FYS112 Elektromagnetisme 214 Obligatorisk oppgåve 1 Innleveringsfrist 19. september kl. 23.59 Lars Kristian Henriksen 21. oktober 214
Obligar i FYS112 leverast elektronisk på Devilry http://devilry.ifi.uio.no/. Du kan velge om du vil skrive han maskinelt, med til dømes L A TEX, eller skanne håndskrivne ark. Skanner finst på bibliotek og terminalstuer. Oppgåve 1 Gradient, divergens og kvervling a Finn gradienten til desse skalarfelta: (i f(x, y, z = x 2 y f(x, y, z = (ii g(x, y, z = xyz g(x, y, z = f x g x (x, y, z, f y (x, y, z, g y f (x, y, z, (x, y, z = (2xy, x 2, z g (x, y, z, (x, y, z = (yz, xz, xy z (iii h(r, θ, φ = 1 r er2 Hint: Bruk at r = x 2 + y 2 + z 2, eller sjå etter formelen for gradient i kulekoordinater i Rottmann. ( h h h h(r, θ, φ = (r, θ, φ, (r, θ, φ, (r, θ, φ = (e r2 (2r 2 1,, r θ φ b Finn divergensen og kvervlinga til desse vektorfelta: (i u(x, y, z = (2xy, x 2, div u(x, y, z = x 2xy + y x2 + z = 2y curl u(x, y, z = x y z 2xy x 2 = + ˆk î y z x2 + ĵ z 2xy x x x2 y 2xy = (ii v(x, y, z = (e yz, ln(xy, z div v(x, y, z = x eyz + y ln(xy + z z = 1 y + 1 curl v(x, y, z = x y z e yz ln(xy z = + ˆk î y z z ln(xy + ĵ z eyz x z (ye yz ĵ + ( 1 x zeyz ˆk x ln(xy y eyz =
(iii w(x, y, z = (yz, xz, xy div w(x, y, z = x yz + y xz + z xy = curl w(x, y, z = x y z yz xz xy = + ˆk î y xy z xz + ĵ z yz x xy x xz y yz = (iv a(x, y, z = (y 2 z, z 2 sin y + 2xyz, 2z cos y + y 2 x div w(x, y, z = x y2 z + y ( z2 sin y + 2xyz + z (2z cos y + y2 x = 2xz + cos y(2 z 2 curl w(x, y, z = x y z y 2 z z 2 sin y + 2xyz 2z cos y + y 2 x = î y (2z cos y + y2 x z ( z2 sin y + 2xyz +ĵ z y2 z x (2z cos y + y2 x +ˆk x ( z2 sin y + 2xyz y y2 z = c Kva vil det seie at eit felt er konservativt, matematisk sett? Og kva vil det seie at t.d. eit gravitasjonsfelt er konservativt, fysisk sett? Er det nokon av felta i b som er konservative? Har nokon av dei i så fall noko med a å gjere? Matematisk sett er et vektorfelt konservativt om curl=. Fysisk sett vil det å si at et gravitasjonsfelt er konservativt bety det samme som at gravitasjonsfeltet ikke endres om avstanden mellom objektene holdes konstant. Derfor vil man ha (tilnærnet lik gravitasjon på et hvert punkt på en kuleflate, som jorda. Hadde gravitasjonsfeltet ikke vært konservativt, ville gravitasjonen variere fra nord til sør, øst til vest etc. på jorda, noe den ikke gjør. Dette gis også uttrykk for i gravitasjonsformelen, der vi ser at gravitasjonen kun varierer med hensyn på massen på de to aktuelle objektene, samt avstanden mellom dem. Vi ser at alle feltene i b er konservative, bortsett fra v(x, y, z = (e yz, ln(xy, z.
d Viss me tek divergensen av gradienten til eit skalarfelt f, f, så får me eit nytt skalarfelt. Operatoren skriv me ofte 2, og han vert kalla laplaceoperatoren. Bruk laplaceoperatoren på desse skalarfelta: (i j(x, y, z = x 2 + xy + yz 2 j(x, y, z = x (x2 + xy + yz 2 + y (x2 + xy + yz 2 + z (x2 + xy + yz 2 = (2x + y, x + z 2, 2yz ( 2 j(x, y, z = 2 x (x2 + xy + yz 2 + 2 2 y (x2 + xy + yz 2 + 2 2 z (x2 + xy + yz 2 = 2(1 + y (ii h(r, θ, φ = 1 r er2 Fra Rottmann(dropper θ og φ leddet, da disse ikke er aktuelle : 2 h(r, θ, φ = 1 r 2 r (r2 r 1 r 2 r (r2 (re r2 e 1 r2 r 2 = 1 r 2 r (2r2 e r2 e r2 = 2er2 (2r 2 + 1 r
Oppgåve 2 Vektoridentitetar La a, b og c vere tre-dimensjonale vektorar. Vis følgande identitet: a (b c = b(a c c(a b. (1 Du kan godt anta at vektorane er på formen a = (a 1, a 2, a 3 osb. Setter først a 1 b 1 a = a 2, b = b 2, c = c 2 a 3 b 3 c 3 Bruker det vi vet om å ta en determinant for å finne kryssprodukt og finner først at: b c = b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 = î (b 2 c 3 b 3 c 2 +ĵ (b }{{} 3 c 1 b 1 c 3 +ˆk (b }{{} 1 c 2 b 2 c 1 }{{} d 1 d 2 Setter inn d for å gjøre regningen litt mer oversiktelig a (b c = a 1 a 2 a 3 d 1 d 2 d 3 = î(a 2 d 3 a 3 d 2 + ĵ(a 3 d 1 a 1 d 3 + ˆk(a 1 d 2 a 2 d 1 Setter inn for d og får: a (b c = î(a 2 (b 1 c 2 b 2 c 1 a 3 (b 3 c 1 b 1 c 3 + c 1 ĵ(a 3 (b 2 c 3 b 3 c 2 a 1 (b 1 c 2 b 2 c 1 + ˆk(a 1 (b 3 c 1 b 1 c 3 a 2 (b 2 c 3 b 3 c 2 Herfra tar jeg for meg en og en komponent av gangen, for så å sette de i sammenheng senere. Starter med î: (a 2 (b 1 c 2 b 2 c 1 a 3 (b 3 c 1 b 1 c 3 (b 1 (a 2 c 2 + a 3 c 3 c }{{} 1 (a 2 b 2 + a 3 b 3 }{{} 1 2 Her legges a 1 b 1 c 1 til 1 og trekkes fra 2 og vi får: som gir at 1 + 2 = 1 = b 1 a 2 c 2 + b 1 a 3 c 3 + a 1 b 1 c 1 = b 1 (a 1 c 1 + a 2 c 2 + a 3 c 3 2 = c 1 a 2 b 2 c 1 a 3 b 3 c 1 a 1 b 1 = c 1 (a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 b 1 (a 1 c 1 + a 2 c 2 + a 3 c 3 c 1 (a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 (b 1 (a c c 1 (a bî Gjør de samme operasjonene på ĵ og ˆk, med henholdsvis ±a 2 b 2 c 2 og ±a 3 b 3 c 3, som gir oss: ĵ(a 3 (b 2 c 3 b 3 c 2 a 1 (b 1 c 2 b 2 c 1 (b 2 (a c c 2 (a bĵ ˆk(a 1 (b 3 c 1 b 1 c 3 a 2 (b 2 c 3 b 3 c 2 (b 3 (a c c 3 (a bˆk î, ĵ og ˆk kombineres og man kommer frem til resultatet vi ønsket å finne, at a (b c = b(a c c(a b d 3
Oppgåve 3 Fluksintegral og Gauss teorem a Eit vektorfelt er gitt ved v(x, y, z = (y, x, z x. (2 Rekn ut fluksen av dette feltet ut av einingskuben, som er gitt ved x, y, z, 1]. Hint: Berekn fluksen, A v n dxdy, der n er einingsnormalvektoren for flata A, for kvar sideflate av kuben og legg saman. Figur 1: Oversiktsbilde av de normalvektorene som er brukt i oppgaven Ser på hver flate for seg, med sin tilhørende normalvektor n i. n 1 n 1 = ˆ k, z =, v n 1 = x xdxdy = ] 1 1 2 x2 dy = 1 2 y]1 = 1 2 n 2 n 2 = ˆk, z = 1, v n 1 = 1 x 1 xdxdy = x 1 ] 1 2 x2 dy = 1 2 y]1 = 1 2 n 3 n 3 = î, x = 1, v n 1 = y ydxdy = ] xy] 1 1 1 dy = 2 y2 = 1 2
n 4 n 4 = ˆ i, x =, v n 1 = y ydxdy = xy] 1 dy = 1 ] 1 2 y2 = 1 2 n 5 n 5 = ĵ, y = 1, v n 1 = x xdxdy = ] 1 1 2 x2 dy = 1 2 y]1 = 1 2 n 6 n 6 = ˆ j, y =, v n 1 = x xdxdy = 1 ] 1 2 x2 dy = 1 2 y]1 = 1 2 Summert sammen, hvor n 3 og n 4, samt n 5 og n 6 utligner hverandre. n 1 og n 2 summert gir 1 b Bruk Gauss teorem til å berekne den samme fluksen. Sjekk at du får samme svar! v(x, y, z = x (y + y (x + (z x = 1 z 1dxdydz = 1 Som er det samme resultatet som i forrige deloppgave. Oppgåve 4 Linjeintegral og Stokes teorem Endå eit vektorfelt er gitt ved w(x, y, z = (2x y i y 2 j y 2 z k, (3 der i, j og k er einingsvektorene i høvesvis x, y og z-retning. Vi har òg ei lukka kurve γ gitt ved x 2 + y 2 = 1, z = 1. a Rekn ut divergensen til w. div w = w = x (2x y + y ( y2 + z ( y2 z = 2 2y y 2 b Rekn ut kvervlinga til w. curl w = w = x y z = 2yzî + ˆk 2x y y 2 y 2 z
c Parametrisér kurva γ som ein vektor γ(t, og finn d γ uttrykt ved dt. γ(t = cos tî + sin tĵ + ˆk, t, 2π] d γ dt = sin tî + cos tĵ, t, 2π] d Rekn ut sirkulasjonen til w rundt γ. Linjeintegralet brukes: C d r = d γ dt w d r = w(t d γ dt dt = sin tî + cos tĵ, t, 2π] w(t = w(x(t, y(t, z(t = 2x(t y(tî y 2 (tĵ y 2 (tz(tˆk = 2 cos t sin tî sin 2 tĵ sin 2 tˆk sin 2 t 2 cos t sin t sin 2 t cos t dt = w(t d γ dt = sin2 t 2 cos t sin t sin 2 t cos t sin 2 t dt Tar hvert integral for seg og finner fra Rottman at: slik at sin 2 t dt = 2 cos t sin t dt = 2 w(t d γ dt dt = sin 2 t cos t dt = 2 cos t sin t dt 1 2 sin t cos t + t ] 2π = π 2 1 ] 2π 2 cos2 t = ] 1 2π 3 sin3 t = sin 2 t 2 cos t sin t sin 2 t cos t dt = π sin 2 t cos t dt e Bruk Stokes teorem til å finne sirkulasjonen ved hjelp av kvervlinga til w. Sjekk at du får samme svar! ( w da = w d r A C= A w = 2yzî + ˆk, n = ˆk, ( w n = 1 r drdθ = 1 2 r2 ] 1 = 1 2 θ]2π = π som vi ser er det samme resultatet vi får i oppgaven over.