Preludium til et kurs i Reell Analyse våren 2017

Preludium til et kurs i Reell Analyse våren 2017 Snorre H. Christiansen 8. februar 2017 1

0 Innledningsvis 0.1 Om kurset Dette kurset er både tilbake- og fremover-skuende. Tilbakeskuende i den forstand at noe av stoffet dekket i MAT1100, 1110 og 1120 vil bli omarbeidet med en større grad av abstraksjon. Fremoverskuende i den forstand at de begrepene som innføres er grunnleggende for senere kurs i analyse (innkludert topologi, geometri, kompleks analyse, operatoralgebraer, stokastisk analyse og partielle differensiallikninger). Det vil spesielt være nødvendig å forstå bevisene gitt i de tidligere kursene. Oppgavene vil i stor grad gå ut på å bevise påstander, og å finne mer eller mindre kompliserte eksempler og moteksempler. Hovedtemaet kan muligens sies å være funksjonsfølger og deres konvergens. Det viser seg at funksjonsfølger kan konvergere på flere forskjellige måter og det vil bli utviklet rammeverk for å behandle slike spørsmål generelt. Forskjellen mellom kontinuitet og uniform kontinuitet av funksjoner, samt forskjellen mellom punktvis og uniform konvergens av funksjonsfølger kan ikke overses. Det vil bli gitt mer konkrete anvendelser av dette verktøyet, spesielt til å løse likninger der den ukjente er en funksjon, for eksempel differensiallikninger. Mange algoritmer viss formål er å løse slike funksjonslikninger kan tolkes som at de produserer en funksjonsfølge og studeres deretter. Ikke minst er kurset en anledning til å filosofere litt over hva matematikk egentlig handler om... 0.2 Litteratur Hovedreferansen for kurset er Tom Lindstrøms hefte Mathematical Analysis (referert til som [2]), men flere av temaene i det heftet vil ikke inngå i pensum (og målteori som nevnes i innledningen vil ikke bli berørt). Jeg vil også noen ganger henvise til lærebøkene brukt i MAT1100, 1110 og 1120 samt MAT- INF1100, spesielt for oppfriskninger. Det er mange lærebøker som dekker temaer i Reell Analyse på et nivå tilsvarende dette kurset. I mine henvisninger skal jeg prøve å begrense meg til følgende, som er tilgjengelige som gratis.pdf på Springer-Link: Stephen Abbott : Understanding Analysis (referert til som [1]) er en godt motivert presentasjon av stringent én-variabel kalkulus. I forhold til dette kurset vil den være spesielt godt egnet for tilbakeblikk på de mer subtile aspektene av denne teorien. Terence Tao : Analysis II (referert til som [3]) dekker mange av temaene vi skal gjennomgå i dette kurset. Mange av bevisene er gitt i oppgaveform (på godt og vondt) og bygger på solid forarbeide gjort i Analysis I (referert til som [4]). 2

Jeg kommer også til å legge ut notater, om bare forelesningrapporter. Men det beste rådet jeg kan gi er nok : skriv deres egen bok! 0.3 Metode Heftet Studietips til begynnerstudenter i matematikktunge realfag innholder flere råd og tankevekkere som kan være nyttige for å arbeide seg gjennom dette kurset. Descartes skriver, i sin Discours de la méthode (1637), om sitt søk etter en sann metode for å oppnå sikker kunnskap: Jeg hadde studert litt, da jeg var yngre, i filosofien, logikk, og i matematikken, geometri og algebra, tre kunster eller vitenskaper, som så ut til å ha noe å tilføre min målsetning. Men, når jeg gransket dem, forekom det meg, hva gjaldt logikken, at dens syllogismer og de fleste andre av dens forskrifter, heller brukes til å forklare for andre de tingene man vet, eller til og med, som Lulles kunst 1, å snakke uten omdømme, om dem man ikke kjenner til, enn å lære seg dem. Og selv om den innheholder mange retningslinjer som visst er sanne og gode, er det så mange andre, blandet med dem, som er enten skadelige eller overflødige, at det er nesten like vanskelig å skille dem som å hugge ut en Diane elle Minerva av en ubearbeidet marmorblokk. Dernest, for de eldres geometri og de modernes algebra, foruten at de bare omhandler meget abstrakte emner, som virker ubrukelige, er den første så bundet opp til betrakning av figurer, at den ikke kan trene fatteevnen uten å slite ut forestillingsevnen; og man har, i den andre, i så stor grad underkastet seg visse regler og koder, at man har gjort den til en konfus og obskur kunst, som hindrer tanken, i stedet for en vitenskap som utvikler den. Dette var grunnen til at jeg tenkte at man måtte lete etter en annen metode, som hadde fordelene ved disse tre, men var unntatt fra deres ulemper. Og siden mangfoldighet av lover ofte brukes som dekke for lastefull ferd, slik at en stat er bedre regulert, om den har få, som er desto bedre overholdt; således, i stedet for det store antall regler som logikken består av, har jeg kommet til å tro at jeg vil kunne nøye meg med følgende fire, såfremt jeg er i stand til å ta den faste og varige beslutning, å ikke en eneste gang vike fra dem: 1 Raymond Lulle, 1235 1315, (Ramón Llull på katalansk) beskriver i sin Ars Magna en metode for å gi bevis i filosofiske såvel som teologiske spørsmål, ved hjelp av et abstrakt språk og et logisk maskineri. 3

Den første er å aldri godta noe som sant, som jeg ikke erkjenner som opplagt sådan: det vil si å nøye unngå forhastelser og forutinntatte slutninger; og ikke inkludere noe mer i mine bedømmelser enn det som forekommer meg så klart og tydelig at jeg ikke har noen anledning til å trekke det i tvil. Den andre er å dele opp alle de vanskeligheter jeg vil undersøke, i så små bestanddeler som mulig, og så mange som kreves for bedre å løse dem. Den tredje er å føre mine tanker i rekke, ved å begynne med de enkleste og mest lettfattelige tingene, for så gradvis å stige mot innsikt i de mest sammensatte; og anta en orden selv mellom dem som ikke naturligvis følger av hverandre. Den siste er i alt å lage oppregninger så fullstendige, og oversikter så generelle, at jeg er sikker på å ikke utelate noe. Følgende sitat fra Pirsigs Zen and the art of motorcycle maintenance (1974) sier også noe vesentlig, ikke bare om bruksanvisninger: Dette var tilskuermanualer. [...] Og det forekom meg at ingen manual tar for seg det virkelige anliggendet i motorsykkelvedlikehold, det viktigste av alt. Å bry seg om det man gjør ses enten på som uviktig eller tas for gitt. 4

0.4 Et dikt En matematikers Dao Veien som veilegges Er ikke den endelige vei Navnet som nevnes Er ikke det endelige navn Stillhet er opphav til himmel og jord Kall er mor til multiplisitet I null ser vi unnfangelse I én ser vi fullbyrdelse Disse to : samme kilde Kallet med ulike navn Sammen kaller vi dem mørke I mørkere mørkhet Unnfanges uendelighetene Noen friheter med Daodejing av Lao Tzu 5

Innhold 0 Innledningsvis 2 0.1 Om kurset............................. 2 0.2 Litteratur............................. 2 0.3 Metode.............................. 3 0.4 Et dikt............................... 5 1 7 1.1 Logikk............................... 7 1.2 Bevis................................ 10 1.3 Mengder.............................. 13 1.4 Leselekser............................. 22 1.5 Oppgaver............................. 22 6

1 1.1 Logikk La oss si vi ønsker å snakke om visse objekter. Det vi ønsker å si om disse objektene uttrykkes som påstander. Påstander om objekter formuleres som at de har visse egenskaper, eventuelt at det er relasjoner mellom dem. Vi anser at vi ikke kan definere disse konseptene, men la oss likevel presisere språkbruken. Påstander. En påstand har en sannhetsverdi, som enten er 0 (usant) eller 1 (sant). Vårt ønske er å bestemme sannhetsverdien til (kompliserte) påstander. Påstander kan kombineres ved hjelp av konnektiver, for å danne nye påstander. De vanligste konnektivene er: negasjon: ( P ) uttales «ikke P». Én og bare én av de to påstandene P og P er sann. konjunksjon: (P Q) uttales «P og Q» og brukes i betydning «både og». disjunksjon: (P Q) uttales «P eller Q» og utelukker ikke at «P og Q» (i motsetning til påstanden «enten P eller Q»). implikasjon: (P = Q) uttales «P impliserer Q» eventuelt «hvis P så Q» eller «P medfører Q». ekvivalens: (P Q) uttales «P er ekvivalent med Q» eventuelt «P hvis og bare hvis Q». Logiske konnektiver har en sannhetstabell. P Q P Q P Q P Q P Q 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 (1) Sannhetstabeller brukes til å finne ut på en mekanisk måte hva sannhetsverdien til sammensatte påstander er, i tilfeller hvor det ikke er klart. Dersom P og Q er påstander, har påstanden (P Q) samme sannhetsverdi som påstanden (( P ) Q), uansett hva sannhetsverdien til P og Q er. Dette kan tolkes som at vi har å gjøre med ekvivalente sammensatte påstander. Det kan også brukes som definisjon av implikasjon. Matematisk 7

implikasjon oppfører seg noen ganger forskjellig fra det vi måtte oppfatte som kausalitet. 0 = 1 = RH. (2) Denne påstanden er sann, uansett hva Riemann Hypotesen (RH) er. Merk også at påstanden P Q alltid har samme sannhetsverdi som ( Q) = ( P ). Det er grunnlaget for såkalt kontrapositive argumenter. Mer om argumentasjon senere. Egenskaper. Dersom P er en egenskap og x et objekt, skrives påstanden «x har egenskapen P» også P (x), som uttales «P av x». Eksempel 1.1. Vi kan anse «positiv» for å være en egenskap, og da vil «positiv(x)» tilsvare (x 0). Vi kan velge å heller uttale (x 0) som «x er større enn 0» eller «x er positiv». Vi skiller denne egenskapen fra «strengt positiv». At «x er strengt positiv» skrives også (x > 0). Konnektiver kan også brukes på egenskaper. For eksempel, dersom P og Q er egenskaper, vil (P Q) være en egenskap som gitt objekt x gir påstanden (P (x) Q(x)). Likeledes, dersom P og Q er egenskaper, er egenskapen (P = Q), den som gitt objekt x gir påstanden (P (x) = Q(x)). Men det hender man er upresis og anser (P = Q) for å være en påstand, nemlig den at alle objekter som tilfredsstiller P også tilfredstiller Q. Man kan danne påstander fra egenskaper ved hjelp av kvantorer. La P være en egenskap. Eksistensiell kvantor: ( x P (x)) uttales «Det eksisterer x slik at P (x)» eventuelt «Det eksisterer x med egenskap P». Universell kvantor: ( x P (x)) uttales «For alle x har vi at P (x)» eventuelt «Alle x har egenskap P». Her er eksempel på bruk av universell kvantor: Aksiom 1.1 (Par). 2 Dersom x og y er objekter kan vi danne et nytt objekt (x, y) kalt «paret x komma y». Pardannelse har egenskapen at for alle objekter x, y, a, b så gjelder det at (x, y) = (a, b) hvis og bare hvis x = a og y = b. I symboler blir det: x y a b (x, y) = (a, b) (x = a y = b). (3) 2 Denne terminologien er ikke helt standard. Dessverre har ikke norsk to ord slik som fransk, hvor man kan skille mellom «paire» og «couple». Franskmenn bruker ordet «couple» for (x, y) og «paire» for det jeg kommer til å skrive {x, y}. Engelsktalende bruker ofte «ordered pair» for det første og «pair» for det andre... 8

Klasser. Som regel ønsker man å begrense kvantorene til visse klasser av objekter. Påstanden at objekt x tilhører klassen A skrives x A. Man bruker følgende forkortelser: ( x A P (x)) uttales «det eksisterer x i A slik at P (x)». Det betyr ( x x A P (x)). ( x A P (x)) uttales «for alle x i A har vi at P (x)». Det betyr ( x x A P (x)). I praksis vil egenskaper bare gi mening når de anvendes på objekter i visse klasser: påstanden P (x) er definert (har en sannhetsverdi) bare for visse x. Hvis P er en egenskap kan vi definere en klasse A til å bestå av de objektene som har egenskapen P. Det vil si: x x A P (x). (4) Tilsvarende hvis A er en klasse kan vi si at det å tilhøre A er en egenskap. Vi tenker på klasser som samlinger av objekter mens egenskaper er noe som lever i språket. Eksempel 1.2. Egenskapene «positiv» og «strengt positiv» gir mening for reelle tall, og de respektive klassene skrives R + og R +. Relasjoner. Relasjoner kan tolkes som egenskaper ved par. At paret (x, y) har egenskapen R skrives R(x, y). For eksempel likhetsrelasjonen. Dersom R er en relasjon og x et objekt kan vi danne egenskapen R(x, ), den som gitt et objekt y gir påstanden R(x, y). Eksempel 1.3. For eksempel er er relasjon som gir mening for reelle tall, og «positiv» er egenskapen (0 ). Når R er en relasjon er det som regel viktig å skille på påstandene: Det eksisterer x i A slik at for alle y i B gjelder R(x, y): x A y B R(x, y), For alle y i B eksisterer det x i A slik at R(x, y): y B x A R(x, y). Den ene er alltid sterkere enn den andre, hvilken? Hva mener man egentlig med : «Det eksisterer x i A slik at R(x, y) for alle y i B»? 9

Situasjonen er annerledes for to eksistensielle eller to universelle kvantorer. Det hender også at man er slapp og skriver for eksempel: i stedet for: x, y A R(x, y), (5) x A y A R(x, y). (6) Bemerkning 1.1. Er det behov for å snakke om relasjoner mellom flere variabler enn to, kan vi bruke ordet predikat. Negasjon. Følgende ekvivalenser brukes ofte (og kan sjekkes ut ifra sannhetstabellene): (P Q) ( P Q) (7) (P Q) ( P Q) (8) (P = Q) (P Q) (9) (P Q) ((P Q) ( P Q)) (10) Vi har også ekvivalensene (som kan anses som aksiomer): ( x P (x)) ( x P (x)) (11) ( x P (x)) ( x P (x)) (12) Ved å kombinere det over får man ekvivalensene: ( x A P (x)) ( x A P (x)) (13) ( x A P (x)) ( x A P (x)) (14) I praksis er det ofte nyttig å skrive om utrykkene til venstre til de til høyre (heller enn omvendt...) og fordelen med formalismen er at dette kan gjøres helt mekanisk: Eksempel 1.4. La A R og la f : A R være en avbildning. At f er kontinuerlig skrives: x A ɛ R + δ R + y A x y < δ = f(x) f(y) < ɛ. (15) Hvordan da skrive at f er diskontinuerlig? Vinner vi noe på det? 1.2 Bevis. La oss si at vi er overbevist om at påstand P er sann, og at vi ønsker å kommunisere denne innsikten. Eller la oss si vi er ganske sikre på at P er sann, men ønsker, overfor oss selv, å bli helt sikre. I første omgang kan vi si at et bevis for P er en tekst bestående av påstander, som begynner med kjente påstander og ender opp med P. Påstandene i 10

denne teksten skal ikke bare være sanne, men hver påstand skal følge av de tidligere påstandene og andre kjente sannheter, i henhold til deduksjonsregler. Vi må derfor være enige om hva vi anser som kjente sannheter og hva som utgjør gyldig argumentasjonsteknikk. Bildet kompliseres noe ved at vi tillater oss å gjøre antagelser og argumentere utifra dem. Sagt på en annen måte : vi tillater oss å drøfte hypoteser. Nok prat, her er et eksempel på noe vi muligens kan ønske å bevise: Lemma 1.1. La n N. Da er n et partall eller et oddetall, og ikke begge deler. Eller kanskje vi vil bevise følgende: Lemma 1.2. La n N. Vi definerer en følge (u k ) k N induktivt slik: Først definerer vi: u 0 = n. (16) Så lar vi k N og antar at vi har definert u 0,..., u k. Dersom u k er et partall definerer vi: u k+1 = (u k )/2, (17) og hvis ikke definerer vi: Da er følgen (u k ) k N stasjonær. Eller kanskje vi vil bevise: u k+1 = u k. (18) Lemma 1.3. La x og y være elementer i R. Da har vi x = y hvis og bare hvis for alle ɛ i R + så har vi x y < ɛ. Er vi forresten formelle kan vi uttrykke det siste lemmaet som påstanden: x R y R (x = y) ( ɛ R + x y < ɛ). (19) Gir denne formaliseringen noe? Er disse påstandene egentlig opplagte? Er det aksiomer? Hvis det er aksiomer, hvor mange aksiomer trenger vi egentlig? Hvis det ikke er aksiomer, hva er det naturlig å utlede disse påstandene fra? Hvis vi beviser dette, risikerer vi ikke å bevise det ut ifra ting som er litt mer opplagt, men som selv egentlig krever et nytt bevis, og at vi ender opp med en potensielt uendelig følge av bevis, for mer og mer trivielle ting? Eller enda verre: kanskje vi ender opp med å gå i sirkel? Hverken det ene eller det andre er forresten helt bortkastet, da dette arbeidet kan lære oss noe om hvordan ting henger sammen. 11

Det er forøvrig viktig å vite hva definisjonene er. Definerer vi først hva et partall er, og så at n er et oddetall hvis og bare hvis n ikke er et partall så er Lemma 1.1 trivielt, og ganske ubrukelige. Derimot, hvis vi definerer: n N er et partall dersom det finnes k N slik at n = 2k, n N er et oddetall dersom det finnes k N slik at n = 2k + 1, da er det kanskje ikke like trivielt lenger. Og det kan brukes til å vise følgende: Lemma 1.4. La n N. Hvis n 2 er et partall så er n et partall. Bevis: Kontrapositivt, ved hjelp av Lemma 1.1. Her er forøvrig et bevis for Lemma 1.1, fordi vi kan. Bevis: Ved induksjon. For hver n N lar vi P (n) være påstanden: n er et partall eller et oddetall, og ikke begge deler. (i) Vi sjekker P (0). Vi har 0 = 2 0 så 0 er et partall. For hver k i N har vi 2k + 1 0 (hvorfor?). Dermed er 0 ikke et oddetall. (ii) La n N og anta at P (n). Vi ønsker å sjekke at P (n + 1). Beviset har to deler: (a) Vi vet fra induksjonshypotesen at n er et partall eller et oddetall. Hvis n er et partall skriver vi n = 2k for en k N og utleder n+1 = 2k+1. Dermed er n + 1 er et oddetall. Hvis n er et oddetall skriver vi n = 2k + 1 for en k N og utleder n + 1 = 2(k + 1). Dermed er n + 1 et partall. Dette viser at n + 1 er et partall eller et oddetall. (b) Det gjenstår å vise n + 1 ikke er begge deler. Vi gjør følgende observasjoner: Hvis n + 1 er et oddetall, så er n et partall (hvorfor?). Hvis n + 1 er et partall har vi n + 1 = 2k for en k N. Siden vi må ha k 0 (hvorfor?) har vi k 1 N og n = 2(k 1) + 1, så n er et oddetall. Hvis vi nå antar at n + 1 er både partall og oddetall, medfører observasjonene over at n er både partall og oddetall, hvilket motstrider induksjonshypotesen. Dermed er n + 1 ikke både partall og oddetall. Dette fullfører induksjonsbeviset. Bemerkning 1.2. Dette virker vel og bra, men man kan likevel gjøre et poeng ut av at vi implisitt har brukt at vi har en bijeksjon N N definert ved n n + 1 (inversfunksjonen er gitt ved n n 1). Denne funksjonen kalles suksessorfunksjonen. Hvis man ønsker å bruke dette som utgangspunkt for Reell Analyse er det en lang vei å gå. Det er dessverre ikke tid til det i dette kurset. Men man kan lese Tao Bind I Kapittel 2 for mer om det. 12

Bemerkning 1.3. Er det kanskje enklere å bevise Lemma 1.1 i en kontekst av hele tall (n Z) heller enn naturlige tall (n N)? Bemerkning 1.4. Euklidsk divisjon... Om 2. Mange velger å illustrere beviskonseptet med noen mindre trivielle teoremer. Mye brukt er påstanden at 2 er irrasjonell. Tenker vi litt på hva det betyr ender vi opp med: Teorem 1.1. Det finnes ikke x i Q slik at x 2 = 2. Dette er forresten ikke et teorem i analyse, men heller et teorem i algebra. Et teorem i analyse ville være: Teorem 1.2. Det finnes x i R slik at x 2 = 2. Bemerkning 1.5. og hva har dette med de gamle grekernes forståelse av geometri å gjøre? 1.3 Mengder Problemer med mengdeteori. Når vi skriver x A har det vært implisitt at x er et objekt og A en klasse. Det hadde vært praktisk å også kunne sette objekter til høyre for og klasser til venstre for og å omtale dem likt, for eksempel som mengder. Dette synspunktet ble innført av Cantor og ville gitt et veldig kraftfullt språk! Dessverre fører det til selvmotsigelser. Det er heller ikke naturlig å tenke på alle objekter som mengder, i forstand av en samling. På hvilken måte er et reelt tall en samling? Vi må derfor være litt mer forsiktig. Vi anser at blant våre objekter er det noen vi omtaler som mengder. Vi anser også at alle mengder er eksempler på klasser. Påstanden x A, som uttales «x tilhører A» er veldefinert når x er et objekt (spesielt når x er en mengde) og A er en klasse (spesielt når A er en mengde). Likhet og inklusjon. La A og B være mengder. Aksiom : A og B er like dersom de har samme elementer. Det vil si: (A = B) ( x x A x B). (20) At A er inkludert i B skrives A B og er definert ved: (A B) ( x x A = x B). (21) I denne situasjonen sier vi også at A er en delmengde av B. Vi sier at A er en streng delmengde og skriver A B dersom A B og A B. 13

Bemerkning 1.6. Vi har A = B hvis og bare hvis A B og B A. En mengde A er tom dersom den ikke har noen elementer. Det vil si: x (x A). (22) Det følger av det over at alle tomme mengder er like. Den tomme mengden skrives. Mengder definert ved en egenskap. Dersom P er en egenskap hadde det vært praktisk om de objektene som tilfredsstiller P utgjorde en mengde. Dessverre fører uhemmet bruk av en slik hypotese til selvmotsigelser. Vi skal derfor presisere noen mengdekonstruksjoner vi tillater. Vi sier at P bestemmer en mengde dersom det finnes en mengde A slik at: x x A P (x). (23) I såfall er A entydig bestemt og vi skriver, A = {x : P (x)}, (24) som uttales «mengden av x slik at P (x)». Vi uttrykker også at P bestemmer en mengde ved å si at {x : P (x)} er veldefinert. For eksempel, gitt y, er det et aksiom at følgende er en veldefinert mengde: {y} = {x : x = y}. (25) Mengder av denne typen kalles ettpunktsmengder. Eksempel 1.5 (Russels paradoks). Egenskapen som gitt x sier at «x er en mengde og (x x)» definerer ikke en mengde! Anta at den definerer en mengde A. Det vil si: x (x A) (x er en mengde og (x x)). (26) Siden A er et eksempel på en gyldig x får vi: A A (A A). (27) Siden en av påstandene A A og (A A) må være sann gir dette selvmotsigelsen: A A (A A). (28) Dermed er antagelsen feil. Spesialisering. Dersom A er en mengde og P er en egenskap er følgende mengde alltid veldefinert: Denne mengden skrives også: som uttales «mengden av x i A slik at P (x)». {x : x A P (x)}. (29) { x A : P (x)}, (30) 14

Binære mengdekonstruksjoner. Gitt to mengder A og B er de vanligste konstruksjonene av nye mengder som følger: Snittet av A og B: Differansen av A og B: A B = {x A : x B}. (31) A \ B = {x A : (x B)} (32) At følgende konstruksjoner av større mengder er veldefinerte ser vi på som aksiomer. Unionen av A og B: For eksempel skriver vi: A B = {x : x A x B}. (33) Produktet av A og B består av par: {x, y} = {x} {y}. (34) A B ={(x, y) : x A y B}, (35) {z : x A y B z = (x, y)}. (36) Potensmengden fra A til B består av avbildninger: B A = {f : f er en avbildning fra A til B}. (37) Hva er en avbildning? Når man skriver at f : A B, som uttales «f fra A til B», er en funksjon er det vanlig å tenke på dette som en regel som til hvert element x i A assosierer et entydig bestemt element y i B, som vi velger å skrive f(x). Eventuelt kan det være elementer x i A hvor f ikke er definert. Vi skiller da mellom domenet til f, som er A, og definisjonsmengden til f som er en delmengde av A. Vi skiller også mellom kodomenet til f, som er B og verdimengden til f, som er definert som: f(a) = {f(x) : x A}, (38) = {y B : x A f(x) = y}. (39) Men hva menes egentlig med en regel? Når er to regler like? Hvor generelle regler tillater vi? Kan vi stole på språkets evne til å definere regler? Bør vi skille mellom funksjonsuttrykk og funksjoner? Man kan også tenke på en funksjon som en deterministisk prosess, som gitt input x gir output f(x). Kanskje tenker vi algoritmisk og at vi har en algoritme som gitt x beregner f(x). Men hva er egentlig en algoritme? Hvis vi tillater grenseprosesser er de også algoritmer? 15

Hva nå vi måtte mene om disse spørsmålene kan vi enes om hva grafen til en funksjon er. Definisjon 1.1. : En graf 3 er en mengde bestående av par. Definisjon 1.2. Dersom f : A B er en funksjon er grafen til f: G = {(x, f(x)) : x A og f er definert i x}, (40) = {(x, y) A B : f er definert i x og y = f(x)}. (41) I situasjonen over er grafen G til f altså en delmengde av A B. Men den er spesiell. Den har egenskapen: (x, y) G (x, y ) G x = x = y = y. (42) Den mengdeteoretiske tilnærmingen til funksjonsbegrepet er å snu dette perspektivet på hodet. Definisjon 1.3. Hvis G er en graf sier vi at G er funksjonell, dersom den tilfredsstiller (42), som også kan skrives: x y, y ((x, y) G (x, y ) G) = y = y. (43) Definisjon 1.4. La f være en funksjonell graf. Dersom (x, y) f er y entydig bestemt av x, kalles verdien til f i x og betegnes som f(x). Definisjonsmengden til f er: Verdimengden til f er: D f = {x : y (x, y) f}. (44) V f = {y : x (x, y) f}. (45) Definisjon 1.5. En funksjon er en trippel f = (A, B, G) slik at G A B og G er funksjonell. Definisjon 1.6. La f = (A, B, G) være en funksjon. Vi definerer: Domenet til f er A og kodomenet til f er B. 3 Dette er ikke helt standard terminologi. I grafteori opererer man med mange varianter av dette konseptet, og det er ikke enighet om akkurat hvilken variant som skal kalles graf. 16

Definisjonsmengden D f og verdimengden V f til f er de tilsvarende allerede definert for G. Dersom x D f er verdien til f i x det elementet y i B slik at (x, y) G. Bemerkning 1.7. Nå er det klart når to funksjoner er like: To funksjoner f og g er like dersom de har samme domene, samme kodomene og samme graf. At f og g har samme graf kan omformuleres som at de har samme definisjonsmengde D og samme verdi i hver x D, i.e: x D f(x) = g(x). (46) At f = g utelukker ikke at f og g kan være definert på svært forskjellige måter! Bemerkning 1.8. Den mengdeteoretiske tilnærmingen til funksjonbegrepet kan sies å forskyve problemet om hva som er gyldige funksjonsuttrykk, til hva som er gyldige regler for å definere mengder, spesielt grafer. Fordelen med sistnevnte er at reglene er klargjort av aksiomatisk mengdeteori. I analyse vil definisjoner ved hjelp av delt forskrift, algebraiske operasjoner og grenser ofte forekomme, men gi et ufullstendig inntrykk av hvor generelle funskjoner kan være. Definisjon 1.7. En avbildning er en funksjon som er definert på hele sitt domene. Vi uttrykker at f er en avbildning med domene A og kodomene B ved å skrive f : A B. Komposisjon. Gitt avbildninger f : A B og g : B C kan vi danne en avbildning g f, kalt komposisjonen av g og f, eventuelt «g ring f», definert ved: { A C, g f (47) x g(f(x)). Lemma 1.5. Dersom f : A B, g : B C og h : C D har vi h (g f) = (h g) f. Restriksjon. Gitt f : A B og C A kan vi danne restriksjonen av f til C: { C B, f C (48) x f(x). Gitt g : C B og C A sier vi at f : A B er en utvidelse av g dersom f C = g. 17

Andre mengdekonstruksjoner. Følgende er også aksiomer: Dersom A er en mengde utgjør delmengdene til A en mengde kalt potensmengden til A, som skrives P(A). P(A) = {B : B A}. (49) Dersom A er en mengde bestående av mengder, kan de sistnevnte føyes sammen til en stor mengde, kalt unionen til A. Eksempel på bruk av notasjon: Tilsvarende kan man definere: A = {x : A A x A}. (50) {A, B} = A B. (51) A = {x : A A x A}. (52) I praksis opptrer snitt, union og differanse ofte på en litt annerledes måte. Definisjon 1.8 (Familier). 4 La U være en mengde og I en annen mengde. En familie delmengder av U indeksert av I er en funksjonell graf med definisjons mengde I og med verdimengde inkludert i P(U). Det er da vanlig å skrive A i heller enn A(i) for verdien til A i i I og å betegne familien A som (A i ) i I. Merk at vi skriver verdimengden til A som: {A i : i I}. (53) La U være en mengde og (A i ) i I en familie delmengder av U. Vi definerer snittet til familien ved: og unionen ved: i I A i = {x U : i I x A i }, (54) i I A i = {x U : i I x A i }. (55) Disse nye definisjonene tilsvarer de gamle ved at: og: i I A i = {A i : i I}, (56) i I A i = {A i : i I}. (57) Dersom A U kalles U \ A for komplementet av A i U. Hvis det er klart fra konteksten i hvilken mengde U man tar komplementer kan vi skrive A c = U \ A. 4 Det er vanlig å være litt upresis på dette området. Vi anser at det ikke er uvesentlig at familier er indekserte med noe, i dette tilfellet I. Vi skiller mellom en mengde delmengder av U, slik som (53) og en indeksert familie delmengder av U. 18

Noen bemerkelsesverdige avbildninger. Identitetsavbildning. id A { A A, x x. Konstant avbildning. Gitt A, B og b B kan vi danne: { A B, x b. (58) (59) I noen sammenhenger er det er vanlig å betegne denne avbildningen som b. Karakteristisk avbildning. La A være en mengde og B en delmengde til A. Den karakteristiske avbildingen til B (gitt A) er: χ B { A {0, 1}, x 1 hvis x B og 0 hvis x B. (60) Injeksjon, surjeksjon, bijeksjon. Definisjon 1.9. La f : A B være en avbildning. Vi sier at f er injektiv dersom: Vi sier at f surjektiv dersom: x, x A f(x) = f(x ) = x = x. (61) y B x A f(x) = y. (62) Vi sier at f er bijektiv dersom f er både injektiv og surjektiv. Bemerkning 1.9. En annen måte å si det på er at: f er injektiv dersom, for hver y B har likningen f(x) = y maksimum én løsning x A. f er surjektiv dersom, for hver y B har likningen f(x) = y minimum én løsning x A. f er bijektiv dersom, for hver y B har likningen f(x) = y én og bare én løsning x A. Proposisjon 1.3. Dersom f : A B er bijektiv kan vi danne den avbildningen g : B A som til hvert y B assosierer løsningen x A til likningen f(x) = y. Den tilfredsstiller g f = id A og f g = id B. Definisjon 1.10. Under forutsetningene i proposisjonen over kalles g for inversavbildningen til f og skrives f 1. 19

Proposisjon 1.4. f : A B er injektiv hvis og bare hvis det finnes g : B A slik at g f = id A. Proposisjon 1.5. f : A B er surjektiv hvis og bare hvis det finnes g : B A slik at f g = id B. Denne proposisjonen bruker utvalgsaksiomet (og er ekvivalent med det). Proposisjon 1.6. La f : A B og g, g : B A. Hvis g f = id A og f g = id B, så har vi at: g = g. f er en bijeksjon. g er inversavbildningen til f. Kanoniske avbildninger. Mange avbildninger er så naturlige at de kalles kanoniske. Her er noen eksempler: Evaluasjon: { B A A B, (f, x) f(x). (63) Komposisjon: { C B B A C A, (g, f) g f. En kanonisk bijeksjon: C A B (C { B ) A, A C f B, x f(x, ).. (64). (65) Følgende kanoniske bijeksjon viser at to avbildninger med samme domene kan ses på som én avbildning inn i et produktrom: B A C A { (B C) A, A B C, (66) (f, g). x (f(x), g(x)). Følgende kanoniske bijeksjon forklarer hvorfor P(A) omtales som potensmengden til A: { P(A) {0, 1} A, (67) B χ B. Delt forskrift kan tolkes utifra følgende: 20

Proposisjon 1.7. Vi betrakter avbildningen: Ξ { C A B C A C B, f (f A, f B ). (68) Da har vi: Ξ injektiv. Bildet til Ξ består av de parene (g, h) C A C B som tilfredsstiller g A B = h A B. Dersom A B = er Ξ en bijeksjon. Direkte bilde, invers bilde. danne to nye avbildninger: Dersom f : A B er en avbildning kan vi f { P(A) P(B), C {f(x) : x C}.. (69) f { P(B) P(A), C {x A : f(x) C}.. (70) Det er nyttig å vite hvordan f ( respektive f ) oppfører seg på snitt, union og komplement av delmengder til A (respektive B)! Bemerkning 1.10 (Om mengdeteori). Mendgeteorien ble innført av Cantor. Russels paradox førte til at man måtte presisere det aksiomatiske fundamentet. Siden dess består såkalt naiv mengdeteori i å overse Russels paradoks. Radikal mengdeteori består i å postulere at alle objekter er mengder. Hvis man velger å ikke snakke om klasser i det hele tatt snakker man om Zermelo- Frankel aksiomatisering, mens hvis man tillater å snakke om klasser snakker man om Gödel-Bernays aksiomatisering. Det skal forøvrig sies at Skolem bidro sterkt til å klargjøre mengdeteorien. Det er et møysommelig arbeid å bygge opp matematikken på bakgrunn bare av aksiomene i radikal mengdeteori. Det er dessverre ikke tid til det i dette kurset! 21

1.4 Leselekser Les Abbott Seksjon 1.1 for et svar på spørsmålet i Bemerkning 1.5. Teorem 1.1 er bevist i Abbott, side 1 2. Bruker Abbott Lemma 1.1? eller Lemma 1.2? Lemma 1.3 er bevist i Abbott, side 9. Teorem 1.2 er bevist i Abbott, side 23, men dette skal vi komme tilbake til! Les Lindstrøm Kapittel 1, 1.1 1.4. 1.5 Oppgaver Oppgave 1.1. I denne oppgaven kan Lemma 1.3 brukes. (i) La (u n ) n N være en følge i R. Tolk følgende påstander: Hint in footnote 5. (ii) Samme spørsmål for: ɛ R + N N n N n N = u n < ɛ (71) N N ɛ R + n N n N = u n < ɛ (72) ɛ R + n N N N n N = u n < ɛ (73) ɛ R + n N N N n N u n < ɛ (74) ɛ R + N N n N n N u n < ɛ (75) N N ɛ R + n N n N u n < ɛ (76) (iii) Anta nå at (u n ) n N er en følge i R og at N N også er gitt. Tolk påstandene: ɛ R + n N n N = u n < ɛ (77) ɛ R + n N n N u n < ɛ (78) Oppgave 1.2. La x, y, a, b være objekter. Vis at hvis {{a}, {a, b}} = {{x}, {x, y}} så x = a og y = b. Oppgave 1.3. La f : A B være en avbildning. Vis at da er f injektiv hvis og bare hvis følgende holder: for hver mengde C og for hver g, h : C A hvis f g = f h så g = h. 5 Hint: Påstandene kan muligens være av typen: (u n) n N konvergerer mot 0. u n = 0 for alle n N. u n = 0 for alle store nok n N. en slik følge finnes ikke. følgen er vilkårlig. 22

Oppgave 1.4. La f : A B være en avbildning. Vis at da er f surjektiv hvis og bare hvis følgende holder: for hver mengde C og for hver g, h : B C hvis g f = h f så g = h. Andre oppgaver. Følgende i Lindstrøm : 1.1 : alle, 1.2 : alle, 1.3 : alle, 1.4 : alle. 23

Referanser [1] S. Abbott. Understanding Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer, second edition, 2016. [2] T. Lindstrøm. Mathematical Analysis. Hefte, 2016. [3] T. Tao. Analysis I, volume 37 of Texts and Readings in Mathematics. Springer, third edition, 2016. [4] T. Tao. Analysis II, volume 38 of Texts and Readings in Mathematics. Springer, third edition, 2016. 24