Forelesningsnotater i Partielle differensiallikninger. Dag Lukkassen

Transkript

1 Forelesningsnotater i Partielle differensiallikninger Dag Lukkassen

2 UKE 1 (Klassisk teori)... 4 Mandag... 4 Introduksjon og motivasjon... 4 Viktige eksempler... 6 Hva er en løsning?... 7 Lineære partielle diff.likninger... 9 Partielle diffl. som løses ved hjelp av ordinære differensiallikninger Utledning av 1-dim bølgelikning Løsning av 1-dim bølgelikning Tirsdag Eksempel I dim. varmeledningslikning Eksempel Eksempel Eksempel Eksempel Eksempel Onsdag Laplace likning Takoma Narrow bridge dim. bølgelikning Rektangulær membran Eksempel Kjerneregelen Laplace i polare koordinater Torsdag Bessels likning og Besselfunksjoner Sirkulær membran Karakteristering av kvasilineære PDE T aylorrekke-representasjon Gauss Seidel iterasjon ADI-Metoden Neumann/''mixed problem'' Irregulær rand Eksempel på irregulær rand Fredag Numeriske løsninger for parabolske problemer-eksplisitt metode Crank-Nicolsons metode Eksempel Numeriske løsninger for hyperbolske problemer Eksempel UKE 2 (Moderne teori) Mandag Repetisjon fra matematikk Vektorrom og Hilbertrom Sobolev og Lebesgue-rom Eksempler Schwarz, Poincare og Friedrichs ulikheter Sterk (klassisk) og svak (moderne) formulering Dirichlet problemet: Eksistens og Entydighet Tirsdag Dirichlet problemet: Ekvivalent minimum energi-formulering Neumann problemet. Generell eksistensteori Minimum energi formuleringer

3 Onsdag Generell teori anvendt på Dirichlet problemet FoU-området Homogeniseringsteori ved HiN Generell teori anvendt på Periodiske materialstrukturer Bevis av ''celle'' problemet Alternativ minimumsformulering for effektiv varmeleding Elementmetoden (FEM). Generell teori Konvergens i elementmetoden Torsdag Elementmetoden. Eks. 1 dim Elementmetoden. Eks. 2 dim Elementmetoden. Eks. 2 dim (mer generelt) Fredag Hovedmomentene i moderne teori for partielle differensiallikninger

4 UKE 1 (Klassisk teori) Mandag Introduksjon og motivasjon 4

5 5

6 Viktige eksempler 6

7 Hva er en løsning? 7

8 8

9 Lineære partielle diff.likninger 9

10 10

11 Partielle diffl. som løses ved hjelp av ordinære differensiallikninger 11

12 12

13 Utledning av 1-dim bølgelikning 13

14 14

15 Løsning av 1-dim bølgelikning 15

16 16

17 17

18 18

19 19

20 20

21 21

22 22

23 23

24 24

25 25

26 26

27 Animasjoner: 27

28 Tirsdag Eksempel 28

29 29

30 30

31 I dim. varmeledningslikning 31

32 32

33 33

34 34

35 Eksempel 1 35

36 36

37 Eksempel 2 37

38 Eksempel 3 Animasjon 38

39 Eksempel 4 39

40 40

41 41

42 Eksempel 5 42

43 43

44 Animasjon: 44

45 Onsdag Laplace likning 45

46 46

47 47

48 48

49 49

50 50

51 Eksempel i Maple: 51

52 Takoma Narrow bridge 52

53 2-dim. bølgelikning. 53

54 Rektangulær membran 54

55 55

56 56

57 Animasjon: 57

58 58

59 Eksempel 2 59

60 Maple-animasjon: 60

61 Kjerneregelen 61

62 Laplace i polare koordinater 62

63 63

64 64

65 Torsdag Bessels likning og Besselfunksjoner 65

66 66

67 Sirkulær membran 67

68 68

69 69

70 70

71 Karakteristering av kvasilineære PDE 71

72 72

73 T aylorrekke-representasjon 73

74 Differanselikning for Poissons likning 74

75 75

76 76

77 77

78 78

79 Gauss Seidel iterasjon 79

80 ADI-Metoden 80

81 81

82 Neumann/''mixed problem'' 82

83 83

84 84

85 Irregulær rand 85

86 Eksempel på irregulær rand 86

87 Fredag Numeriske løsninger for parabolske problemer-eksplisitt metode 87

88 88

89 Crank-Nicolsons metode 89

90 Eksempel 1 90

91 91

92 Numeriske løsninger for hyperbolske problemer 92

93 93

94 Eksempel 94

95 UKE 2 (Moderne teori) Mandag Repetisjon fra matematikk 3 (Denne repetisjonen er laget i 2001 ved hjelp av et mer et svært primitivt utstyr. Beklager at kvaliteten er litt dårligere) 95

96 96

97 97

98 Vektorrom og Hilbertrom 98

99 99

100 100

101 101

102 Sobolev og Lebesgue-rom 102

103 103

104 Eksempler 104

105 105

106 106

107 Schwarz, Poincare og Friedrichs ulikheter 107

108 108

109 Sterk (klassisk) og svak (moderne) formulering 109

110 110

111 Dirichlet problemet: Eksistens og Entydighet 111

112 112

113 113

114 114

115 Tirsdag Dirichlet problemet: Ekvivalent minimum energi-formulering 115

116 116

117 117

118 118

119 Neumann problemet. Generell eksistensteori 119

120 120

121 121

122 122

123 123

124 124

125 Minimum energi formuleringer 125

126 126

127 Onsdag Generell teori anvendt på Dirichlet problemet 127

128 128

129 129

130 130

131 FoU-området Homogeniseringsteori ved HiN Hva er homogeniseringsteori Homogeniseringsteori er en forholdsvis ny teori som er forankret i matematikk, fysikk og ingeniørvitenskap. Teorien og har vist seg å få stor anvendelse og medvirket til større forståelse for den fysiske oppførselen til en rekke medier med ekstreme egenskaper. Eksempler på slike medier og problemområder er fiberarmerte materialer, nano-materialer, kompositt-strukturer, lettvektstrukturer, væskestrømmer i oljereservoarer og billedbehandling. Ordet homogenisering har å gjøre med at en forsøker å finne egenskapene til et tilsvarende homogent medium istedenfor det virkelige mediet som er sterkt inhomogent (se figurene) Nedenfor ser du noen figurer som gir et lite bilde av hva dette spennende forskningsområdet går ut på eller hvilke anvendelser det har. 131

132 Sandwich konstruksjoner 132

133 Hierarkiske strukturer Mikrostrukturert bjelke 133

134 Det er forskningsgrupper innen feltet i de fleste land i Europa, i tidligere øst-blokklandene og Nord -og Sør Amerika. I Norge og Sverige befinner de sterkeste forskningsmiljøene seg i Luleå og Narvik 134

135 135

136 Generell teori anvendt på Periodiske materialstrukturer 136

137 137

138 Bevis av ''celle'' problemet 138

139 139

140 140

141 141

142 142

143 Alternativ minimumsformulering for effektiv varmeleding 143

144 Elementmetoden (FEM). Generell teori 144

145 145

146 146

147 147

148 148

149 Konvergens i elementmetoden 149

150 Torsdag Elementmetoden. Eks. 1 dim 150

151 151

152 152

153 153

154 154

155 155

156 156

157 Elementmetoden. Eks. 2 dim 157

158 158

159 159

160 160

161 161

162 162

163 Skisser som illustrerer metoden generelt: 163

164 164

165 165

166 166

167 Konkrete beregninger av noen flere elementer i stivhetsmatrisen: 167

168 168

169 Følgende tre par av basisfunksjoner som står i samme forhold til hverandre (og dette gir opphav til at tilhørende elementer i stivhetsmatrisen blir like): 169

170 Tilsvarende står følgende fire par av basisfunksjoner i samme forhold til hverandre: 170

171 Dermed får vi følgende stivhetsmatrise: Elementmetoden. Eks. 2 dim (mer generelt) 171

172 172

173 173

174 174

175 Fredag Hovedmomentene i moderne teori for partielle differensiallikninger 175

176 176

177 Tools for proving conditions 1-4: Tools: Usually easy to prove. 177

178 178