Elektrisk immittans Ørjan G. Martinsen 3..6 Ved analyse av likestrømskretser har vi tidligere lært at hvis vi har to eller flere motstander koblet i serie, så finner vi den totale resistansen ved følgende formel: = L+ + + n Hvis motstandene derimot er koblet i parallell, finner vi den totale resistansen slik: = + + L + n Inversverdien av resistans kalles i dette tilfellet for konduktans G, og ligning blir da: G = G + G + L+ G n 3 Vi ser at det blir enklere uttrykk hvis vi regner med resistans i seriekoblinger og med konduktans i parallellkoblinger. For likestrømskretser er dette bare av praktisk interesse, dvs. det er like riktig å bruke resistans som konduktans enten motstandene er i serie eller parallell, uttrykkene blir bare enklere hvis vi velger slik som nevnt ovenfor. Når vi utvider til vekselstrømskretser gjelder det samme praktiske hensynet mht. å oppnå enkle uttrykk. I tillegg skal vi se at dersom den totale resistansen eller konduktansen i de uttrykkene vi får skal beskrive virkelig resistans eller konduktans i kretsen eller systemet vi skal gjøre beregninger på, så må vi benytte konduktansverdier for en parallellkobling og resistansverdier for en seriekobling. Når vi går fra likestrømskretser til vekselstrømskretser, må vi gå fra: til: likestrøms-motstand = / likestrøms-ledningsevne = / G vekselstrøms-motstand = / vekselstrøms-ledningsevne Z = / Y Vekselstrøms-motstanden kalles impedans Z og er skrevet med uthevet skrift for å vise at det er en kompleks størrelse. Det samme gjelder den inverse størrelsen admittans Y. Begrepet immittans er en fellesbetegnelse på impedans og admittans og har følgelig verken noe symbol eller måleenhet. La oss starte med admittansen Y. Den er gitt ved: Y = G + jb 4
ealdelen G er konduktans som før og representerer fortsatt ohmsk ledningsevne. Imaginærdelen B kalles susceptans og er et uttrykk for reaktiv ledningsevne, altså ledningsevnen i en spole eller kondensator: Spole : B = Kondensator : B = ωc 5 ωl Vi kan tegne admittansen i det komplekse plan på følgende måte: Figur : Elektrisk admittans forutsetter komponenter i parallell Vi ser at admittansen er den vektorielle summen av konduktans og susceptans, og dersom disse to størrelsene skal representere to virkelige komponenter, for eksempel en motstand og en kondensator, så må de være koblet i parallell slik figuren til høyre viser. Enheten for både admittans, konduktans og susceptans er siemens S = /Ω. Inversverdien av admittansen kaller vi impedans. Den er gitt ved: G jb G jb Z = = Z = =...6 Y G + jb G + jb G jb G + B ealverdien av impedansen kalles resistans og imaginærverdien kalles reaktans X. Både impedans, resistans og reaktans har enheten ohm Ω. Av ligning 6 ser vi at: G B = og X = G + B G + B 7 og det generelle uttrykket for impedansen blir: Z = + jx 8 I det komplekse plan ser dette slik ut:
Figur : Elektrisk impedans forutsetter komponenter i serie En kapasitiv reaktans vil tegnes langs negativ imaginærakse og en induktiv reaktans tegnes langs positiv imaginærakse. Impedansen er her den vektorielle summen av resistans og reaktans og følgelig må disse ligge i serie dersom de to størrelsene skal representere virkelige komponenter. Vi ser av dette at resistans ikke er det inverse av konduktans og at reaktans ikke er det inverse av susceptans. Eneste unntak fra dette er ved likestrøm hvor vi i ligning 7 ser at blir lik /G. Det inverse av for eksempel resistans er den ohmske ledningsevnen til motstanden i en seriekobling, men vi kan ikke kalle den konduktans siden dette begrepet er forbeholdt realdelen av admittansen, som altså representerer en parallellkobling. Det samme gjelder for reaktans og susceptans. Eksempel med tre komponenter Figur 3: Krets med tre komponenter I figuren over ser vi en krets som består av to motstander og en kondensator. Her er komponenter både i parallell og serie og det er derfor ikke i utgangspunktet noe riktigere å velge f.eks. impedans i stedet for admittans. La oss prøve med impedans: Z = + hvor X = 9 + ωc jx 3
Hvis vi setter inn for X og ordner uttrykket slik at real- og imaginær-del blir separert, får vi: Her skal vi legge merke til et par ting: ωc Z = + j ( ωc) + ( ωc) + Av komponentene i kretsen er det kun kondensatoren som har noen reaktans. Likevel inngår også i imaginærdelen av den totale impedansen for kretsen. Den totale impedansen, altså en impedansen vi ville målt med et impedansmeter koblet til kretsen, har altså en resistans hvor alle tre komponenter inngår og en reaktans hvor og C inngår. Hvis vi skulle finne verdiene av, og C ut fra målinger på kretsen ville det ikke holde med målinger på kun én frekvens. Hvor mange frekvenser tror du vi ville trenge? Hvis vi imidlertid visste at for eksempel var 5 Ω og ønsket å finne verdien av de to andre komponentene ved hjelp av en enkelt måling, så ville det være to alternative måter å få til det på:. Du klarer å koble deg til med impedansmeteret ditt bare over C og og derved unngå i målingene. Hvis du gjør om det du måler til admittansdata, vil realdelen direkte være / og imaginærdelen være ωc, siden de fysisk er koblet i parallell.. Du trekker verdien av fra realdelen av impedansen du måler og gjør så om til admittansverdier. Også nå vil realdelen direkte være / og imaginærdelen være ωc. Det siste kan enkelt vises ved å ta ligning, trekke fra og gjøre om til admittansverdier etter samme oppskrift som vist i ligning 6: ( ωc) + Y = = = Z ωc j ωc j ( ωc) + ( ωc) + Vi multipliserer så med den kompleks konjugerte av nevneren, forenkler uttrykket og får: Y = + jωc Vi kunne brukt samme fremgangsmåte hvis ble skiftet ut med en kjent kondensator. Vi måtte da ha trukket reaktansen til denne kondensatoren fra imaginærdelen av den målte impedansen og så regnet om til admittansverdier. Metoden kan selvfølgelig også benyttes hvis vi har en kjent komponent koblet i parallell med en ukjent immittans. Da trekker man denne komponentens verdi fra den totale 4
admittansen, før man eventuelt regner om til impedansverdier dersom man vet at de gjenværende komponentene fysisk er koblet i serie. La oss tenke oss at komponentene i figur 3 har følgende verdier: = 5 Ω, = Ω og C = µf. Modulen og fasen til impedansen Z vil være gitt av følgende uttrykk: X Z = + X og ϕ = atan 3 vil her være realdelen av uttrykket i ligning og X vil være imaginærdelen av det samme uttrykket. Siden X avhenger av frekvensen f, vil både modul og fase variere med frekvensen, som følgende plott viser: Z 5 5 3 4 5 6 5 5 3 4 5 6 Fasevinkel X -5 - -5 - -5-3 3 4 5 6 - - -3-4 -5 3 4 5 6 x -3 8 6 X - -4-6 5 5 B 4 -.5..5..5 G Figur 4: respons for kretsen i figur 3 Figur 4 viser forløpene til modulen av impedansen, fasevinkelen, resistansen og reaktansen som funksjon av frekvensen. De to nederste plottene viser reaktans som funksjon av resistans og tilsvarende susceptans som funksjon av konduktans. Denne typen plott har mange navn, slik som Nyquist-diagram, Cole-plott og Argand-diagram. Vi skal imidlertid kalle dem Wessel-diagram etter landmåleren Caspar Wessel (745-88) fra Vestby som presenterte denne typen diagrammer allerede i 797, ni år før Argand. Studér plottene og se om du forstår årsaken til kurveformen. Kan du for eksempel forklare hvorfor maksimalverdien for fasevinkelen ikke inntreffer på samme frekvens som maksimalverdien 5
for reaktansen? (Tips: Se på Wesseldiagrammet for X() hvor på kurven er maksimalverdien av X, og hvor er maksimalverdien av fasevinkelen?) 6