side 1 Tall og algebra 10. årstrinn Veiledningen fordeler kompetansemålene i hovedområdet tall og algebra på tre gjennomgående emner: tallforståelse, de fire regneartene og algebra. Veiledningen tar også for seg emnet tekster i Til sammen dekker veiledningen alle kompetansemålene innenfor hovedområdet. Tabellen gir oversikt over progresjon innenfor de fire emnene og gir eksempler på hvordan du kan jobbe med kompetansemål innenfor hvert emne og på hvert årstrinn.
side 2 Potenser Nedenfor finner du eksempler på hvordan kompetansemålene som handler om tallforståelse for heltall, brøk, desimaltall, prosent og potenser kan tolkes og operasjonaliseres som læringsmål og fordeles på 8., 9. og 10. årstrinn. I mange tilfeller vil arbeidet med nye læringsmål utfordre elevene til å bruke det de har lært tidligere. Slik får elevene stadig møte de samme begrepene i nye situasjoner, og får bekreftet og utvidet sine kunnskaper. Kompetansemål 10. årstrinn Eleven skal kunne: samanlikne og rekne om heile tal, desimaltal, brøkar, prosent, promille og tal på standardform og uttrykkje slike tal på varierte måtar bruke faktorar, potensar, kvadratrøter og primtal i berekningar bruke, med og utan digitale hjelpemiddel, tal og variablar i utforsking, eksperimentering, praktisk og teoretisk problemløysing og i prosjekt med teknologi og design Læringsmål 8., 9. og 10. årstrinn Eksempler på innhold og arbeidsmåter knyttet til læringsmålene finner du plassert på årstrinn nedenfor. 8. årstrinn: uttrykke tallstørrelser på varierte måter, og kunne beskrive sammenhenger mellom dem Dette er repetisjon fra 7. årstrinn, så lenge du ikke kommer inn på standard form. Standard form kan godt vente til 9. årstrinn, og introduseres i forbindelse med introduksjon til potenser. Se også eksempel Tallforståelse, 7. årstrinn: finne sammenhengen mellom desimaltall, brøk og prosent, og gi eksempler på bruk av disse uttrykksmåtene for tallstørrelser. 9. årstrinn: velge hensiktmessig representasjon for deler av mengder og deler av en hel Det vil være en avveining i ulike situasjoner hva som er hensiktsmessige representasjoner. La elevene diskutere når og hvorfor de skal bruke den ene uttrykksformen framfor den andre. Hvorfor bruker de brøk når det ofte er lettere å regne med desimaltall? Hva skal de med prosent? Uansett om man sier 25%, eller 0,25, skal elevene etter hvert ha automatisert at dette representerer det samme forholdet. Hvis brøkdelen av en hel er et tall som er delelig med 10, 100 eller 1000, vil brøk eller desimaltall kunne brukes om hverandre. I motsatt fall vil brøk være eksakt, mens desimaltall vil være en tilnærming.
side 3 Se også eksempel Tallforståelse, 7. årstrinn: finne sammenhengen mellom desimaltall, brøk og prosent, og gi eksempler på bruk av disse uttrykksmåtene for tallstørrelser. 9. årstrinn: velge gode strategier for å sammenlikne størrelser som kan skrives som brøk, desimaltall, prosent eller promille Presenter følgende problem for elevene: Du er sulten, og vil ha størst mulig del av en pizza. Noen tilbyr deg valget mellom 60% av pizzaen eller av pizzaen. Hva vil du velge? La elevene diskutere problemet, og begrunne sine valg. Legg merke til argumentene de bruker. Regner de alt om til prosent, brøk eller desimaltall? Har de andre måter å argumentere på? De kan for eksempel gjøre om 60% til. Hvordan kan de sammenlikne og? Det er ikke alltid nødvendig å gjøre om til fellesnevner. Noen vil kanskje si at den første brøken er mindre enn en hel. er mindre enn en hel. er større enn =, derfor må være mindre enn. Elevene kan øve på å sammenlikne litt kompliserte brøker med enkle brøker, for eksempel at: er litt større enn en halv. I andre situasjoner vil det være enkelt å gjøre om alt til prosent. Hvis elevene har automatisert at en femdel er 20%, en halv er 50%, en firedel er 25%, en åttedel er 12,5% og en tidel er 10%, så har de mange erfaringsreferanser å bruke når de skal sammenlikne. Overgangen mellom prosent og desimaltall bør være automatisert gjennom fortrolighet med divisjon med 100. Se også eksempel De fire regneartene, 6. årstrinn: multiplisere desimaltall med naturlige tall. 9. årstrinn: skrive tall på potensform og standardform Se eksempel på detaljert undervisningsopplegg. 9. årstrinn: sammenlikne ulike store og små tall skrevet på standardform, og finne praktiske eksempler på hvor slike tall forekommer Elevene skal være kjent med skrivemåten for tall på standardform.
side 4 a) For å få en følelse av hvor store tall kan være, kan elevene se på tallene i statsbudsjettet. Hvor lang tid vil det ta å dele ut så mange penger? b) Hva er avstanden til månen? Hvor lang tid ville det ta å kjøre så langt med bil? Hvor mye lenger er det til sola? Hvor mye lenger er det til den nærmeste stjerna? c) Gjør tilsvarende tankeeksperimenter med små tall. Hva er diameteren til et vannmolekyl? Hvor smått er egentlig det? Sammenlikne med hvor mange slike små vannmolekyler det er i ei vanndråpe. d) Gi elevene bilder av gjenstander i svært ulike størrelser, sammen med noen måltall skrevet fullt ut, og de samme måltallene skrevet på standardform. Gi elevene i oppdrag å koble bilde, måltall og tall på standard form. Det kan for eksempel være tallene: 2m 400 000 000m 0,02m 800 000 000 000 000 000 000m 20 000 000m 400m 0,0008m 0,000 000 000 000 01m 800m 0,000 000 02m Med standardform: 4 10 8 m 2 10 0 m 2 10-2 m 2 10-7 m, 8 10 3 m 4 10 2 m 8 10 20 m 8 10-4 m 2 10 7 m 1 10-14 m 10. årstrinn: vurdere hvordan løsninger av praktiske og matematiske problemer kan variere når forutsetningen endres a)
side 5 Elevene kan gjøre et overslag over hvor mye stoff som vil gå med til å sy gardiner til vinduene i ei stor blokk. Hvor mye vil det koste å skifte ut alle gardinene hvis stoffet koster 120 kroner per meter? Hvor mye hvis stoffet koster 250 kr? Hvor mye hvis elevene skulle beregne 10 cm lengre gardiner til hvert vindu? b) Hvor lang tid vil elevene anslå at det tar å sykle fra Trondheim til Oslo? Hvilke forutsetninger skal gjøres for å kunne beregne dette? Diskuter hvordan svaret vil avhenge av forutsetningene. Det er vanskelig å si hva som er "riktig svar". 10. årstrinn: foreta begrunnet prøving og feiling i forbindelse med problemløsing og praktiske problemstillinger a) Det er fint å oppmuntre elevene til prøving og feiling for å løse problemløsningsoppgaver. Rike oppgaver kan være til hjelp. Eksempler på rike oppgaver er tilgjengelige i nettløsningen. I et av eksemplene kalt "Krakker og bord" skal elevene finne ut hvor mange trebeinte krakker og firbeinte bord som er laget når det er brukt 30 bein. Noen elever prøver seg kanskje fram helt uten å vurdere hva som kan være fornuftig, mens andre kanskje tenker på tall i tregangen. Bruker man halvparten av beina til krakker, har man 15 igjen. Det er 3 for mange eller 1 for lite til å lage bare bord - men da kan de 3 som er for mange, bli til 1 krakk! Det betyr at 6 krakker og 3 bord er en løsning. Dette er et eksempel på begrunnet prøving og feiling. Bruk tid på å finne ut hvordan elevene resonnerer både muntlig og skriftlig. b) Tre jenter har til sammen 60 kroner. Den ene har 10 kroner mer enn de to andre til sammen. Den som har minst og den som har mest har tre ganger så mye til sammen som hun som har det midterste beløpet. Forslag til løsning: Den midterste har 15, siden det er en fjerdedel av 60. Det ser man av den siste opplysningen. Da kan man gjette 5 15 40. Siden det ikke stemmer med den første opplysningen, må man justere det minste og største beløpet til 10 15 35. Da stemmer det. For noen av elevene kan det være alt for komplisert å lage likninger for å løse denne oppgaven.
side 6 Parenteser og potenser Nedenfor finner du eksempler på hvordan kompetansemålene som handler om parenteser og potenser kan tolkes og operasjonaliseres som læringsmål og fordeles på 8., 9. og 10. årstrinn. Kompetansemålene omfatter temaer som addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon med hele tall, brøk, desimaltall, prosent, promille, tall på standard form og parentesregning. I mange tilfeller vil arbeidet med nye læringsmål utfordre elevene til å bruke det de har lært tidligere. Slik får elevene stadig møte de samme begrepene i nye situasjoner, og får bekreftet og utvidet sine kunnskaper. Kompetansemål 10. årstrinn Elevene skal kunne bruke faktorar, potensar, kvadratrøter og primtal i berekningar samanlikne og rekne om heile tal, desimaltal, brøkar, prosent, promille og tal på standardform, og uttrykkje slike tal på varierte måtar utvikle, bruke og gjere greie for metodar i hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning med dei fire rekneartane behandle og faktorisere enkle algabrauttrykk og rekne med formlar, parentesar og brøkuttrykk med eitt ledd i nemnaren Læringsmål 8., 9. og 10. årstrinn Eksempler på innhold og arbeidsmåter knyttet til læringsmålene finner du plassert på årstrinn nedenfor. 8. årstrinn: regne i hodet med addisjon, subtraksjon, divisjon og multiplikasjon med ensifrede og tosifrede tall Hvis mulig bør elevene øve på og vedlikeholde hoderegningsteknikker jevnlig. Utvid tallområdene etter hvert som elevene utvikler gode strategier. Elevene kan også utføre brøkregning i hodet, for eksempel: og innse at det er halvparten av, altså Omgjøring fra enkle brøker til prosent og desimaltall hører også med her.
side 7 8. årstrinn: gjøre overslag i regning med store tall ved å runde av til to gjeldende siffer Når elevene har opparbeidet gode hoderegningsstrategier for regning med tosifrede tall, kan dette overføres til overslagsregning med store tall. De må dessuten ha oversikt over multiplikasjon og divisjon av tierpotenser, slik at de kan holde styr på hvor mange nuller de skal legge til i svaret sitt. Elevene bør lære om begrepet "gjeldende siffer", og at de kan bruke det i forbindelse med målenøyaktighet. La elevene være med på hvilke siffer som er "sikre" når de har regnet ut arealet av et rektangel der sidekantene er målt med nøyaktighet ned til hele millimeter. Gjør praktiske målinger som kan brukes til beregninger av areal, volum og omkrets. La elevene selv vurdere hvor nøyaktige målingene deres er, og deretter bestemme hvor mange nøyaktige sifre det er i svaret. 8. årstrinn: regne i hodet og på papiret med enkle brøker Brøkregningsreglene må ofte repeteres, helst ved hjelp av praktiske eksempler. Gjør elevene bevisste på at å regne ut for eksempel er det samme som å finne halvparten av Elevene kan regne ut for å finne ut hvor mange firedeler det går på en halv. Elevene kan for eksempel få et 3 meter langt tau som de skal klippe opp i kvartmetere. Da vil de se at svaret på regnestykket blir 12. Elevene bør øve på å addere og subtrahere enkle brøker (med nevnere mindre enn 20) i hodet, spesielt hvis en av nevnerne er fellesnevneren. 8. årstrinn: regne overslag med brøker ved å runde av til enkle brøker Elevene kan øve på å se at for eksempel 8. årstrinn: regne overslag med store og små tall ved å benytte standard form Se eksemplet over om å regne i hodet og på papiret med enkle brøker. Gjør det samme, men hold tierpotensene for seg selv.
side 8 8. årstrinn: bruke fleksible metoder til å regne med de fire regnearter på papiret Elevene kan øve seg på å vurdere i hvilke situasjoner det går raskere å regne på papir, enn på kalkulator. Elevene kan også øve på å gjøre deler av utregningene i hodet, og andre deler på papir. 8. årstrinn: prioritere regneartene, og bruke det i tallregning Spill "Midt i blinken" for å bli bevisst på prioritering av regneartene. Spillet går ut på å kaste for eksempel 4 terninger. Tallene på terningene skal brukes i et regnestykke, slik at svaret blir nærmest mulig det som er definert som "blinken". Blinken kan for eksempel være 36. Hvis en spiller har fått 2, 3, 3, 4, kan de settes sammen til for eksempel 3 3 + 2 4. Elevene må være bevisst på prioritering av regneartene for at dette skal bli riktig. 8. årstrinn: faktorisere naturlige tall opp til noen hundre, og avgjøre om tall under 100 er primtall Elevene kan bli kjent med, og bevisst på, enkle delbarhetsregler. For eksempel at: alle partall er delelig med 2 at det er nok å se om de to siste sifrene (tierplassen og enerplassen), betraktet som et tosifret tall, er delelig med 4 for at hele tallet skal være delelig med 4 at et tall er delelig med 3 hvis tverrsummen er delelig med 3 at et tall er delelig med 9 hvis tverrsummen er 9 at et tall er delelig med 11 hvis den alternerende tverrsummen er delelig med 11 Elevene kan øve på å faktorisere tallene opp til 100 ved for eksempel å lage alle mulige rektangler med heltallssider og areal lik et oppgitt tall mindre enn 100. Elevene vil bli bevisste på at faktorer opptrer i par. Hvis x er delelig med tallet a, så er også delelig med a. Hvis a er et kvadrattall, vil det ha en dobbeltfaktor. Kvadrattallene er de eneste tallene som har et odde antall faktorer. 8. årstrinn: primtallsfaktorisere alle naturlige tall opp til 100 Når elevene har fått trening i faktorisering, kan de begynne å eksperimentere med å faktorisere videre i flere faktorer. Hvor langt kommer de? Når er det ikke mulig å faktorisere lenger? Elevene kan selv komme med forslag. De vil se at det ikke går an å faktorisere mer, når alle faktorene er primtall. La elevene utforske primtallsfaktoriseringene. Kan det gjøres på flere måter? Formuler algebraens første hovedsetning: Alle naturlige tall kan faktoriseres i primtall på en entydig måte, når man ser bort fra rekkefølgen på faktorene.
side 9 9. årstrinn: uttrykke samme størrelse som desimaltall, brøk og prosent, og gjøre om i hodet og på papiret Ved omgjøring fra desimaltall må elevene bruke kunnskap om posisjonssystemet og addisjon av brøk: 0,32 = Når elevene vet at prosent betyr hundredeler, kan de se at dette er det samme som 32 %. Motsatt: Når de har prosenttallet, kan tallet skrives som hundredeler, og dermed har de også desimaltallet. På 9. årstrinn kan de fleste elever gjøre om for eksempel: til 0,14 til 0,4 Utfordre elevene til å gjøre om brøkene til tideler eller hundredeler når nevneren ikke er 100 eller 10, men 2, 4, 5 eller 8. Ser elevene at brøkene må utvides med henholdsvis 5, 25, 2 og 125? Problemene kommer når nevneren ikke går opp i 10, 100, osv. Dette er de uendelige desimaltallene. I disse tilfellene, må elevene kunne gjøre om ved å betrakte brøkstreken som et divisjonstegn. For eksempel: Se også eksempel Tallforståelse, 7. årstrinn: finne sammenhengen mellom desimaltall, brøk og prosent, og gi eksempler på bruk av disse uttrykksmåtene for tallstørrelser. 9. årstrinn: gjøre om hundredeler, tideler, todeler, femdeler, firedeler og åttedeler til desimaltall og prosent uten å regne Elevene har arbeidet med denne sammenhengen tidligere, og mange kjenner til de enkle prosenttallene 50%, 25%, 10%, 20% (og dermed også 40%, 60% og 80%) og 75%, og hvordan prosenttallene representeres som brøk og desimaltall. På 9. årstrinn bør elevene øve på å automatisere dette. For å automatisere sammenhengene, kan det være morsomt å spille et terningspill. Se også eksempel De fire regneartene,vg1p: å regne om fra prosent til brøk eller desimaltall og omvendt. 9. årstrinn: regne med parenteser Parenteser brukes når man vil dele opp regningen i mindre deler. Det som står inne i en parentes skal da behandles og sees under ett. Man kan løse opp parentesene og forenkle uttrykket, dersom man tar hensyn til dette. Den distributive loven kommer til bruk:
side 10 3 (12 + 16) = 3 12 + 3 16 = 84 Loven kan illustreres i et praktisk eksempel: En pinneis koster 12 kroner, og en kroneis 16 kroner. Hva koster det til sammen om du vil kjøpe tre av hver? Du kan legge sammen 12 og 16 og deretter multiplisere med 3, eller du kan regne ut hva hver pinneis og kroneis koster og legge sammen. Den distributive loven brukes senere i mer kompliserte uttrykk, med flere parenteser og brøker. Regning med parenteser legger et grunnlag for algebra i form av regning med bokstaver og med formler. 9. årstrinn: regne med potenser Se eksempel på detaljert undervisningsopplegg. 10. årstrinn: bruke standard algoritmer og egne algoritmer for addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon av flersifrede hele tall, desimaltall, brøk og tall på standardform Algoritmer for regningsartene med flersifrede tall, desimaltall og brøk inngår i kompetansen elevene skal utvikle i løpet av 5.- 7. årstrinn, men er viktige å holde ved like. Divisjon med brøk er nytt for elevene. Begynn med hele tall dividert med brøk. Del ut et 3 meter langt tau til elevene. Hvor mange taustumper blir det hvis tauet skal deles i taustumper på meter? Når elevene gjør dette i praksis, vil de se at det blir 12 taustumper. Dette er målingdivisjon. Utfordre elevene til å skrive regnestykket: = 12, det samme som 3 4 Gi elevene en beholder med 2 liter vann. Del ut kartonger som rommer liter. Hvor mange kartonger kan de fylle? De vil se at det blir 6 kartonger. Elevene bør igjen få i oppdrag å skrive regnestykket med symboler: = 6, altså det sammen som 2 3 Hva om elevene skal fylle vann på flasker som rommer liter? Da må de dividere 6 med 2, siden det går 2 små oppi en stor. Regnestykket blir: Etter slike øvelser blir det ikke så mystisk med regneregelen:
side 11 Regning med tall på standardform involverer regning med desimaltall og potenser. Eksempel: 2,43 10 4 + 3,21 10 3 = 24,3 10 3 + 3,21 10 3 = 27,51 10 3 = 2,7 10 4 Eksemplet viser hvordan addisjon av tall på standardform involverer multiplikasjon av desimaltall med 10, addisjon av desimaltall, og den distributive loven.
side 12 Bokstavregning og likninger Nedenfor finner du eksempler på hvordan kompetansemålene som handler om tallmønster, regneark, bokstavregning (inkludert formelregning) og likninger kan tolkes og operasjonaliseres som læringsmål og fordeles på 8., 9. og 10. årstrinn. I mange tilfeller vil arbeidet med nye læringsmål utfordre elevene til å bruke det de har lært tidligere. Slik får elevene stadig møte de samme begrepene i nye situasjoner, og får bekreftet og utvidet sine kunnskaper. Tallforståelsen som er bygd opp på de tidligere årstrinnene, gjennom hoderegning, oppdagelser av tallmønster og bruk av regneark, blir systematisert gjennom bokstavregning, likninger og ulikheter på 8.- 10. årstrinn. Kompetansemål 10. årstrinn Elevene skal kunne behandle og faktorisere enkle algabrauttrykk og rekne med formlar, parentesar og brøkuttrykk med eitt ledd i nemnaren løyse likningar og ulikskapar av første grad og enkle likninggssystem med to ukjende Læringsmål 8., 9. og 10. årstrinn Eksempler på innhold og arbeidsmåter knyttet til læringsmålene finner du plassert på årstrinn nedenfor. 8. årstrinn: gå fra det spesielle til det generelle ved å lage rekursive og direkte formler for tallmønster I løpet av 5.- 7. årstrinn begynte elevene å arbeide med tallmønster og mønster i geometri. På 8. årstrinn har elevene derfor trening i å se mønsteret og beskrive det med ord. Nå starter det formelle arbeidet med variabler. Et eksempel på dette kan være å komme fram til uttrykket for et tall som er 8 større enn t, det vil si at t + 8. Begynn med å spørre elevene hvordan de finner tallet som er 1 større enn 5, 2 større enn 5, 3 større enn 5, osv. Hvordan finner elevene svaret? Jo, ved å addere tallene 1, 2 og 3. Hva om det var 1, 2 eller 3 større enn 10? Da bruker elevene samme framgangsmåte. La utgangstallet variere og innfør en variabel for det, for eksempel t. t kan ha ulike verdier. Da må 1 større enn t være t + 1, 2 større enn t være t + 2, osv. Gå også motsatt vei med uttrykket t + 8: hva er verdien av uttrykket hvis t = 18? Eller t = 100? Deretter kan elevene finne det generelle uttrykket for et tall som er det dobbelte av t, som er 5 mindre enn t, eller som er halvparten av t. Varier bokstaven som brukes på variabelen. La elevene lage egne uttrykk som for eksempel 2n + 1 (1 mer enn det dobbelte av tallet) som andre elever skal forklare betydningen av.
side 13 Et eksempel på å lage en rekursiv og direkte formel for et tallmønster kan være tallfølgen 3-7 - 11-15. Elevene bør få se at forskjellen mellom et tall og det neste er 4. Samtidig ligger ikke tallene i firegangen fordi tallfølgen begynner på 3. Alle tallene ligger 1 under firegangen. Tall nr. n får man ved T n-1 + 4, altså ved å addere 4 til tall nr. n -1. Det er den rekursive formelen. Den generelle formelen er da T n = 4n - 1. 8. årstrinn: løse likninger av første grad med en ukjent Se eksempel på detaljert undervisningsopplegg. 8. årstrinn: sette opp likninger ut fra en praktisk situasjon, løse dem, tolke løsningen og sette prøve Se eksempel på detaljert undervisningsopplegg. 9. årstrinn: bruke kunnskaper opparbeidet gjennom hoderegningsstrategier for naturlige tall til å regne med bokstaver Elevene skal arbeide med hoderegningsstrategier gjennom hele grunnopplæringen. Elevene kan bruke metoder av typen: 26 12 = 26 10 + 26 2, som svarer til a (b + c) = a b + a c 25 16 = (25 4) 4, som svarer til a (b c) = (a b) c 129 + 518 = 130 + 517, som svarer til a + (b + c) = (a + b) + c 83 37 = 86 40, som svarer til a - b = (a + c) - (b + c)...og mange flere. Bygg på elevenes hoderegningsstrategier når bokstavregningsreglene skal introduseres. Når elevene senere arbeider med bokstavregning, bør de minnes om at dette er en generalisering av tallregning. Hvis elevene er i tvil om de har brukt reglene på riktig måte, kan de oppmuntres til å prøve med talleksempler for å se om det stemmer. Pass på at elevene ikke forveksler bokstavene med benevning. Å trekke sammen like bokstavuttrykk bygger på multiplikasjon som gjentatt addisjon: 3a + 5a = (3 + 5)a = 8a. Det vil ikke lønne seg å gi elevene regler som for eksempel at appelsiner og bananer ikke kan adderes, som forklaring på uttrykk som ikke kan forenkles. Hvordan skal man da forklare at 3a 5b = 15ab? Det bygger på at faktorens orden er likegyldig (eller den kommutative loven for multiplikasjon). Husk å minne elevene om at bokstavregning er generalisering av tallregning. 9. årstrinn: løse likninger med parenteser og brøk og flere ledd Dette er en videreføring av eksempler om likningsløsing i hovedområdet Algebra, som også involverer regning med parenteser.
side 14 Du kan for eksempel kombinere øvelser fra det detaljerte eksemplet om introduksjon av likninger og eksemplet om å løse likninger av typen 9. årstrinn: løse likninger og likningssystemer ved prøving og feiling, for eksempel ved bruk av tabeller Målet for arbeidet med likningssystemer er å løse disse på enkleste måte. Da er det viktig at elevene har forståelse for hva det vil si å løse likningssystemer. Å starte med prøving og feiling kan bidra til slik forståelse. Eksempel: Håvard panter store og små flasker for 80 kr. Han får 1 kr for små flasker og 2,50 kr for store flasker. Til sammen panter han 50 flasker. Hvor mange flasker er det av hver størrelse? Ved prøving og feiling bruker man gjerne en tabell. Bruk av tabell hjelper elevene til å arbeide systematisk med løsning av en oppgave. Store flasker Små flasker Sum til sammen Antall flasker til sammen Løsning? 10 40 10 2,50 + 40 1 = 65 50 Nei 15 35 15 2,50 + 35 1 = 72,50 50 Nei 20 30 20 2,50 + 30 1 = 80 50 Ja 9. årstrinn: løse oppstilte og uoppstilte ulikheter av første grad, og tolke resultatet Dette er ofte den første innføringen i ulikheter for elevene. I praktiske sammenhenger har elevene møtt situasjoner der de skal avgjøre når noe er større eller mindre enn noe annet. Å formalisere det med et uttrykk og/eller tall på hver side av et ulikhetstegn, kan imidlertid være nytt. Derfor kan elevene først arbeide med ulikheter der de får positivt tall foran den ukjente, slik at de slipper å skifte retning på ulikhetstegnet. Løsningene kan vises på ei tallinje eller i et koordinatsystem. Et praktisk eksempel på en ulikhet kan være: Hege tjener 85 kr per time. Hun vil kjøpe en sykkel og har 3500 kr i banken. Hun må ha minst 6000 kr for å kjøpe sykkelen. Hvor mange timer må hun jobbe? 85 x + 3500 > 6000 10. årstrinn: faktorisere enkle algebrauttrykk ved å gjenkjenne enkle felles faktorer i flerleddede uttrykk Elevene bør være kjent med å faktorisere tall for å finne fellesnevner. Nå skal de faktorisere tall og variabler. Et eksempel kan være:
side 15 8a + 6 = 2 2 2 a + 2 3 = 2(4a + 3) I oppgaver der hele den ene faktoren settes utenfor parentesen, vil mange elever kunne streve med å finne ut hva som skal stå igjen inne i parentesen. Et eksempel er: 4x + 2 = 2 2 x + 2 = 2(2x + 1) Elevene bør multiplisere faktoren utenfor parentesen inn i parentesen for å sjekke at svaret blir riktig. Å multiplisere et tall inn i en parentes kan også vises geometrisk. Ved å gjøre denne kontrollen erfarer elevene begrunnelsen for regelen om å multiplisere hvert ledd inni parentesen med faktoren utenfor. 10. årstrinn: sette inn tall i formler, og gjøre om formler avhengig av hvilke størrelser som skal beregnes Elevene skal kunne gjøre om formler som f.eks: areal- og volumformler formler for vei, fart, tid formler for tetthet renteformelen En oppgave kan for eksempel ta utgangspunkt i volumet av en sylinder V = πr 2 h La elevene finne høyden uttrykt ved volumet og radien: Elevene må kunne reglene for å løse likninger når de skal arbeide med disse oppgavene. Å omforme formler får elevene bruk for både i ulike yrkesfag og i mer teoritung matematikk på videregående skole. 10. årstrinn: regne med bokstavuttrykk med brøker med ett ledd i nevneren Eksempler på slike oppgaver kan være: eller Under læringsstrategier nevnes strategien "Å løse en enklere oppgave". Den bør elevene oppfordres til å bruke her. En enklere oppgave vil være en brøkoppgave uten bokstaver, men med ulike nevnere. Elevene vet fra 7. og 8. årstrinn hvordan en slik oppgave løses. La de gjenta framgangsmåten. Den kan så overføres til de gitte oppgavene.
side 16 10. årstrinn: regne med algebraiske uttrykk der de fire regningsartene inngår Eksempler på oppgaver kan være: (x + 5)(x + 3) - 2(x 2-5) eller En del elever vil slite med algebraoppgavene og ikke greie denne type oppgaver. Da bør de få enklere oppgaver. Jo grundigere elevene har arbeidet med tallmønster, med å se algebraiske regler geometrisk og med å lage uttrykk med variabler selv, jo bedre vil elevene mestre eksemplene overfor. 10. årstrinn: kunne stille opp og løse to likninger med to ukjente på ulike måter Elevene bør få presentert både innsettingsmetoden og addisjonsmetoden. På den måten kan de selv velge den mest hensiktsmessige metoden. En del elever vil kunne sette opp to likninger med to ukjente ut fra en praktisk situasjon eller en tekst, som en forenkling av prøving og feiling i eksemplet 9. årstrinn: løse likninger med parenteser og brøk og flere ledd. Likningene vil bli: x + y = 50 og 2,5x + 1y = 80 Elevene må få trening i å gå motsatt vei. Du kan lage en tekstoppgave eller praktisk situasjon til disse likningene: 4x + 3y = 90 og 6x + 5y = 140 Eksempel: 4 is og 3 sjokolader koster 90 kr, mens 6 is og 5 sjokolader koster 140 kr. Elevene kan arbeide med grafisk løsning i forbindelse med lineære funksjoner. For elever som liker å lære gjennom visualisering vil løsning i koordinatsystemet være klargjørende. Elevene kan gjerne bruke egnet programvare til grafisk løsning, for eksempel GeoGebra eller andre dynamiske geometriprogram. 10. årstrinn: kunne sette opp og løse ulikheter av første grad Elevene bør ha vært gjennom en enkel innføring i ulikheter på 9. årstrinn (se eksempel løse likninger og likningssystemer ved prøving og feiling, for eksempel ved bruk av tabeller). Nå skal ulikhetene være vanskeligere, det vil si ha flere ledd, parenteser og brøker. Elevene må erfare at ulikhetstegnet snur når de multipliserer eller dividerer med et negativt tall. I eksemplet -2x > 8, vil ulikhetstegnet snus når elevene dividerer med -2.
side 17 For å forstå at det er riktig, kan elevene sette opp en ulikhet, for eksempel -2 < 3, og multiplisere med et negativt tall, for eksempel -1. De ser da at ulikhetstegnet må snus for at ulikheten fortsatt skal stemme (2 > -3). Løsning av ulikheter kan også vises i koordinatsystemet ved å bruke for eksempel geometriprogrammet GeoGebra (2x - 5 > 4x + 9). Elevene skal også sette opp en ulikhet ut fra en praktisk situasjon og kunne finne en praktisk situasjon som passer til en ulikhet.
side 18 Fagtekster Her finner du eksempler på hvordan du kan formulere læringsmål som vektlegger arbeidet med matematiske tekster i form av regnefortellinger, oppgavetekster, tabeller, diagram, litteratur og fagtekster på 8., 9. og 10. årstrinn. Kompetansemål 10.årstrinn Eleven skal kunne bruke, med og utan digitale hjelpemiddel, tal og variablar i utforsking, eksperimentering, praktisk og teoretisk problemløysing og i prosjekt med teknologi og design Grunnleggende ferdigheter Flere av de grunnleggende ferdighetene er sentrale når det gjelder arbeid med matematiske tekster. I læreplanen beskrives det slik: Å kunne lese i matematikk inneber å tolke og dra nytte av tekstar med matematisk innhald og med innhald frå daglegliv og yrkesliv. Slike tekstar kan innehalde matematiske uttrykk, diagram, tabellar, symbol, formlar og logiske resonnement. Å kunne uttrykkje seg skriftleg i matematikk inneber å løyse problem ved hjelp av matematikk, beskrive og forklare ein tankegang og setje ord på oppdagingar og idear. Ein lagar teikningar, skisser, figurar, tabellar og diagram. I tillegg nyttar ein matematiske symbol og det formelle språket i faget. Læringsmål 8., 9. og 10. årstrinn Eksempler på innhold og arbeidsmåter knyttet til læringsmålene finner du plassert på årstrinn nedenfor. 8. årstrinn: lese forklarende tekster og eksempler fra læreboka eller andre kilder Når elevene arbeider individuelt, er det viktig at de kan lese eksempler i læreboka eller fra andre kilder. Å lese forklarende tekster og eksempler krever at elevene kan lese og forstå betydningen av ord, men også at de kan forstå symboler og diagrammer og oversette det til sitt eget hverdagsspråk. Du kan stille kontrollspørsmål til tekster for å sjekke om elevene forstår det de leser. Eksamensoppgavene på 10. årstrinn består ofte av mye tekst, så elevene trenger å øve på å lese og tolke tekst. 8. årstrinn: lese og tolke faglige og tverrfaglige problemløsningsoppgaver Elevene bruker ulike strategier for å løse oppgaver. De kan for eksempel stille spørsmål til teksten: hva spør teksten etter? hva slags informasjon gir teksten? kan informasjonen tegnes? kan resultatene settes inn i en tabell?
side 19 Elevene kan også gjenfortelle oppgavene for hverandre for å se om de har oppfattet oppgavene på samme måte. Du kan lese mer om dette i artikkelen om læringsstrategier i matematikk som er tilgjengelig i nettløsningen. 9. årstrinn: lese og sette seg inn i en tekst som beskriver et matematisk problem, og diskutere problemstillingen med andre Eksempel: Elevene kan lese et av kapitlene fra Talldjevelen av Hans M. Enzenberger. Kapittel 7 handler om Pascals talltrekant og kapittel 8 om kombinatorikk. Begge er passende temaer for 8.- 10. årstrinn. Elevene kan diskutere tekstene i grupper etterpå. Du må kanskje hjelpe til med å tydeliggjøre matematikken i teksten. Andre tekster kan elevene for eksempel finne på www.ssb.no. Her er det ofte tekster som kombinerer tabell og diagram. 9. årstrinn: lese en beskrivelse av en teknologisk gjenstand og vurdere hvordan matematikk kan brukes til å designe en slik gjenstand Eksempel en parabolantenne - elevene må bruke mye geometri for å forstå hvordan en parabolantenne virker vindmøller - vinkler og lengder må beregnes for å lage vindmøllene, og matematikk kan brukes til å regne ut forventet energiuttak 10. årstrinn: lese og skrive tekster som benytter symboler og formelt fagspråk Eksempel på å skrive en tekst: Elevene skal føre et bevis for hvorfor to trekanter er formlike. Elevene må blant annet kunne skrive vinkler med tre bokstaver, kjenne formlikhetstegnet og kunne begrunne hvorfor to av vinklene i de to trekantene er like store. Eksempel på å lese en tekst: Elevene kan lese tekster som benytter symboler og fagspråk for eksempel i læreboka eller andre kilder. Det kan for eksempel dreie seg om å lese bevis for at vinkelsummen i en trekant er 180 º. Da må elevene kjenne til skrivemåten for vinkler, og til begrepene toppvinkler og samsvarende vinkler ved parallelle linjer.
side 20 10. årstrinn: lese og skrive tekster som forklarer et matematisk begrep eller et tema Elevene kan for eksempel skrive tekster når de bruker et diagram eller en tabell, og forklare hva tabellen eller diagrammet forteller. Elevene kan også forklare hvordan de kommer fram til en formel for figurtall, eller argumentere for en framgangsmåte i en oppgave. Elevene kan også ha en tenkebok der de lager egne forklaringer til begreper de støter på i læreboka eller i andre kilder. Når elevene leser formler kan de svare på spørsmål som viser om de forstår innholdet i formlene. Eksempel: hva står variablene for? kan elevene ut fra formelen si om dette er en volumformel eller en arealformel?