Eksamen i klassisk feltteori, fag 74 50, 8. esember 1998 Lsninger 1a) Vi antar at x +, x x =0; (1) og at c = g x x. Sa gjr vi en koorinattransformasjon x 7 ex,ogskal vise at ex + e, ex ex =0; () er c = eg ex ex. Ta enisjonsligningen for frst. Vi har at ex eg ex ex = x ex x ex g x x ex x x = g x x = c : () Vi har nemlig, for eksempel, at Sa til ligning (). Vi har at x ex ex x = x x = : (4) og at ex = ex x x ; (5) ex = ex x x + ex x x = x ex x x x + ex x x : (6) Sa har vi at e, ex ex = ex x x ex x ex,, x ex x ex ex ex x x ex = ex x,, ex x x x x : (7) Tilsammen gir et at ex + e, ex ex = ex x x +, x x =0: (8) Som vi skulle vise. 1
1b) Schwarzschil-metrikken er iagonal, og vi har at g tt = 1, c = r, c ; g rr =, r r r r, =,1, r, ; g =,r ; g '' =,r sin : (9) At raielle baner eksisterer, flger av bevegelsesligningene, men et flger ogsa mer generelt av at Schwarzschil-metrikken er rotasjonsinvariant. Hvis nemlig hastigheten er raiell ve ett tispunkt, ma en fortsette a vre raiell, en kan ikke skjre ut i noen ikkeraiell retning uten at et nnes noen pavirkning som bryter rotasjonsinvariansen. Eller sagt pa en litt mer matematisk mate. otasjonsinvarians impliserer bevaring av impulsmomentet (reieimpulsen) L, som er proporsjonal me r _r. Hvis hastigheten _r er raiell ve ett tispunkt, sa erl =0ve ette tispunktet, og sien L er bevart, ma _r fortsette a vre raiell. Geoeseligningen for en raiell bane gir generelt at r +,r rr t +,t rr r r +, r tr +, t tr t t r t +,r tt = 0 ; r t +,t = 0 : (10) tt Sien en metriske tensoren g er iagonal, er g ogsa iagonal, og vi har at g tt = 1 g tt = r (r, )c ; grr = 1 g rr =, r, r g = 1 g =, 1 r ; g'' = 1 g '' =, 1 r sin : (11) ; Viere er g tt;r = r c ; g rr;r = (r, ) ; (1) og et gir at, t tt = 1 gtt g tt;t =0;, t tr = 1 gtt g tt;r = r(r, ) ;, t rr =,1 gtt g rr;t =0; (1), r =,1 (r, ) tt grr g tt;r = c ; r, r = 1 tr grr g rr;t =0;, r = 1 rr grr g rr;r =, r(r, ) : (14) Som var et vi skulle vise. Ligningen for t er t + r(r, ) t r =0: (15)
Sien =r 10,9 i Niarhallen, virker et ganske rimelig her a neglisjere et anre leet pa venstre sie, og altsa konstatere at me go tilnrming er t =0: (16) For a rettferiggjre ette mer eksplisitt, kan vi iviere ligning (15) me t= og erme skrive en som t 1 ln + r,, 1 r =0: (17) r Denne ligningen kan vi integrere sa vifar at t r, ln +ln = konstant : (18) r Her er (r, )=r = 1, me en nyaktighet pa 10,9, altsa kan vi regne at Ligningen for r er t =konstant : (19) r, r(r, ) r (r, ) + c r Eller, nar vi regner t= konstant og ivierer me (t=), r t, r(r, ) t =0: (0) r (r, ) + c =0: t r (1) Sa lenge hastigheten r=t er mye minre enn lyshastigheten c, kan vi neglisjere et miterste leet her, og vi far a at tyngens akselerasjon er g =, r (r, ) c t r r c = GM r = 8; 87 mm (660 km) c =9; 85 m/s : () a) Bevegelsesligningen for z er z s =, 1 c ;z 4 x0 s + kl x k s x l 5 z + s c s s : () Betingelsen for at z =0skal vre en lsning av en, er at ;z = z =0 (4) langs hele banen som lysstralen flger. En tilstrekkelig betingelse er f.eks. at ;z =0i hele planet z =0. Ligningen for x 0 kan skrives som s ln # x0 =, s c s : (5)
Den kan a integreres, og gir at x 0 s = Ke, c K 1, c ; (6) for en vilkarlig integrasjonskonstant K. Verien av K spiller ingen rolle, og vi kan f.eks. velge K = c. For et lyssignal gjeler at x x g s s = 1+ x 0, c 1, x j x k s c jk =0: (7) s s Innsatt ligning (6) me K = c gir et, til oren =c,at jk x j s Til oren =c gir et bevegelsesligningene x s y s x k s = c : (8) =, x + x c s =, y + y c s s ; s : (9) Om vi setter inn pa hyre sie her en prvelsning x = cs, y = y 0 =konstant, z =0, sa far vi ligningene x s y s =, x + c x x =0; s =, y : (0) Som kan sammenlignes me Newtons ligninger for en partikkel me lyshatigheten, er t er tien, x t y t =, x ; =, y : (1) Den vesentlige forskjellen er en faktor i akselerasjonen i y-retningen (akselerasjonen i x-retningen er i alle fall ubetyelig sammenlignet me hastigheten c). b) Dersom vi setter inn en tilnrmete lsningen x = cs, y = y 0 = konstant, z = 0, og potensialet GM =, p x + y + z ; y = GMy (x + y + z ) = GMy 0 ; () = (c s + y 0 ) = sa har ligning (0) flgene lsning for foranringen i y=s, y = y s s, y 1 GMy 0 s=1 s =, s =,4GM s=,1,1 (c s + y 0 ) = cy 0 : () 4
Avbyningsvinkelen er liten, og er lik y x = s s =, 4GM c y 0 : (4) Innsatt Jupiters masse og raius, M = M J =1; 90 10 7 kg og y 0 = r J =7; 19 10 7 m, far vi at jj =7; 85 10,8 =0; 016 00 : (5) ) Transformasjonen 7 e =e,i, me en reell konstant, gir at e =e,i ; e ; =e,i ; ; e =e i ; e ; =ei ; : (6) Setter vi inn e i steet for i Lagrange-tettheten L, far vi erme at L e = L. Men et impliserer at transformasjonen 7 e er en symmetri. En annen mate a se et samme pa, er a skrive opp Euler{Lagrange-ligningen L, x L ; =0: (7) Da ser vi (vi kan til og me se et av formen til Lagrange-tettheten, uten a skrive opp Euler{Lagrange-ligningen eksplisitt) at ligningen ikke inneholer, samtiig som en er en liner ierensialligning for. Men at en er liner, impliserer pr. enisjon at en er invariant uner 7 e =e,i me konstant. La na vre innitesimal, a er me e =e,i =(1, i) = +; e =e i =(1+i) = + ; (8) =,i ; =i : (9) Sien L er invariant, vs. at L = 0, har vi a, i flge Noethers teorem, at L + L x ; =0: (40) ; Som eksplisitt skrevet ut gir at,i x qjgj g ;, i q h A +i q jgj g ; +i q h A =0: (41) Vi kan iviere me, og a er ette kontinuitetsligningen j ; = 0, me j =,i qjgj g, i q ; h A, ; +i q h A : =,Im qjgj g ; +i q h A : (4) Dette kan vi sammenligne me en elektromagnetiske strmtettheten, enert som j em = L A =, q h j : (4) Vi ser at e to strmtetthetene er proporsjonale. Me anre or: invarians uner globale gauge-transformasjoner impliserer bevaring av elektrisk laning. 5
4a) Me V =4 =oga =4 er V W =, ln + A =, ln +4 +konstant ; (44) V0 0 er 0 er en eller annen konstant. Kurven for W () har flgene form, me vilkarlig skalering pa aksene: 5 0 15 W 10 5 0 0. 0.4 0.6 0.8 1 1. 1.4 Euler{Lagrange-ligningen blir: 0= L, t L _ =, +8, m : (45) 4b) Me (t) = 0 =konstant blir _ =0og =0,og for at bevegelsesligningen ovenfor skal oppfylles, ma a Som vil si at 0=W 0 ( 0 )=, 0 +8 0 : (46) s 0 = 8 : (47) 6
Sien Lagrange-funksjonen L ikke avhenger eksplisitt av tien t, er energien E = m _ + W = m _, ln +4 +konstant (48) 0 bevart. At E er konstant, vs. at E _ =0,flger forvrig irekte fra enisjonen og fra bevegelsesligningen. Sien E er konstant, sien _ 0, og essuten W () ser ut som i guren ovenfor, kan (t) bare variere mellom en nere og en vre grense. Bevegelsen er allti en oscillasjon omkring likevektsverien 0. Det betyr at likevektslsningen (t) = 0 er stabil: hvis vi perturberer en en liten smule, frer et bare til sma oscillasjoner omkring 0. Vel a merke, forelpig vet vi ingenting om hva som skjer ersom vi eformerer boblen pa en slik mate at en ikke lenger er kulesymmetrisk. 4c) Den oppgitte Lagrange-funksjonen er L = m + _ +ln, 4 + m 0 8, 1 Euler{Lagrange-ligningen for (t),, 1 sin L, t ser ut som flger:, 8 + m 4 8,m, m 8 t _, 4 t # _ t + # : (49) ' L _ =0; (50) _ # t, _ 4,4 1 t +4 _ # = 0 : (51) Eller, litt omskrevet, m, +8, m t 1 t, _ + _ t, _ # =0: (5) Vi kan forenkle litt viere ve a bruke at 1 =, _ t : (5) Da far vi at m, +8, m 1 t t, _ =0: (54) 7
For a nne Euler{Lagrange-ligningene for (; '; t) skriver vi me L = L 0 = 0 ' sin L 0 = ' L ; (55) 0 0 0 L = sin L ( 0 m = sin 8 _ + 4 ln, + m _, 4 0 8 t # _ t + +, 1, 1 #) : sin (56) ' Euler{Lagrange-ligningene for blir a: L, L, ' ; L, t ;' L =0: (57) ;t Som gir, helt eksplisitt, at m sin 8 # _,4 _ t +4 + +, sin m 8 sin t + sin ' t, 4 _ = 0 : (58) Etter litt opprying gir et at m 4 t,,, sin sin, sin =0: (59) ' 4) Lagrange-funksjonen er ikke eksplisitt avhengig av t, et gir at bevegelsesligningene er invariante uner tistranslasjon, og Noethers teorem gir at energien er bevart. Lagrange-funksjonen er heller ikke eksplisitt avhengig av ', et gir at bevegelsesligningene er invariante uner rotasjon om z-aksen, og Noethers teorem gir at impulsmomentet (reieimpulsen) om z-aksen er bevart. Men z-aksen er jo noksa tilfelig valgt, altsa har vi rotasjonsinvarians om en vilkarlig akse, og alle komponenter av impulsmomentet er bevart. En annen metoe for a resonnere seg fram til enne konklusjonen, er a si at en potensielle energien avhenger bare av volumet og arealet, som begge er rotasjonsinvariante. Diskrete symmetrier, som ikke gir noen bevaringslover ut fra Noethers teorem, er tisreversjonssymmetri (t 7,t) og paritetsinvarians (speilingssymmetri om planet z = 0, vs. at 7,, eller om en vil, speilingssymmetri om origo, vs. at 7,, ' 7 ' ). 4e) Nar (; '; t) = (t)(cos, 1) ; (60) 8
sa er =,6 cos sin ; ' =0; t = _ ( cos, 1) : (61) Det er a \bare a sette inn i Lagrange-funksjonen, ligning () i oppgaveteksten, og integrere. 4f) Euler{Lagrange-ligningen for :, 8 + m 5,m, m 5 t 4, 4,4 1 _ +4 = 0 : (6) Som kan omskrives slik: m, 8m 5 t _, _, +8 =0: (6) Og Euler{Lagrange-ligningen for : m _,4 5 +4, 64 5, m 5 t _, 4 _ =0: (64) Som kan omskrives slik: m, +16 =0: (65) Disse to ligningene for (t) og (t) gir en nvenig, men ikke uten viere tilstrkkelig, betingelse for at (; '; t) = (t)(cos, 1), sammen me (t), skal vre en lsning av et fulle settet ligninger. Det vi kan si, er at hvis et nnes en lsning av en formen vi har antatt, sa er virkningsintegralet ekstremalt for enne lsningen, og ersom virkningsintegralet er ekstremalt, sa ma ligningene (6) og (65) vre oppfylt. Men et er jo ikke uten viere noen grunn til at e fulle ligningene skal ha noen lsning av en formen som vi (tilsynelatene) har hentet rett ut av luften. For a stuere stabiliteten til lsningen (t) = 0, (t) =0,kan vi se pa sma avvik fra enne. Dvs. at vi antar at (t) = 0 + (t), er (t) er liten, og essuten at er liten. Vi far a flgene to ligninger: m + +8 = 0 ; 0 m +16 = 0 : (66) Som har oscillatoriske (og ikke eksponensielt voksene) lsninger. Det viser at sapeboblen er stabil mot kvarupoleformasjoner. 9