Homotopi Type Teori. Bjørn Ian Dundas. Hva er et bevis? Hva vil det si at to ting er like? Bergen, Januar 2017

Transkript

1 Homotopi Type Teori Hva er et bevis? Hva vil det si at to ting er like? Bergen, Januar 2017 Bjørn Ian Dundas

2 Hva er et bevis? Historisk: en henvisning til en autoritet. F.eks. Aristoteles (kraft), Bibelen (kreasjonisme), Plinius (alt), Olaus Magnus (fabeldyr), RealTrueNews (Trump), VG (medisinsk forskning) I en rettsak: overbevisende sannsynliggjøring (DNA, vitner ) I naturvitenskap: hypotetisk deduktiv metode, gjentatte forsøk/ observasjoner (tyngdelov, evolusjonsteori, kvanteteori, relativitetsteori)

3 Hva er et bevis? Logiske bevis: reglene er faste og argumentene forholder seg kun til reglene i bondesjakk taper du aldri i sjakk vil de to hvite løperne alltid stå på felt med motsatt farve

4 Hva er et bevis? Postmodernistene: intet er sant? Matematikere er mennesker. Mennesker feiler. Likevel har vi latt hele samfunnet avhenge av matematikk Fra atomstridshoder til minibank

5 Formalisering og verifisering av matematikk Er det mulig? Er det ønskelig? Vil det øke troverdigheten?* Lang historie Viktige suksesser Et nytt oppsett med nye ideer. *formaliserte bevis er typisk vanvittig lange og helt uleselige for mennesker

6 Hva vil det si at to ting er like? 7 = = 3 4/6 = 2/3 17( )/( ) = 1 Hva enn du gjør med to like ting må utfallet bli likt a = b => f(a) = f(b)

7 Hva vil det si at to ting er like? {1,2,3,4, } = {I,II,III,IV, } ({positiv,negativ}, ganger) = ({jevn, odde}, pluss) `Hva enn du gjør med to `like ting må utfallet bli `likt Hva enn `hva enn betyr

8 Hva enn `hva enn betyr Trenger et sprog som behandler bevis for likhet korrekt og enten 1. gjør det lett å uttrykke og teste for `hva enn (det som må bevare likhet), eller 2. kan uttrykke kun det som må bevare likhet Klassisk går vi for 1 (men lett er langt fra riktig ord). I dag går vi for 2!!

9 HoTT* Geometerens fornemmelse for logikk Et bevis for at a og b i X er like er en sti fra a til b. Så, a og b er like nøyaktig om rommet Id X (a,b) av stier fra a til b er ikketomt a b * Homotopi Type Teori. Awodey, Voevodsky, Warren (~06, Homotopy models of intensional type theory) Tett ved: Hofmann and Streicher (1998)

10 HoTT a b Rommet Id X (a,b) av stier fra a til b i X, dvs. bevis for at a og b er like. a og b kan være like på mange måter. a kan være lik seg selv på mange måter. gir mening å spørre: er to bevis like? a

11 På hvilken måte hjelper dette? Vi kan oversette matematiske bevis til automatisk bevisverifikasjon. Sertifisert: et utsagn om at to ting er like kommer alltid med et bevis; det er dette beviset som tas videre om utsagnet brukes for å utlede andre bevis. Mye tettere ved hvordan matematikere tenker om matematikk enn tradisjonelle formaliseringer. Likefullt: manglende kraft* * kan f.eks. ikke vise at to `svarte bokser er like selv om de alltid, gitt samme input, gir samme output

12 Univalens Den nye modellen gir opphav til ny innsikt: rom kan deformeres. Viser seg at deformasjon er en hva enn: vi bør kun formulere utsagn som er invariante under deformasjon. Voevodskys Univalens Aksiom gir det nøyaktige forholdet mellom likhet og deformasjon. All animals are equal, but some animals are more equal than others.

13 Univalens Aksiomet Voevodskys Univalens Aksiom gir det nøyaktige forholdet mellom likhet og deformasjon: Tilordningen Id(X,Y) som betrakter en likhet Eq(X,Y) som en `likhet opp til deformasjon er en `likhet opp til deformasjon Dette er den vanskeligste sliden: ok å være litt/helt forvirret

14 Univalens Aksiomet Id(X,Y) Eq(X,Y) er en likhet opp til deformasjon for å bevise likhet er det nok å vise likhet opp til deformasjon hva enn vi kan uttrykke i dette sproget er invariant under deformasjoner og håndterer elegant situasjoner med komplekse likhetsbegrep.

15 Univalens Aksiomet Aksiomet er sant for rom* Implementeres som `en del av programpakken og gir effektiv beregnbarhet.** Vil du kun regne med false/true: still utelukkende spørsmålet `tomt eller ikketomt? Id(X,Y) Eq(X,Y) er en likhet opp til deformasjon * sikrer at oppsettet er like `konsistent som annen matematikk ** `vi regner med rom!

16 Vårt lokale team* Forskningsrrådsprosjektet Computational Aspects of Univalence (informatikk/ matematikk) har som mål å verifisere spesielle deler av matematikk * De eneste i Norge i fagfeltet

17 The dream team CAS (DNVA, 2018/19) Homotopy Type Theory and Univalent Foundations Voevodsky Awodey Coquand Dybjer Grayson

18 CAS Center for Advanced Studies ved Det Norske Videnskaps- Akademi Hvert år ett program i hvert av: Samfunnsvitenskap/Juss, Humaniora/Teologi, Naturvitenskap/Medisin/Matematikk

19 CAS Ti år siden sist prosjekt fra Bergen In Synch: How Synchronization and Mediation produce Collective Times, Then and Now The Demise of Religion Homotopy Type Theory and Univalent Foundations Vi ser at det ikke er kun matematikktitler som er helt uforståelige for de uinvidde

20 About CAS Fra CAS hjemmeside: The Centre for Advanced Study (CAS) is Norway s only basic research institution of excellence that is both interdisciplinary and international. Each year, outstanding researchers from Norwegian academic institutions can apply to spend a year researching at CAS. The Centre facilitates a bustling research environment, enabling interaction between scholars from a variety of disciplines and countries in quiet and beautiful surroundings. Our goal is to enhance and internationalise independent basic research.

21 HoTT og Univalens Hva er et bevis? Når er to ting like? Takk for oppmerksomheten

22 HoTT and Univalent Foundations The theme fits with CAS format: we gather the world s top expertise in the field to collaborate, creating a `bustling research environment in quiet and beautiful surroundings. At the same time; it is an enormous boost for our local team (putting quite a lot of pressure on our performance in the time leading up to CAS). We identify some key goals; both wrt. foundational/structural questions and formalization/computer verification. Both long term goals (e.g., prove canonicity) and short term goals (expand the Coq library).

23 HoTT and Univalent Foundations Central goals to formalize and verify central proofs in mathematics, including some in K- theory, to extend the basis of certified mathematics in a form suited for other scientific disciplines, to develop the meta-theory, partly with a view to computational interpretations and partly to explore to what extent HoTT can be made to study coherence questions, to consolidate and advance the cooperation between scientists in computer science and mathematics, both nationally and internationally, to document the progress after the model of The Univalent Foundation Program at IAS, Princeton: and in the GitHub repositories, in addition to papers in peer reviewed journals.