Fasit til eksamen i emnet MAT02 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 2.september 205 Fasit. (a) Løs ligningssystemene. i) 5x + 7y = 4 3x + 2y = ii) 3x + 4y + z = 2 2x + 3y + 3z = 7 Svar: i) x = 85/, y = 67/, ii) x = 22 + 9z, y = 7 7z, z er fri. (b) Ved å bruke MATLAB-kommandoen rref på totalmatrisen til to ligningssystem i x, x 2, x 3, x 4, x 5 får vi svarene under. Skriv opp løsningene til ligningssystemene. i) ans = ii) Svar: i) ans = 5 0 0 3 0 0 2 0-8 0 0 0 0 9 5 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 ii) er uten løsning. x 3 5 x 2 x 3 x 4 = 0 8 0 + x 2 0 0 + x 0 4 2 x 5 9 0 0
2. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisene 0 2 5 A = og B = 2 6 x 0 Svar: A: λ = med egenvektorer = y y ( ) x x B:λ = 7 og = y, λ = 4 og = y y y I alle tre tilfeller er y en fri parameter, y 0. 5/6. (b) Finn den generelle løsningen på systemet av differensialligninger Svar: Fra forrige punkt får vi y = C y 2 y (t) = 2y (t) + 5y 2 (t) y 2(t) = 6y (t) + y 2 (t) e 7t + D Her er C og D vilkårlige konstanter. 5/6 e 4t (c) Finn den løsningen som har startverdier y (0) = 3, y 2 (0) = 8. Hva kan du si om løsningen når t? Svar: C = 2, D = 6. Løsningen blir derfor y = 2 e 7t + 6 y 2 ( 5/6 ) e 4t = 2e 7t 5e 4t 2e 7t + 6e 4t Når t vil e 4t 0. Dermed bil begge funksjonene nærme seg funksjonsuttrykket 2e 7t som går mot uendelig. 3. Se på funksjonen f = f(x, y): f(x, y) = x 2 8x+y 2 6y+0 med definisjonsmengde de (x, y) slik at x 2 +y 2 2500 (a) Finn de stasjonære punktene (kandidater til maksimum og minimum) til f i det indre av definisjonsmengden (der x 2 + y 2 < 2500). Avgjør hvilken type punkt det er (minimum, maksimum, sadelpunkt). 2
Svar: Siden f = [2x 8, 2y 6] finner vi stasjonære punkt der 2x 8 = 0 og 2y 6 = 0. Den eneste muligheten er (x, y) = (4, 3) (som ligger i definisjonsmengden). For å avgjøre hvilken type punkt det er regner vi ut Hesse-matrisen. Alle de dobbeltderiverte er konstante funksjoner, og Hesse-matrisen er ( 2 ) 0 0 2 Siden determinanten er 4 > 0 og 2 f = 2 > 0 er det snakk om et (lokalt) x 2 minimum. (b) Finn kandidatene til ekstremalpunkt på randen av definisjonsmengden (der x 2 + y 2 = 2500) ved å bruke Lagranges metode. Hva blir den største og den minste funksjonsverdien til f (i hele definisjonsmengden)? Svar: La g(x, y) = x 2 + y 2 2500. Fra oppsetter med Lagranges metode må vi løse systemet med tre ligninger i tre ukjente: 2x 8 = λ2x 2y 6 = λ2y x 2 + y 2 2500 = 0 Fra den første og den andre ser vi at x 0 og y 0. Dermed kan vi dele på x i den første og y i den andre og få en ligning: 2x 8 x = 2λ = 2y 6 y Om vi ganger opp med nevnerne får vi 2xy på begge sider. Det kan trekkes fra, og vi står igjen med 8y = 6x ellerx = 4 3 y Om vi setter denne x-en inn i tredje ligningen får vi x 2 + y 2 2500 = 6 9 y2 + 9 9 y2 2500 = 25 9 y2 2500 = 0 Dette igjen gir y 2 = 900 eller y = ±30 og dermed x = ±40 (samme fortegn som y). Ved innsetting i f ser vi at f( 40, 30) = 300 er den største verdien (større enn f(40, 30) = 200, som da må være den minste funksjonsverdien på randen). 3
4. For å løse startverdiproblemet y = e y2 x 2, y() = 2 over intervallet [, 2] ved Eulers metode, kan vi bruke denne koden: - deltax = 0.0; 2- N = 00; 3- x() = ; 4- y() = -2; 5- for i = 2:N+ 6- x(i) = x(i-) + deltax; 7- y(i) = y(i-) + deltax*( -exp(-y(i-)^2 * x(i-)^2 )); 8- end 9- plot(x,y) (a) Forklar matematikken bak oppdateringen inne i løkken. Tegn en figur som støtte til forklaringen. Svar: Svaret bør forklare at vi bruker tilnærminger ved hjelp av tangenten / lineære tilnærminger, at dette regnes ut fra forrige kontrollpunkt ved hjelp av differensialligningen, og det bør forklares hva deltax betyr. (b) Skriv et program som løser startverdiproblemet y = cos(x) sin(y), y(π) = 0 ved Eulers metode, over intervallet [π, 3π]. Bruk her deltax = 0.0*pi. Svar: - deltax = 0.0*pi; 2- N = 200; 3- x() = pi; 4- y() = 0; 5- for i = 2:N+ 6- x(i) = x(i-) + deltax; 7- y(i) = y(i-) + deltax*( cos(x(i-)) - sin(y(i-)) ); 8- end 9- plot(x,y) 5. La f(x) = sin(x 2 ). 4
(a) Forklar, for eksempel ved å skrive kode, hvordan du vil finne ved å bruke trapesmetoden. Svar: Kode-alternativet: /2 /2 sin(x 2 ) dx - n = 00; % valgt 2- a = -/2; 3- b = /2; 4- Deltax = (b-a)/n; 5- integralet = sin(a^2); 6- for x = a + Deltax:Deltax:b - Deltax 7- integralet = integralet + 2*sin(x^2); 8- end 9- integralet = integralet + sin(b^2); 0- integralet = Deltax*integralet/2 (b) Den dobbeltderiverte til f, f, er positiv på hele intervallet [ 2, 2 ] (det trenger du ikke regne ut). Hva forteller dette om feilen trapesmetoden gir sammenlignet med det korrekte svaret? Svar: Om f > 0 krummer grafen til funksjonen oppover (som et smilefjes). Dermed vil alle rette linjer mellom to kontrollpunkter ligge over grafen, og verdien vi får fra trapesmetoden vil være større enn den korrekte verdien (uansett valg av antall delintervaller n). 6. Vi skal i denne oppgaven se på funksjonen f(x) = x 2 + e x. (a) Forklar hvorfor funksjonen ikke har noen nullpunkt. Svar: Siden e x > 0 og x 2 0 vil alltid f(x) = x 2 + e x > 0. (b) Forklar hvorfor funksjonen må ha et minimumspunkt mellom x = og x =. Svar: Ved derivasjon finner vi f (x) = 2x+e x. I endepunktene ser vi at f ( ) = 2+e < 0 og f() = 2+e > 0. Siden f i tillegg er kontinuerlig vet vi ved 5
skjæringssetningen at vi må ha et nullpunkt for den deriverte i intervallet. Siden vi videre vet at f går fra negativ (f synker) til positiv (f stiger) må det være et minimumspunkt for nullpunktet til den deriverte. (I prinsippet kunne det vært flere nullpunkt for den deriverte, da vil vi bare vite at dette stemmer for minst ett av dem. For denne funksjonen har den deriverte faktisk bare ett nullpunkt, som vi kan se siden f (x) = 2 + e x > 0.) (c) Forklar hvordan du vil finne dette punktet ved å bruke Newtons metode. Du kan for eksempel skrive MATLAB-kode for å svare på denne oppgaven. Svar: Siden vi skal finne nullpunkt for f (x) må vi regne ut f (x) = 2 + e x. MATLAB-kode. x = 0; % valgt while abs(2*x - exp(x)) > 0^-5 x = x - (2*x - exp(x))/(2 - exp(x)) end Jon Eivind Vatne 6