Løsningsforslag for regneøving TFE40 Digitalteknikk med kretsteknikk Løsningsforslag til regneøving vårsemester 008 tlevert: fredag 5. februar 008 Forord Løsningsforslaget presenterer en grundig gjennomgang av oppgavene, regnet ved hjelp av en metode som prøver å gjøre fremgangsmåten forståelig for de sliter med å løse oppgaven. Oppgavene kan i mange tilfeller løses mye lettere og med mindre regning enn det løsningsforslaget presenterer. Spesielt gjelder dette med hensyn på mellomregninger. I senere øvinger vil mengden mellomregninger bli redusert da det forventes at studentene har blitt godt kjent med de grunnlegde metodene innenfor kretsteknikk. I løsningsforslaget er det benyttet mellomsvar. Denne metoden er valgt for bedre å fremheve fremgangsmåten i beregnine, samt de enkelte ledds verdier. Allikevel anbefales det å bruke så få mellomsvarene som mulig, da det vil redusere nøyaktigheten av utregnine. Oppgave : Gitt følde grunnlegde krets: I a a Krets a) ttrykk I a som funksjon av a og Ohms lov I I I a a [] b) Finn et uttrykk for effekten, P, omsatt i motstanden,, som funksjon av a i har at: P I [] Setter inn uttrykket for I som funnet i a) P P a [3] ndervisningsassistent Ingulf Helland Side av 6
Løsningsforslag til regneøving vårsemester 008 I a a _ 3 Krets c) Finn et uttrykk for som funksjon av a, og og er seriekoblet, utgjør en spenningsdeler i forhold til. Strømmen, I a, gjennom disse vil være den samme, og avhenging av den totale motstanden av seriekoblin. I a a [4] Spennin over,, vil da være gitt av strømmen gjennom motstanden multiplisert med motstandens verdi (Ohms lov). I a [5] Setter inn for I a a a [6] d) Gitt følde verdier a 0 DC, 0Ω og 0Ω, hva blir. a 0 0Ω 3, 33 0Ω 0Ω [7] ndervisningsassistent Ingulf Helland Side av 6
Løsningsforslag til regneøving vårsemester 008 e) i legger inne en motstand 3 på 7Ω, hvordan påvirker dette? Beregn og ny verdi av. Når 3 kobles inn, blir parallellkoblin av og 3 mindre enn 7 Ω. Den totale strømmen I a i kretsen øker. Siden forblir konstant men strømmen i kretsen øker, øker og spennin over. vil da falle, iht. KL. Siden nå er parallellkoblet med 3 vil enkleste måte være å regne ut 3 og bruke samme formel som i d), men substituere med 3. Dette er mulig siden det kun spørres om spennin over dem, da spennin vil forbi den samme over de to motstandene. Merk at motstandene vil få forskjellig støm, og dermed og forskjellig effekt. i tar utgangspunkt i den nye koblin I a a _ 3 egner først ut 3 i kan da velge mellom den erelle formelen for parallellkoblinger 3 3 [8] Og via litt omregning komme frem til formelen for to motstander i parallell som vist under. i kunne like gjerne brukt formelen ovenfor direkte. Begge vil være like riktig. 3 3 3 [9] egner ut 3 3 0Ω 7Ω 4, Ω 0Ω 7Ω [0] Satt inn i formelen fra d) får vi a 3 0 4, Ω, 7 0Ω 4, Ω 3 [] ndervisningsassistent Ingulf Helland Side 3 av 6
Løsningsforslag til regneøving vårsemester 008 Oppgave : a) Beskriv med egne ord, følde grunnlegde lover innenfor kretsteknikk: I. Ohms lov Spennin over en motstand er gitt av motstandens verdi i ohm multiplisert med strømmen gjennom motstanden. II. Kirchoffs spenningslov (KL) Summen av alle spenninger i en vilkårlig lukket sløyfe er null. III. Kirchoffs strømlov (KCL) Summen av alle strømmer i en node er null. b) Hva skjer med effekten i en motstand når: I. Spenning over den dobles? P [] Effekten firdobles II. Strømmen gjennom den dobles? Effekten firdobles P I [3] c) Hva kan sies om den totale motstanden i forhold til enkeltmotstandenes verdi i henholdsvis serie og parallellkobling. Motstander i parallell: Den totale motstanden er alltid mindre enn minste motstand i parallellkoblin. Motstanser i serie: Den totale motstanden er alltid større enn største motstand i seriekoblin. ndervisningsassistent Ingulf Helland Side 4 av 6
Løsningsforslag til regneøving vårsemester 008 Oppgave 3: a) egn ut strømmene i i 7 Bruk KCL til å se på hvor stor strøm som går inn og ut av hvert knutepunkt. Summen av disse skal bli 0. Merk hvilken retning pilene peker. Går strømmen i motstat renning av pilen, vil det si negativ strøm strøm i motsatt retning av referanseretning. 5 A i i A i 3 3 A A A 9 A i 4 i 7 i 5A i 7A i 3 3A i 4 0A i 5 0A i 6 er ikke i kretsen i 7 A i 5 Krets 3 b) Hvilke av disse motstandsnettverkene er like? Det som er viktig å merke seg i denne oppgaven er hvor i kretsen det knutepunkt og ikke. To ledninger som krysser hverandre uten uthevet sirkel rundt, er ikke koblet, men kun en krysning av to ledninger. Merk i C at de to nederste motstandene er kortslutta, og at kretsen da kun har 3 motstander. A G, B E, C H og F D ndervisningsassistent Ingulf Helland Side 5 av 6
Løsningsforslag til regneøving vårsemester 008 A B C D E F G H Krets 4 c) Finn spennine som ikke er oppgitt Bruk KL til å finne spennine som ikke er oppgitt. Summen av alle spenninger i en vilkårlig lukket sløyfe er null. a b c e g f d h i a 5 b c 4 d 3 e 9 f g 7 h 3 i Krets 5 ndervisningsassistent Ingulf Helland Side 6 av 6
Løsningsforslag til regneøving vårsemester 008 Oppgave 4: a) Et bilbatteri er merket med 55Ah. Hvis du glemmer å slå av lysene på bilen, vil batteriet etter en tid bli utladet. Hvor lang tid tar det hvis vi antar at bilens hovedlyspærer er på 55W hver, og baklysene 9W hver? Den totale effekten vi belaster batteriet med er stk 55W pærer og stk 9W pærer. Totalt 8W. egner lasten om til strømmen som blir trukket ut av batteriet. P 8W P I I I 0, 67A [4] Batteriet har 55Ah (Amperetimer) tilgjengelig. Dette gir T 55Ah 0,67 A 5,h ( timer) [5] Alternativ kan enn regne ut hvor mange Wh batteriet har, og dele det på lasten i W 55Ah t 8W 5,h( timer) [6] b) Hvor mange coulomb har batteriet kapasitet til å lagre? coulomb A s [7] time er som kjent 3600 sekund. Dette gir: 55Ah 55A 3600s 98k coulomb [8] Oppgave 5: a) Kokeplaten i en komfyr består av 3 individuelle varmelement. Kokeplater finnes både med lik og forskjellig verdi på de tre motstandene. I denne oppgaven skal vi regne med at alle tre elementene har forskjellig verdi. Tegn opp alle måter det går å koble disse i for å få forskjellig total resistans. Enten ved å koble vekk varmelement, koble dem i serie eller parallell, eller en kombinasjon. 3 ndervisningsassistent Ingulf Helland Side 7 av 6
Løsningsforslag til regneøving vårsemester 008 7 forskjellige måter 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ndervisningsassistent Ingulf Helland Side 8 av 6
Løsningsforslag til regneøving vårsemester 008 b) En stor kokeplate på en komfyr har en diameter på ca 3 cm, og en effekt på 500W, Hva tilsvarer dette i W/cm? (evt. W/m dersom ønskelig) egner ut arealet på vanlig måte for en sirkel: A π r A 3 3.45 45,5cm [9] [0] Del effekten på arealet for å finne effekt pr areal P 500W 45,5cm 6, 0 W cm [] c) En Pentium 4 prosessor (Pentium4 3,8F) bruker opp mot 5W. Selve kjernen på prosessoren har en størrelse på 0,7 x 0,mm. Hvor mange watt/cm tilsvarer dette? (evt. W/m dersom ønskelig) egner ut arealet på tilsvarende måte som i b): A A h b,07,0.09cm [] [3] 5W W P 06,09cm cm [4] d) En Pentium 4 prosessor drives på,,4 volt. Hva er maks antall ampere prosessoren vil kunne trekke fra regulatoren? Maks strøm vil bli ved laves spenning P I 5W I, 95,8 A [5] [6] ndervisningsassistent Ingulf Helland Side 9 av 6
Løsningsforslag til regneøving vårsemester 008 Oppgave 6 : I denne oppgaven skal vi se på strømfremførin til en liten radiostasjon. adiostasjonen er plasser langt fra allferdsvei og kjører således på aggregat. Aggregatet ser vi i denne oppgaven på som en spenningskilde v( med en gitt indre motstand i. Mellom aggregatet og radiostasjonen ligger det 50m med vanlig «skjøteledning» på,5mm. Avstanden fra aggregatet er såpass stor for redusere støy som aggregatet på avstand. Nå har det seg slik at in ledere er ideelle ledere. i må derfor ta hensyn til at kabelen vår har en gitt motstand. adiostasjonen består av belysning, pc for loggføring, radio for sending og mottak, og kraftforsterker (PA power amplifier) for å kunne sende kraftig nok. I denne oppgaven forenkler vi radiostasjonens utstyr til å kun representere en ohmsk last. (I praksis vil effekten noe utstyr trekker, deriblant PCer, være konstant. Med andre ord, når spennin faller, øker strømmen. Men i denne oppgaven forenkler vi utstyret til å kun representere en ohmsk last.) Aggregat Kabel adiostasjon i g e n Strømbryter Sending i( ~ v( v( aggregat lys PC radio PA Krets 6 Belysning består av stk 60W lyspærer. PCen (med skjerm) trekker 40W, radioen 0W, og kraftforsterkeren 00W. Disse effektene er ved 30 rms. Kraftforsterkeren blir bare innkoblet når stasjonen sender, ikke når den lytter. Dette medfører at forsterkeren blir vilkårlig koblet inn og ut ettersom samtalen over radio foregår. (Aggregatet tåler en last på 5kW) I denne oppgaven benyttes rms som effektivverdien av en vekselspenning / vekselstrøm. Denne oppgaven er laget på en slik måte at alle rms (rootmeansquare) spenninger og strømmer kan regnes med de formler som allerede er kjent for forhold mellom strøm, spenning, motstand og watt. ndervisningsassistent Ingulf Helland Side 0 av 6
Løsningsforslag til regneøving vårsemester 008 Motstanden i en kabel er avhenging av; kabelens materiale, tykkelse på lederne, og lengden på kabelen. Jo lengre ledning jo mer motstand. Jo tykkere kabel, dess større areal blir strømmen fordelt ut på, og dess mindre motstand. Motstanden i en leder kan ved lave frekvenser og spenninger beskrives med følde formel. l ρ A [7] esistans[ω], l lengde [m], A Areal [m ], ρ statisk resistivitet [Ωm] ρ for kobber er oppgitt til,7 0 8 ved 0 C. (en endring på 80 C vil gi ca% ending i resistivite tspennin på aggregatet er justerbar. Spennin ut vises på et voltmeter på aggregatet. Tips: Tegn kretsskjema underveis under losnin av oppgaven. a) Hvor mye motstand representerer kabelen? Kabelen er 50m. Strømmen går i en lukket sløyfe, derfor er det en leder som fører frem og en tilbake. Totalt gir dette 500m,5mm kabel. t fra formel [7] får vi: 8,7 0 Ω m 500m 6,5 0 m 5,733Ω [8] b) Aggregatet blir justert til å gi ut 30 rms når radiostasjonen er frakoblet. Når stasjonen blir slått på, men ikke sender, viser utspennin på aggregatet 7,5 rms. Hvor stor er den indre motstanden i aggregatets erator? Lasten som legges inn består av kabelens motstand seriekoblet med stasjons totale last. Siden stasjonen bare lytter, består stasjonslasten av lys, radio og pc parallellkoblet. P P [9] egner først ut motstanden for de enkelte lastene ut fra: i får da: lys PC radio 440,8Ω 5, 9 Ω 0, 4 Ω [30] [3] [3] ndervisningsassistent Ingulf Helland Side av 6
Løsningsforslag til regneøving vårsemester 008 Aggregat Kabel adiostasjon i g e n i( v( ~ v( aggregat totlytting Krets 7 tot lytting lys pc radio [33] tot lytting 9, 80Ω 440,8Ω 5,9 Ω 0,4Ω lys pc radio [34] i kan videre forenkle lasten til en total last, tot, som kobles på eratoren. Aggregat Generator last i g e n i( v( ~ v( aggregat last Krets 8 last 9,80Ω 3,8 Ω 98, 53Ω tot lytting kabel [35] i kjenner nå lastmotstanden, og spennin over. Da vil vi kunne finne strømmen I a ut fra Ohms lov: v( 7,5 I I(, 309A last 98,53Ω [36] Nå er både strømmen i( kjent, og spenningsfallet over i. i bruker igjen Ohms lov for å finne motstanden. vi 30 7,5 i, 08Ω I I(,309 A [37] ndervisningsassistent Ingulf Helland Side av 6
Løsningsforslag til regneøving vårsemester 008 Hvor høyt kan vi justere utspennin for aggregatet når spennin i radiostasjonen ikke må overstige / 0 % av 30 rms? i kan justere spennin i radiostasjonen, dvs, spennin v( stasjon over totlytting [krets 8], til 53 rms ed å bruke Ohms lov igjen, finner vi en ny verdi for i( ved 53 rms over totlytting. v( stasjon 53 I( 9,80Ω, 76 last [38] Dette er strømmen som går ut av aggregatet. ed videre bruke den totale lasten for aggregatet last, og Ohms lov, vinner vi v( fra aggregatet. (merk at spenningsmeteret ikke måler eratorens spenning, og derfor skal ikke i tas med) A I v( i( last,76a 98,53Ω 68, 6 [39] c) PCen er veldig kresen på spennin den skal ha og tåler derfor ikke større avvik enn 0 % på 30 rms. Det andre utstyret tåler 5 %. Er kabelen som er brukt for fremføring av strøm til radiostasjonen tilstrekkelig tykk? Hvor mange Ohm kan vi tillate at kabelen har? Hvor tykk må den være når vi har standardkablene,5mm,5mm, 4mm og 6mm å velge mellom. i må regne ut hvor høy spenning selve eratoren gir ut. Benytter samme fremgangsmåte som i c), men tar og med i for å få eratorens spenning. I v( i( ( last i ),76A (98,53Ω,08 Ω ) 7, 5 [40] i har nå en spenningsdeler tilsvarende som i oppgave c). i ( t ) g e n i k a b e l v ( t ) g e n v ( t ) s t a s j o n _ t o t l y t t i n g P A Krets 9 ndervisningsassistent Ingulf Helland Side 3 av 6
Løsningsforslag til regneøving vårsemester 008 i benytter derfor svaret i c) og regner ut v( stasjon når PA kobles inn. v( stasjon ( v( kabel i ( tot lytting PA ) ) ( ) tot lytting PA [4] PA finner vi på samme måte som i oppg b) PA 5, 9Ω [4] enger ut serie og parallellkobline kabel 5,733Ω, 08Ω 6, 83Ω i [43] tot egner til slutt ut tot lytting PA 9,80Ω 5,9 Ω lytting PA 9, 8Ω 9,80Ω 5,9 Ω tot lytting ( tot lytting PA ) ) ( ) v( 7,5 9,8Ω v( ( 6,83Ω 9,8Ω stasjon 0 kabel i tot lytting PA PA [44] [45] PCen må ha en minimumspenning på 0% under 30 som gir 30 30 0.0 07 [46] Kabeldimensjonen på,5mm gir dermed 5 for lite. For å finne den maks tillatte motstanden vi kan ha i kabelen, må vi til med et ligningssett med ukjente: kabelens motstand, og eratorens spenning. Ettersom vi spennine til å kompensere for motstanden med, vil og spennin v( endre seg når kabelmotstanden endres. i vet allerede maks og minimum tillatte spenning v v 07 min maks 53 [47] [48] ed å benytte formel 45 får vi et uttrykk for v min. ed å bytte totlytting PA, med kun totlytting, får vi et uttrykk for v maks. i har da to formler og to ukjente.: ndervisningsassistent Ingulf Helland Side 4 av 6
Løsningsforslag til regneøving vårsemester 008 ( tot lytting PA ) ) ( ) v( I : ( kabel i tot lytting v( tot lytting II : ( ) kabel i tot lytting PA 53 07 [49] [50] i setter X ( kabel i ), og Y v(, og løser ligningssettet på vanlig måte. i får da følde verdier for X og Y: X 5,958Ω Y 69,3 [5] [5] Trekker ut kabel og får da at maks motstand på kabelen er: kabel 5,958Ω,08 Ω 4, 878Ω [53] i begynner deretter å se etter en kabel som har tilstrekkelig lite ohm. i benytter formel 7 og får følde data fra om tilgjengelig kabeldimensjonene.,5mm,5mm 6,0mm 4,0mm 5,73Ω 3,44Ω,75Ω,43 Ω [54] [55] [56] [57] t fra dataene over ser vi at minste kabeldimensjon som tilfredstiler kravet er en kabel på,5mm Hva blir effekten omsatt i lyspæren når stasjonen henholdsvis lytter og sender med den kabel og spenning du har valgt? (anta g 30 rms, og kabeltykkelse på.5mm dersom det ikke har fremkommet annet svar i foregående oppgaver) Her må vi være aktsomme. Nå som kabelen er skiftet, vil det påvirke spennin på radiostasjonen. i må derfor passe på å velge en spenning som ikke overgår v maks (dette kom dessverre ikke godt nok frem i oppgaveteksten, men bør i alle høyeste grad kunne forventes at en oppmerksomstudent uansett kommenterer) ed valg av spenning kommer det flere argument inn. I praksis vill en prøve å holde spennin så nært 30 som mulig. Faren er og at dersom lasten blir mindre enn det som er antatt, vil vi få høyere spenning inn på utstyret enn det er ndervisningsassistent Ingulf Helland Side 5 av 6
Løsningsforslag til regneøving vårsemester 008 laget for. Det å stille eratoren høyere enn utstyrets maks spenning vil kunne karakteriseres som ekstremsport, nettopp grunnet faren for overspenning. I denne oppgaven vil enhver spenning som i lytting eller sending ikke bryter med de gitte data, aksepteres. I løsningsforslaget velges en spenning på v( 54,, rett over maks. Dette fordi at dersom vi tar utgangspunkt i formel 49, og løser med hensyn på få vi nettopp denne verdien. Med andre ord, er det minste spenning vi kan tillate, men fremdeles holde oss innenfor spesifikasjonene. Spennin er og såpass lav at det meste av utstyret står bedre sjanse for å overleve 54, som maks spenning, enn om at vi hadde gått i andre ende av skalaen, og løst formel 50 med hensyn på v(. i bruker videre formel 50, setter inn v( 54,, og får v( stasjon 4,4 ved lytting. idere finner vi pærenes motstand ut fra. P Husk her at pærens effekt er oppgitt ved 30. i får en motstand 60Wpære 88,6Ω [58] 4,4 P mottak 66, 6W 88,6 Ω 07 P sending 48, 6W 88,6 Ω [59] [60] Endrin i effekt på belysnin vil være klart merkbart ved at belysnin dimmer når stasjonen sender. ndervisningsassistent Ingulf Helland Side 6 av 6