Contents Oppgavesamling tilbakekobling og stabilitet... Innledende oppgave om ABC tilbakekobling... Innledende oppgave om Nyquist diagram... 3 Bodeplott og stabilitet (H94 5)... 4 Bodediagram og stabilitet (H 3)... 5 b Opamp_Oppgave_Phaseshift... 3 6 Nyquist Eksamen H98 4... 4 7 Rotasjon (Eksamen H99 3)... 5 8 Styring av Ovn. (H89 3)... 6 9 Polplassering, Bodeplot, Nyquist... 8 Tilbakekobling og Nyquist diagram (H 3)... 9 Tilbakekobling og stabilitet. (H95 3)... Oppgavesamling tilbakekobling og stabilitet Innledende oppgave om ABC tilbakekobling a) Tegn opp et ABC blokkskjema for et generelt tilbakekoblet system. b) Hvorfor er det bare tilbakekoblingssløyfen som har betydning for stabilitet. c) Kan et system være ustabilt hvis man klipper ledningen til tilbakekoblingssløyfen. Begrunn svaret d) Hvordan vil du gå fram for å bestemme om et ABC system er stabilt eller ikke. Innledende oppgave om Nyquist diagram a) Forklar hva et Nyquist diagram er og hva det brukes til. b) Er det noen sammenheng mellom Nyquist diagrammet og konturanalyse? 3 Bodeplott og stabilitet (H94 5) En operasjonsforsterker har systemfunksjonen K H a ( ( T ( T ) s
der T = sek, T = 5 sek og K = 5. Forsterkeren kobles som vist under, der R = kω og R f = MΩ. R f R Vi( + H a ( V ( a) Lag et blokk diagram over kretsen når operasjonsforsterkerens inngagnsimpedans betraktes som uendelig stor. Lag Bodediagram over sløyfeforsterkningens amplitude og fasekarakteristikk. b) En mer korrekt beskrivelse av forsterkerens inngangsimpedans er at en kapasitans med verdien C i = pf forbinder inngangene merket + og. Finn den nye sløyfeforsterkningen, og gi en analyse av kretsens stabilitet. c) Vi kobler inn en liten kondensator, C f, i parallell med resistansen R f. Diskuter hvordan dette kan bedre stabiliteten. 4 Bodediagram og stabilitet (H 3) En operasjonsforsterker har systemfunksjon gitt ved: V Ts A ( A V V T s der A = 4, T = 3 sek og T = sek. a) Tegn Bodediagram over operasjonsforsterkerens amplitude og fase karakteristikk. Operasjonsforsterkeren forsynes med tilbakekobling som vist på figuren over. Anta uendelig høy inngangsimpedans.
b) Lag et blokkdiagram for det tilbakekoblede systemet, og finn et uttrykk for sløyfeforsterkningen. c) Vurder om systemet er stabilt dersom RC = sek. Hva om RC = 4 sek. 5 b Opamp_Oppgave_Phaseshift Oppgaven illustrerer ideell og ikke ideell opamp samt Nyquist stabilitet og bodeplot. Kretsen over er en faseskifter benyttet til å vende fasen til et sinussignal hvis det er over en bestemt frekvens. a) Anta idealbetingelser og forklar hva vi mener med det. b) Sett Rs=Rf og finn et uttrykk for overføringsfunksjonen H(=Vut( / Vinn( c) Tegn et bodediagram for amplitude og fase. Forklar hva som skjer med karakteristikkene når vi endrer R Anta nå at operasjonsforsterkeren ikke er helt ideell men har en forsterkning G gitt ved Gain A( V Vo V 4 Ts
d) Beskriv kretsen med et blokkdiagram og vis at tilbakekoblingssløyfen kan beskrives som F( utrykket under. A( F( Rf / Ri e) Sett Rf=Ri og tegn bodediagram for tilbakekoblingssløyfen F( med amplitude og fase plot under hverandre og med samsvarende vinkelfrekvens verdier på x aksen f) Tegn Nyquist diagram på grunnlag av Bode diagrammet og bruk det til å å diskutere området rundt F= når Ri=Rf. Evaluer systemets stabilitet. g) For hvilke verdier av forholdet Rf/Ri vil systemet være stabilt med tilstrekkelig margin i forhold til Gain < 6dB, Фf > 3 o regelen. 6 Nyquist Eksamen H98 4
7 Rotasjon (Eksamen H99 3) Oppgave Vi betrakter en styrbar enhet som genererer rotasjonsbevegelse. Anta at rotert vinkel, x, bestemmes av inngagnspenningen v x ifølge likningen x''( t) x'( t) G v ( t), hvor τ, G er konstanter. x
Integrert i enheten er det også en sensor som gir en utgangspenning som er proporsjonal med vinkelen, dvs. v ( t) x( ). t a) Vis at systemfunksjonen H x =V /V x er gitt ved H x ( G s s b) La ( t) v u( t), dvs en trinn eksitasjon. v x Finn et uttrykk for responsen v (t), og skisser forløpet i en graf. Den styrbare enheten plasseres i en krets slik som vist på figuren over. Vi regner operasjonsforsterkerene for ideell. c) Vis at V H x ( A( H (, Vi H x ( A( der A( er spenningsforsterkerens systemfunksjon. Tegn blokkdiagram over systemet som helhet. d) Anta at A( s og sett τ = 3 sek, τ =. sek, og ατ G =. Tegn Bodediagram (amplitude og fasekarakteristikk) av systemets sløyfeforsterkning. Vurder stabiliteten av systemet gjennom å skissere Nyquist diagrammet. 8 Styring av Ovn. (H89 3) Reguleringsteknikk, tilbakekobling og stabilitet Oppgave Hint: s t s e t e t
a) En ideell operasjonsforsterker koblet slik som vist nedenfor, gir et utgangssignal proporsjonalt med integralet av signalet på inngangen. Forklar dette. C R + Figuren nedenfor viser et tilbakekoplet nettverk bestående av fire ideelle operasjonsforsterkere og et system som har overføringsfunksjonen H ( = V (/V (. Alle uspesifiserte resistanser er like, og har verdien R. b) Finn den totale overføringsfunksjonen H( = V (/V i ( uttrykt ved H ( og de øvrige komponentene i kretsen. Vis også at nettverket kan representeres ved blokk diagrammet under. V
c) Systemet H er en liten ovn som er drevet av et styrbart varmeelement. Spenningen V d bestemmer energitilførselen, mens spenningene V genereres av en temperatursensor inne i ovnen. Når ovnen opereres alene, dvs. frakoplet det øvrige nettverket, finner man at en trinneksitasjon v (t)= Δv*u(t) gir responsen: t v ( t) v t.e.e u( t), t i sekunder. vis at H ( ( s )(s ) d) La inntil videre K =. Bestem polene til H(, og vis med en figur hvordan deres plassering i s planet avhenger av K. Kommenter resultatet. e) Hensikten med nettverket er å forbedre styringen av ovnsystemet. Finn responsen v (t) når systemet får en trinn eksitasjon fra nettverkets inngang; v i (t) = Δv*u(t). Bruk så K = 5/. Sammenlign denne responsen med ovnenes egen trinn respons, likning (). Skisser begge tidsfunksjonene i samme figur, for eksempel for t 3 sekunder. f) La nå K. Vurder om neverket er stabilt for K =, og K /RC = sek. g) La K=37/ og K =64/ sec slik at H( får tre sammenfallende poler. Beregn responsen v (t) for eksitasjonen v i (t) = Δv. u(t) i dette tilfellet. Sammenlign med de andre trinnresponsene, og kommenter nytten av kretsen. H ( Hint: L 37 s s s a s s 3 64 47 4 3 a 3 a t a t a 3 e t (L er den invers Laplacetransformerte) 9 Polplassering, Bodeplot, Nyquist En krets er gitt ved H ( s Rs
Hvor R er en variable motstand som kan ha verdier fra og oppover. a) Forklar hva vi mener med poler og punkt b) Sett opp et utrykk for polenes α og β verdi c) Beregn α og β for R=, /,, og 3 og før svaret i en tabell. (I en muntlig eksamen vil dere få tallene utregnet på kalkulator av sensor i følge utrykket dere har kommet fram til. Dere fører bare tallene opp i en tabell) d) Tegn et S plan og skisser og forklar hvordan polene beveger seg i dette planet når vi endrer R glidende fra til 3 e) Fortell hvordan systemet vil oppføre seg for hver av polplassene i tabellen for R=,.5, og 3. Hva slags system får vi, og hva slags ledd eller utrykk forventer du å se i tidsutrykket om du hadde gjort en invers laplacetransformasjon. f) Skisser hvordan du forventer at v ut (t) skal se ut om du sender inn en impuls som v inn (t)inn i kretsen for de tre tilfellene. g) Forklar hva vi mener med, og hvordan vi bruker standard likningen. h) Bruk standard likningen og finn resonansfrekvens og Q verdi for kretsen når R=.5. i) Anta nå at H( er tilbakekoblingssløyfen i et større system slik at H(=F(. Tegn Bodeplot og Nyquist diagram. Fortell om kretsen er stabil eller ikke og forklar hvordan du ser dette. Tilbakekobling og Nyquist diagram (H 3) En forsterker har systemfunksjon gitt ved: 4 A ( ( T s )( T s ) Der T = μs og T = ms. a) Lag Bode diagram over amplitude og fase karakteristikken til forsterkeren. inn + A( ut + B
b) Forsterkeren gis tilbakekoblingen som vist i blokk diagrammet over. Anta at tilbakekoblingen er konstant (frekvens uavhengig), og skisser Nyquist diagrammet for tilfellene: (i) B = og (ii) B =.. Diskuter stabiliteten til systemet for de to tilfellene. Tilbakekobling og stabilitet. (H95 3) Et tilbakekoplet system har sløyfeforsterkning K F ( T s T s T s 3 T 3 der K og sek, T sek, T sek. Finn ut om systemet er stabilt. 4 3 5