Integrale cu parametru

1 Definiti integrlei cu prmetru Derivre integrlelor cu prmetru Integrre unei integrle cu prmetru 2 3

Definiti integrlei cu prmetru Definiti integrlei cu prmetru Derivre integrlelor cu prmetru Integrre unei integrle cu prmetru Definiţi Dcă f : [, b] R R este o funcţie cu propriette că pentru orice y R, există integrl F(y) = b tunci F(y) se numeşte integrlă cu prmetru. f (x, y)dx (1)

Definiti integrlei cu prmetru Derivre integrlelor cu prmetru Integrre unei integrle cu prmetru Continuitte integrlei cu prmetru Teorem Dcă f : [, b] [c, d] R este continuă, tunci funcţi F este continuă pe [c, d].

Definiti integrlei cu prmetru Derivre integrlelor cu prmetru Integrre unei integrle cu prmetru Derivbilitte integrlei cu prmetru Teorem Dcă f : [, b] [c, d] R şi u loc: i. y [c, d] există integrl cu prmetru F(y) = b f (x, y)dx ii. există f continuă pe [, b] [c, d] y tunci F este derivbilă şi F (y) = b f (x, y)dx. (2) y

Teorem lui Leibniz Definiti integrlei cu prmetru Derivre integrlelor cu prmetru Integrre unei integrle cu prmetru Teorem Fie integrl cu prmetru F(y) = β(y) α(y) f (x, y)dx, y [c, d] şi presupunem îndeplinite următorele ipoteze i. funcţiile α, β : [c, d] [, b] sunt derivbile, ii. f : [, b] [c, d] R este o funcţie continuă, iii. există f : [, b] [c, d] R, continuă y tunci F este derivbilă şi re loc formul β(y) F (y) = f (β(y), y)β (y) f (α(y), y)α f (y) + (x, y)dx. α(y) y (3)

Definiti integrlei cu prmetru Derivre integrlelor cu prmetru Integrre unei integrle cu prmetru Integrre unei integrle cu prmetru Teorem Fie f : [, b] [c, d] R o funcţie continuă, tunci re loc formul ( d ) b ( b ) d f (x, y)dx dy = f (x, y)dy dx. (4) c În condiţiile teoremei vom spune că putem schimb ordine de integrre. c

Definiţi integrlelor improprii cu prmetru Definiţi Fie f : [, + ) [c, d] R,, c, d R ; spunem că integrl cu prmetru F(y) = este (simplu) convergentă dcă există limit f (x, y)dx, y [c, d]. (5) b lim f (x, y)dx. b +

Definiţie Definiţi Spunem că integrl (5) este uniform convergentă dcă pentru orice şir (b n ) n cre re limit +, şirul de funcţii (F n ) n converge uniform l F pe [c, d].

Criteriu de convergenţă uniformă şi bsolută Teorem Dcă f : [, + ) [c, d] R şi există g : [, + ) R stfel c i. f (x, y) g(x), x [, + ) ii. g(x)dx < + tunci f (x, y)dx este uniform şi bsolut convergentă.

Continuitte integrlei improprii cu prmetru Teorem Dcă f : [, + ) [c, d] R este o funcţie continuă şi F(y) = f (x)dx este uniform convergentă, tunci funcţi f (x, y)dx este continuă pe [c, d].

Derivbilitte integrlei improprii cu prmetru Teorem i. Fie funcţi f : [, + ) [c, d] R cu proprietăţile + f (x, y)dx converge f ii. (x, y)dx converge uniform y tunci F este derivbilă şi re loc d dy f (x, y)dx = f (x, y)dx. (6) y

Integrbilitte unei integrle improprii cu prmetru Teorem Fie funcţi f : [, + ) [c, d] R,, c, d R continuă stfel încât i. integrl ii. integrl tunci re loc f (x, y)dx este uniform convergentă, ( ) d f (x, y)dy dx este convergentă ( ) d f (x, y)dy dx = c c d ( c ) f (x, y)dx dy. (7)

Clculţi următorele integrle folosind derivre integrlei cu prmetru. 1. F(y) = 2. F(y) = 3. F(y) = 4. F(y) = π 2 b b ln(y 2 sin 2 x)dx, y > 1 rctn xy x(1 + x 2 ) dx x (1 + xy) 2 dx, b > dx (x 2 + y 2 ) 3

5. F(y) = 6. F(, b) = 7. F(, b) = 8. F(, b) = π 2 1 1 + y cos x ln dx, y ( 1, 1) cos x 1 y cos x dx π 2 ( 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x) 2 e x 2 e bx 2 dx, >, b > x e x e bx sin mx dx x

Clculţi schimbând ordine de integrre 1. 2. e x x e x x (cos bx cos cx)dx, >, b, c R (sin bx sin cx)dx, >, b, c R

Definiţi Integrlele cu prmetru Γ(p) = şi B(p, q) = 1 se numesc integrlele lui Euler. x p 1 e x dx (8) x p 1 (1 x) q 1 dx. (9) Integrl (8) se mi numeşte funcţi Gmm. Integrl (9) se mi numeşte funcţi Bet.

Convergenţ integrlelor lui Euler Teorem Integrlele improprii cu prmetru (8) şi (9) sunt convergente pentru p >, respectiv p, q >.

Formule de clcul Teorem stisfc următorele proprietăţi Γ(1) = 1 (1) Γ(p + 1) = pγ(p) (11) B(p, q) = B(q, p) (12) B( 1 2, 1 2 ) = π (13)

Demonstrţie Formul (1) se deduce imedit. Γ(1) = e x dx = e x + = 1. Pentru deduce (11) integrăm prin părţi. Γ(p+1) = x p e x dx = e x x p + + px p 1 e x dx = pγ(p). Dcă în definiţi funcţiei Bet, fcem schimbre de vribilă y = 1 x, obţinem imedit formul (12). Pentru formul (13), fcem schimbre de vribilă x = sin 2 t = B(p, q) = + π 2 1 dx x(1 x) = 1 2 sin t cos tdt = π sin t cos t

Consecinţă Din (11) deducem Γ(n + 1) = n! (14) Γ(n + 1 (2n 1)... 3 1 ) = 2 2 n Γ( 1 2 ) (15)

Legătur dintre Gmm şi Bet Teorem Are loc următore formulă B(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p + q). (16)

Integrl lui Guss Au loc următorele formule Γ( 1 2 ) = π (17) e x 2 dx = π 2 (18)

Arătţi că următorele eglităţi u loc 1. B(p, q) = 2 B(p, 1 p) = y p 1 (1 + y) p+q dy y p 1 1 + y dy, < p < 1 3. B(p, q) = q 1 B(p, q 1) = p + q 1 = p 1 B(p 1, q) p > 1, q > 1 p + q 1

Reduceţi l integrlele lui Euler şi stbiliţi ntur lor: 1. 2. 3. 4. π 2 1 sin m x cos n xdx, m, n R dx, m >, n N (1 x m ) 1 n x m 1 dx m, n R (1 + x) n x p e x dx, >, p R

5. 6. 7. x 1 4 (1 + x) 2 dx x m 1 dx, m, n R 1 + x n x 2n e x 2 dx, n N.