FYS2140 Kvantefysikk, Obligatorisk oppgave 10 Nicolai Kristen Solheim, Gruppe 2
Obligatorisk oppgave 10 Oppgave 1 a) Ligningene 1, 2 og 3 er egenverdifunksjoner, mens ligning 4 er en deltafunksjon. b) De fysiske størrelsene som er representert ved operatorene, og er følgende: er energien i systemet, er kvadratet av det totale angulærmomentet (banespinn),, er angulærmoment (banespinn) i -retning. c) De tilstandene som har skarpe verdier i tilstanden er energien i systemet, kvadratet av angulærmomentet og -komponenten av angulærmomentet, henholdsvis, 1 og. d) Videre ønsker vi å bestemme tidsfunksjonen som beskriver -atomets tilstand ved tiden. Fra oppgaveteksten vet vi at tilstandsfunksjonen er bestemt av den tidsavhengige Schrödingerligningen Ψ, Ψ, og at tilstandsfunksjonen ved 0 er beskrevet ved. Vi tar utgangspunkt i den generelle løsningen til ligningen som er gitt ved Ψ, /. For 0, vil vi få at, og da vi allerede har oppgitt tilstandsfunksjonen ved 0 ser vi at 1. Dette gir at den tilstandsfunksjonen som beskriver atomets tilstand ved tiden er gitt ved Ψ, /. e) Deretter ønsker vi å vise at Φ er normert, hvor Φ er definert ved Φ. Vi viser dette på på følgende måte. Φ Φ Φ Φ Φ Φ,, hvor Φ Φ 1 Φ Φ 2 1 Φ Φ 1 Side 1 av 5
Vi ser fra utregningene over at Φ normert. f) Vi ønsker så å vise at tilstandsfunksjonen ved tiden er Ψ, Φ /. Her bruker vi igjen de samme formlene som i d), noe som gir Ψ, / Φ /. Vi kan kort forklare dette med at tilstandsfunksjonen ved 0 nå er beskrevet ved Φ, slik at. Dersom vi nå setter dette inn i den generelle løsningen får vi som vist over. g) Videre bestemmer vi forventningsverdiene for operatorene, og i tilstanden som er beskrevet ved tilstandsfunksjonen Ψ, i forrige oppgave. Ψ, Ψ, Φ Φ fra e) har vi at 21, noe som gir Ψ, Ψ, Φ Φ 1 1 Ψ, Ψ, Φ Φ 0 Fra dette har vi at, 1 og 0. h) Deretter ønsker vi å finne spredningen av størrelsene representert ved operatorene, og. Spredningen i tilstanden Ψ definert ved Side 2 av 5
hvor en størrelse er representert ved operatoren. Da vi ikke har beregnet må vi gjøre det for de tre respektive operatorene vi ønsker å løse for. Dette gjøres på tilsvarende måte som i forrige oppgave. Ψ, Ψ, Φ Φ Ψ, Ψ, Φ Φ 1 1 Ψ, Ψ, Φ Φ Dersom vi nå setter inn verdiene vi har funnet, finner vi spredningen til de tre operatorene. 0 1 1 0 0 i) Vi lar nå -atomets tilstand ved 0 være gitt ved tilstandsfunksjonen Φ, og tenker oss at vi foretar en ideell måling av. Med dette ønsker vi å finne ut hvor stor sannsynligheten er Side 3 av 5
for å observere den bestemte verdien for ved tiden. Sannsynligheten er gitt ved, og vi bruker Φ og Φ hvor vi har skrevet Φ som en lineærkombinasjon av egentilstandene for. Legger vi nå disse sammen får vi sannsynligheten for å observere den bestemte verdien ved 0. og videre at j) Videre vil ikke sannsynligheten være avhengig av tid da vi komplekskonjugerer uttrykket. Dette kan vi også vise, men vi bruker her Ψ, istedenfor Φ da denne er tidsavhengig. Med dette får vi at /. Da sannsynligheten er gitt ved, ser vi at eksponensialleddet vil forsvinne slik at. Dette viser at leddet vil være uavhengig av tiden målingene utføres. k) Vi lar nå -atomet befinne seg i et homogent magnetfelt og velger -aksen langs magnetfeltet. Hamilton operatoren for systemet er da Der er elektronets ladning og er elektronets masse. Fra dette kan vi finne -atomets energi i tilstanden. Videre er en egenfunksjon for og kan skrives på formen, som vist under, der er en konstant., hvor Fra dette vil energien være gitt ved. l) Tilstanden Φ i ligning 7 vil ikke være en energitilstand da Φ ikke er en egenfunksjon for. På tilsvarende måte som vi viste det i forrige oppgave kan vi igjen gjøre her. Side 4 av 5
Φ Φ, hvor Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Fra dette ser vi at Φ Φ, og tilstanden Φ vil derfor ikke være en energiegentilstand for. m) Til slutt bestemmer vi forventningsverdien til for tilstanden Φ. Φ Φ, Fra utregningene ovenfor ser vi at for tilstanden Φ. Side 5 av 5