Oppgave 1 (25 %) a) Antall kontrakter som skal shortes er: * 1 N =.95 = 188.12 22 25 Vi avrunder til nærmeste hele tall og shorter dermed 188 kontrakter. b) Tabellen under viser at strategien sikrer en fortjeneste på rundt 1. V viser beregningene i den første kolonnen. Hvis indeksen er 18 er futuresprisen.25 % høyere, det vil si 18.45. Gevinst på short futures er dermed: (22 18.45) 25 188 = 11285 Avkastning på indeksen er 2 % 2/12 =.33 % i form av dividende og 18/2 1 = - 1 % kapitalavkastning. Total avkastning er dermed 9.67 %. Risikofri rente er 5 % 2/12 =.83 % over 2 mnd. Avkastningen er dermed 1.5 % ut over risikofri rente, og med beta lik.95 blir avkastningen.95-1.5 % = - 9.975 % ut over risikofri rente. Porteføljens avkastning er dermed lik 9.975 % +.83 % = - 9.1417 %. Tapet på porteføljen blir 9.1417 % 1 = 914 167. Total gevinst 1 12 85 914 167 = 98 683. Indeks nå 2 Futures nå 22 Indeks opp,25 % Portefølje 1 Risikofri 5 %,83 % 2 mnd Yield 2 %,33 % 2 mnd Kontrakter nøyaktig 188,12 shortes Kontrakter avrundet 188 shortes Beta,95 Futures verdi 25 Indeks 2 mnd 18 19 2 21 Futures 18,45 19,48 2,5 21,53 Gevinst futures 11285 541675 75-4675 Avkastning indeks -9,67% -4,67%,33 % 5,33 % Porteføljeavkastning -9,14% -4,39%,36 % 5,11 % Verdi portefølje 985833 956833 135 833 151 833 Total verdi 198 683 112 58 116 333 111 158 Gevinst 98 683 12 58 16 333 11 158 Legg merke til at avkastningen blir nær risikofri rente men ikke helt identisk. Vår sikring er ikke perfekt siden det trengs 188.12 kontrakter og det er basisrisiko pga ulik tidsdimensjon på indeksen og futures avtalen.
c) Reduksjon av beta til.8 oppnås gjennom å shorte: 1 N = (.95.8) = 29.7 eller 3 kontrakter 22 25 Økning av beta til 1.25 oppnås ved å kjøpe: 1 N = (1.25.95) = 59.41 eller 59 kontrakter 22 25 Oppgave 2 (15 %) a) Dette er et papir med kontinuerlig divdende (q), og vi bruker 5.3 i Hull for å verdsette terminkontrakten. F = 11e (.5 -.2)/2 =1 116.62. b) Hvis terminprisen er 1 12 er den for høy. Vi kjøper derfor det underliggende og shorter terminavtalen. Gevinsten blir 112 1116.62 = 3.38. c) Hvis terminprisen er 1 11 er den for lav. Vi kjøper derfor terminavtalen og shorter underliggende. Salgssummen fra salget plasseres og vokser til 1116.62 og det oppstår en gevinst på 1116.62 111 = 6.62. Bankrenten er riktignok 5 % her, men den som har solgt avtalen må også betale 2 % dividende til eieren slik at netto avkastning blir 3 %. Vi bruker 5.7 i Hull for å verdsette terminavtalen (long posisjon): qt rt f Se = Ke Dette gir at: f = e e =.2 4\12.5 4\12 15 1116.62 55.14 Siden vi har en short posisjon i oppgaven er verdien 55.14. Legg merke til at når kontrakten inngås er forventet verdi : f = e e =.2 6\12.5 6\12 11 1116.62 Oppgave 3 (3 %) a) Vi beregner de aktuelle størrelsene:.3.5 u = e = 1.2363 d = 1/ u = 1/1.2363 =.889.8.5 e 1.2363 p = =.5426 1.2363.889
b) Treet kan vises slik: 152,8465 57,84652 123,6311 32,35611 1 1 18,1475 5 8,88579 2,6681 65,42511 Node Time:,,5 1, c) Som treet viser, har vi at: f uu = 152.8465 95. = 57.84652 f ud = 1 95 = 5 f du = 1 95 = 5 f dd = Vi starter bakerst og beregner verdien av kjøpsopsjonen på tidspunkt t =.5 år: (.5426 * 57.84652 + (1.5426) * 5))e -.8/2 = 32.35611 (se også treet) (.5426 * 5) e -.8/2 = 2.6681 (se også treet) Verdien av kjøpsopsjonen på t = : (.5426 * 32.35611 + (1.5426) * 2.6681))e -.8/2 = 18.148 Om man verdsetter direkte uten å gå om verdiene i treet er det også fullgod løsning. d) Verdien på salgsopsjonen kan finnes ved hjelp av salg-kjøp-pariteten, men det kan være en fordel å bruke treet fordi man i oppgave e) skal verdsette en amerikansk opsjon. Treet med betingede pay off fra salgsopsjonen er slik:
152,8465 123,6311 1 1 5,7186 8,88579 12,9962 65,42511 29,57489 Node Time:,,5 1, Opsjonen blir bare ITM dersom aksjekursen faller. Vi ser at fuu = 95 65.42511 = 29.57489. Verdi på tidspunkt t =.5 er (1 -.5426) * 29.57489)) e -.8/2 = 12.996 Verdi på tidspunkt t = er (1 -.5426) * 12.9962)) e -.8/2 = 5.718 Vi kan selvsagt også ta beregningene i en operasjon: (1.5426) * 29.57489)) 2 e -.8 = 5.718 (se også treet) e) Vi tegner treet på nytt (ikke nødvendig, men gjøres for oversiktens skyld): 152,8465 123,6311 1 1 6,22171 8,88579 14,11421 65,42511 29,57489 Node Time:,,5 1, En amerikansk opsjon kan utøves før bortfall. Vi så foran at på tidspunkt t =.5 var opsjonsverdien lik 12.996. En amerikansk opsjon kan utøves før bortfall, og tidlig utøvelse gir en pay off på 95 8.88579 = 14.11421. Opsjonen utøves derfor tidlig. Opsjonsverdien blir: (1 -.5426) * 14.11421)) e -.8/2 = 6.222
Oppgave 4 (3 %) Før vi kan beregne verdien av opsjonene, må vi trekke ut nåverdien av dividenden på 56 om 4 dager: 56e -.495*4/365 = 55.7 S 39.78 = 1246 55.7 = 1 19.3 Vi beregner d 1 og d 2 : 2 2 ln(119.3 / 125) + (.495 +.2322 / 2) 8 / 365 d1 = =.296.2322 8 / 365 d =.296.2322 8 / 365 =.447 Vi finner N(d 1 ) og N(d 2 ) ved avlesning fra tabell og helst interpolering: N(d 1 ) =.3836 N(d 2 ) =.3428 a) Vi priser kjøpsopsjonen ved hjelp av BS: = =.495 8/365 c 119.3.3836 125e.3428 32.7 b) Vi priser salgsopsjonen ved hjelp av BS:.495 8/365 p 125e = (1.3428) 119.3 (1.3836) = 78.93 c) Salgsopsjon = 32.7 + 125 e-.495*8/365 119.3 = 78.92 En viss avrunding er ikke til å unngå og nøyaktige verdier finnes i regnearket under. d) Theta viser opsjonens time decay eller hvor mye opsjonsverdien faller for hver dag kortere gjenværende tid til bortfall. Opsjonens vega er økning i opsjonspris ved en 1 % økning i standardavviket på underliggende. e) For å bli delta nøytral kjøpes N(d 1 ) eller.3428 aksjer for hver opsjon man har skrevet. Øker aksjekursen med 1, øker verdien av aksjen med,3428 og den skrevne kjøpsopsjonen gir et tap på -.3428. Nettoeffekten er.
Kurs - NV dividende 119,3 Innløsningskurs 125, Risikofri rente 4,95 % Standardavvik 23,22 % Tid til bortfall (dager) 8 Tid til bortfall (år),2 d1 -,296 d2 -,447 N(d1),3836 N(d2),3428 Verdi kjøpsopsjon 32,68 Verdi salgsopsjon 78,9