Kap. 8 Bevegelsesmengde. Kollisjoner. Massesenter. Vi skal se på: Newtons 2. lov på ny: Definisjon bevegelsesmengde Kollisjoner: Kraftstøt, impuls. Impulsloven Elastisk, uelastisk, fullstendig uelastisk Massesenter (tyngdepunkt)
Kollisjoner skjer så raskt at vi kan se bort fra ytre krefter under kollisjonen Hvor store er de indre kreftene F 12 = F 21? m = 56 g v = 50 m/s v = - 50 m/s anta på t = 0,005 s F 12 F 21 mg => Δp = 56 g 100 m/s = 5,6 kg m/s => <F> = Δp/ Δt = 1120 N F max 2000 N Ytre kraft = tyngde = mg = 0,56 N er forsvinnende liten F max for stor
Bevegelsesmengde. Kollisjoner. Massesenter. Bevegelsesmengde: p = m v Opprinnelig form Newton 2: F = dp / dt Kollisjoner: Kraftstøt = J = F dt = Δp (impulsloven) Ingen ytre krefter => p tot = konstant Kraftstøt motsatt like stort på hvert legeme F ytre = 0 Tilleggslikninger: E Elastisk støt: Kinetisk energi bevart U Fullstendig Uelastisk støt: Felles sluttfart (energi avtar) Et «normalt» støt noe mellom E og U (energi avtar).
Tre klasser kollisjoner (eksempel: kast mot golv) v 1 = v 1 v 1 > v 1 v 1 v 2 = v 2 = 0 Elastisk E v 2 = v 2 = 0 Uelastisk, «normalt» v 1 = v 2 = v her: v 1 = v 2 = 0 Fullstendig uelastisk, U Alle kollisjoner: m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 +m 2 v 2
Tilsynelatende er ikke bev.mengde bevart i kollisjonen mot golvet: F.eks. Fullstendig uelastisk: Før: p = m 1 v 1 m 1 Etter: v = 0 => p = 0 v 1 Likevel er p bevart! m 2 (golv) >> m 1 v = 0 m 1 v 1 = (m Elastisk 1 +m 2 ) v Uelastisk 0!! U m 2
Så langt om kollisjoner: Antar ingen ytre krefter i selve kollisjonen => Bevegelsesmengde er bevart: m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 +m 2 v 2 Tilleggslikning elastisk støt: Kinetisk energi bevart: m 1 v 12 + m 2 v 2 2 = m 1 v 12 +m 2 v 2 2 med generell løsning: v v 1 2 ' ' ( m m ) v 2m v m m 1 2 1 2 2 1 2 ( m m ) v 2m v m m 2 1 2 1 1 2 1 Tilleggslikning fullstendig uelastisk støt: Felles sluttfart: v 1 = v 2
Y&F: Ex. 8.8: Fullstendig uelastisk støt Ballistisk pendel : To ukjente: v 1 og fellesfarten v = v 1 = v 2 To likninger: Bev.mengdebevarelse under støtet: m B v 1 + m W 0 = (m B +m W )v Energibevarelse under oppsvinget: ½ (m B +m W )v 2 = (m B +m W )gy IKKE energibevaring under støtet: ½ (m B +m W )v 2 < ½ m B v 1 2 v = v 1 = v 2
Eks. 2: Delvis uelastisk støt v 1 v 2 v 1 Tre ukjente: Før støt: v 1. Etter støt: v 1 og v 2 To likninger: Bev.mengdebevarelse under støtet (1) Energibevarelse under oppsvinget (2) Tilleggsopplysning: F.eks. oppgitt kulas fart etter støtet: v 1 = ½ v 1 (3) (evt. kunne tap i energi vært oppgitt)
Massesenter (tyngdepunkt) Punktpartikkel: all masse i ett punkt Flerpartikkelsystem: Legeme = punktpartikler (nødvendig mhp. rotasjon, bøying, deformasjon) Y&F kap. 8.5 L&L kap. 5.6
Massesenter -- for to partikler: m r m r 1 r ( m r m r ) 1 1 2 2 cm 1 1 2 2 m1 m2 M m 1 m 2 r r cm 1 r 2
Topartikkelsystem Massesenter m1 r1 m2 r 2 1 r cm ( m1 r1 m2 r 2 ) m1 m2 M N i m i r N N-partikkelsystem i 1 1 r c m m i (8.29) N i r M i 1 m i r dm Kontinuerlig legem e 1 (8.29B) r cm r dm M legem e dm legem e i 1 Y&F kap. 8.5 L&L kap. 5.6 3-dim: Integrasjon over volum: dm = ρ dv. Eks: z R 2-dim: Integrasjon over plan: dm = σ da. Eks: r rcm 1-dim: Integrasjon langs linje: dm = λ ds. Eks:
Eksempler massesenter Halvsirkel dm = λ ds y cm = r 2/π = 0,64 r [λ] = kg / m Halv sirkelplate: dm = σ da r r cm y cm = r 4/(3π) = 0,42 r [σ] = kg / m 2
Massesenter Tyngdepunkt = massesenter dersom tyngdeaksel. g er lik over hele legemet (Eiffeltårnet 300 m: tyngdepkt ca 7 mm lavere enn cm) Newtons lov for massesenter: F ext = Ma cm
Fullstendig elastisk støt m 1 m 2 r r cm 1 r 2 Rød = massesenter r cm Ingen ytre krefter => M d/dt r cm = F ext = 0 => Massesenteret r cm fortsetter upåvirket under støtet. Relativbevegelsen (gult) endres under støtet.
Oppgave: Ei kule skytes inn i en trekloss som farer opp i lufta (fullst. uelastisk støt). Kula treffer ved A, B eller C. Hvilket treff løfter treklossen til største høyde h? Svar: Like høyt for alle. Bevegelsesmengde bevart: Alltid samme fart for klossen: h g mv = (M+m)V cm I tillegg kommer rotasjon ved B og C (mest ved C) M Demonstrert og forklart på YouTube: www.youtube.com/watch?v=blyoylcdgpc&list=uuhnyfmqirrg1u-2mssqlbxa A B C Kule med høy fart v m
Massesenter Tyngdepunkt = massesenter dersom tyngdeaksel. g er lik over hele legemet Newtons lov for massesenter: F ext = ma cm Tyngdens pot. en: E p = gm z cm
Variabel masse Rakettlikningen Rakettlikningen ikke pensum Y&F kap. 8.6 L&L kap. 5.4 Kun som eksempel i oppgave: Øving 4, opg. 5
Kap. 8. Oppsummert. Bevegelsesmengde. Kollisjoner. Massesenter. Massesenter r cm = r dm/m. Bevegelsesmengde: p = m v Opprinnelig form Newton 2: F = dp / dt Kraftstøt = J = F dt = Δp (impulsloven = Newton2) Ingen ytre krefter => p tot = konstant Kraftstøt motsatt like stort på hvert legeme Kollisjoner. Tilleggslikninger: E Elastisk støt: Kinetisk energi bevart U Fullstendig Uelastisk støt: Felles sluttfart (energi avtar) Et «normalt» støt noe mellom E og U (energi avtar). F ytre = 0 Newtons lov for massesenter: F ext = ma cm Tyngdens pot. en: E p = gm z cm
Kap 8. Oppsummert: Massesenter Punktpartikkel: all masse i ett punkt Flerpartikkelsystem: Legeme = punktpartikler (nødvendig mhp. rotasjon, bøying, deformasjon) Massesenter r cm : Topartikkelsyst. i i N N-partikkelsyst. i1 1 (8.29) i1 Kontinuerlig (8.29B) Tyngdepunkt = massesenter dersom g er lik over hele legemet 1-dim: Integrasjon langs linje: dm = λ ds. 2-dim: Integrasjon over plan: dm = σ da. 3-dim: Integrasjon over volum: dm = ρ dv. m1 r1 m2 r2 1 rcm ( m1 r1 m2 r2 ) m1 m2 M N m r rcm m N i ri M i1 m i r dm legeme 1 rcm r dm M legeme dm legeme