UNIVERSITETET I OSLO Side Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS240 Kvantefysikk Eksamensdag: 3. juni 206 Tid for eksamen: 09.00 4 timer) Oppgavesettet er på fem 5) sider Vedlegg: Ingen Tillatte hjelpemidler: Rottman: "Matematisk formelsamling" Øgrim og Lian: "Fysiske størrelser og enheter" Angell og Lian: "Fysiske størrelser og enheter" Godkjent kalkulator Ett A4 ark med egne notater begge sider av arket) Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene.
Oppgave Gravitasjonsbølger Gravitasjonsbølger ble nylig oppdaget av LIGO-eksperimentet. Vi skal her anta at gravitasjon skyldes en partikkel, gjerne kalt gravitonet, som har en masse m g.undervildufåbrukforatenrelativistiskpartikkelmedmasse m har energi E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4,hvorp er bevegelsesmengden. a) Bruk de Broglies relasjoner for energi og bevegelsesmengde til åvise at et relativistisk graviton har dispersjonsrelasjonen ) 2π 2 ωk) =c k 2 +, ) h m gc Comptonbølgeleng- når vi beskriver det som en bølge. Her er λ g = den til gravitonet. [6 poeng] λ g b) Vis at gruppehastigheten v g til gravitasjonsbølgen er gitt ved v g = c + 2π λ gk ) 2. 2) c) Eksperimentet som oppdaget gravitasjonsbølger satte samtidig en effektiv nedre grense på gruppehastigheten til gravitasjonsbølgene i forhold til lyshastigheten på v g c < 5 0 2. 3) Disse bølgene hadde en bølgelengde på λ 0 6 m. Bruk dette til å sette en omtrentlig nedre grense på Comptonbølgelengden λ g.hvablir grensen på massen til gravitonet gitt i ev/c 2? Hint: Det lønner seg å bruke rekkeutvikling, for eksempel så er [6 poeng] +x = 2 x + 3 8 x2... 4) d) Forklar kort hva Heisenbergs uskarphetsrelasjon for posisjon og bevegelsesmengde sier. [5 poeng] e) LIGO-eksperimentet er omlag 4 km langt. Ja, du leste riktig!) Bruk Heisenbergs uskarphetsrelasjon til å estimere hvor godt bevegelsesmengden til gravitonene kan bestemmes i prinsippet) gitt i enheten ev/c. Kommenter også hva slags konsekvenser dette har om noen) for bestemmelse av bølgelengden. B.P. Abbott et al., Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger, Phys.Rev.Lett.6,0602206). 2
Oppgave 2 Hydrogen og π Idetfølgendeskalvibrukesfæriskekoordinater foråregnepå hydrogen: Vi minner om at 2 = r 2 r ˆL 2 = 2 [ sin θ r 2 ) + r x = r sin θ cos φ, 5) y = r sin θ sin φ, 6) z = r cos θ. 7) r 2 sin θ θ sin θ θ θ sin θ ) + θ ) + sin 2 θ r 2 sin 2 θ 2 φ 2, 8) 2 ] φ 2, 9) ˆL z = i φ. 0) Coulombpotensialet som virker mellom et elektron og et proton er hvor styrken til vekselvirkningen er gitt ved k = V r) = k r, ) e2 4πϵ 0 =.44 ev nm. 2) Vi vet at de stasjonære tilstandene til hydrogen da har energiene hvor a 0 = 2 mk =0.0529 nm er Bohrradien. E n = k, n =, 2,..., 3) 2a 0 n2 a) Skriv ned hamiltonoperatoren for hydrogen. Hvilke to hoveddeler består den av? [3 poeng] b) Hva er egenfunksjonene og egenverdiene til denne hamiltonoperatoren? Vi er ikke ute etter formler, men hva de er for noe. c) Vis at hamiltonoperatoren kan skrives som Ĥ = [ 2mr 2 2 r 2 ) ] + ˆL 2 + V r). 4) r r d) Forklar hvorfor den laveste mulige energien for de stasjonære tilstandene til hydrogen, for en gitt verdi av det asimutale kvantetallet l, er E min l = k 2a 0 l +) 2. 5) 3
Vi skal se på en tilnærming til løsningen av den tidsuavhengige Schrödingerligningen for hydrogen som er gitt ved funksjonene ψ αlm r, θ, φ) =Ar l e αr2 Y m l θ, φ), 6) hvor A er en normeringskonstant, α>0 er en reell parameter, og Yl m er de sfæriske harmoniske. Merk at α ikke er det samme som hovedkvantetallet n ideeksakteløsningene.foråletteregningenidetsomfølgeroppgirvi forventningsverdiene for r n for disse tilstandene men regn de gjerne ut selv dersom det blir kjedelig på eksamen): r n = 2α) n 2 Γl + n 2 + 3 2 ) Γl + 3 2 ), 7) når l+ n 2 + 3 2 > 0, hvorγn) er gammafunksjonen med de viktige egenskapene Γn +)=nγn), Γn +)=n! når n er et heltall, Γ) = og Γ 2 )= π. e) Er tilstandene ψ αlm egentilstander til ˆL 2 og ˆL z?finnitilfelleegenverdiene. f) Skriv ned normeringsbetingelsene for disse tilstandene dersom du antar separat normering for radialdel og vinkeldel. g) Finn normeringskonstanten A for en generell l og α. [6poeng] h) Vis at forventningsverdien for den potensielle energien V for tilstandene ψ αlm er Γl +) V = k 2α. 8) Γl + 3 2 ) [2 poeng] i) Vis at [ Ĥψ αlm = 2 2α2l +3) 4α 2 r 2 2mk ] 2m 2 ψ αlm. 9) r [6 poeng] j) Er tilstandene ψ αlm stasjonære tilstander for hydrogen? [2 poeng] k) Vis at forventningsverdien til energien for tilstandene ψ αlm er E = 2 l + 3 ) Γl +) 2α k 2α. 20) 2m 2 Γl + 3 2 ) [7 poeng] 4
Det viser seg at dersom man minimaliserer forventningsverdien for energien i20)medhensynpåparameterenα itilnærmingensåfårmanuttrykket ) 2 E min = k Γl +) 2a 0 l + 3 2 ) Γl + 3 2 ). 2) l) Sammenlign numerisk forholdet mellom energiene for tilnærmingen i 2) med energiene for de vanlige stasjonære tilstandene i 5). Bruk noen lave) verdier av l. Hvatrorduskjernårl?[4poeng] m) Finn standardavviket σ r 2 til r 2 for tilstandene ψ αlm og forholdet σ r 2/ r 2. Kommenter forholdet i grensen l.hva har dette å si for posisjonen til elektronet? [5 poeng] Tilstandene ψ αlm idenneoppgavenblenyligbruktienartikkelavfriedmann og Hagen 2 for å finne en tilnærming til π som er identisk med en tidligere formel funnet av Wallis 3.Svaretioppgavel) kan omskrives til et uttrykk for π som kan gjøres vilkårlig presist. 2 T. Friedmann and C.R. Hagen, Quantum mechanical derivation of the Wallis formula for π, JournalofMathematicalPhysics56,20205). 3 J. Wallis, Arithmetica Infinitorum, Oxford,655). 5