FYSMEK1110 Eksamensverksted 29. Mai 2017 (basert på eksamen I 2004, 2012,2013,2015) Oppgave 1 (maks. 30 minutt med diskusjon) a) Kan et legeme som har konstant akselerasjon endre bevegelsesretning? Gi en kort begrunnelse for svaret. Ja, siden hastighet er en vektoriell størrelse kan vi ha både positive og negative verdier av en hastighet. En ball som kastes rett oppover vil ha konstant akselerasjon nedover, hvilket betyr at hastigheten oppover avtar med et konstant mengde pr sekund. Før eller siden blir hastigheten oppover lik null, og siden negativ, hvilket betyr at ballen har nådd sitt høyeste punkt og så vender nedover igjen. b) En kule triller oppover en bakke, passerer toppen og triller så nedover en bakke på motsatt side. Skissér hvilken retning friksjonen virker fra underlaget på kula, på vei opp, på toppen og på vei ned. Begrunn svaret. Vi antar at vi har ren rulling. rotasjon CM v F friksjon F = 0 friksjon F friksjon Retningen til friksjonen fra underlaget på kula er markert med pilene i figuren. På grunn av energibevaring (ingen sluring mot underlaget) må bevegelsesenergi gå over i potensiell energi på veien opp. Kula har ren rulling, hvilket betyr at også rotasjonshastigheten (vinkelhastigheten) må avta på veien oppover. Det betyr at kula har en vinkelakselerasjon om massemiddelpunktet, og at vinkelakselerasjonen fører til at vinkelhastigheten avtar. Da må det være et kraftmoment som gir denne vinkelakselerasjonen om massemiddelpunktet (ifølge spinnsatsen). Det er tre krefter som virker på kula, gravitasjonen, normalkraften fra underlaget, og friksjonen fra underlaget. Virkelinjen til de to første går gjennom massemiddelpunktet, og de kan derfor ikke sette opp noe kraftmoment om dette punktet (eller aksen gjennom massesenteret). Friksjonen er den eneste kraft som har et kraftmoment om aksen gjennom massesenteret. Friksjonen må sette opp et kraftmoment som virker mot rotasjonsbevegelsen på vei oppover, og det gir den retningen på friksjonskraften som er indikert. På toppen har ikke kula noe vinkelakselerasjon (av energimessige årsaker), det vil si at friksjonskraften her er null. På veien nedover blir argumentasjonen som på veien opp, bare med motsatt fortegn, det vil si at friksjonskraften må sette opp et kraftmoment som fører til raskere og raskere rotasjon. Friksjonskraften må da virke som angitt i figuren. c) Dersom man kaster en ball rett oppover og ikke kan se bort fra luftmotstanden, vil ballen da bruke samme tid på en bestemt veistrekning på vei oppover som på vei nedover? I fall den ikke Page 1 of 15
bruker samme tid på den bestemte veistrekningen, bruker den da lengst tid på vei opp eller på vei ned? Begrunn svaret. På vei oppover vil gravitasjonskraften og luftmotstanden virke samme retning, mens de virker motstatt retning på veien ned. Akselerasjonen (tallverdien) oppover er større enn (tallverdien av) akselerasjonen nedover. Følgelig må ballen bruke lenger tid på veien ned enn på veien opp. d) En kvinne står på speilblank is (friksjonen tilnærmet lik null). Hun kaster en ball (et vanlig kast litt på skrå oppover). Vil vi ha konservering av bevegelsesmengden for systemet kvinne pluss ball? Begrunn svaret. Friksjonen er tilnærmet lik null betyr at det (nesten) ikke virker horisontale krefter på kvinnen (+ ball), selv når hun kaster ballen. Når det da ikke er noen ytre krefter i horisontal retning for systemet (kvinne + ball), er bevegelsesmengden konservert i denne retningen. I vertikal retning er det imidlertid annerledes. Når kvinnen kaster ballen på skrå oppover, vil massesenteret til systemet (kvinne + ball) bli akselerert litt oppover akkurat idet ballen kastes. Dette er slik fordi ballen akselereres oppover, mens kvinnen ikke får en tilsvarende bevegelse nedover pga at isen er hard (hun må sparke litt ekstra ifra idet ballen kastes). Men siden massesenteret til systemet (kvinne + ball) blir akselerert, må det virke en netto ytre kraft på systemet oppover. Da er ikke bevegelsesmengden for systemet bevart i loddrett retning, og dermed er total bevegelsesmengde ikke bevart. e) En erfaren kokk kan avgjøre om et egg er kokt eller rått ved å trille det nedover et skråplan. Forklar. I et hardkokt egg vil hele innmaten bevege seg med samme rotasjonshastighet (vinkelhastighet) som skallet, mens det i et rått egg er mulig å få eggeskallet til å rotere raskere enn innmaten. I et rått egg vil derfor rotasjonsenergien være noe mindre enn for et hardkokt egg for en gitt rotasjonshastighet - og derved en og samme translatoriske bevegelsesenergi (såfremt vi har ren rulling). Energibevaring tilsier da at det rå egget vil rulle fortere enn det hardkokte. For bløtkokt egg vil ikke effekten være fullt så stor, men likevel i samme retning. Page 2 of 15
Oppgave 2 (20 minutt) Et pion oppstår i en kollisjon mellom høyenergetiske protoner i en partikkelakselerator. Etter det er skapt beveger pionet seg med konstant høy hastighet nær lysets hastighet før det henfaller. Et pion i sitt hvilesystem har levetiden. Finn hastigheten til pionet hvis du som observatør i laboratoriet detekterer henfallet i en avstand fra kollisjonspunktet. Finn et uttrykk for hastigheten som funksjon av avstanden og konstantene og. Hendelse 1: pionet oppstår i kollisjonen, hendelse 2: pionet henfaller. Tidsperioden mellom de to hendelser er levetiden til pionet. I sitt hvilesystem S er pionet i ro og levetiden er. I laboratoriesystemet S beveger pionet seg med hastighet og levetiden er lenger på grunn av tidsdilatasjon:. I laboratoriesystemet S beveger pionet seg en strekning mellom hendelse 1 og 2 og bruker en tidsperiode for denne strekningen. Hastigheten er derfor: Page 3 of 15
Oppgave 3 (40 minutt) En liten stein med masse synker i havet. Du kan anta at det virker en konstant oppdriftskraft og en motstandskraft av type, hvor er en konstant. a) Tegn et frilegemediagram for steinen og navngi kreftene. (2 poeng) Gravitasjonskraft Motstandskraft Oppdriftskraft Steinen synker i negativ y retning, motstandskraften virker derfor i positiv y retning. b) Finn et uttrykk for akselerasjonen til steinen. (2 poeng) Newtons andre lov: c) Finn terminalhastigheten til steinen. (3 poeng) Steinen rekker terminalhastigheten når Page 4 of 15
Ved tiden er steinen i ro og begynner å synke fra høyden over havbunnen. d) Skriv et program som finner den vertikale posisjonen til steinen som funksjon av tiden. Det er tilstrekkelig å ta med integrasjonsløkken. (5 poeng) På stedet hvor steinen synker er det en havstrøm. Vannet beveger seg med konstant hastighet. e) Hvordan påvirker vannbevegelsen motstandskraften? Modifiser kraftmodellen for å ta hensyn til vannets hastighet. (3 poeng) Motstandskraften er avhengig av relativhastigheten mellom steinen og vannet. f) Tegn et frilegemediagram for steinen i den nye situasjonen i havstrømmen. Angi også hastigheten til steinen og til vannet rundt steinen. (3 poeng) Page 5 of 15
Page 6 of 15 g) Modifiser programmet ditt for å beregne posisjonen til steinen når vannet beveger seg med konstant hastighet. Det er igjen tilstrekkelig å ta med integrasjonsløkken. (6 poeng)
Oppgave 4 (30 minutt) En kiste med masse settes ned på et skråplan som har en helningsvinkel. Den statiske friksjonskoeffisienten mellom kisten og overflaten til skråplanet er, den dynamiske friksjonskoeffisienten er, hvor. Vi antar først at kisten forblir i ro. a) Tegn et frilegemediagram for kisten og uttrykk alle kreftene som virker på kisten ved hjelp av,, og. (4 poeng) Gravitasjonskraft Normalkraft Friksjonskraft ( Kisten beveger seg ikke i y retning: Kisten beveger seg ikke i x retning: Page 7 of 15
b) Finn betingelsen for at kisten begynner å skli ned skråplanet. (4 poeng) Den statiske friksjonskraften har maksimalverdien: Kisten begynner å skli når. Vi antar at betingelsen fra b) er oppfylt og kisten sklir ned skråplanet. Du kan se bort fra luftmotstanden. c) Finn arbeidet som er gjort av friksjonskraften på kisten når den har sklidd ned en strekning (målt langs skråplanet). (3 poeng) Kisten beveger seg i positiv x retning mens kraften virker i negativ x retning. Nå må vi bruke den dynamiske friksjonskoeffisienten: Friksjonskraften gjør negativ arbeid på kisten. d) Finn den kinetiske energien og hastigheten til kisten når den har kommet til bunnen av skråplanet etter den har sklidd ned en strekning. (5 poeng) Arbeidet gjort av friksjonskraften er lik forskjellen i den mekaniske energien: Page 8 of 15
Oppgave 5 (60 minutt) En kloss med lengde, høyde og masse ligger på et horisontalt bord som illustrert i figure under. En kule skytes inn i toppen av klossen. Kulen har en horisontal bevegelsesmengde umiddelbart før den treffer klossen. Etter kollisjonen blir kulen hengende fast inne i klossen. Massen til kulen er så liten at den ikke endrer massen, massesenteret eller treghetsmomentet til klossen. Du kan anta at klossen ikke sklir, men roterer om punktet rett etter kollisjonen. Du k se bort fra luftmotstand. Du kan anta at klossen ikke har rotert i løpet av kollisjonen. Treghetsmomentet om en akse gjennom massesenteret i -retningen for en kloss med lengde, høyde og masse er = " ( + ). Du kan bruke vinkelen = "# og = Side + for å forenkle svarene dine hvis du ønsker. a) Finn posisjonen til massesenteret til klossen. Massesenteret befinner seg i det geometriske senteret til klossen, som er i posisjonen: = 2 + 2 Page 9 of 15
b) Finn treghetsmomentet, ", til klossen om en akse langs -retningen om punktet. Treghetmomentet om massesenteret langs -aksen er ",. Vi finner treghetmomentet om punktet ved hjelp av parallell-akse teoremet. Avstanden fra massesenteret til punktet er. Da er treghetmomentet om punktet langs -aksen:, = ", + c) Finn vinkelhastigheten til klossen om punktet umiddelbart etter kollisjonen. I kollisjonen er ikke de ytre kreftene null, da det virker krefter i punktet i både horisontal og vertikal retning. Men netto kraftmoment om punktet er null, da kraftmomentet til gravitasjonskraften og normalkraften oppveier hverandre. Derfor er spinnet om punktet bevart. Spinnet før kollisjonen er: Spinnet umiddelbart etter kollisjonen er:,, =,, =, hvor er vinkelhastigheten til klossen om punktet umiddelbart etter kollisjonen. Vi finner at =, d) Finn absoluttverdien til hastigheten til massesenteret til klossen umiddelbart etter kollisjonen. Umiddelbart etter kollisjonen roterer hele legemet om punktet med vinkelhastighet. Massesenteret følger derfor en sirkelbane med radius. Hastigheten til massesenteret er = og retningen er normalt på linjen fra til massesenteret. Page 10 of 15
Side 9 av 11 e) Hva blir det maksimale vinkelutslaget til klossen? (Det er tilstrekkelig å finne en likning som bestemmer den maksimale, du behøver ikke løse den.). Etter kollisjonen antar vi at klossen roterer om punktet uten luftmotstand eller friksjon som motvirker rotasjonen. Kreftene som virker i punktet gjør ikke noe arbeid fordi dette punktet ikke flytter seg. Den eneste kraften som gjør arbeid på klossen er gravitasjonskraften, og denne kraften er konservativ. Energien til klossen er derfor bevart. Energien umiddelbart etter kollisjonen er 1 = + = "# sin +, 2 Energien når klossen har vinkelutslaget er 1 = + = "# sin( + ) +, 2 Klossen har maksimalt vinkelutslag når vinkelhastigheten er null, dvs når = 0, som gir 1 = "# sin +, = = "# sin( + ) 2 Slik at maksimal vinkel inntreffer når 1 "# sin( + ) = "# sin +, 2 sin( + ) = sin +,, = sin + 2"# 2"#, f) Hvor stor kan være uten at klossen tipper over? Begrunn svaret. Klossen vil tippe idet massesenteret roterer forbi, dvs. når + >. Da vil gravitasjonskraften gi et positivt kraftmoment om, og det vil ikke være noen krefter som gir et negativt kraftmoment, slik at klossen vil ha en positiv vinkelakselerasjon. Dette inntreffer altså når + >, som gir betingelsen: som gir en betingelse for :, sin + = 1 = sin + 2"#, = (1 sin ) 2"#, Page 11 of 15
La oss nå anta at klossen ikke tipper over. Vi ser på bevegelsen etter kollisjonen. Side 10 av 11 g) Vis at vinkelakselerasjonen til klossen om punktet er når er positiv. "# + " = " Vi finner vinkelakselerasjonen fra N2Lr om punktet. Netto kraftmoment om punktet er, = cos( + ) " siden det kun er gravitasjonskraften som bidrar kreftene som virker i har ikke noe kraftmoment om siden avstanden fra til punktet kraften virker i vil være null for disse kreftene. Fra N2Lr finner vi vinkelakselerasjonen:, = "#, == cos( + ) " slik at cos + " = " som var det vi skulle vise. Merk at dette uttrykket også viser at vinkelakselerasjonen blir null når + = og at den blir positiv når + >. h) Tenk nøye gjennom den fysiske situasjonen, beskriv hva som skjer når blir negativ, og finn et uttrykk for vinkelakselerasjonen til klossen når er negativ. Klossen vipper først opp til en maksimal, deretter vipper den ned igjen, til den ligger helt flatt på underlaget. Den kolliderer med gulvet og spretter opp igjen, men nå vil den rotere om det andre hjørnet. Hvis vi antar at den bevarer energien i kollisjonen med gulvet, vil den ha samme vinkelhastighet om punktet umiddelbart etter kollisjonen med gulvet. (Hvis du her har antatt en annen kollisjonsprosess, for eksempel en prosess som gir en reduksjon i vinkelhastighet etter kollisjonen er det greit). Den vil deretter rotere om helt til den stopper opp, og vipper tilbake, og slik vel klossen fortsette å vippe. Vi finner vinkelakselerasjonen på samme måte som ovenfor når klossen roterer om punktet, men den er nå avhengig av cos( ): og dermed er vinkelakselerasjonen, = cos( ) " = cos " " Page 12 of 15
hvor treghetmomentet om er det samme som om, da klossen er symmetrisk. Dersom du har valgt en annen fysisk tolkning av hva som skjer for negative, og du har innført en god modell basert på denne tolkningen, vil det også gi full uttelling. (For eksempel kan du ha antatt at klossen fortsetter å rotere om punktet, men at den deformeres når den presses ned mot underlaget slik vi så i oblig 10. Dette vil også gi full uttelling både i denne og neste deloppgave). i) Skriv et program som finner bevegelsen til klossen som funksjon av tiden. Det er tilstrekkelig å ta med integrasjonsløkken. M = 1.0; H = 1.0; L = 0.5; g = 9.8; R = sqrt((h/2)^2+(l/2)^2); phi = atan(h/l); I = (1/12)*M*(H^2+L^2) + M*R^2; time = 10.0; dt = 0.0001; n = ceil(time/dt); theta = zeros(n,1); omega = zeros(n,1); t = zeros(n,1); theta(1) = 0.0; omega(1) = 1.0; for i = 1:n-1 if (theta(i)>0.0) tau = -R*cos(phi+theta(i))*M*g; else tau = R*cos(phi-theta(i))*M*g; end alpha = tau/i; omega(i+1) = omega(i) + alpha*dt; theta(i+1) = theta(i) + omega(i+1)*dt; t(i+1) = t(i) + dt; end plot(t(1:i),(theta(1:i)+phi)*2/pi); xlabel('t') ylabel('(\theta+\phi)/(\pi/2)'); Page 13 of 15
Oppgave 6 (20 min). A small block is resting on the top of a large sphere. There is no friction between the block and the surface of the sphere. The block starts sliding with an infinitesimally small velocity from the top of the sphere to one side. a. Draw a free-body diagram of the block and name the forces while it is at a finite angle θ from the top. (3 points) b. Determine the speed of the block as a function of the angle θ. (4 points) The normal force is orthogonal to the direction of motion and does not do any work. Gravitation is a conservative force. We can therefore use energy conservation. If we define U = 0 in the center of the sphere: mgr = 1 2 mv2 + mgr cos θ v = 2gR(1 cos θ) c. Find the angle at which the block loses contact with the surface of the sphere. (5 points) The net force in radial direction must provide the centripetal acceleration: N mg cos θ = m v2 2gR(1 cos θ) = m R R N = mg cos θ 2mg(1 cos θ) = 3mg cos θ 2mg The block loses contact when the normal force becomes zero: θ = cos 1 ( 2 3 ) Page 14 of 15
Oppgave 7 (30 min). The force acting on a particle with mass m is characterized by the potential U(x) = U 0 ( b x + x b ), where U 0 and b are positive constants and the position x can only take positive values. a. Determine the force acting on the particle in the position x. (3 points) F = du dx = U 0 ( b x 2 + 1 b ) = U 0 ( b x 2 1 b ) b. Describe the motion of the particle. How can you characterize the position x = b? (3 points) Since the force has a potential it is conservative and the mechanical energy is conserved. The particle will oscillate around the stable equilibrium point x = b. If the particle is located in the position x = b without kinetic energy it will remain there. The position x = b is therefore a stable equilibrium point. If it starts from a position x 0 < b it is accelerated in positive x direction. It will reach its maximum energy in x = b, then slow down and finally turn around at the position x = 1 x 0. The motion is then reversed and the particle moves back and forth between the same positions. c. The particle is located at the position x 0 = 1 b and released without initial velocity. Find the 2 velocity of the particle at the position x = b. (3 points) Since the force is conservative we can use energy conservation: U(x 0 ) + K(x 0 ) = U(x) + K(x) 5 2 U 0 + 0 = 2U 0 + 1 2 mv2 v = U 0 m d. How far does the particle move? (3 points) We use again energy conservation to find the position where all energy is in the form of potential energy with the same value as in x 0. U 0 ( b x + x b ) = 5 2 U 0 x 2 5 2 bx + b2 = 0 x = 5 4 b ± 25 16 b2 b 2 = 5 4 b ± 3 4 b The particle moves back and forth between the points x = 1 b and x = 2b. 2 e. In three dimensions the potential can be written as U(r ) = U 0 ( b + r ), where r = r. r b Determine the force acting on the particle in the position r. (3 points) In spherical coordinates: F = U F = U r u r = U 0 ( b r 2 1 b ) u r Page 15 of 15