Bevarelsesmetoder for elliptiske differensialligninger

Bevarelsesmetoder for elliptiske differensialligninger Ivar Aavatsmark Anvendt og beregningsorientert matematikk Universitetet i Bergen Bergen 2007

Innhold Modelligninger 4. Enfasestrømning i porøse stoffer................. 4.. Eksempel. Inkompressibel strømning......... 6..2 Eksempel 2. Svakt kompressibel væske......... 7..3 Representative ligninger................. 8.2 Tofasestrømning i porøse stoffer................. 8 2 Grunnlag 2 2. Differensialregning........................ 2 2.2 Sobolev-rom............................ 4 3 Ekvivalente formuleringer 26 3. Variasjonsformulering...................... 28 3.2 Sadelpunktformulering...................... 30 3.3 Integralformulering........................ 35 4 Egenskaper 37 4. Symmetri............................. 38 4.2 Stabilitet............................. 38 4.3 Monotoni............................. 42 4.4 Matriseegenskaper........................ 44 4.5 Gitter............................... 50 4.6 Singulariteter........................... 54 4.6. Singulariteter i endimensjonale oppgaver........ 54 4.6.2 Singulariteter i todimensjonale oppgaver........ 55 5 Differensmetoden 60 5. Konstant ledningsevne i én dimensjon............. 60 5.2 Varierende ledningsevne i én dimensjon............. 65 5.2. Eksempel. Ikkebevarende skjema............ 65 5.2.2 Bevarelsesskjema..................... 68 5.3 Cellesentrert bevarelsesskjema i to dimensjoner........ 75 5.4 Differensmetoden på et regulært trekantgitter......... 77 5.5 Oppsummering for differensmetoden.............. 79 2

Innhold 3 6 Elementmetoden 80 6. Variasjonsformulering med generelle randkrav......... 80 6.2 Abstrakt variasjonsformulering................. 83 6.3 Ritz-Galërkins metode...................... 84 6.3. Eksempel. Lineære elementer i én dimensjon..... 87 6.3.2 Eksempel 2. Lineære elementer i to dimensjoner.... 90 6.4 Konvergens............................ 95 6.5 Oppsummering for elementmetoden............... 98 6.6 Ikkekonforme elementer..................... 99 7 Metoden med blandede elementer 05 7. Sadelpunktformulering med generelle randkrav........ 05 7.2 Diskretisering av den duale svake formuleringen........ 08 7.3 Minimeringsoppgaver i vektorrom................ 2 7.4 Forbindelse mellom funksjonsrommene............. 6 7.5 Endimensjonalt eksempel.................... 9 7.5. Tap av surjektivitet................... 24 7.5.2 Tap av koersitivitet.................... 26 7.6 Todimensjonale eksempler.................... 28 7.6. Eksempel. Trekantgitter................ 3 7.6.2 Eksempel 2. Parallellogramgitter............ 34 7.6.3 Eksempel 3. Generelle firkantgitter........... 36 7.7 Konvergens............................ 39 7.8 Oppsummering for blandede elementer............. 40 8 Kontrollvolummetoden 4 8. Topunkts fluks.......................... 42 8.2 Flerpunkts fluks.......................... 46 8.2. Eksempel. Parallellogramgitter i homogent medium.. 53 8.3 Stabilitet for parallellogramgitter................ 55 8.4 Oppsummering for kontrollvolummetoden........... 62 A Begreper fra matriseregning 63 B Koordinattransformasjoner 68 Litteratur 74

Kapittel Modelligninger I dette kapittelet skal vi utlede ligninger for enfase- og tofasestrømning i porøse stoffer. Disse ligningene danner et grunnlag for behandlingen av de ulike diskretiseringsteknikkene i de etterfølgende kapitlene. Ved utledningen av ligningene skal vi gjøre så få antagelser som mulig. I den etterfølgende drøftelsen skal vi imidlertid gjøre antagelser som forenkler ligningene, og som viser hvilken karakter ligningene har. Denne drøftelsen danner et grunnlag for oppstillingen av de forenklede modelligningene som vil bli benyttet i de etterfølgende kapitlene. Det er imidlertid viktig å ha anvendelsene for øye, slik at man ikke forledes til å anbefale metoder som bare virker for de forenklede ligningene, men som ikke duger for virkelige anvendelser.. Enfasestrømning i porøse stoffer Ligningene for strømning i porøse media bygger på prinsippet om at det som strømmer blir bevart. Vi formulerer dette ved å betrakte et vilkårlig sammenhengende område, og krever at for dette området må følgende ligning gjelde: {opphopning} + {utstrømning} = {kilde}. (.) I dette avsnittet skal vi anta at det strømmende fluidet befinner seg i én fase, som enten vil være væske eller gass. Videre skal vi anta at fasen er homogen, slik at vi kan betrakte fasen som én komponent. Ovenstående bevarelsesligning gjelder da for denne ene komponenten, men siden fasen bare inneholder denne komponenten, gjelder den også for fasen. I bevarelsesligningen skal vi benytte følgende størrelser: φ porøsitet (porevolum/totalvolum), ρ tetthet [kg/m 3 ], v volumstrømtetthet [m 3 /(s m 2 ) = m/s], Q massekildetetthet [kg/(s m 3 )]. 4

. Enfasestrømning i porøse stoffer 5 n Figur.: Et område med rand og ytre enhetsnormal n. Porøsiteten er en egenskap til det faste stoffet hvor strømningen finner sted. Dette vil vanligvis være en bergart eller en sand. Tettheten, volumstrømtettheten og massekildetettheten er egenskaper knyttet til fluidet. Massen av fluidet i en volumenhet av faststoffet vil være φρ, og massestrømtettheten til fluidet gjennom en flate vil være ρv. Bevarelsesligningen (.) får dermed formen (φρ) dτ + t ρv n dσ = Q dτ. (.2) Her er randen til området, mens n er ytre enhetsnormal til randen, se figur.. Ved strømning i porøse stoffer er volumstrømtettheten v bestemt av Darcys lov. Denne sier at strømtettheten er proporsjonal med trykkfallet i fluidet, fratrukket den del av trykkfallet som skriver seg fra det hydrostatiske trykket. Med størrelsene p trykk [Pa], g tyngdens akselerasjon [m/s 2 ], D dybde [m], blir det hydrostatiske trykkfallet i fluidet ρg grad D. Strømtettheten blir dermed proporsjonal med (grad p ρg grad D). Proporsjonalitetskonstanten i Darcys lov inneholder størrelsene µ viskositet (seighet) [Pa s], K permeabilitet (gjennomtrengelighet) [m 2 ]. Her er viskositeten en egenskap til fluidet, mens permeabiliteten er en egenskap til faststoffet. Jo seigere fluidet er, jo langsommere strømmer det. Permeabiliteten er et mål på hvor gjennomtrengelig faststoffet er, og svarer dermed til ledningsevnen ved varmestrøm eller elektrisk strøm. Ettersom permeabiliteten er en funksjon av faststoffet, vil den kunne variere fra sted til sted for inhomogene stoffer. Med disse størrelsene lyder Darcys lov: v = K(grad p ρg grad D). (.3) µ Permeabiliteten er en tensor. I et ortogonalt koordinatsystem vil den bli representert ved en matrise. Matrisen har samme dimensjon som koordinatsystemet. Ved strømning i det tredimensjonale rom kan altså permeabiliteten representeres ved en 3 3-matrise. Ved strømning i planet blir den en 2 2- matrise, mens for endimensjonal strømning blir den en skalar. Ved strømning

6 Modelligninger i planet eller i rommet gjelder at for et anisotropt faststoff vil for en vilkårlig enhetsvektor e uttrykket Ke avhenge av retningen til e. Imidlertid vil alltid e T Ke > 0, dvs K er positivt definitt. Elementene i tensoren K er knyttet til hverandre som følger: Anta at man har et trykkfall i retning i, og at dette gir et bidrag til volumstrømtettheten i retning j. Da vil det samme trykkfallet i retning j gi det samme bidraget til volumstrømtettheten i retning i. Dette er en følge av Onsagers resiprositetsrelasjoner for irreversible prosesser. Tensoren K er således symmetrisk. Når K representeres ved en matrise i et ortogonalt koordinatsystem, blir derfor K en symmetrisk og positivt definitt matrise. Ved å sette uttrykket for volumstrømtettheten (.3) inn i bevarelsesligningen (.2), fås (φρ) dτ t ρ µ nt K(grad p ρg grad D) dσ = Q dτ. (.4) Denne ligningen kan omformes hvis v, gitt ved ligning (.3), er kontinuerlig deriverbar. Ifølge divergenssetningen er da ( ) ρ ρ µ nt K(grad p ρg grad D) dσ = div K(grad p ρg grad D) dτ. µ (.5) Ved å benytte denne ligningen kan vi fjerne integralet over randen i ligning (.4): [ (φρ) div t ( ρ K(grad p ρg grad D) µ ) ] Q dτ = 0. (.6) Ligning (.6) holder for alle områder. Integranden må derfor forsvinne: ( ) ρ (φρ) div K(grad p ρg grad D) Q = 0. (.7) t µ For en gitt temperatur er trykk og tetthet funksjoner av hverandre. Denne ligningen er således en parabolsk differensialligning. Ligningens karakter kan belyses ved hjelp av antagelser som forenkler ligningen... Eksempel. Inkompressibel strømning Ved å anta at faststoff og væske er inkompressible, altså at φ = konstant og ρ = konstant, reduserer ligning (.7) seg til ( ) div K(grad p ρg grad D) = Q µ ρ. (.8) Her kan vi innføre potensialet ψ = p ρgd. (.9)

. Enfasestrømning i porøse stoffer 7 Da er v = (/µ)k grad ψ. Potensialet ψ er det trykket som overstiger det hydrostatiske trykket. Det betegnes overtrykket. Med innføring av overtrykket i ligning (.8) får ligningen den klassiske formen ( ) div µ K grad ψ = Q ρ. (.0) Dette er en elliptisk ligning med potensialet ψ som avhengig variabel. I noen anvendelser er det hensiktsmessig å betrakte en energistørrelse når ligning (.0) skal løses. Strømning i porøse stoffer er en irreversibel prosess. Forødelsen av den mekaniske energien kalles dissipasjon. Dissipasjonstettheten d [W/m 3 ] kan utrykkes ved hjelp av overtrykket (.9), og er gitt ved d = grad ψ v = µ grad ψt K grad ψ = µv T K v. (.)..2 Eksempel 2. Svakt kompressibel væske Vi skal igjen anta at faststoffet er inkompressibelt, altså φ = konstant. For fluidet skal vi nå anta at kompressibiliteten, definert ved c = dρ ρ dp, (.2) er en liten konstant. Fluidet kalles da en svakt kompressibel væske. Endelig skal vi anta at tyngden er neglisjerbar (for eksempel ved at strømningen foregår i horisontalplanet). Av ligning (.2) følger at dρ = cρ dp. Videre skal vi benytte formelen div(uv) = u div v + grad u v. Av ligning (.7) uten tyngdeleddet ρg grad D følger da 0 = ( ) ρ t (φρ) div µ K grad p Q = φcρ p ( ) t ρ div µ K grad p ρ c µ grad pt K grad p Q. (.3) For en liten c er vanligvis ledd av typen c( p/ x i ) 2 mye mindre enn ledd av typen 2 p/ x 2 i. Vi kan derfor regne at ( ) c µ grad pt K grad p div µ K grad p. (.4) Når ulikhet (.4) er oppfylt, kan det minste leddet neglisjeres, og ligning (.3) forenkles til φc p ( ) t div µ K grad p = Q ρ. (.5) Dette er en parabolsk differensialligning i trykket p. Men siden vi har antatt at kompressibiliteten c er liten, er opphopningsleddet φc p/ t lite. Ligningen vil derfor ha elliptisk karakter, og det må det tas hensyn til når løsningsteknikker for ligningen skal drøftes.

8 Modelligninger..3 Representative ligninger Ligningene (.0) og (.5) viser at en enkel modelligning for ligning (.7) uten opphopningsledd er div(k grad u) = f. (.6) Her er K en symmetrisk og positivt definitt tensor, og størrelsen q = K grad u er strømtettheten. I de etterfølgende kapitlene behandles teori og løsningsteknikker for ligningen (.6). Enkelte løsningteknikker tar utgangspunkt i uttrykket for dissipasjonen (energiforødelsen): grad u T K grad u dτ = q T K q dτ. (.7) Differensialligningen (.6) kan også skrives på integralform : q n dσ = f dτ, (.8) hvor q = K grad u. Som utledningen ovenfor viser, er integralformen den opprinnelige formuleringen. Ligning (.6) følger av ligning (.8) når q er tilstrekkelig glatt til at divergenssetningen kan benyttes..2 Tofasestrømning i porøse stoffer I dette avsnittet skal vi utvide teorien fra avsnitt.. Vi skal nå anta at det kan være to faser til stede i ethvert punkt i rommet. Uten tap av almengyldighet skal disse fasene betegnes vann og olje, og de aktuelle størrelsene for hver fase skal indekseres med henholdsvis w og o. Vi skal anta at vannfasen bare inneholder én komponent, nemlig vann, og at oljefasen likeledes bare inneholder én komponent, nemlig olje. Bevarelsesligningene gjelder for hver av komponentene, men siden hver fase bare inneholder én komponent, gjelder de også for fasene. For å kunne uttrykke massen per volumenhet innføres en størrelse for den andel av porevolumet som hver fase utfyller. Denne størrelsen kalles metning, og betegnes med S i for fase i. Siden fasene utfyller porevolumet, gjelder S w +S o =, og vi kan uttrykke oljemetningen ved hjelp av vannmetningen. Massen av vann i en volumenhet av faststoffet er dermed φs w ρ w, mens massen av olje i en volumenhet er φ( S w )ρ o. Bevarelsesligningen (.2) må nå erstattes av de to bevarelsesligningene t (φs wρ w ) dτ + t (φ( S w)ρ o ) dτ + ρ w v w n dσ = Q w dσ, (.9) ρ o v o n dσ = Q o dσ. (.20)

.2 Tofasestrømning i porøse stoffer 9 k ri p c k ro k rw S w S w Figur.2: Relative permeabiliteter k rw og k ro mot vannmetningen S w. Figur.3: Kapillærtrykket p c som funksjon av vannmetningen S w. Volumstrømtetthetene til hver fase er fortsatt gitt ved Darcys lov, men siden hver fase bare fyller en andel av porevolumet, blir gjennomtrengeligheten redusert. Volumstrømtetthetene for hver fase blir nå v w = k rw µ w K(grad p w ρ w g grad D), (.2) v o = k ro µ o K(grad p o ρ o g grad D), (.22) hvor faktorene k rw og k ro kalles relativ permeabilitet for henholdsvis vannog oljefasen. De relative permeabilitetene varierer med metningen. En fases relative permeabilitet forsvinner når fasens metning blir minimal, og antar sitt maksimum når fasens metning blir maksimal. Summen av de relative permeabilitetene for en gitt metning vil alltid være mindre enn eller lik. Figur.2 viser typiske forløp for de relative permeablitetene som funksjon av vannmetningen. Det virkelige forløpet for disse funksjonene vil være en funksjon av faststoffet. Når uttrykkene (.2) og (.22) settes inn i hver av ligningene (.9) og (.20), fremkommer integralligninger. Disse kan omformes på samme måte som i avsnitt. og gir tilsynelatende to koblede parabolske differensialligninger. I de fleste anvendelser vil imidlertid disse ligningene ikke ha parabolsk karakter. Vi skal vise dette i drøftelsen nedenfor. For å forenkle fremstillingen skal vi anta at faststoff og væsker er inkompressible, altså at φ, ρ w og ρ o er konstante. Ved å dividere på tetthetene og addere ligningene (.9) og (.20) fås v n dσ = ( Qw ρ w + Q o ρ o ) dτ, (.23) hvor v = v w + v o er den totale volumstrømtettheten. På samme måte som i avsnitt. kan vi her benytte divergenssetningen. Den fremkomne ligning div v = Q w ρ w + Q o ρ o (.24)

0 Modelligninger er en ligning med elliptisk karakter. Vi skal ikke drøfte den nærmere her, men isteden utlede en ligning for metningen. Ligningene (.2) og (.22) kan skrives på formen v w = λ w K(ρ w g grad D grad p w ), (.25) v o = λ o K(ρ o g grad D grad p o ), (.26) hvor størrelsene λ i = k ri /µ i, i = w, o, kalles bevegeligheten eller mobiliteten til fase i. Vi innfører også kapillærtrykket p c = p o p w. Kapillærtrykket er en funksjon av metningen, og et typisk funksjonsforløp er vist i figur.3. Ved å multiplisere ligningene (.25) og (.26) med henholdsvis λ o og λ w og dernest subtrahere ligningene, fås λ o v w λ w v o = λ o λ w K[(ρ w ρ o )g grad D + grad p c ]. (.27) Innsetting av v o = v v w gir dvs (λ w + λ o )v w = λ w v + λ o λ w K[(ρ w ρ o )g grad D + grad p c ], (.28) v w = f w v + hk[(ρ w ρ o )g grad D + grad p c ], (.29) hvor vi har innført metningsfunksjonene f w = λ w λ w + λ o, h = λ wλ o λ w + λ o. (.30) Når uttrykket (.29) for vannets volumstrømtetthet settes inn i bevarelsesligningen (.9), fås φ S w t dτ + [ fw v + hk ( )] (ρ w ρ o )g grad D + grad p c n dσ Q w = dτ. (.3) ρ w Hvis v w er kontinuerlig deriverbar, gir divergenssetningen [ φ S w + div [ f w v + hk ( ] )] Q w (ρ w ρ o )g grad D + grad p c dτ, t ρ w (.32) og siden denne ligningen holder for alle, må integranden forsvinne: Her er φ S w t + div [ f w v + hk ( (ρ w ρ o )g grad D + grad p c )] = Q w ρ w. (.33) div [ f w v + hk ( (ρ w ρ o )g grad D )] = v grad f w + [K(ρ w ρ o )g grad D] grad h + f w div v + h div[k(ρ w ρ o )g grad D]. (.34)

.2 Tofasestrømning i porøse stoffer f w h S w S w Figur.4: f w (S w ). Figur.5: h(s w ). Nest siste ledd er gitt ved ligning (.24). Dersom faststoffet er homogent, forsvinner siste ledd, og ligning (.33) forenkles til φ S w t + v grad f w + [K(ρ w ρ o )g grad D] grad h + div(hk grad p c ) = ( f w ) Q w ρ w f w Q o ρ o. (.35) Siden p c er en funksjon av metningen, er dette en parabolsk differensialligning med metningen S w som avhengig variabel. Imidlertid vil siste ledd på venstresiden ofte være lite, og løsningen vil da være styrt av de andre leddene i ligningen. Differensialligningen (.35) har da hyperbolsk karakter. Både funksjonene f w og h vil være sterkt ikkelineære funksjoner av metningen S w. Figurene.4 og.5 viser typiske forløp for disse metningsfunksjonene. Når differensialligningene for tofasestrømning skal løses, er det derfor viktig at de metoder man benytter, egner seg for løsning av ikkelineære differensialligninger med hyperbolsk karakter. Dette innebærer vanligvis bruk av bevarelsesmetoder. Når vi skal vurdere løsningsmetoder for ligningen (.6), vil derfor bevarelsesprinsippet stå sentralt.

Kapittel 2 Grunnlag I dette kapittelet skal vi ta for oss emner fra differensialregningen og funksjonalanalysen som vil bli benyttet i de etterfølgende kapitlene. Vi skal begrense oss til å referere setninger og egenskaper fra disse fagområdene. Utledning og bevis må hentes fra lærebøkene i litteraturlisten. 2. Differensialregning La X og Y være to rom, og la f være en avbildning fra X til Y, altså f : X Y. I et punkt x X defineres da retningsdifferensialet med tilvekst h for avbildningen f ved f(x + ɛh) f(x) df(x, h) = lim. (2.) ɛ 0 ɛ Hvis df(x, h) Y eksisterer for alle h X, så kalles df(x, h) for Gâteauxdifferensialet i x. Hvis df(x, h) er lineær og kontinuerlig i h for en fast x X, så definerer df(x, h) en lineær operator f (x) L c (X, Y ) gitt ved df(x, h) = f (x)h. (2.2) Operatoren f (x) kalles den Gâteaux-deriverte av f i x. Når denne eksisterer, gjelder f(x + ɛh) f(x) f (x)ɛh lim = 0. (2.3) ɛ 0 ɛ Hvis konvergensen i ligning (2.3) er uniform i h, dvs hvis f(x + x) f(x) f (x) x lim = 0, (2.4) x 0 x så kalles operatoren f (x) for den Fréchet-deriverte av f. Når den Fréchetderiverte eksisterer, er f(x + x) = f(x) + f (x) x + o( x ), (2.5) 2

2. Differensialregning 3 hvor o(δ) er en størrelse som går mot null fortere enn δ, dvs o(δ) lim = 0. (2.6) δ 0 δ Hvis den Gâteaux-deriverte eksisterer i en omegn om x X og er kontinuerlig der, så eksisterer den Fréchet-deriverte i x. En enkel anvendelse av ovenstående definisjoner har man for vektorfunksjoner. Vanligvis vil vi da kreve at den Fréchet-deriverte eksisterer, slik at ligning (2.5) gjelder. Hvis X = R n og Y = R, så blir for en kolonnevektor x R n den (Fréchet-)deriverte av f(x) lik linjevektoren [ f f (x) =,..., f x x n ]. (2.7) Differensialet med tilvekst h R n, hvor h er en kolonnevektor, blir lik indreproduktet df(x, h) = f (x)h. Hvis X = R n og Y = R m, blir tilsvarende den deriverte av kolonnevektoren f(x) R m lik Jacobi-matrisen f f... f x x n (x) =.. f m x... f m x n. (2.8) Differensialet med tilvekst h R n, hvor h er en kolonnevektor, blir lik df(x, h) = f (x)h. I kapittel 3 skal vi benytte ovenstående definisjon av den deriverte for funksjonaler. Den annenderiverte defineres på samme måte: f f (x + ɛh )h 2 f (x)h 2 (x)h h 2 = lim. (2.9) ɛ 0 ɛ Her er f (x)h L c (X, Y ), og f (x) er en bilineær, kontinuerlig avbildning fra X X til Y. Hvis, som ovenfor, X = R n og Y = R, så er den annenderiverte av f(x) lik Hesse-matrisen 2 f 2 f x 2... x n x f (x) =.., (2.0) 2 f 2 f... x x n x 2 n og uttrykket f (x)h h 2 er lik matriseproduktet h T 2 f (x)h, hvor h og h 2 er kolonnevektorer. Med h = h 2 = h fås den kvadratiske formen h T f (x)h. Ved bruk av den annenderiverte, kreves vanligvis at de Fréchet-deriverte eksisterer. Man kan da Taylor-utvikle på vanlig måte: f(x + h) = f(x) + f (x)h + 2 f (x)h 2 + o ( h 2 ). (2.)

4 2 Grunnlag 2.2 Sobolev-rom Når vi skal bestemme løsningen av en partiell differensialligning, må vi vite i hvilken klasse av funksjoner vi må søke løsningen. Ofte kan man vise at løsningen er grensen av en Cauchy-følge. Det rommet man søker løsningen i, må derfor være fullstendig, dvs det må være et Banach-rom. Vanligvis vil vi dessuten ønske at rommets metrikk (avstandsmål) er definert ved et indreprodukt, slik at rommet er et Hilbert-rom. I dette avsnittet skal vi behandle rom av integrerbare funksjoner. Vi skal definere hva vi mener med den deriverte av slike funksjoner, og forlange at også de deriverte er integrerbare. Integralene vil alltid være Lebesgueintegraler, og når vi sier at en funksjon er målbar, vil dette være med Lebesgue-målet. Gjennom hele avsnittet skal R d være en åpen mengde i det d- dimensjonale rom. Tillukningen til blir betegnet med. Vi skal betrakte funksjoner u som er definert på. Når ikke annet er sagt, vil dette være skalare reelle funksjoner, altså u : R. Støtten til en funksjon er den del av definisjonsområdet hvor funksjonen ikke forsvinner. Hvis støtten er kompakt i, betyr dette at funksjonen forsvinner utenfor en begrenset lukket mengde G. Hvis er begrenset, innebærer dette at funksjonen forsvinner i et belte langs randen av. Vi skal først definere rom av kontinuerlige funksjoner. Rommet C m () er rommet av m ganger kontinuerlig deriverbare funksjoner definert på. Kontinuerlig deriverbar innebærer at den Fréchet-deriverte skal eksistere og være kontinuerlig. Vi skriver C() for C 0 (). Videre skal vi benytte C () = m=0 Cm () for funksjoner som er uendelig mange ganger kontinuerlig deriverbare på. Rommet C 0 () er de funksjoner i C () som har kompakt støtte i. Siden er åpen, behøver ikke funksjonene i C() være begrenset. Rommet av begrensede og uniformt kontinuerlige funksjoner definert på betegnes med C(). Disse funksjonene har en entydig kontinuerlig utvidelse til. Ettersom en kontinuerlig funksjon på et lukket og begrenset område er begrenset og uniformt kontinuerlig, kan for begrensede rommet C() også defineres som rommet av funksjoner som er kontinuerlige på. Rommet C() er et Banach-rom med normen u C() = sup u(x). (2.2) x Enkle eksempler på funksjoner som ligger i C(), men ikke i C(), får man ved å la være intervallet (0, ). Funksjonene u(x) = /x og v(x) = sin(/x) er kontinuerlige, men ikke uniformt kontinuerlige. v er begrenset, men har ingen kontinuerlig utvidelse til det lukkede intervallet [0, ]. Vi går nå over til å definere rom av integrerbare funksjoner. For enhver positiv p definerer vi rommet L p () som mengden av målbare funksjoner u,

2.2 Sobolev-rom 5 hvor Normen til rommet L p () er gitt ved u L p () = ( u(x) p dx <. (2.3) u(x) p dx) /p. (2.4) Hvis p =, defineres tilsvarende L () som mengden av målbare funksjoner u, hvor sup u(x) <. (2.5) x Normen til rommet L () er gitt ved u L () = sup u(x). (2.6) x Elementene i L p -rommene, p, er strengt tatt ikke funksjonene selv, men ekvivalensklasser av funksjoner. To funksjoner tilhører samme ekvivalensklasse (dvs de utgjør samme element) dersom de er like overalt, unntatt på en mengde av mål null. Vi sier da at de er like «nesten overalt», eller at de er like «på en mengde av mål null nær». Supremumsuttrykket sup x u(x) i (2.5) og (2.6) må tolkes som inf {M 0 u(x) M nesten overalt i }. (2.7) Rommene L p (), p, er Banach-rom. Rommet L 2 () er et Hilbertrom. Vi skal bare betrakte reelle funksjoner, og indreproduktet i L 2 () er da (u, v) L 2 () = u(x)v(x) dx. (2.8) Vi ønsker å utvide definisjonen av den deriverte til funksjoner som ikke er deriverbare i klassisk forstand. La oss først innføre en ny skrivemåte for den klassiske Fréchet-deriverte. Hvis α = (α, α 2,..., α d ) er et d-tuppel av ikkenegative heltall α j, så kaller vi α for en multiindeks, og benytter følgende skrivemåte for den deriverte Her er α definert ved D α u = α u x α xα 2 2 xα d α = d. (2.9) d α j. (2.20) j= Vi kan nå definere den deriverte av funksjoner som ikke behøver å være deriverbare i klassisk forstand. For en vilkårlig lokalt integrerbar funksjon u definerer man den svake deriverte D α u ved relasjonen φ C0 () : D α uφ dx = ( ) α ud α φ dx. (2.2)

6 2 Grunnlag Vi ser at hvis u er deriverbar i klassisk forstand, så fremkommer ligning (2.2) ved delvis integrasjon, siden φ = 0 på randen. For funksjoner u som ikke er deriverbare i klassisk forstand, gir ligning (2.2) en definisjon av den deriverte av disse funksjonene. I alminnelighet er den svake deriverte ikke en funksjon, men en distribusjon. Vi skal ikke behandle distribusjoner her, men bare betrakte det tilfellet at den svake deriverte er en lokalt integrerbar funksjon. Ligning (2.2) gir da en entydig definisjon av den svake deriverte på en mengde av mål null nær. Vi definerer Sobolev-rommet W m,p (), hvor m er et ikkenegativt heltall og p, som rommet av funksjoner u L p () hvor alle de svake deriverte av u opp til orden m også ligger i L p (). Rommet W m,p () er altså gitt ved W m,p () = {u L p () D α u L p () for hver multiindeks α med α m}. (2.22) Normen til Sobolev-rommet W m,p () er for p < gitt ved u W m,p () = Vi skal også benytte seminormen α m u W m,p () = α =m D α u p L p () D α u p L p () /p /p. (2.23). (2.24) Uttrykket (2.24) er ingen ekte norm, siden betingelsen u v W m,p () = 0 ikke innebærer at u = v. For p = blir Sobolev-normen og seminormen blir u W m, () = max α m Dα u L (), (2.25) u W m, () = max α =m Dα u L (). (2.26) Rommene W m,p () er Banach-rom, mens rommet W m,2 () er et Hilbertrom med indreprodukt (u, v) W m,2 () = (D α u, D α v) L 2 (). (2.27) α m For disse Hilbert-rommene innføres vanligvis den forenklede skrivemåten H m () = W m,2 (). Bokstaven H står her for David Hilbert. I denne skrivemåten er H 0 () = L 2 ().

2.2 Sobolev-rom 7 Vi skal forsøke å gi en karakterisering av funksjonene i H m () gjennom to viktige setninger. Dersom et rom X med norm X ikke er fullstendig, kan man gjøre rommet fullstendig ved å innlemme alle punkter som fremkommer som grensen av en Cauchy-følge i X. Dette rommet kalles kompletteringen av X, og betegnes X (dvs tillukningen til X). Banach-rommet X har samme norm som X. Vi sier at rommet X ligger tett i X. For å karakterisere funksjonene i H m () innføres rommet X m = { u C () u H m () < } (2.28) med norm H m (). Dette rommet er ikke fullstendig, og er altså ikke et Banach-rom. Det kan vises at H m () er kompletteringen av X m, altså at H m () = X m. (2.29) Rommet X m ligger følgelig tett i H m (), dvs enhver funksjon i H m () er grensen av en følge, hvis ledd er uendelig mange ganger kontinuerlig deriverbare i. I ovenstående karakterisering gjelder at X m H m (). Elementene i H m () har ikke kontinuitetsegenskapen til elementene i X m, men ligger bare vilkårlig nært elementer med denne egenskapen. Vi skal nå omtale en karakterisering hvor H m () er inneholdt i et annet rom, slik at elementene i H m () har samme egenskap som elementene i det omsluttende rommet. Vi skal først innføre et begrep. La X og Y være to Banach-rom med normer X og Y, henholdsvis. Hvis X Y, (2.30) så ville man foretrekke at X-normen var mer oppløsende enn Y -normen, dvs at det finnes en konstant c, slik at x X : x Y c x X. (2.3) Dersom relasjonene (2.30) og (2.3) er oppfylt, så sies X å være innbakt i Y, og vi skriver X Y. Trivielt er H m () H m (). Vi skal nå referere et utdrag av Sobolevs setning om innbakte funksjonsrom. Denne setningen omfatter alle Sobolev-rommene W m,p (). Her skal vi bare omtale innbakthet for rommene H m () i C(). La R d være en begrenset åpen mengde, og anta at randen er Lipschitz-kontinuerlig. Dette innebærer at randen kan ha knekkpunkter, men ikke spisser, se figur 2.. Da gjelder H m () C() for m > d 2. (2.32) Siden elementene i Sobolev-rommet H m () er ekvivalensklasser av funksjoner, må (2.32) tolkes slik at det i hver ekvivalensklasse finnes en funksjon

8 2 Grunnlag (a) Knekkpunkt. (b) Spiss. Figur 2.: Randkurve som er (a) Lipschitz-kontinuerlig og (b) ikke Lipschitzkontinuerlig. I en spiss er tangentene sammenfallende, i et knekkpunkt er de ikke det. i C(). De andre funksjonene i ekvivalensklassen er lik den kontinuerlige funksjonen nesten overalt. Ulikheten i utsagnet (2.32) er oppfylt for m = når d =, og for m = 2 når d = 2 eller d = 3. Således er H () C() for R. Når imidlertid R 2 eller R 3, så finnes det funksjoner u H () som ikke er begrenset. Vi skal vise to eksempler på dette. La være lik enhetskulen om origo i R 3, og betrakt funksjonen u = r α for α < /2. Da er du/dr = αr (+α), og for H -normen til u fås u 2 H = 4π r 2α r 2 dr + 4π 0 [ r 3 2α = 4π 3 2α = 4π ] ( 3 2α + α2 2α 0 0 [ α 2 r 2α + 4π 2α ). α 2 r 2 2α r 2 dr ] 0 (2.33) Følgelig gjelder at u H (), men u C(). Samme egenskap kan vises for en funksjon definert på enhetssirkelskiven i R 2. Betrakt funksjonen u = ln ln(2/r). Da er du/dr = /(r ln(2/r)), og for H -normen til u fås u 2 H = 2π 0 ( ln ln 2 ) 2 r dr + 2π r 0 r ( ln 2 ) 2 dr. (2.34) r For annet ledd fås 2π 0 [ r ( ln 2 ) 2 dr = 2π r ln 2 r ] 0 = 2π ln 2, (2.35)

2.2 Sobolev-rom 9 mens for integranden i første ledd gjelder ln ln(2/r) < ln(2/r). Dermed er 2π 0 ( ln ln 2 r ) 2 r dr < 2π = 2π 0 [ r 2 2 ( ln 2 r ) 2 r dr ( ( ln 2 ) )] 2 + ln 2 r r + 2 0 = π ( (ln 2) 2 + ln 2 + 2). (2.36) Således er H -normen til u begrenset for en ubegrenset u. Vi vender nå tilbake til den generelle teorien, og skal definere Sobolev-rom som er noe mindre enn H m (). Mengden er igjen en åpen mengde i R d. Rommet H0 m() defineres som kompletteringen av C 0 () i Hm ()-norm, dvs H0 m () = C0 (). (2.37) Rommene H0 m() er Hilbert-rom med samme indreprodukt som Hm (). Åpenbart er H0 m() Hm (). Funksjonene i H0 m () for m > 0 har egenskaper på randen som vi skal komme tilbake til nedenfor. Før vi kan omtale egenskaper på randen, må vi definere Sobolev-rom H s () med ikke heltallig indeks s. Disse rommene er viktige i forbindelse med randintegraler. La R d, og anta at s > 0 ikke er heltallig. Sett m lik heltallsverdien til s, dvs m = [s], og la λ = s m. Da er λ (0, ). Vi definerer indreproduktet (u, v) H s () = og normen α m + [ D α u(x)d α v(x) dx [D α u(x) D α u(y)] [D α v(x) D α v(y)] x y d+2λ 2 dx dy ], (2.38) u H s () = (u, u) H s (). (2.39) På samme måte som ovenfor betrakter vi rommene X s = { u C () u H s () < } (2.40) med norm H s (). Rommet Hs () defineres nå som kompletteringen av X s, dvs H s () = X s. (2.4) Rommet H s (), hvor s ikke er heltallig, kalles et Sobolev-Slobodeckij-rom. Åpenbart er H s () H m (), hvor m = [s]. Vi skal gjøre bruk av funksjoner i Sobolev-Slobodeckij-rom med indeks s = /2 under behandlingen

20 2 Grunnlag Γ 2 Γ Figur 2.2: Randstykkene Γ og Γ 2 for halvsirkelen. av randintegraler. Rommet H0 s () defineres, på samme måte som i ligning (2.37), som kompletteringen av C0 () i Hs ()-norm. Vi vender oss nå til funksjoner på randen av et område R d. Hvis funksjonen er definert på området, så kalles restriksjonen av den samme funksjonen til randen for sporet til funksjonen på randen. For at sporet skal være veldefinert, må derfor funksjonen ha en naturlig utvidelse til randen. Vi har tidligere sett at dette ikke alltid er tilfelle for funksjoner i C(). For lik det åpne intervallet (0, ) har funksjonene u(x) = sin(/x) og v(x) = (/x) /4 ingen naturlig utvidelse til randpunktet 0. Begge disse funksjonene ligger i L 2 (0, ), ettersom u 2 L 2 = sin 2 x dx <, v 2 L 2 = dx = 2. (2.42) x 0 Likeledes behøver en funksjon som ligger i L 2 (), hvor R d, ikke ligge i L 2 ( ). Et enkelt eksempel på dette gir funksjonen u = (/r) /2 på enhetshalvsirkelskiven i R 2. Man setter altså = { (x, y) x 2 + y 2 <, y > 0 }. (2.43) Randen til består av to deler, intervallet (, ) på x-aksen som vi betegner Γ, og periferien av halvsirkelen {(x, y) x 2 + y 2 =, y 0} som vi betegner Γ 2. Randen = Γ Γ 2 er vist i figur 2.2. Funksjonen u = (/r) /2 ligger i L 2 () siden u 2 L 2 () = π u 2 r dr = π dr = π. (2.44) 0 0 På den annen side er u 2 L 2 (Γ ) = 2 u 2 dx = 2 0 0 0 x dx = 2[ ln x ] = 2 ln 0 =, (2.45) 0 så u L 2 ( ). For at sporet til en funksjon skal bli veldefinert, må vi derfor kreve mer enn at funksjonen er kontinuerlig eller ligger i L 2. Hvis en funksjon er uniformt kontinuerlig på et begrenset område R d, så vet vi at funksjonen har en entydig kontinuerlig utvidelse til randen. For en Lipschitzkontinuerlig rand er H m () innbakt i C() når m > d/2, og det er derfor tilstrekkelig å kreve at funksjonen ligger i H m () med m > d/2.

2.2 Sobolev-rom 2 Imidlertid er det ikke nødvendig for evaluering av de randintegralene som opptrer, at funksjonen er kontinuerlig på randen. Videre medfører kravet m > d/2 at m = 2 for d = 2 eller d = 3, og det er ofte mer enn det som er realistisk for løsningen av partielle differensialligninger. Det vi trenger for løsningen av partielle differensialligninger, er sporet til funksjoner i H (). Dette kan ikke uten videre evalueres, siden randen til et område alltid har mål null i forhold til området selv. Sporet til H -funksjoner kan likevel gis et naturlig innhold, som følgende setning viser. La R d være begrenset, og anta at randen er Lipschitz-kontinuerlig. Det finnes en entydig kontinuerlig, lineær avbildning γ : H () H /2 ( ), slik at γu = u for alle u H () C(). Omvendt kan enhver funksjon φ H /2 ( ) skrives som sporet av en funksjon u H (). Avbildningen γ avbilder altså funksjonene i H () på en slik måte at avbildningen av uniformt kontinuerlige funksjoner blir lik restriksjonen på av den entydige kontinuerlige utvidelsen til disse funksjonene. Siden γ er kontinuerlig og lineær, altså γ L c (H (), H /2 ( )), så finnes en konstant c, slik at for alle u H () gjelder γu H /2 ( ) c u H (). (2.46) Dette innebærer at funksjoner som ligger nær uniformt kontinuerlige funksjoner, blir avbildet på omtrent samme måten. Dermed gis H -funksjonene en naturlig verdi på randen. Med sporet til H -funksjoner definert på denne måten kan rommet H 0 () når er begrenset med Lipschitz-kontinuerlig rand, defineres ved H 0 () = { u H () u = 0 }. (2.47) Denne definisjonen gir en enklere fortolkning enn definisjonen (2.37). For områder med render er således H0 () et ekte underrom av H (). Dette gjelder ikke for randfrie områder, ettersom funksjonene i H da må gå mot null i. Således er H0 (Rd ) = H (R d ). Men også på begrensede områder kan H0 bli lik H. Det gjelder vanligvis på områder som randintegraler tas over. Slike områder vil som regel være lukkede og begrensede kurver i planet eller flater i rommet, altså kompakte mangfoldigheter, og for Lipschitz-kontinuerlige kompakte mangfoldigheter er H0 ( ) = H ( ). En definisjon tilsvarende relasjon (2.47) har ingen mening for H 0. Tvert imot gjelder for et vilkårlig område at H0 0() = H0 () = L 2 (), hvilket viser at C0 () er tett i L2 (). Siden C0 () H 0 () L2 (), følger herav at også H0 () er tett i L2 (). Under behandlingen av differensialligninger vil vi noen ganger ha behov for størrelser som strengt tatt ikke er funksjoner, men som er funksjonaler. Disse vil være elementer i det duale rom til H0 s (), som blir betegnet H s (). Her er s > 0 ikke nødvendigvis heltallig. Det enkleste eksempelet er Diracs deltafunksjonal som er definert ved δ x (u) = u(x). Rommet

22 2 Grunnlag H m (), og dermed H m 0 (), er innbakt i C() når Rd er begrenset med Lipschitz-kontinuerlig rand og m er heltallig og større enn d/2. Følgelig er deltafunksjonalen begrenset for u H m (), m > d/2. (Det kan vises at u(x) også er kontinuerlig og begrenset selv om ikke er begrenset, såfremt tilfredsstiller en kjeglebetingelse som vi ikke skal omtale nærmere her.) Således er δ H m () for en heltallig m > d/2. For funksjoner definert på tallinjen er δ H (), og for funksjoner definert i planet eller i rommet er δ H 2 (). Normen for en funksjonal v H s () er v H s () = sup u 0 v(u) u H s (). (2.48) I anvendelsene vil det være slik at med u H0 s() og v H s (), så er funksjonalen v definert ved v(u) = (v, u) L 2 () = v(x)u(x) dx, (2.49) skjønt dette bare har mening når v er en funksjon. Vi skal ikke prøve å lage en Riesz-fremstilling av v i H s 0 ()-rommet, altså v(u) = (v, u) H s (). Vi går nå over til å definere rom for vektorfunksjoner. Vi betrakter rommet R d, og lar R d være et åpent område og q R d en vektor i dette rommet. Vi definerer rommet med norm H(div, ) = { q ( L 2 () ) d div q L 2 () } (2.50) ( d /2 q H(div,) = q i 2 L 2 () + div q 2 L ()) 2. (2.5) i= Et element i rommet H(div, ) er altså en vektor hvor alle komponentene ligger i L 2 (), og hvor divergensen til vektoren ligger i L 2 (). Hver enkelt av de partiellderiverte av vektorkomponentene behøver imidlertid ikke ligge i L 2 (). Vi skal senere se at dette er akkurat tilstrekkelig regularitet til behandling av strømtettheten q = K grad u i en partiell differensialligning div q = f. Sporet av en vektorfunksjon q på en rand er definert som fluksen q n, hvor n er ytre enhetsnormal til randen. For en funksjon q H(div, ) må man regne med mindre regularitet på randen enn for en funksjon u H (), ettersom bare divergensen til q, og ikke de partiellderiverte av komponentene til q, kreves å ligge i L 2 (). Følgende setning gjelder. La R d være begrenset, og anta at randen er Lipschitz-kontinuerlig. Det finnes en entydig kontinuerlig, lineær avbildning γ : H(div, )

2.2 Sobolev-rom 23 H /2 ( ), slik at γ q = (q n) for alle q H(div, ) ( C() ) d. Omvendt kan enhver funksjonal φ H /2 ( ) skrives som sporet av en vektorfunksjon q H(div, ). På samme måte som for avbildningen γ i sporet for H -funksjoner innebærer kontinuiteten og lineariteten til γ at γ L c (H(div, ), H /2 ( )). Således finnes det en konstant c, slik at for alle q H(div, ) gjelder γ q H /2 ( ) c q H(div,). (2.52) Avbildningen γ gir dermed en naturlig verdi for fluksen av H(div)-vektorene på randen. Tilsvarende definisjon (2.37) defineres rommet H 0 (div, ) som kompletteringen av (C 0 ())d i H(div, )-norm, dvs H 0 (div, ) = (C 0 ())d. (2.53) Når er begrenset med Lipschitz-kontinuerlig rand, kan vi, slik som i (2.47), benytte den alternative definisjonen H 0 (div, ) = {q H(div, ) (q n) = 0}. (2.54) Her betyr (q n) = 0 at v H /2 ( ) : vq n dσ = 0. (2.55) Siden H /2 ( ) = H /2 0 ( ) og H /2 ( ) er dualrommet til H /2 0 ( ), er integralet i (2.55) endelig. Vi kan nå formulere Greens formel for delvis integrasjon av funksjoner i rommene H () og H(div, ). Anta at R d er begrenset, og at randen er Lipschitz-kontinuerlig. Anta videre at u H () og q H(div, ). Da gjelder u div q dτ = uq n dσ q grad u dτ. (2.56) I første ledd på høyresiden er u sporet til u H (), og q n er sporet til q H(div, ). For sporene gjelder at u H /2 ( ) og (q n) H /2 ( ). Begrunnelsen for at dette integralet er endelig, er den samme som for integralet i ligning (2.55). Integralene over er trivielt endelige siden funksjonene i disse integralene ligger i L 2 (). Således har funksjonene akkurat nok regularitet til å sikre at integralene i formelen (2.56) er endelige. Ved hjelp av Greens formel (2.56) kan vi vise en kontinuitetsbetingelse for funksjoner u H () og vektorfunksjoner q H(div, ), hvor R d. La Γ være et hyperplan i R d som skjærer igjennom, se figur 2.3. Hyperplanet beskrives hensiktsmessig med ψ(x) = ξ = konstant, hvor x R d. For d = 3

24 2 Grunnlag Γ 0 2 Γ0 Figur 2.3: Området og hyperplanet Γ. Figur 2.4: Hyperplanet Γ 0 deler 0 i to halvkuler og 2. er hyperplanet et plan, for d = 2 er det en rett linje, og for d = er det et punkt. For en generell funksjon φ(x), definert for x Γ, betegner vi spranget over hyperplanet i punktet x ved [ φ(x) ] ξ = lim ɛ 0 (φ(x) ψ(x)=ξ+ɛ φ(x) ψ(x)=ξ ɛ ). (2.57) Vi skal bestemme spranget over Γ for sporet på Γ av funksjoner u H () og for sporet på Γ av vektorfunksjoner q H(div, ). For et vilkårlig punkt x Γ legger vi en kule 0 med sentrum i x slik at hyperplanet Γ deler 0 i to halvkuler: og 2, se figur 2.4. Vi betegner den del av hyperplanet Γ som ligger i 0 med Γ 0, altså Γ 0 = Γ 0. For hvert av områdene k, k = 0,, 2, kan vi benytte Greens formel for funksjoner u H () og q H(div, ). Dette gir I k = u div q dτ+ q grad u dτ = uq n dσ, k = 0,, 2. (2.58) k k k Venstresiden viser at I + I 2 I 0 = 0. Følgelig blir 0 = I + I 2 I 0 = uq n dσ + uq n dσ uq n dσ 2 0 [ ] = ± uq ˆn ξ dσ, Γ 0 (2.59) hvor ˆn = ξ/ ξ 2. Hvis man i ligningen [ ] uq ˆn dσ = 0 (2.60) ξ Γ 0 velger q = ˆn, fremkommer Γ 0 [ u ] ξ dσ = 0. (2.6) Her er sporet u H /2 (Γ 0 ). Skjønt funksjoner u H () for R 2 eller R 3 kan bli ubegrenset i et punkt, må altså u være kontinuerlig nesten overalt over et vilkårlig hyperplan i.

2.2 Sobolev-rom 25 K Figur 2.5: Triangulering av et område. Velger man isteden u = i ligning (2.60), fremkommer [ ] q ˆn dσ = 0. (2.62) ξ Γ 0 Her er sporet (q ˆn) H /2 (Γ 0 ). Det følger at for en vektorfunksjon q H(div, ) må fluksen q ˆn over et vilkårlig hyperplan i være kontinuerlig nesten overalt. Vi skal ikke drøfte singulariteter for elementer i H /2 (Γ 0 ). Betingelsene (2.6) og (2.62) vil bli benyttet ved konstruksjon av underrom av H () og H(div, ). La være et område som er oppdelt i et endelig antall celler K slik som i figur 2.5. Cellene er intervaller for R. De kan være vilkårlige mangekanter for R 2 og vilkårlige polyedre for R 3. For enhver cellevegg skal n være normalvektoren til celleveggen. Dersom u er en polynomisk funksjon i hver celle og u er kontinuerlig på alle celleveggene, så er u H (). Tilsvarende, hvis q er en polynomisk vektorfunksjon i hver celle og q n er kontinuerlig på alle celleveggene, så er q H(div, ). La oss vise dette for vektorfunksjonen q. La φ C0 (). Ifølge definisjonen av den svake deriverte (2.2) er divergensen til q gitt ved φ div q dτ = q grad φ dτ = q grad φ dτ K K = φ div q dτ (2.63) φq n dσ K K K K = φ div q dτ K K for alle φ C0 (). Randintegralet i nest siste linje forsvinner fordi fluksen q n er kontinuerlig. Således er div q i svak forstand definert på hele, og lik div q i hver celle. På kantene kan div q velges lik den ensidige grenseverdien til div q i en av de to tilstøtende cellene. Dermed er div q L 2 (), og følgelig q H(div, ). Beviset for at u H () går på samme måte. For å vise at u/ x i for en vilkårlig i eksisterer, settes q i = u og q j = 0 for j i i ligning (2.63). Dermed følger at u/ x i eksisterer og ligger i L 2 (), dvs u H ().

Kapittel 3 Ekvivalente formuleringer I dette kapittelet skal vi se på ulike måter å formulere ligning (.6) fra avsnitt..3 på. Disse formuleringene danner utgangspunkt for ulike diskretiseringer av ligningen. De er derfor grunnleggende for en numerisk løsning av differensialligningen. Gjennom hele kapittelet skal R d være et åpent, begrenset, sammenhengende område med Lipschitz-kontinuerlig rand. Videre skal K være en symmetrisk og positivt definitt tensor. I et valgt koordinatsystem vil den bli representert med en d d-matrise som likeledes er symmetrisk og positivt definitt. La oss først gi en klassisk formulering av ligningen ved hjelp av funksjonsrommene fra avsnitt 2.2. For enkelhets skyld skal vi anta homogene Dirichlet-betingelser på randen. Senere skal vi formulere oppgavene med generelle Dirichlet- og Neumann-betingelser. Anta at f C() L (), og at hvert element i K ligger i C (). Randverdioppgaven lyder da: Bestem en u C 2 () C() slik at div(k grad u) = f i, (3.) u = 0 på. (3.2) Med disse betingelser på funksjonene blir alle ledd i differensialligningen kontinuerlige. På grunn av ligning (.8) må dessuten kildeleddet f være integrerbart. Det er klart at de oppstilte kontinuiteteskravene for f og K er altfor strenge. Kildeledd er sjelden kontinuerlige. Man ønsker sogar å kunne løse ligninger hvor f representerer en punktkilde, altså en deltafunksjonal δ. I planet (d = 2) og i rommet (d = 3) er δ H 2 (). I mange anvendelser vil dessuten K være stykkevis konstant, altså ikke deriverbar, og ikke en gang kontinuerlig. Oppgaven (3.) og (3.2) kan enkelt omformuleres. Vi skal se på to slike omformuleringer som begge krever at f L 2 (). Ved å multiplisere diffe- 26

3 Ekvivalente formuleringer 27 rensialligningen med en funksjon v H0 () og integrere over, fås fv dτ = v div(k grad u) dτ = vn T K grad u dσ + grad v T K grad u dτ. (3.3) Her forsvinner randintegralet siden v = 0 på randen. Oppgaven blir derfor: Finn en u som tilfredsstiller randkravet (3.2), slik at v H0 () : grad v T K grad u dτ = fv dτ. (3.4) Vi ser at ligning (3.4) bare inneholder den førstederiverte av u. Dette antyder at de klassiske kravene til regularitet er altfor strenge for formuleringen (3.4). Vi skal komme tilbake til regularitetskravet for u i avsnitt 3.. En annen omforming av oppgaven (3.) og (3.2) fremkommer ved å splitte differensialligningen. I utledningen i kapittel hadde vi to ligninger, en bevarelsesligning div q = f, (3.5) og et uttrykk for strømtettheten q = K grad u. Strømtetthetsuttrykket kan omformes til K q = grad u. (3.6) Ligningene (3.5) og (3.6) kan omformes på samme måte som ligning (3.). Ved å multiplisere ligning (3.6) med en p H(div, ) og integrere over, fås p T K q dτ = p grad u dτ (3.7) = up n dσ + u div p dτ. På grunn av randbetingelsen (3.2) forsvinner randintegralet på høyresiden. Således fås p H(div, ) : p T K q dτ = u div p dτ. (3.8) Tilsvarende fås ved å multiplisere ligning (3.5) med en v L 2 () og integrere over : v L 2 () : v div q dτ = fv dτ. (3.9) Ligningene (3.8) og (3.9) inneholder ingen deriverte av u og bare divergensen til q. Som ovenfor antyder dette at løsningen kan finnes ved å kreve mindre regularitet av løsningen enn det som kreves i den klassiske formuleringen.

28 3 Ekvivalente formuleringer I det ovenstående er ligningene (3.4), (3.8) og (3.9) utledet fra ligning (3.), og i utgangspunktet må derfor u (og q) tilfredsstille regularitetskravene fra ligning (3.). I avsnittene nedenfor skal de samme ligningene utledes fra andre prinsipper, og samtidig skal vi ikke kreve mer av løsningen enn det som trengs i formuleringen av disse prinsippene. 3. Variasjonsformulering Randverdioppgaven (3.) og (3.2) kan også formuleres som en minimeringsoppgave. I dette avsnittet skal vi formulere denne minimeringsoppgaven, og vise forbindelsen til løsningen av (3.). I mange anvendelser i fysikk er det mulig å formulere problemet direkte som en minimeringsoppgave. Særlig innenfor mekanikk er dette tilfelle. Den størrelsen som skal minimeres, er da et uttrykk for den potensielle energi. Ved oppgaver innenfor væskestrømning og varmeledning er en slik direkte oppstilling ikke like naturlig. I de fleste tilfeller vil man foretrekke å først utlede randverdioppgaven, og dernest bestemme den ekvivalente minimeringsoppgaven. For løsning av randverdioppgaven (3.) og (3.2) skal vi betrakte funksjonalen J(u) = 2 grad u T K grad u dτ fu dτ. (3.0) Første ledd på høyresiden er uttrykket (.7) for dissipasjonen (energiforødelsen) ved divergensfri strømning. Funksjonalen uttrykker derfor tap av mekanisk energi per tidsenhet. Vi skal bestemme den u som minimerer funksjonalen J(u) under hensyn til randkravet (3.2). Det prinsipp som ligger til grunn for minimeringsoppgaven er således minimal dissipasjon (eventuelt minimal entropiøkning). Hvilken form J(u) skal ha, er imidlertid ikke enkelt å utlede fra fysikalske prinsippper. For mer generelle randkrav vil dette bli drøftet i kapittel 6. I uttrykket for J(u) inngår bare de deriverte av u. For at uttrykket skal bli veldefinert og randkravet tilfredsstilt, krever vi at u H0 (). Videre krever vi at f H (), og at elementene til K skal ligge i L (). Minimeringsoppgaven kan da formuleres som min J(u). (3.) u H0 () Vi skal drøfte forbindelsen mellom minimeringsoppgaven (3.) og randverdioppgaven (3.) og (3.2). Minimeringsoppgaven løses ved å kreve at den Gâteaux-deriverte blir lik 0 i minimumspunktet. Den deriverte av J er en avbildning fra H0 () til R.

3. Variasjonsformulering 29 Med en tilvekst v H0 () blir retningsdifferensialet dj du v = lim ɛ 0 ɛ = lim ɛ 0 ɛ [J(u + ɛv) J(u)] [ 2 grad(u + ɛv)t K grad(u + ɛv) f(u + ɛv) ] 2 grad ut K grad u + fu dτ (3.2) [ = lim grad v ɛ 0 T K grad u + ɛ 2 grad vt K grad v fv ] dτ [ = grad v T K grad u fv ] dτ. Kravet dj/du = 0 innebærer at retningsdifferensialet (3.2) må forsvinne for alle v H0 (). Minimeringsoppgaven (3.) løses derfor ved å bestemme den u H0 () som tilfredsstiller ligningen v H0 () : grad v T K grad u dτ = fv dτ. (3.3) For å være sikre på at løsningen u av ligning (3.3) ikke bare er et stasjonært punkt, men et minimumspunkt for funksjonalen J(u), skal vi vise ulikheten J(u + v) > J(u) for alle v 0 i H0 (): [ J(u + v) = 2 grad(u + v)t K grad(u + v) f(u + v) ] dτ (3.4) = J(u) + 2 grad v T K grad v dτ > J(u). Løsningen av ligning (3.3) er derfor et minimumspunkt for funksjonalen (3.0). Ligning (3.3) er identisk med ligning (3.4) som vi avledet fra differensialligningen. Ligning (3.3) kalles den svake formuleringen av randverdiproblemet (3.) og (3.2), og dens løsning kalles den svake løsningen. I den svake formuleringen har vi kun forutsatt at u H0 (), men vi skal vise at løsningen, under skjerpede betingelser for f, tilfredsstiller sterkere regularitetskrav. Anta at f L 2 (). Da gjelder for den svake løsningen u H0 () at K grad u = q H(div, ). For å vise dette skal vi benytte oss av rommet C0 () som ligger tett i H0 (). Med q = K grad u følger av ligning (3.3) at v C0 () : q grad v dτ = fv dτ. (3.5) Ifølge definisjonen av den svake deriverte (2.2) er div q definert ved v C0 () : v div q dτ = q grad v dτ. (3.6)

30 3 Ekvivalente formuleringer Således gjelder for divergensen av q i svak forstand v C0 () : v div q dτ = fv dτ. (3.7) Siden C0 () ligger tett i L2 (), følger av (3.7) at div q = f L 2 () (nesten overalt). Således er q H(div, ). Siden q H(div, ), kan man integrere delvis i ligning (3.3) på samme måte som i ligning (3.3). Med q = K grad u gir Greens formel (2.56) når den anvendes på ligning (3.3), fv dτ = q grad v dτ = vq n dσ + v div q dτ (3.8) for alle v H0 (). Randintegralet på høyresiden forsvinner siden v = 0 der. Setter vi inn for q = K grad u, står vi igjen med v H0 () : v div(k grad u) dτ = fv dτ. (3.9) Siden H 0 () er tett i L2 (), følger av ligning (3.9) at div(k grad u) + f L 2 () = 0, (3.20) dvs ligning (3.) er oppfylt nesten overalt. Den svake formuleringen (3.3) medfører således at differensialligningen (3.) blir oppfylt i svak forstand. 3.2 Sadelpunktformulering I avsnitt 3. ble randverdioppgaven (3.) og (3.2) formulert som en minimeringsoppgave i den variable u. Som ligning (.7) viser, kan imidlertid dissipasjonen skrives som en funksjon av grad u eller som en funksjon av q. I dette avsnittet skal vi derfor formulere randverdioppgaven (3.) og (3.2) som en minimeringsoppgave i den variable q. For dette formål definerer vi funksjonalen I(q) = 2 q T K q dτ. (3.2) I tillegg krever vi at strømtettheten q skal tilfredsstille bevarelsesligningen (3.5). For at uttrykkene skal bli veldefinerte, krever vi at q H(div, ). Videre krever vi at f L 2 (), og at elementene til K skal ligge i L (). Minimeringsoppgaven kan da formuleres som min I(q) (3.22) q H(div,) under hensyn til div q = f. (3.23)