Raleigh-kriteriet INF 3 Digital bildebehandling EN KORT MIDTVEIS-REPETISJON Anta en perekt linse med aperture-diameter D, og at lsets bølgelengde er. To punkter i et objekt kan akkurat adskilles i bildet hvis vinkelen mellom dem er gitt ved Før midtveis-eksamen tirsdag. mars 3 kl 5: 9: 5. Etg i Veglaboratoriet og SFL PC-avd Fsikkbgget Fritz Albregtsen sin =. /D radianer. Dette er Raleigh-kriteriet. - -5 5 Romlig rekvens Sampling av kontinuerlige signaler T T Ts s Periode T.eks. i mm eller μm Frekvens = /T 3 Samplingsperiode T s Samplingsrekvens s = /T s også kalt samplingsrate Hvor ote må man sample or å kunne rekonstruere signalet? 4
Samplingsteoremet Shannon/Nquist Anta at det kontinuerlige bildet er båndbegrenset, dvs. det inneholder ikke høere rekvenser enn ma Det kontinuerlige bildet kan rekonstrueres ra det digitale bildet dersom samplingsraten s =/T s er større enn ma altså T s < ½T ma kalles Nquist-raten I praksis oversampler vi med en viss aktor or å kunne å god rekonstruksjon. 5 Undersampling/aliasing Undersampling sample med lavere samplingsrate enn Nquist-kriteriet medører aliasing. Ved undersampling orvrenges rekvensinnholdet og det digitale bildet inneholder ikke de samme rekvenser som det kontinuerlige bildet. Sampling av en sinusoid id med or lav samplingsrate gir en diskret sinusoid med lavere rekvens. Aliasrekvens er gitt ved a = s når < s < a s s 6 Anti-aliasing Eekten av aliasing kan reduseres. Dette MÅ gjøres FØR samplingen. Hvis vi iltrerer bort de høeste rekvensene ørst, vil det innes ærre eller ingen rekvenser som kan gi opphav til aliasing. Kvantisering Hvert piksel lagres med n biter. Pikselet kan da inneholde heltallsverdier ra til n - Kvantiseringseil Σ over bildet av hvert piksels avrundingseil Aliasing er en samplings-eekt. 7 8
Naboer til piksler Et piksel p i posisjon har lere nabo-piksler. 4-naboene N 4 p med koordinater +,, -,, +, - Diagonal-naboene N D Dp med koordinater +,+, +,-, -,+, -,- Tilsammen utgjør disse 8-naboene til p, N 8 p. Avstandsmetrikker Tre piksler p,q,z med koordinater, s,t og v,w Avstandsunksjonen Dp,q er en metrikk hvis Dp,q ikke-negativitet Dp,q = hvis og bare hvis p=q identitet Dp,q = Dq,p smmetri Dp,z Dp,q + Dq,z trekant-ulikhet 9 Geometriske operasjoner Endrer på pikslenes posisjoner Første steg i denne prosessen: Transormer pikselkoordinatene til, : = T = T Aine transormer Transormerer pikselkoordinatene til, : = T = T Aine transormer beskrives ved: T og T er ote gitt som polnomer. Siden pikselkoordinatene må være heltall, må vi deretter bruke interpolasjon til å inne pikselverdien gråtonen i den ne posisjonen. På matriseorm: = a + a + a =b+b+b b + b eller
Eksempler på enkle transormer - I Transormasjon a a a b b b Uttrkk Identitet = = Skalering s s = s = s Rotasjon cosθ -sinθ sinθ cosθ =cosθ-sinθ =sinθ+cosθ F F Eksempler på enkle transormer - II Transormasjon a a a b b b Uttrkk Translasjon = + = + = Horisontal shear s +s med aktor s = Vertikal shear med daktor s s = = s + F 3 4 Alternativ måte å inne transormkoeisientene i i t Forlengs-mapping En ain transorm kan bestemmes ved å spesiisere tre punkter ør og etter avbildningen or all ',' do g',' = a = cos θ a = -sin θ b = sin θ b =cosθ θ Eksempel: Enkel rotasjon ved transormen: inn-bildet resultat-bildet Med disse tre punktparene kan vi inne de 6 koeisientene; a, a, a, b, b, b Med lere enn 3 punktpar velger man den transormasjonen som minimerer kvadrat-eilen summert over alle punktene mer om dette senere 5 or all do = rounda +a = roundb +b i, inside g g, = end Fltter de posisjonstransormerte pikselposisjonene til nærmeste pikselposisjon i utbildet. Skriver innbildets inn i g, 6
Forlengs-mapping, orts. Baklengs-mapping Problemer: Ikke alle utpiksler år verdi hullene i bildet Unødig beregning av pikselkoordinater som allikevel ikke blir snlige ender utenor utbildet Samme utbilde-piksel kan bli satt lere ganger a = cos -θ a = -sin -θ b = sin -θ b = cos -θ or alle, do = rounda +a = roundb +b i inside g, = else g, = end Samme eksempel som ved orlengs-mappingen. NB: rotert t med θ ga,, rotert med -θ gir Resample bildet. Her; or hvert utbilde-piksel, invers-transormér, og velg nærmeste piksel ra innbildet. For hver pikselposisjon i ut-bildet: Hent pikselverdi ra innbildet. 7 8 Baklengs-mapping, orts. Bilineær interpolasjon - I Anta at vi kjenner gråtoneverdien i ire nabo-punkter Ønsker å estimere gråtonen i et mellomliggende punkt. Gjør to lineære interpolasjoner i én retning ørst,.eks i -retning:,, og,, Så én interpolasjon i ortogonal retning: Resultatet t t er uavhengig av rekkeølgen. Den interpolerte laten er kvadratisk krum, men lineær langs linjer parallelle med aksene. 9
Bilineær interpolasjon - II Trilineær interpolasjon Bilineær interpolasjon når er kjent i,,,,, og,:, der,, og,,,,,, Utvidelsen ra D til 3D kalles trilineær interpolasjon, og er en lineær interpolasjon mellom resultatene av to bilineære interpolasjoner. Resultatet er igjen uavhengig av rekkeølgen. Eller i matrisenotasjon:,,,, Interpolasjon en sammenligning Nærmeste nabo gir D trappeunksjon, med diskontinuitet midt mellom punktene. Bi-lineær interpolasjon bruker =4 piksler. Derivert er ikke kontinuerlig over laten. Bi-kubisk interpolasjon gir glattere later enn bilineær, men er mer regnekrevende; bruker 44=6 piksler. 3 Normalisert histogram G Vi har at h i n m i Det normaliserte histogrammet er: h i p i, n m G i p i pi kan ses på som en sannsnlighetsordeling or pikselverdiene i Uavhengig av antall piksler i bildet Man kan si en del om bildet ut ra denne sannsnlighets-tetthetsunksjonen tetthetsunksjonen 4
Kumulativt histogram Lineær avbilding Hvor mange piksler har gråtone mindre enn eller lik gråtone j? c j j i h i Lineær strekking T [ i ] ai b g a b Normalisert kumulativt histogram: c j n m Sannsnligheten or at en tileldig ldi piksel er mindre eller lik gråtone j 5 a regulerer kontrasten, og b lsheten a>: mer kontrast a<: mindre kontrast Q: Når og hvordan påvirker a middelverdien? di b: ltter alle gråtoner b nivåer Negativer: a=-, b =maverdi or bildetpe 6 Endre lsheten brightness Endre kontrasten Legge til en konstant b til alle pikselverdiene g Multiplisere hver pikselverdi med en aktor a: g g b Hvis b>, alle pikselverdiene øker, og bildet blir lsere Hi Hvis b<, bildet blir mørkere Histogrammet lttes opp eller ned med b Middelverdien endres! hg h g a Hvis a >, kontrasten øker Hvis a <, kontrasten minker Eks: Bruke hele intensitetsskalaen Q: Hva skjer med middelverdien? hg h 7 8
Justering av μ og σ Logaritmiske transormasjoner Gitt inn-bilde med middelverdi μ og varians σ Anta en lineær gråtone-transorm T[i]=ai+b N middelverdi μ T og varians σ T er da gitt ved G T[ i] p i a b T i T G T[ i] p i G i i T[ i] p i G G Dvs. a i aib b p i ai b a=σ T /σ b= -aμ i i T/, μ T μ Vi kan altså G G a i p i i p i a velge ne μ T og σ T, i i beregne a og b, anvende T[i]=ai + b på inn-bildet og å et ut-bilde med riktig μ T og σ T p i Hvilken av transormasjonene til høre er brukt her? Fig 3.3 i DIP 9 3 Power-law gamma-transormasjoner Algoritme or histogramutjevning Mange bildeproduserende apparater har et input/outputorhold som kan beskrives som: s ci der s er ut-intensiteten t it t ved en input i Kan korrigeres ved gråtonetransormen T[i] = i /γ Generell kontrast-manipulasjon Brukervennlig med kun én variabel Fig 3.6 i DIP For et nm bilde med G gråtoner: Lag arra p, c og T av lengde G med initialverdi Finn bildets normaliserte histogram Gå igjennom bildet piksel or piksel. Hvis piksel har intensitet i, la p[i]=p[i]+ Deretter skalér, p[i] = p[i]/n*m, i=,,,g- Lag det kumulative histogrammet c c[] = p[], c[i] = c[i-]+p[i] ]+p[i], i=,,...,g G- Sett inn verdier i transorm-arra T T[i] = Round G-*c[i], i=,,...,g- Gå igjennom bildet piksel or piksel, Hvis bildet har intensitet i, sett intensitet i utbildet til s=t[i] [] 3 3
Histogramtilpasning Histogramutjevning av RGB-bilder Histogramutjevning tj i gir latt histogram Kan spesiisere annen orm på resultathistogrammet:. Gjør histogramutjevning på innbildet, inn s=ti. Spesiiser ønsket ntt histogram gz 3. Finn den transormen T g som histogramutjevner gz og inverstransormen T - g 4. Inverstransormer det histogramutjevnede bildet ra punkt ved z=t - g s Histogramutjevning på hver komponent r,g,b uavhengig av hverandre Kan øre til endring i argetonene i bildet Alternativt bentte HSI: Transormér bildet ra RGB til HSI Gjør histogramutjevning på I-komponenten Transormer HSI n tilbake til RGB S grønn blå hvit gul magenta I svart H 33 34 Lokal GTT: to muligheter Utør lokal GTT som gir samme kontrast over hele bildet Histogramspesiikasjon Beregn kumulativt histogram i et vindu sentrert om Endre senterpikselen ved den resulterende transormen Lineær standardisering av σ til σ Beregn μ og σ i et vindu sentrert om Transormer til g med en lineær transorm som gir ntt standardavvik σ innenor vinduet g Lokal GTT orts. Ønsker vi lokal GTT som også gir en n middelverdi μ, så bruker vi transormen g Men dette vil gi et latt bilde Parameteren β kan stre hvor kratig vi endrer μ: β = => uorandret middelverdi over hele bildet β = => lik middelverdi over hele bildet g3 35 36
Lokal GTT orts. Hva er karakteristisk or homogene områder i et bilde? Her år vi problemer, ordi vi har σ i nevneren: g3 3,...,, Innører parameteren δ: g 4 Lokal pikselverdi-mapping gir økt regnearbeid. 37 Lokal GTT - Implementasjon Lokal konstrast-endring t di er regnekrevende Histogramspesiikasjon: Beregne ntt lokalt kumulativt t histogram or hver piksel Lineær transorm: Beregne n μ og σ orhverpiksel Bentt overlappet mellom vinduene i det man ltter til neste piksel Løpende oppdatere både histogrammet, μ og σ Alternativ: Bruk median og percentil. 38