkte jording av utsatte anleggsdeler, uavhengig av jording andre steder. J PE J : System jord PE : Protected Earth S : Overspenningsvern Figur 13.17: IT nett Bokstaven I i IT nett forteller at alle spenningsførende deler i nettet er isolert fra jord. Nøytralpunktet er stjernepunktet på sekundærsiden i transformatoren. Dette punktet har et overslagsvern mot jord for å sikre nettet mot overspenninger. Bokstaven T i IT nett forteller at utsatte anleggsdeler i nettet er jordet, uavhengig av systemjord. Med utsatte deler mener en deler som lett kan berøres og som normalt ikke er spenningsførende, men kan bli det ved en jordfeil. Denne jordingen foregår med en egen jordledning som kalles PE, en forkortelse for Protected Earth. De forskjellige e-verkene har noe forskjellig filosofi om hvilkenettsomerbest.derforserenbådeit nett og TN nett i nye installasjoner TT nett Et TT nett er vist i figuren under. Disse nettene ble opprinnelig bygd som IT nett. Noen kraftverk hadde problemer med overspenningsvernet på grunn av jordfeil. De fikk dispensasjon fra forskriftene om å drive nettene med

185 OPPGAVER 185 TT nett L 1 TN C TN S L 2 L 3 L 1 L 2 L 3 J PE J : System jord Utsatte deler PE : Protected Earth J PEN Utsatte deler 1. fordeling N PE Figur 13.18: TT nett direkte jordet nøytralpunkt. Det er få TT-nett i Norge TN nett Bokstaven T viser at nøytralpunktet i transformatorens sekundærvikling er direkte koblet til jord. Bokstaven N viser at utsatte anleggsdeler har direkte forbindelse til nøytralpunktets jord gjennom en beskyttelsesleder som kalles PE lederen. Det finnes tre varianter av TN nett Figur 13.19: TN C S nett oppgaver Oppgave (13.1) Spenningen V a velges som referanse. 1: Vis at linjespenningen V ab = 3V a 30 2: Vis at linjespenningen V bc = 3V b 30 3: Vis at linjespenningen V ca = 3V c 30 TN C nett: N-lederen og PE lederen er kombinert i én leder som kalles PEN lederen. Oppgave (13.2) TN S nett: N lederen og PE lederen er 2 I et tre fasesystem er lasten koblet i stjerne. Lasten er symetrisk og kan representeres med impedansen forskjellige ledere. Z = (100j30) Ω i hver fase. Fasespenningen er TN C S nett: N-lederen og PE lederen er samme V f = 230 V. Fase a velges som referanse. leder frem til 1. fordeling. Deretter splittes N og PE. 1: Beregn Z på polar form. I et 230/400 V nett er linjespenningen 400 V og fasespenningen er 230 V. En enfase 230 V last kobles mellom en faseleder og N lederen. En 400 V last kobles mellom 2 faseledere. Dette kalles ofte en tofaselast. Trefase motorer blir vanligvis laget for 400 V linjespenning. Disse må kobles om når de skal brukes med en 230 V fasespenning Et TN C S nett er vist i figuren under. 2: Beregn de komplekse spenningene V a, V b og V c og angi de med sine effektivverdier. 3: Beregn de komplekse fasestrømmene I a, I b og I c og angi de med sine effektivverdier. 4: Beregn de komplekse amplitudene V a, V b og V c. 5: Beregn de komplekse amplitudene til fasestrømmene I a, I b og I c.

186 186 KAPITTEL 13. TREFASE 6: Vis de komplekse amplitudene V a, V b, V c, I a, I b og I c som visere i det komplekse planet. 7: Beregn den komplekse effekten S for én vilkårlig fase. 8: Beregn den tilsynelatende effekten S for én vilkårlig fase. 9: BeregndenaktiveeffektenP f forénvilkårlig fase. 10: BeregndenreaktiveeffektenQ f forénvilkårlig fase. 11: Hvor mye effekt P s omsettes i stjernekoblinga? 8: Hvor mye effekt P s omsettes det i stjerne 9: En beholder impedansene Z a og Z b, men beregnerennyverdiavz c slikatreturstrømmen I Nn = 0. Beregn I c og Z c. 10: Vis de komplekse amplitudene I a, I b, I c, (I a I b ) som visere i det komplekse planet. Oppgave (13.4) Et trefase varmeanlegg har 3 varmeelementer som er koblet i stjerne. Linjespenningen er V l = 230 (V). Hvert varmeelement representerer er resistanspå16 (Ω).Idennesammenhengenmåenregne med at denne resistansen er temperatur uavhengig. 1: Beregn fasestrømmene I f Oppgave (13.3) Denne oppgaven behandler en stjerne-stjerne kobling som vist i figur 13.7 på side 177. Impedansene i lasten har verdiene: Z a = (200j50) Ω Z b = (200j20) Ω Z c = (200j30) Ω 2: Beregn linjestrømmene I l 3: Hvor mye effekt omsettes i hvert varmeelement? 4: Hvor mye effekt omsettes i hele anlegget? 5: Anlegget kobles om til en trekantkobling. Hvor mye effekt omsettes det i anlegget nå? Linjespenningen er V l = 230 V 1: Beregn og skriv lastimpedansene Z a, Z b og Z c på polar form. 2: Beregn fasespenningen V f. 3: Beregn de komplekse amplitudene til linjespenningene V ab, V bc og V ca. 4: Beregn den komplekse amplituden til fasestrømmene I a, I b og I c. 5: Beregn returstrømmen I Nn. 6: Vis de komplekse amplitudene I a, I b, I c, (I a I b ) og I Nn som visere i det komplekse planet. 7: Hvor mye effekt P a, P b og P c omsettes det i lastimpedansene? Oppgave (13.5) Figur viser et trefasesystem der lasten er koblet i en stjernekobling. Fasesekvensen er a b c der a velges som referanse. Lasten er induktiv og kan representeres med impedansen Z = (10j4) (Ω) Linjespenningen er V l = 230 V rms 1: Beregn fasespenningene V a, V b og V c definert med sine effektivverdier. 2: Beregn fasestrømmene I a, I b og I c definert med sine effektivverdier. 3: Beregn linjestrømmene I ab, I bc og I ca definert med sine effektivverdier.

187 OPPGAVER 187 V c Z c strømmer og effekter i et symetrisk trefasenett somvistifigur Envelgeråbrukeetper-fase skjema for beregningene som vist i figur For systemet er oppgitt følgende parametre n V a Z a N fasespenningen er V f = V rms Zb serieresistansen i én leder er R l = 2.0 Ω V b ekvivalentinduktivitetiénlinjeerl = 1.0 mh lastimpedansen Figur 13.20: stjernekobling. Trefasesystem med last i Z f = (90j30) Ω 1: Beregn linjeimpedansen Z l = Z φ l. 4: Beregn fasevinkelen φ mellom spenning og strøm i lasten. 5: Beregn aktiv effekt P f i hver fase? 4: BeregndenkomplekseeffektenS l ilinjeimpedansen Z l. 6: Beregn reaktiv effekt Q f i hver fase? 5: Beregn effekttapet P l i én linje. 7: Hvor mye aktiv effekt P omsettes i stjernekoblinga? 6: Beregn spenningen V f. 8: Beregn den totale reaktive effekten Q i stjernekoblinga? Z f 7: BeregndenkomplekseeffektenS f ilastimpedansen. 9: Beregn den tilsynelatende effekten S i stjernekoblinga? 8: Beregn den omsatte effekten P f i lasten Z f. 9: Beregn de totale linjetapene for hele trefasekoblinga. 10: Beregn effektfaktoren cos(φ). 11: Vis at S 2 = P 2 Q 2 i det generelle tilfellet. 12: Vis fasespenninger og fasestrømmer som visere i det komplekse planet. 2: Beregn fasestrømmen I f. 3: Beregn spenningstapet V l langs én linje. 10: Beregn den totale effekten som omsettes i lasten. 11: Beregn virkningsgraden η. Oppgave (13.6) 1: Vis at en symetrisk konstant trefase last trekker en konstant effekt fra nettet. Oppgave (13.7) Denne oppgaven går ut på å beregne spenninger, Oppgave (13.8) Denne oppgaven går ut på å beregne spenninger, strømmer og effekter i et symetrisk trefasenettsomvistifigur Envelgerå brukeet per-fase skjema for beregningene som vist i figur For systemet er oppgitt følgende parametre fasespenningen er V f = V rms

188 188 KAPITTEL 13. TREFASE serieresistansen i én leder er R l = 2.0 Ω Fasit ekvivalentinduktivitetiénlinjeerl = 1.0 mh lastimpedansen Oppgave (13.1) Z 1 = Z 2 = Z 3 = (90j30) Ω 1: 1: Beregn linjeimpedansen Z l = Z l φ l. 2: Beregn fasestrømmen I f. 3: Beregn spenningstapet V l langs én linje. 4: BeregndenkomplekseeffektenS l ilinjeimpedansen Z l. 2: 5: Beregn effekttapet P l i én linje 6: Beregn spenningen V f. 7: BeregndenkomplekseeffektenS f ilastimpedansen Z f. 8: Beregn den omsatte effekten P f i lasten Z f. 9: Beregn detotale linjetapene P (3l) for alle tre fasene. 10: Beregn den totale effekten P som omsettes i lasten. 11: Vis at effekten som leveres av kilden V f er summen av effekttapet i overføringen og omsatt effekt i lasten. 12: Beregn virkningsgraden η. 3: V ab = V a V b = V f [1cos(120 )jsin(120 ) = V f [1.5j 3/2] = 3V f 30 = 3V a 30 V bc = V b V c = V f [cos(120 )jsin(120 ) cos(240 )jsin(240 )] = V f [0.5j 3/20.5j 3/2] = 3V f [j] = 3V f 90 = 3V b 30 V ca = V c V a = V f [cos(240 )jsin(240 )1)] = V f [0.5j 3/21] = 3V f 210 = 3V c 30 13: Beregn linjespenningen V ab, V bc og V ca. 14: Beregn fasestrømmene I ab, I bc og I ca. 15: Beregn den totale effekten P som omsettes i lasten ved å bruke linjespenning og fasestrøm. 16: Vis linjespenningene V ab, V bc og V ca og fasestrømmene I ab, I bc og I ca som visere i det komplekse planet. Oppgave (13.2) 1: Z = Z φ = ( ) 2: V a = (230 0 ) V rms V b = ( ) V rms V c = ( ) V rms

189 FASIT 189 3: 4: 5: I a = ( ) A rms I b = ( ) A rms I c = ( ) A rms V a = (325 0 ) V V b = ( ) V V c = ( ) V I a = ( ) A I b = ( ) A I c = ( ) A S b = V bi b 2 S c = V ci c 2 = VA = VA En ser at den komplekse effekten er den samme for alle fasene. S = S a = S b = S c Dette skyldes definisjonen av kompleks effekt. En multipliserer den komplekse spenningen med den kompleks konjugerte av den komplekse strømmen. Da forsvinner den delen av fasen som endrer seg fra fase til fase. Fasen i den komplekse effekten blir bestemt av fasen til lasten (nice). 8: S = S = VA 9: P f = S cos(φ)= W 10: Q f = S sin(φ)= VAR 6: Figuren viser at fasestrømmene ligger 16.7 etter fasespenningene. 11: P s = 3P f = 1456 W V c I c Oppgave (13.3) 1: 16.7 I a V a Z a = Z a φ a = ( ) Ω Z b = Z b φ b = ( ) Ω Z c = Z c φ c = ( ) Ω I b V b 2: V f = = V Figur 13.21: Visere for fasespenninger og fasestrømmer 7: S a = V ai a 2 = VA 3: V ab = ( ) V V bc = ( ) V V ca = ( ) V

190 I c 190 KAPITTEL 13. TREFASE 4: I a = V a Z a = ( ) A I b = V b Z b = ( ) A I c = V c Z c = ( ) A 9: I a I b I c = 0 I c = (I a I b ) Z c = V ca I a I b = (87.93j34.64) Ω 10: Figur viser fasestrømmer som visere. 5: I Nn = I a I b I c = ( ) A 6: Figur viser fasestrømmer som visere. I a I c I a I b I a I b I Nn Figur13.23: Av figuren kan en se at I a I b = I c. Da blir I a I b I c = 0. I b I a I b Figur 13.22: Av figuren ser et at I a I b I c. Derfor blir I Nn 0. 7: P a = = V f 2 cos(φ a ) = W Z a P b = = V f 2 cos(φ b ) = W Z b P c = = V f 2 cos(φ c ) = W Z c Oppgave (13.4) 1: 2: 3: V f = V l 3 = = (V) I f = V f R = = 8.3 A 16 I l = I f = 8.3 A P f = V f I f = = W 8: P s = P a P b P c = W 4: P s = 3P f = W

191 FASIT 191 5: Oppgave (13.5) 1: P t = 3 V l 2 R = W 4: 5: 6: φ = 21.8 P f = V f I f cos(φ) = 1520 W Q f = V f I f sin(φ) = 608 VA 2: V a = V l 3 = ( ) V rms V b = V l 3 = ( ) V rms V c = V l 3 = ( ) V rms Z = Z φ = ( ) Ω I a = V a Z = = ( ) A rms I b = V b Z = = ( ) A rms 7: 8: 9: 10: 11: P = 3P f = 4560 W Q = 3Q f = 1824 VA S = 3V f I f = 4912 VA cos(φ) = P S = P 2 Q 2 = V 2 I 2 cos 2 (φ)v 2 I 2 sin 2 (φ) = V 2 I 2 [cos 2 (φ)sin 2 (φ)] = V 2 I 2 = S 2 12: Figuren viser fasespenninger og -strømmer i stjernekoblinga. I c = V c Z = = ( ) A rms Vc φ Ic 3: I ab = 3I a e j30 = A rms I bc = 3I b e j30 = A rms I ca = 3I c e j30 = A rms I b V b φ φ I a V a Figur 13.24: Fasespenninger og -strømmer

192 192 KAPITTEL 13. TREFASE Oppgave (13.6) I denne oppgaven bruker en den trigonometriske identiteten cos 2 (ωt)cos 2 (ωt120 )cos 2 (ωt120 ) = 3 2 Den momentane effekten p(t) er konstant, uavhengig av tid. Da er dreiemomentet det samme rundt en hel omdreining. Oppgave (13.7) 1: De tre fasespenningene er gitt ved v a = V m cos(ωt) v b = V m cos(ωt120 ) v c = V m cos(ωt120 ) Alle fasene har samme last Z = Z φ. Momentanverdien for omsatt effekt i fase a er p a (t) = v2 a Z cos(φ) = V 2 m Z cos(φ)cos2 (ωt) Momentanverdien for omsatt effekt i fase b er p b (t) = v2 b Z cos(φ) = V 2 m Z cos(φ)cos2 (ωt120 ) Momentanverdien for omsatt effekt i fase c er p c (t) = v2 c Z cos(φ) = V 2 m Z cos(φ)cos2 (ωt120 ) 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: Z l = ( ) Ω V l = V rms I f = ( ) A rms S l = j1.771 VA P l = W V f = ( ) V rms S f = j VA P f = W P (3l) = W P (3f) = W p(t) = p a (t)p b (t)p c (t) = V 2 m Z cos(φ)[cos2 (ωt) cos 2 (ωt120 ) cos 2 (ωt120 )] 11: η = Oppgave (13.8) P (3f) P (3f) P (3l) 100% = % = 3 V 2 m 2Z cos(φ) = 3 V f 2 Z cos(φ) W 1: Z l = ( ) Ω

193 FASIT 193 2: I f = ( ) A rms 13: V ab = 3V f 30 3: 4: V l = V rms S l = 93.6j VA = V rms V bc = V ab 120 = V rms V ca = V ab 240 = V rms 5: 6: 7: 8: 9: P l = 93.6 W V f = ( ) V rms S f = j VA P f = W P (3l) = W 14: 15: I ab = V ab Z I bc = V bc Z I ca = V ca Z = A rms = A rms = A rms P = 3V ab I ab = W 16: Figuren under viser visere for linjespenninger og fasestrømmer. Im 10: P = W V ca I ca V ab 11: Den komplekse effekten fra kilden V f er S f = V f I f = j VA Den totake effekten fra trefasekilden levert til de tre fasene blir I ab Re P = 3Re{S f } = W I bc Vbc Summen av effekttapet i tilledningene og omsatt effekt i -koblinga er P (3l) P = W Figur 13.25: Visere for linjespenninger og fasestrømmer. 12: η = P P P (3l) 100% = %

194 194 KAPITTEL 13. TREFASE

195 Kapittel 14 Elektrisk felt, potensial og strøm I dette kapitlet skal vi innføre de viktigste begrepene i elektrisitetslæra. Elektrisitetslære er læra om elektriske ladninger. De fenomenene som registreres fra ladninger i ro behandles i elektrostatikken. Ladninger i bevegelse er utgangspunktet for elektromagnetismen Elektrisk ladning Elektrisitet har vært kjent for menneskene i lang tid. Når vi gnir en glasstang med en ullklut blir stanga elektrisk. Det merker vi ved at stanga kan tiltrekke seg et stykke papir. Fenomenet elektrisitet blir anskuelig ved de kreftene som oppstår rundt den elektriske materien. Derfor er det kreftene fra elektrisiteten som er utgangspunktet for å utvikle en fysisk modell som forklarer de fenomenene vi observerer som resultat av elektrisisteten. Det finnes ikke én modell som forklarer alt. Derfor skiller en mellom en makroskopisk og en mikroskopisk modell. Den mikroskopiske modellen behandler fenomener som oppstår i mikrokosmos, det vil si på atomnivå der en betrakter ensembler av et lite antall partikler i et lukket system. Den makroskopiske modellen beskriver fenomener som oppstår fra et stort antall partikler. Konkret betyr det et stort antall ladninger innen det systemet som betraktes. I denne boken skal vi bare bruke den makroskopiske modellen Materiens oppbygning All materie består av atomer. Ett atom består av en sentral kjerne med ett eller flere elektroner som 195 kretser rundt kjerna. Eksperimenter viser at kjerna består av flere partikler, de viktigste er protoner og nøytroner. Eksperimenter viser også at protonene og elektronene er elektriske ladninger mens nøytronene er elektrisk nøytrale. Det er to typer elektriske ladninger. Det ser en fordi to protoner eller to elektroner har en gjensidig kraftvirkning som fratsøter hverander, mens ett proton og ett elektron tiltrekker hverandre. En har valgt å si at protonet er positivt mens elektronet er negativt. Protonet og elektronet har like stor elektrisk ladning, men med motsatt fortegn. En sier at de er motsatt like store. Denne ladningsmengden er den minste som er observert i naturen. Den kalles derfor elementærladningen. I det følgende lister vi opp noen egenskaper og fakta som er knyttet til elektriske ladninger. Ladningentil et elektron og et proton erlike store i tallverdi, men med motsatt fortegn. Elektronet er negativt og protonet er positivt. Kraften som virker rundt en ladning kalles et elektrisk felt. Like ladninger frastøter hverandre mens ulike ladninger tiltrekker hverandre. Elektrisk ladning betegnes med Q og måles med enheten Coulomb (C). Coulomb er en avledet enhet fra grunnenhetene ampere og sekund. 1 C er den ladningsmengden som passerer et tverrsnitt av en leder i løpet av 1 s når strømmen er 1 A.

196 196 KAPITTEL 14. ELEKTRISK FELT, POTENSIAL OG STRØM Ladingen til et elektron kalles en elementærladning. Den har fått det spesielle symbolet e med verdien e = C. I elektrostatikken snakker en om punktladninger Q. Da mener en ladninger med en vilkårlig størrelse konsentrert innen et lite område.medliteområdemenerenetområde som har liten utstrekning iforhold til de andre dimensjonene i det systemet som betraktes. Et eksempel vil illustrere hva som menes med en punktladning. Ladningen Q = 0.2 nc er konsentret i en kule med radius r = 1 mm. Kraftvirkningen fra ladningen måles i en avstand av 1 m fra kulas sentrum. I dette tilfellet er Q en punktladning fordi ladningens fysiske utstrekning er liten i forhold den avstanden der kraften måles. Punktladning i elektrostatikken har sin analogi til massepunkt i mekanikken. En bruker også begrepet prøveladning q. En prøveladning er liten både i verdi og fysisk utstrekning. Når en sier en prøveladning er liten i verdi mener en liten i forhold til de andre ladningene i systemet. Anta en punktladning Q = 1 nc. En ønsker å registrere kraften fra denne ladningen ved å innføre en prøveladning i kraftfeltet. Da må prøveladningen være liten, slik at den ikke påvirker det feltet som skal måles. Hva som er liten i en slik sammenheng må bestemmes i hvert enkelt tilfelle. Det kan tenkes en sier at prøveladninegn må være mindre enn 1 % av punktladningen. I dette tilfellet vil det si at q < 10 pc Coulombs lov To punktladninger Q 1 og Q 2 er plasssert i en avstand r fra hverandre. F 1 F2 Q 1 e r r Q 2 med en kraft på Q 2 og Q 2 virker med en kraft på Q 1. Coulomb oppdaget at kraften mellom to ladninger er proporsjonal med ladningenes verdi og omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden r mellom dem. Retningen på kraften er langs linja som går gjennom ladningene. Kraften går utover når ladningene har samme fortegn og innover når de er ulike. Det vil si at like ladninger frastøter hverandre mens ulike tiltrekkes. Dette er Coulombs lov som kan formuleres matematisk med uttrykket F 2 = F 1 = Q 1 Q 2 4πɛ 0 r 2 e r Q 2 virker med kraften F 1 på Q 1 og Q 1 virker med kraften F 2 på Q 2. Tallverdien til kraften mellom to ladninger blir F c = Q 1 Q 2 4πɛ 0 r 2 (14.1) der F c kalles coulombkraften. Coulomb s lov har samme form som Newton s gravitasjonslov. To punktmasser m 1 og m 2 i en avstand r har en gjensidig kraftvirkning. Gravitasjonskraften F g mellom dem er gitt av Newtons gravitasjonslov F g = G m1 m 2 r 2 e r (14.2) der G er den generelle gravitasjonskonstanten. Det viser seg at coulombkreftene mellom elektriske ladninger er mye sterkere enn gravitasjonskreftene mellom masser. Tallverdien til forholdet mellom disse ulike kreftene er gitt ved F c F g = 1 q 1 q 2 (14.3) G 4πɛ 0 m 1 m 2 Dette forholdet er så stort at en kan se bort fra gravitasjonskreftene i et system der det er coulombkrefter Elektrisk feltstyrke Mellom ladningene er det krefter. Q 1 virker Rommet rundt en elektrisk ladning Q er i en spesiell tilstand på grunn av ladningen. Dette kan

197 14.3. ELEKTRISK FELTSTYRKE 197 en registrere ved å føre en prøveladning q inn i området til Q. Det virker en kraft på q og kraften kommer fra Q Feltstyrken fra en punktladning Kraften på ladningen q blir Q y e r Prøveladningen q plasseres på forskjellige steder og en registrerer retningen og størrelsen på kraften. Retningen blir den samme, men størrelsen på kraften endrer seg når verdien av q endrer seg. Får å få et mål for den spesielle tilstanden i rommet rundt Q som skyldes Q innfører en den elektriske feltstyrken E som kraften fra feltet rundt Q per enhetsladning. q F x F = q E (14.5) Det viser at kraften i et elektrisk felt er proporsjonal med feltets styrke og størrelsen på den ladningen som befinner seg i feltet. Hvis en i figuren til høyre antar at Q er en punktladning og q en prøveladning kan en beregne feltstyrken rundt Q. Kraften F mellom Q og q beregner en med Coulomb s lov fra ligning Ved å dividere denne kraften med q får en den elektriske feltstyrken E = Q 4πɛ 0 r 2 e r (14.6) E = F q (14.4) For hvert punkt rundt Q kan vi tilordne en vektor. Feltet fra Q er et vektorfelt. Ladningen Q som lager feltet er feltets kilde. Fra definisjonen av feltstyrke i ligning (14.4) fremgår det at feltstyrke får enheten N/C. Det er mere vanlig å uttrykke denne enheten i V/m ved overgangen N C = Nm Cm = Ws Cm = VAs mas = V m q r Q En kan anskueligjøre det elektriske feltet geometrisk ved å tegne feltlinjer. Tangenten til en feltlinje i et punkt er retningen på feltet i punktet. Avstanden mellom feltlinjene er et mål for feltets styrke. Liten avstand betyr kraftig felt. En elektrisk feltlinje starter på en positiv ladning og enderpåennegativ. Detvilsiatenelektriskfeltlinje har en begynnelse og en slutt. I figuren over har en illustrert det elektriske feltet med vektorer som går radiellt ut fra Q. En vektor nær Q er lang fordi der er feltet kraftig. Lengden av vektorene avtar etter hvert som avstanden til Q øker. Dette symboliserer at feltets styrke avtar når avstanden til Q øker.

198 198 KAPITTEL 14. ELEKTRISK FELT, POTENSIAL OG STRØM 14.4 Elektrisk potensial og elektrisk spenning Den spesielle tilstanden rundt elektriske ladninger beskrives med feltvektoren E. Vektorer er kompliserte i praktiske anvendelser. Feltvektoren E ble introdusert ved kraften mellom ladninger. Nå skal vi lage en alternativ feltbeskrivelse basert på energi. Da får vi et skalart felt som er lettere å bruke i praksis. Spenningen mellom to punkter er lik potensialforskjellen mellom punktene Potensialfeltet mellom to parallelle plater Vi betrakter to parallelle plater som vist i figuren under Potensialfeltet fra en punktladning V d W 2 W 1 s s En tenker seg en punktladning Q og en prøveladning q som vist i figuren over. Prøveladningen er lokalisert med vektoren r. Nå antar vi at prøveladningen befinnersegienuendeligstoravstandfraq.daer kraftvirkningen mellom q og Q lik null. En antar videreatq ogqharsammepolaritet,foreksempel positive ladninger. Når en skal bringe q inn mot Q må en bruke en kraft på grunnav frastøtningen mellom ladningene. Det må utføres et arbeide på q. Arbeidet som utføres på q fra uendelig inntil en avstand r fra Q blir W(r) = r q E d s der s er en fri integrasjonsvariabel. Minustegnet skyldes at intergrasjonsvegen er motsatt rettet feltet. W(r) er det arbeidet som er utført på q i feltet fra Q. Dette arbeidet avhenger både av q og Q. Hvis vi dividerer W(r) med q får vi en funksjonsombareavhengeravqogavstandenfra Q. Denne funksjonen beskriver det skalare potensialfeltet φ(r) rundt Q Avstanden mellom platene er d. Platene er så store iforhold til avstanden at vi kan regne det elektriske feltet E som konstant overalt mellom platene. Mellom platene er det en positiv prøveladning q i avstand s fra nederste plate. Mellom platene ligger spenningen V. Vi definerer potensialet til nedreplate lik null. Påladningenq virker kraften F = qe (14.7) I avstanden s har q en potensiell energi F W 1 = F s = qes Det elektriske potensialet i dette punktet blir φ 1 = W 1 q = E s q bringes til posisjonen s s. Da har den potensielle energien endret seg til 0 r φ(r) = E d s = Q r ds 4πɛ 0 s 2 = Q 4πɛ 0 r Nå ser vi på to forskjellige avstander a og b fra Q. I avstand a er det elektriske potensialet φ(a) og i avstand b er det φ(b). Potensialforskjellen mellom a og b kalles spenningen mellom punktene a og b V ab = φ(a)φ(b) = b a E d s W 2 = F (s s) = qe (s s) Potensialet i avstanden (s s) blir φ 2 = W 2 q = E (s s) Potensialforskjellen mellom de to punktene er spenningen V mellom punktene V = φ = φ 2 φ 1 = E s

199 14.5. ELEKTRISK STRØM 199 I det spesielle tilfellet da s = d får vi V = E d E = V d Den homogene feltstyrken mellom to plater er lik spenningen mellom platene dividert med avstanden mellom dem Elektrisk strøm Rundt en elektrisk ladning Q er rommet i en spesiell tilstand. Det virker krefter på andre ladninger som kommer i nærheten av Q. Det elektriske feltet er et mål for denne kraftvirkningen, både i verdi og retning. Fra vektorfeltet E avledes det skalare potensialfeltet φ(x, y) som et energimål for den spesielle tilstanden rundt Q. Fra skalarfeltet φ(x, y) defineres spenningen V mellom to punkter i feltet som potensialforskjellen mellom de to punktene. Dette er det statiske tilfellet, når ladningene er i ro. Nå skal vi betrakte det dynamiske tilfellet, når ladninger beveger seg. En elektrisk ladning i bevegelse omgir seg med det samme elektriske feltet som når den er i ro, men i tillegg har den et magnetisk felt. Derfor kalles den delen av elektrisitetslæra som behandler ladninger i bevegelse for elektromagnetisme. Ladninger i bevegelse er en elektrisk strøm. Vi skal se på de tilfellene der ladningstransporten skjer i faste stoffer. Det viser seg at ulike materialer har forskjellig evne til å transportere elektriske ladninger. Vi deler derfor faste stoffer inn i 3 grupper, avhengig av deres evne til å lede elektriske ladninger. Ledere: De fleste gode ledere er metaller. Eksempler er sølv, gull og aluminium Halvledere: Halvledere har, som navnet antyder, en ledningsevne som ligger mellom ledere og isolatorer. Eksempler på vanlige halvledere er Germanium, Silisium og Gallium Arsenide Isolatorer: Isolatorer har liten elektrisk ledningsevne. Eksempler på isolatorer er kvarts, glass og bakelitt. Det finnes også superledere. Dette er materialer med en ekstremt høy ledningsevne ved lave temperaturer, ned mot 3 4 K. I en metallisk leder er det elektroner som kan bevege seg nesten fritt i metallet. Hvis lederen ikke utsettes for et ytre elektrisk felt vil elektronene bevege seg helt tilfeldig i alle retninger. Elektronene beveger seg meden stor fartihelt tilfeldige retninger. Denne farten er i størrelsesorden 10 6 m/s.hvis lederen bringesinniet elektrisk felt med en bestemt retning vil elektronene påvirkes med en kraft F = e E. Elektronene akslererer i mot feltets retning. Hvis de ikke møter noen hindringer vil de få en stadig høyere hastighet og oppnå en stor kinetisk energi. Dette er ikke tilfellet i en metallisk leder. Elektronene vil kolidere med ioner som ligger fast i krystallstrukturen. Under kollisjonen mister de kinetisk energi. Denne energien overføres til krystallet som tilfeldige bevegelser på samme måte som varme. Elektronet har avgitt kinetisk energi til krystallet i form av varme. Etter en kollisjon fortsetter elektronet med mindre fart og en ny tilfeldig retning. Den midlere vektorielle summen av alle bevegelsene til elektronene i et område er lik 0. Netto ladningstransport blir 0 og det gir ingen strøm. For gode ledere er denne varmeutviklingen liten. Disse lederne har en liten resistivitet. Det elektrsike feltet fører til en netto transport av elektroner imot feltets retning. Alle elektronene har forskjellig hastighet. Derfor innfører en en midlere driftshastighet v d som en vektor siden retningen på elektrondriften kan være forskjellig i ulike sammenhenger. Nå betrakter vi et tverrsnitt S av en leder. Dette er vist i figuren under. v d l S Figur 14.1: ele055 E

200 200 KAPITTEL 14. ELEKTRISK FELT, POTENSIAL OG STRØM Vi innfører ladningskonsentrasjonen n som antall ladninger per m 3. Vi antar at alle ladningene som passerer tverrsnittet S har samme driftshastighet v d. I tidsintervallet t har ladningene beveget seg lengden l = v d t. Vi betrakter et utsnitt av en leder i form av en sylinder med areal S og lengde l. De ladningene som kommer inn mot sylinderen på høyre siden er de samme ladningene som kommer ut av sylinderen ved tidspunktet t senere. Volumet V av sylinderen er V = S l = Sv d t Antall ladninger N innen dette volumet er lik ladningstettheten n ganger volumet V N = Vn = nsv d t Den totale ladningsmengden i dette volumet er antall ladninger i volumet ganger ladningsmengden q til én ladning Q = nqv d S t Vi definerer strømmen gjennom flata S som grensen av Q/ t når t går mot 0. Q I = lim t 0 t = nqv ds Elektrisk strøm er ladningstransport per tidsenhet Enheten for strøm er ampere (A) etter den franske fysikeren André Marie Ampére( ) Konvensjonelle strømretning Vi har sett at i en metallisk leder foregår ladningstransporten ved negative elektroner fra minuspolen til plusspolen. Vi bruker imidlertid den konvensjonelle strømretningen. Den sier at det går en positiv strøm fra plusspolen til minuspolen Strømtetthet J Når vi uttrykker strømmen som funksjon av ladningstettheten blir den proporsjonal med tverrsnittet S av lederen. Det er hensiktsmessig å innføre strømtettheten J som strøm per flateenhet. J = I S = nqv d A/m 2 I figuren over er strømretningen normalt på den flaten som strømmen går gjennom. Dette er ikke alltid tilfellet. Det kan være en vilkårlig vinkel mellom vektoren v d og flata S. I tillegg kan S være en krum flate. Derfor innfører vi enhetsvektoren n som står normalt på et infinitesimalt flateelement ds. Det er normalkomponenten av v d på flateelementet ds som gir den effektive driftshastigheten gjennom ds. Antall ladninger gjennom ds i tidsintervallet dt blir da dq = qn( v n)dtds Strømmen di gjennom dette volumet er per definisjon av strøm lik di = dq dt = qn( v n)ds = ( J n)ds Den totale strømmen gjennom hele flata blir I = ( J n)ds S Strømmen gjennom en flate er lik fluksen av strømtettheten i flata Siden J er en vektor må vi ha en oppfatning om hva vi mener med fluksen til en vektor. Begrepet fluks i elektisitetslæra har sin analogi med fluks i hydrodynamikken. Ordet kommer fra det latinske ordet fluere som betyr å strømme. Når en veske strømmer i et avgrenset område har vi et strømningsfelt. Molekyler i veska som beveger seg i bestemte retninger med en bestemt fart. Dette feltet må beskrives med en feltvektor for å ta hensyn til fart og retning. I noen områder er strømningsfeltet kraftigere enn i andre områder. Dette er grunnlaget for å snakke om en flukstetthet.

201 14.7. FASIT Oppgaver Oppgave (14.1) 1: Hvor stor er den totale ladningsmengden Q til elektroner? 2: I et lukket system er det elektroner og protoner. Hvor stor er systemets totale ladningsmengde Q? 3: Hvor mange elektroner er det i 1 Coulomb? Oppgave (14.2) TopunktladningerQ 1 ogq 2 erplassertietrettvinkletkoordinatsystem(x,y)derenhetener1m.q 1 er i posisjonen (2,2) og har verdien 2 nc. Q 2 er i posisjonen (5,4) og har verdien 6 nc. 1: Beregn tallverdien F til kraften mellom ladningene. 2: Hvor stor er kraften F 1 som virker på Q 1 fra Q 2? 3: Hvor stor er kraften F 2 som viker på Q 2 fra Q 1? Oppgave (14.3) I denne oppgaven skal vi beregne coulombkraften og gravitasjonskraften mellom protonet og elektronet i et hydrogenatom, når atomet befinner seg i sin grunntilstand. I oppgaven brukes følgende betegnelser: Elektronets ladning e, protonets ladningq,elektronetshvilemassem e,protonetshvilemasse m p og den universelle gravitasjonskonstanten G. r er den midlere avstanden mellom et elektron og et proton i et hydrogenatom når atomet er i grunntilstanden. e = C q = C m e = kg m p = kg r = m G = Nm 2 /kg 2 1: Beregncoulombkraften F c mellomprotonet og elektronet. 2: Beregn gravitasjonskraften F g mellom protonet og elektronet. 3: Beregn forholdet F c / F g. Oppgave (14.4) To store kobberplater er plassert i en avstand av d = 1 cm. En kan regne at det elektriske feltet mellom platene er homogent. Over platene ligger likespenningen V = 10 V. 1: Beregn feltstyrken E mellom platene 2: Et elektron bringes inn mellom platene. Hvor stor er kraften på dette elektronet? 3: Anta at elektronet har hastigheten 0 ved den negative plata og akselererer mot den positive plata. Hvor stor er elektronets kinetiske energi når det treffer den positive plata? 4: Hvor stor er elektronets kinetiske energi i ev når det treffer den positive plata? 5: Hvor stor er elektronets hastighet når det treffer den positive plata? 14.7 Fasit Oppgave (14.1) 1: Ladningsmengden til ett elektron er e = C Q = e = C

202 202 KAPITTEL 14. ELEKTRISK FELT, POTENSIAL OG STRØM 2: 3: Q = e ( ) = C N e = 1 e = = : Oppgave (14.4) 1: F c F g = E = V d = 1000 V/m Oppgave (14.2) 1: Tomromspermitiviteten er ɛ 0 = F/m Avstanden r mellom ladningene er lik den euklidske avstanden mellom punktene 2: 3: Feltet har retning fra den positive til den negative plata F = e E = N W k = F d = e E d = J 2: r = (52) 2 (42) 2 = 13 m F = Q 1 Q 2 4πɛ 0 r 2 = N 4: 5: W k = 10 ev W k = 1 2 m ev 2 F 1 = Q 1 Q 2 4πɛ 0 r 2 = ( ) N v = m/s 3: F 2 = Q 1 Q 2 4πɛ 0 r 2 = ( ) N Oppgave (14.3) 1: F c = e q 4πɛ 0 r 2 = N 2: F g = G me m p r 2 = N

203 Bibliografi [1] Chris Bowick. RF Circuit Design. Newnes ISBN , [2] Zoya Popović Branko D. Popović. Electromagnetics. Prentice Hall ISBN , [3] Russel M. Mersereau Joel R. Jackson. Circuit Analysis. Prentice Hall ISBN , [4] Reinhold Ludwig Pavel Bretchko. RF Circuit Design. Prentice Hall ISBN , [5] Halliday Resnick Walker. Fundamentals of Physics Extended. John Wiley & Sons, INC ISBN , [6] James W. Nilsson Susan A. Riedel. Electric circuits. Prentice Hall ISBN , [7] Timothy L. Skvarenina William E. De- Witt. Elektrical Power and Controls. Prentice Hall ISBN , [8] Donald G. Fink. Elektronic Engineers Handbook. McGraw-Hill Company ISBN , [9] Otto Øgrim og Bjørn Lian. Fysiske Størrelser og Enheter. Universitetsforlaget ISBN , [10] Allan R. Hambley. Electrical Engineering. Person ISBN , [11] Stephen Hawking. A stubbornly Persistent Illusion. Running Press ISBN , [12] MSE Joseph Edminster. Elektromagnetics. McGRAW-HILL ISBN , [13] Roland E. Thomas Albert J.Rosa. The Analasys and Design of Linear Circuit. Prenticd Hall Inc. ISBN , [14] Karl Küpfmüller. Einfürung in die theoretishe Elektrotechnik. Springer - Verlag ISBN , [15] Lee Smolin. The Trouble with Physics. A Mariner Book ISBN-13: , [16] Frederick Emmons Terman. Radio Engineers Handbook. McGraw-Hill Company, Inc., [17] Mac E. Van Valkenburg. Referencd Data for Engineers. SAMS ISBN , [18] Theodore Wildi. Electrical Machines, Drives, and Power Systems. Prentice Hall ISBN ,

204 Register ankerviklinger, 173 basis, 81 coulombkraften, 196 definisjon, 176 elementærladningen, 31 energiens bevarelse, 27 fasespenning, 175, 176 fasespenninger, 174 fasestrømmene, 178 forbrukere, 183 fordelingsnett, 183 frekvensresponser, 86 harmonisk forvrenging, 32 havledere, 19 Hi-Fi audioforsterkere, 24 kompleks strøm, 83 komplekse planet, 174 komponenter, 18 last resistans, 183 linjespenningene, 175 magnetfelt, 173 magnetisering strømmen, 173 nøytralpunktene, 176 NEK, 183 permanentmagneter, 173 prefikser, 17 returstrøm, 176 siemens, 24 spenningsstyrt strømkilde, 20 standard, 183 tilførsels ledningen, 183 trefase, 173 trefase nett, 183 trekantkobling, 178 vinkelhastigheten, 174 viser, 176 visere, 174 absolutt permitivitet, 129 aktive komponenter, 18 Albert Einstein, 13 Andrè Marie Ampe`re, 13 atomer, 13 audioforsterkere, 32 avledede enheter, 15, 16 batteri, 18 Bel, 29 Benjamin Franklin, 11 Biot Savarts s lov, 12 bipolar transistor, 18 Bode plot, 86 Coulomb, 196 Coulomb s lov, 11 coulombkreftene, 196 db, 29 decibel, 29 definisjoner, 17 diamantskive, 23 dielektrisitetskonstant, 127 dielektrisk materiale, 127 differensialkvotient, 31 dioder, 18 dreiemoment, 19 effekt og energi, 27 effekt i trekantkobling, 178 effektbegrensning, 23 effektivverdi, 18 effektivverdien, 175 effektivverdier, 176 effektomsetning, 180 elektrisk felt, 127 elektrisk feltstyrke, 196 elektrisk spenning,

205 REGISTER 205 elektrisk strøm, 12, 18 elektrisk utstyr, 183 elektriske krefter, 11 elektriske kretser, 18 elektriske ladninger, 11 elektromagnetisme, 12 elementære kretselementer, 18 elementærladning, 196 elementærmagneter, 13 elkraftsystemer, 176 energiomsetning, 28 enhets ladning, 21 følspmhet GSM telefon, 30 fargekoding av motstander, 26 fargeringer, 26 fasestrømmene, 176 feltteoretisk forklaring, 21 forsterker, 29 frekvendomenebeskrivelse, 81 frekvensdomenet, 109 fysiske konstanter, 17 Graham Bel, 29 gravitasjon, 11 gravitasjonskonstanten, 196 gravitasjonskreftene, 196 gren, 37 grenstrømmetoden, 67 grunnenheter, 15 GSM telefon, 30 halvledere, 18 Hans Christian Ørsted, 12 HS Hand Set, 30 Impedansbro, 165 infinitesimal, 31 jernmalm, 11 kapasitans, 127 klangfarge, 32 koherent målesystem, 16 kompassnål, 12 kompleks amplitude, 83 kompleks funksjon, 86 komplekse impedansen, 133 komplekse responsen, 86 komplekse spenninger, 173 kondensator, 127 kondensator i vekselstrømkretser, 129 konduktans, 24 koordinatsystem, 201 Kretsteoremer, 53 Kull-masse motstander, 23 Kull-skikt motstander, 23 Ladningen, 195 laserstråle, 23 lavspente fordelingsnett, 183 ledningsevne, 24 likespenning, 18 likestrømkretser, 37 linjestrømmene, 176 Ludwig Boltzman, 12 måling av resistans, 44 måltall, 15 magnetisk felt, 12 magnetisk fluks, 87 magnetiske fenomener, 11, 12 magnetiske poler, 12 Magnetisme, 97 magnetisme, 11 magnetomotorisk spenning, 100 makromodell, 31 mangekant, 37 maske, 37 maskestrømmetoden, 67 massemotstand, 24 Maxwell James Clark, 12 Maxwell ligninger, 12 Maxwell s bro, 166 Metall-film motstand, 24 Modell av kilder, 53 modellbeskrivelse, 31 momentan effekt, 182 Motstand ved høye frekvenser, 25 n-materialer, 19 nøytralpunkt, 175 negative ladninger, 127 negative ladninger, 11 NEK 400, 184

206 206 REGISTER Newton s lov, 11 Newton s lover, 12 node, 37 nodespenningsmetoden, 67 nordpol, 12 Nyquist plot, 86 Ohm s lov, 24 overføringstap, 183 p-materialer, 19 paracitic, 25 parallellkobling, 42 parallellkobling av kondensatorer, 129 parallellkretser, 37 parametrene, 81 parametrisert kurve, 86 passive komponenter, 18 permeansen, 101 positive ladninger, 11, 127 radiorør, 32 RC kretser, 133 reaktive komponenter, 19 reelle responser, 86 relativ dielektrisitetskonstant, 128 relativitetsteori, 13 relativitetsteori spesiell, 13 resistiv last, 43 returledningen, 176 RLC kretser, 159 rotoren, 87 statisk elektrisitet, 11 statisk elektrisk, 11 statoren, 173 stjernekobling, , 180 strømdeling, 42 strømretning, 11 strømsløyfe, 37 strømstyrt strømkilde, 20 strømveg, 37 sydpol, 12 symetrisk last, 176, 182 symetrisk stjernekobling, 176 The Grand Unification Theory, 13 tidsdomenebeskrivelse, 81 tidsdomenet, 109 tomromspermitiviteten, 128 trefase generator, 173 ulineære komponenter, 32 varme, 17 vekselspenning, 18 Volta, 12 Wheatstone s bro, 43 Serie RC krets, 133 serie parallellkretser, 37 serie-parallellkrets, 43 seriekobling av kondensatorer, 129 seriekretser, 37 signaleffekt, 30 Sir Isac Newton, 12 sirkulære spenninger, 81 sjiktmotstand, 24 spenning, 17 spenningsdeler, 43 spenningskilder, 22 spesifik ledningsevne, 24 Størrelses ligning, 16