MATEMATIKK Yrkesfag TALL I ARBEID P Odd Heir / John Engeseth / Håvard Moe Bokmål
Del 2 av 4 Dette er en elektronisk versjon av læreboka til bruk på skoler som har undertegnet en avtale med Aschehoug forlag for skoleåret 2011/2012. Filene må behandles i henhold til åndsverksloven, og må ikke kopieres og/eller distribueres til personer som ikke er omfattet av avtalen. Alle filer skal være slettet innen 1. juli 2012 dersom ikke annen avtale er gjort med Aschehoug.
2 Økonomi AKTIVITET: Hva stiger mest i pris? Vi tenker oss at en bestemt mopedtype kostet 16 000 kr i 2003 og 20 000 kr i 2008. I den samme tidsperioden steg prisen på en bestemt sykkeltype fra 4000 kr til 6000 kr. Var det prisen på sykkelen eller prisen på mopeden som økte mest? Tenk over dette og diskuter gjerne med andre før du leser videre.
Økonomi 2.1 53 I økonomi er det viktig å kunne regne med forhold og prosent. Vi starter derfor kapitlet med disse emnene. I 2.1 skal du lære å regne med forhold. 2.1 FORHOLD I en matematikkgruppe er det 8 jenter og 12 gutter. Hva er forholdet mellom antall jenter og antall elever i gruppa? Hva er forholdet mellom antall gutter og antall jenter? Før vi svarer på disse spørsmålene, definerer vi begrepet «forhold»: Å finne forholdet mellom to tall a og b er det samme som å dividere a med b. a Forholdet mellom a og b er, eller a : b. b NB! 8 Forholdet mellom 8 og 10 er altså = 08,. 10 10 Forholdet mellom 10 og 8 er = 125,. 8 Legg merke til at forholdet mellom 8 og 10 ikke er det samme som forholdet mellom 10 og 8. Når du regner oppgaver med forhold, er det derfor viktig at du leser teksten nøye. Det gjelder generelt når du løser oppgaver. Les alltid teksten nøye før du oversetter en vanlig tekst til matematisk tekst. Eksempel 1 Forhold i oppskrifter I en kakeoppskrift er det oppgitt at det skal brukes 150 g sukker og 400 g mel. Forholdet mellom sukker og mel er da 150 3 50 400 = 3 = = 8 50 8 0, 375 Forholdet mellom sukker og mel er 0,375. Vi kan også si at forholdet mellom sukker og mel er 3 til 8. 8 Legg merke til at forholdet mellom mel og sukker er. 3
54 Økonomi 2.1 Eksempel 2 Forhold i gruppe I matematikkgruppa på forrige side med 8 jenter og 12 gutter er forholdet mellom antall jenter og antall elever 2 8 8 2 = = = 8+ 12 20 5 04, 5 Forholdet mellom antall jenter og antall elever er 0,4. Vi sier også at forholdet mellom antall jenter og antall elever er 2 til 5. Forhold blir også kalt forholdstall. Vi kan altså si at forholdstallet mellom antall jenter og antall elever er 0,4. 3 12 3 Forholdet mellom antall gutter og antall jenter er = =. 8 2 15, 2 Oppgave 2.1 I en dansegruppe er det 12 gutter og 16 jenter. Hva er forholdet mellom a antall gutter og antall jenter b antall jenter og antall gutter c antall jenter og antall dansere Eksempel 3 Forhold i drikke Når vi blander 1 del saft med 5 deler vann, er det vanlig å si at vi blander saft og vann i forholdet én til fem, og det kan vi skrive 1 : 5. Vi tar utgangspunkt i at blandingen består av (1 + 5) deler = 6 deler (se figuren). 1 5 Da er av blandingen rein saft, og av blandingen er reint vann. 6 6 Eksempel 4 Forhold i økonomi Hanna har leid ei hytte i 5 uker for 27 500 kr. Det viser seg at hun ikke rekker å bruke hytta i mer enn 3 uker. Hun vil derfor la Alma bruke hytta de to siste ukene. De blir enige om å dele leien i forhold til den tiden de bruker hytta. Hvor mye skal hver av dem betale? Vi kan «gå veien om 1» (se kapittel 1, side 39). Først finner vi leien for én uke. 27 500 Leie for én uke: kr = 5500 kr 5 For tre uker skal altså Hanna betale 3 5500 kr = 16 500 kr. For to uker skal Alma betale 2 5500 kr = 11 000 kr.
Økonomi 2.1 55 Alternativ løsningsmåte Siden Hanna skal bruke hytta i tre av de fem ukene, skal hun betale 2 betale. 5 3 Hanna skal altså betale 27 500 kr = 16 500 kr. 5 2 Alma skal betale 27 500 kr = 11 000 kr. Eller: Alma skal betale resten, som er 5 27 500 kr 16 500 kr = 11 000 kr. 3 5 av leien. Alma skal Oppgave 2.2 En dag plukket Pjotr og Kari til sammen 50 kasser med jordbær. For det fikk de 2200 kr. a b Hvor mye fikk de for hver kasse? Hvor mye fikk hver av dem utbetalt når Pjotr hadde plukket 30 av kassene? Lokus REGNEARK Oppgave 2.3 Til en indonesisk pastarett for 4 personer går det med 250 g kinakål og 300 g kinesisk spagetti. a Hva er forholdet mellom mengden av kinakål og mengden av spagetti? b Retten skal tilberedes for 6 personer. Hvor mye kinakål og spagetti trengs det da? (Tips: «Gå veien om 1», som i eksempel 4.) På nettstedet på Lokus finner du et regneark du kan bruke for å lære mer om forholdet mellom to tall.
56 Økonomi 2.1 Like store forhold Det at to forhold skal være like, bruker vi ofte når vi skal sette opp en likning. Eksempel 5 Forhold mellom farger Connie og Halvor skal beise den nye hytta si. De har funnet en perfekt farge ved å blande en hvit beis og en seterbrun beis i forholdet 2 : 7. Hvor mange liter hvit beis må de blande med 10 liter seterbrun beis for å få det riktige forholdet? De trenger x liter hvit beis. Når x liter hvit beis blandes med 10 liter seterbrun beis, blir forholdet mellom hvit og seterbrun beis lik x : 10. Dette forholdet skal være 2 : 7. Altså får vi x : 10 = 2 : 7 Vi bytter ut divisjonstegnene med brøkstreker og løser likningen. x 2 = 10 7 Vi multipliserer på begge sider med 10. x 10 2 10 = 10 7 Vi forkorter med 10 på venstre side. 2 = 10 x 7 20 x = = 2,86 7 Connie og Halvor må altså tilsette i underkant av 3 liter hvit beis. Kommentar x 2 En likning av typen =, som sier at to forhold skal være like 10 7 store, kaller vi en proporsjon. I stedet for først å multiplisere med 10 på begge sider, for så å forkorte med 10 på venstre side, kunne vi ha flyttet 10 som faktor opp i telleren på høyre side med én gang. x 2 = 10 7 2 10 x = 7 NB! Denne framgangsmåten kan vi bruke for alle proporsjoner. (Slike likninger kan også løses ved kryssmultiplikasjon, se side 31 32.)
Økonomi 2.1 2.2 57 Lokus NETTINNHOLD Stifinner: side 181 Oppgave 2.4 Løs likningene. x 2 a = 6 3 b 2 = x 5 3 Oppgave 2.5 En sommer drev Ida og Mads utleie av seilbrett, kajakker og småbåter. De hadde investert henholdsvis 12 000 kr og 26 000 kr for å skaffe utstyret. Forholdet mellom fortjenestene skulle være det samme som forholdet mellom investeringene. Etter at utleiesesongen var over, hadde Ida en fortjeneste på 18 000 kr. Hvor stor var fortjenesten til Mads? (Tips: Sett fortjenesten til Mads lik x kr.) I 2.2 skal du lære å regne med prosent, prosentpoeng og vekstfaktor. 2.2 PROSENTREGNING Hvor mange prosent er 0,23? Hvis du klarer å svare på dette spørsmålet, vet du kanskje hva prosent er. Prosent Prosent betyr per hundre, men det er ofte enklest å «oversette» prosent med hundredeler. 20 hundredeler er lik 20 %. 3,5 hundredeler er lik 3,5 %. Vi må ofte gjøre om desimaltall til prosent. 23 0,23 betyr. Det vil si at 0,23 = 23 %. 100 2 20 0,2 betyr, som kan skrives. Det vil si at 0,2 = 20 %. 10 100 245 24, 5 0,245 = = = 24,5 %. 1000 100 Vi skriver noen desimaltall som prosent: 0,80 = 80 % 0,08 = 8 % 0,083 = 8,3 % På tilsvarende måte får vi at 70 % = 0,70 5,4 % = 0,054 0,4 % = 0,004
58 Økonomi 2.2 Vi finner p % av et tall Eksempel 1 Prosent og prisendring Mari fikk beskjed om å øke prisen på en buksetype med 20 % fra 800 kr. Hun regnet ut 20 % av 800. 800 20 100 = 160 Etter dette ble prisen (800 + 160) kr = 960 kr. Siden 20 % = 0,20, kunne Mari også ha regnet slik: 800 0, 20 = 160 Du kan bruke begge regnemåtene. Men det er den siste regnemåten som stort sett blir brukt i denne boka. Oppgave 2.6 Skriv som desimaltall. a 14,5 % b 1,45 % c 0,145 % Oppgave 2.7 Du får oppgitt at det koster 2,2 % av verdien å forsikre fotoutstyret ditt. Hvor mye må du betale for forsikringen hvis verdien av utstyret er 16 000 kr? Oppgave 2.8 En skipakke til 5500 kr ble satt ned med 35 %. Hva var tilbudsprisen? Vi finner prosenttallet I eksempel 4, side 54, er hytteleien 27 500 kr. Av det skal Alma betale 11 000 kr. Hvor mange prosent av leien må hun betale? For å finne hvor mange prosent 11 000 kr er av 27 500 kr, regner vi slik: 11000 040 40 27 500 =, = % Alma betalte altså 40 % av leien. Lokus REGNEARK På nettstedet på Lokus finner du regnearket Prosentkalkulator, som du kan bruke for å finne p % av et tall eller for å finne prosenttallet.
Økonomi 2.2 59 Vi finner endring i prosent Når vi skal regne ut endring i prosent, dividerer vi endringen med det opprinnelige tallet. Eksempel 2 Prosent og lønnsøkning Arbeidsgiveren til Agnete var så fornøyd med den jobben hun utførte, at hun satte opp timelønna fra 115 kr til 125 kr. Hvor mange prosent økte timelønna? Den opprinnelige lønna var 115 kr. Lønnsøkningen var 10 kr. Vi må derfor regne ut hvor mange prosent 10 kr er av 115 kr. 10 115 = 0, 087 = 8, 7 % Timelønna gikk opp 8,7 %. (Det kan lønne seg å gjøre en god jobb!) Oppgave 2.9 a I 2007 omkom 233 personer i veitrafikkulykker i Norge. 45 av dem var i alderen 15 24 år. Hvor mange prosent var i alderen 15 24 år? b Av de 233 personene var 33 førere eller passasjerer på motorsykler. Hvor mange prosent var det? c Av alle de 233 omkomne i trafikkulykker omkom 25 på sykkel. Hvor mange prosent var det? Oppgave 2.10 I en annonse fant vi følgende sommertilbud på et digitalt speilreflekskamera: Spar 3000 kr. Sommertilbud 6999 kr. Hvor stort var nedslaget i prosent? (Tips: Finn først hva kameraet kostet før tilbudet.)
60 Økonomi 2.2 NB! Prosentpoeng Når en størrelse blir oppgitt som et prosenttall, f.eks. prosent arbeidsløse, prosent frammøtte eller oppslutning i prosent i meningsmålinger, blir endringen i prosenttallet ofte oppgitt som antall prosentenheter eller antall prosentpoeng. Ved en meningsmåling går parti A fram fra 4 % til 6 %. Parti B går fram fra 20 % til 22 %. For begge partier sier vi at oppslutningen har økt med 2 prosentpoeng. For parti A betyr det en økning på 50 %. For parti B betyr det en økning på 10 %. Legg merke til at økningen i prosentpoeng ikke er det samme som økningen i prosent. Eksempel 3 Prosentpoeng og prosentregning I en meningsmåling høsten 2008 gikk AP fram fra 29,8 % til 35,5 %. Vi sier at AP gikk fram 5,7 prosentpoeng. Men hvor mange prosent økte oppslutningen? 57, = 29 8 0,, 191 Oppslutningen økte med 19,1 %.
Økonomi 2.2 61 Oppgave 2.11 I den samme meningsmålingen som i eksempel 3 gikk FrP ned fra 30,7 % til 24,9 %. Hvor stor var nedgangen a i prosentpoeng b i prosent Vekstfaktor Vi skal nå se hvordan du på en rask måte kan legge til eller trekke fra en bestemt prosent av et tall. Denne måten vil du også få bruk for når du seinere skal regne ut flere prosentvise endringer etter hverandre. NB! Vi legger p % til et tall Verdien av en akvarell som kostet 5000 kr, steg med 15 %. Vi finner den nye verdien slik: Gammel verdi + økning = ny verdi 5000 + 5000 0, 15 = 5000 ( 1 + 0, 15) = 5000 1, 15 Å legge til 15 % er det samme som å multiplisere med 1,15. Faktoren 1,15 kaller vi vekstfaktor. Når vi skal legge til p %, blir vekstfaktoren 1 + p. 100 Et tillegg på 25 % gir vekstfaktoren 1 + 25 100 = 1 + 0, 25 = 1, 25 Et tillegg på 8,5 % gir vekstfaktoren 1 + 85, 1 0 085 1 085. 100 = +, =, Eksempel 4 Prisen blir satt opp En bukse ble satt opp med 20 % fra 800 kr. Et tillegg på 20 % gir vekstfaktoren 1 + 20 Vi multipliserer 800 kr med vekstfaktoren 1,20 og får 100 = 120,. 800 kr 1, 20 = 960 kr (Se eksempel 1.) Oppgave 2.12 Hva er vekstfaktoren når prisen på en vare går opp med a 0,5 % b 5% c 15 % d 15,5 % Oppgave 2.13 Prisen på et skjørt blir satt opp med 15 % fra 600 kr. a Hva er vekstfaktoren? b Hva blir den nye prisen på skjørtet?
62 Økonomi 2.2 Oppgave 2.14 En ansatt i en bedrift får vite at årslønna vil øke med 6,5 %. Hva vil den nye lønna bli når lønna nå er 315 000 kr? Vi trekker p % fra et tall Et surfebrett som kostet 8000 kr, ble satt ned med 15 %. Den nye prisen ble 8000 8000 0, 15 = 8000 ( 1 0, 15) = 8000 0, 85 Å trekke fra 15 % er det samme som å multiplisere med 0,85. Vekstfaktoren er da 0,85. Alltid halv pris Eksempel 5 Når vi skal trekke fra p %, blir vekstfaktoren 1 p. 100 Et fradrag på 25 % gir vekstfaktoren 1 25. 100 = 1 0, 25 = 0, 75 Et fradrag på 8,5 % gir vekstfaktoren 1 85,. 100 = 1 0, 085 = 0, 915 Prisen blir satt ned Prisen på en bukse ble satt ned med 20 % fra 1000 kr. Vekstfaktoren var 1 20 100 = 1 0, 20 = 0, 80. Den nye prisen ble derfor 1000 kr 0, 80 = 800 kr. Oppgave 2.15 Hva er vekstfaktoren når prisen på en vare går ned med a 0,5 % b 5% c 15 % d 15,5 % Oppgave 2.16 Prisen på en flybillett er 3500 kr. I en kampanje blir prisen satt ned med 35 %. a Hva er vekstfaktoren? b Hva er kampanjeprisen? Oppsummering Når vi skal legge til eller trekke fra en bestemt prosent, får vi svaret ved å multiplisere med vekstfaktoren. Ny verdi = gammel verdi vekstfaktoren NB! Når noe øker med p %, er vekstfaktoren større enn 1. Når noe minker med p %, er vekstfaktoren mindre enn 1.
Økonomi 2.2 63 Vi bruker vekstfaktoren til å finne gammel verdi Raja fikk 5 % lønnsøkning for en timebetalt jobb. Den nye timelønna ble 120 kr. Hva var den gamle lønna? Vi bruker vekstfaktor: En økning på 5 % gir vekstfaktoren 1 + 5 100 = 105,. Gammel lønn 1,05 = ny lønn Gammel lønn 1,05 = 120 Vi dividerer med 1,05 på begge sider. Gammel lønn 1,05 120 = 1,05 1,05 120 Gammel lønn = = 114,29 1,05 Vi forkorter med 1,05 på venstre side. Gammel lønn var 114 kr. Denne metoden kan du alltid bruke når du kjenner vekstfaktoren og den nye verdien. Gammel verdi ny verdi = vekstfaktoren Eksempel 6 Opprinnelig pris I eksempel 5 på forrige side ble prisen på buksa satt ned med 20 % til 800 kr. Vi vil bruke vekstfaktor til å finne den opprinnelige prisen. Vekstfaktoren var her 1 20 100 = 080,. ny pris 800 Gammel pris = = = vekstfaktoren 080, 1000 Den opprinnelige prisen var 1000 kr. Oppgave 2.17 Et digitalt kamera ble satt ned med 25 % til 3000 kr. a Hva var vekstfaktoren? b Hva var den opprinnelige prisen? Oppgave 2.18 I september 2008 var totalproduksjonen av elektrisk energi i Norge 10 200 GWh, en nedgang på 12 % i forhold til september året før. Hvor stor var energiproduksjonen i september 2007?
64 Økonomi 2.2 Vi bruker vekstfaktoren til å bestemme prosenttallet p Av vekstfaktoren framgår det hvor mange prosent vi legger til eller trekker fra. Vekstfaktoren 1,15 forteller at vi legger til 15 %. Vekstfaktoren 0,85 forteller at vi trekker fra 15 %. Dette kan vi bruke til å finne prosenttallet når vi kjenner ny og gammel verdi. Vi vet at Gammel verdi vekstfaktoren = ny verdi Vi dividerer med gammel verdi på begge sider. Da får vi Vekstfaktoren ny verdi = gammel verdi Eksempel 7 Endring i prosent Et tre vokste fra 2,1 m til 2,4 m i løpet av sommeren. Hvor mange prosent var veksten? ny verdi 24, Vekstfaktoren = = = gammel verdi 21 1,, 143 Vekstfaktoren var 1,143. Det svarer til en økning på 14,3 % 14 %. Treet hadde vokst ca. 14 % i høyden. Eksempel 8 Endring av månedslønn i prosent I mai tjente Marie 1600 kr på jobben hun hadde ved siden av skolen. I juni jobbet hun mer, og tjente 6400 kr. Hvor mange prosent mer tjente Marie i juni enn i mai? ny lønn Vekstfaktoren = gammel lønn = 6400 1600 = 4 Her er det kanskje ikke så lett å se økningen i prosent. Vekstfaktoren er uvanlig stor, men vi kan løse problemet slik: Vekstfaktoren = 4 p 1 + = 4 100 100 + p = 400 p = 300 Vi multipliserer med 100. Lønnsøkningen var 300 %. Vekstfaktoren 4 svarer altså til en økning på 300 %.
Økonomi 2.2 65 Eksempel 9 Endring av bilverdi i prosent Verdien av en bil sank fra 350 000 kr til 297 500 kr i løpet av ett år. Hvor mange prosent sank verdien? ny verdi Vekstfaktoren = gammel verdi 297 500 Vekstfaktoren = 350 000 p 1 = 085, 100 100 p = 85 p = 15 p = 15 Vi multipliserer med 100. Bilens verdi sank med 15 %. Lokus NETTINNHOLD Stifinner: side 182 Oppgave 2.19 På grunn av uventede veikostnader gikk prisen på en hyttetomt opp fra 250 000 kr til 280 000 kr. Hva var prisøkningen i prosent? Oppgave 2.20 I løpet av ett år sank verdien av en bil fra 385 000 kr til 335 000 kr. Hvor mange prosent sank verdien? Oversikt Når vi legger til p %: Vekstfaktoren = 1 + p 100 Når vi trekker fra p %: Vekstfaktoren = 1 p 100 Ny verdi = gammel verdi vekstfaktoren Gammel verdi = Vekstfaktoren = ny verdi vekstfaktoren ny verdi gammel verdi
66 Økonomi 2.3 2.3 PRISINDEKS I 2.3 skal du lære å regne med prisindeks. For å gjøre det lettere å sammenlikne prisutviklingen for ulike typer varer, regner vi ut prisindekser for disse varene. Når vi skal regne ut prisindeksen for en bestemt vare, sammenlikner vi prisen på denne varen med det den kostet i det såkalte basisåret. I basisåret er prisindeksen 100 for alle varer. Prisindeksen for en vare viser hva vi må gi for en varemengde som kostet 100 kr i basisåret. I stedet for prisindeks sier vi ofte bare indeks. I Norge er det nå vanlig å bruke 1998 som basisår. Vi tenker oss at en bestemt vare kostet 96 kr i 1995, 100 kr i 1998 og 120 kr i 2005. Indeksen for denne varen vil da være 96 i 1995, 100 i 1998 og 120 i 2005. Oppgave 2.21 Varen ovenfor kostet 128 kr i 2008. Hva var indeksen for varen i 2008? Eksempel 1 Priser og indekser Tabellen viser prisene og indeksene for to varer A og B i basisåret 1998 og i 2008. År Pris vare A Pris vare B Indeks vare A Indeks vare B 1998 10,00 kr 750 kr 100 100 2008 12,00 kr 885 kr 120 118 Indeksen for vare A steg fra 100 til 120. Indeksen for vare B steg fra 100 til 118. Indeksene viser derfor at A har hatt størst prisstigning fra 1998 til 2008. Indeksen for en vare øker eller minker i takt med prisen på varen. Hvis prisen øker fra 300 kr til 600 kr, øker altså indeksen til det dobbelte. Hvis prisen avtar fra 300 kr til 150 kr, blir også indeksen halvert. Forholdet mellom indeksene er lik forholdet mellom prisene.
Økonomi 2.3 67 Eksempel 2 Forholdet mellom priser og forholdet mellom indekser Vi tar igjen for oss varene A og B i eksempel 1. Pris i 2008 12, 00 kr Forholdet mellom prisene for vare A: = = 120, Pris i 1998 10, 00 kr Indeks i 2008 Forholdet mellom indeksene for vare A: Indeks i 1998 = 120 100 = 120, Vi ser at forholdet mellom indeksene er lik forholdet mellom prisene. Oppgave 2.22 Ta for deg vare B i eksempel 1. a Regn ut forholdet mellom prisene i 2008 og 1998. b Regn ut forholdet mellom indeksene i 2008 og 1998. c Sammenlikn svaret i oppgave a med svaret i oppgave b. Forholdet mellom indeksen et år og indeksen et annet år er altså lik forholdet mellom prisene de samme to årene. Dette gir oss «indeksformelen»: indeks 1 pris 1 = indeks 2 pris 2 Når vi snakker om prisen på en vare et bestemt år, er det gjennomsnittsprisen for hele året vi mener. Formelen ovenfor kan vi bruke til å finne indeksen når prisen er gitt, og til å finne prisen når indeksen er gitt. Det er ikke nødvendig at det ene året er basisåret. En indeks er egentlig et ubenevnt tall, men ofte bruker vi poeng som en slags benevning. Hvis indeksen for en vare går opp fra 105 til 115, sier vi at indeksen har gått opp med 10 poeng.
68 Økonomi 2.3 Hvordan tror du indeksen for bærbare PC-er har utviklet seg de siste årene? Eksempel 3 Indeksen for en vare Prisen på en vare var 350 kr i 1998. I 2004 kostet den samme varen 390 kr. Hva var indeksen for denne varen i 2004 med 1998 som basisår? Vi lar x være indeksen i 2004. For å få oversikt lønner det seg å sette opp en tabell. Indeks Pris 1998 100 350 2004 x 390 Det er en fordel å sette opp indeksformelen slik at den ukjente kommer i telleren. Derfor velger vi 2004 som år 1 og 1998 som år 2. Vi får da indeks i 2004 indeks i 1998 = x 390 = 100 350 pris i 2004 pris i 1998 x 100 390 100 = 100 350 390 100 x = = 111, 4 350 Husk at indeksen er 100 i basisåret! I 2004 var indeksen for denne varen 111,4 poeng. Vi multipliserer med 100 på begge sider.
Økonomi 2.3 69 Eksempel 4 Indeksen for kaffebrød Prisen på et kaffebrød var 7,95 kr i 2005. Indeksen var da 110,7 poeng. I 2007 kostet et kaffebrød av samme type 8,75 kr. Vi vil bestemme indeksen i 2007. Vi setter opp en tabell. Indeks Pris 2005 110,7 7,95 2007 x 8,75 indeks i 2007 indeks i 2005 = pris i 2007 pris i 2005 x 8, 75 = 110,7 7,95 Vi multipliserer med 110,7 på begge sider. x 110,7 8,75 110,7 = 110,7 7,95 8,75 110,7 x = = 121,8 7,95 I 2007 var indeksen for kaffebrød 121,8 poeng. Eksempel 5 Indekser og prosent Vi vil bestemme hvor mange prosent indeksen i forrige eksempel steg med fra 2005 til 2007. Økning i indeks: (121,8 110,7) poeng = 11,1 poeng 11, 1 Økning i prosent: = 10,03 % 110 7 0, 1003 =, Indeksen økte med 10,0 %. Det forteller også at kaffebrødprisen steg med 10,0 % fra 2005 til 2007. NB! Når vi skal finne en endring i prosent, dividerer vi endringen med det tallet endringen skal sammenliknes med, som er tallet før endringen skjedde. Det er vanlig å oppgi indekstallene med én desimal.
70 Økonomi 2.3 Oppgave 2.23 En vare kostet 100 kr i basisåret 1998. I 2008 kostet varen 122 kr. Hva var indeksen for varen i 2008? Oppgave 2.24 Prisen på nøkkelost var 78,36 kr i 2001. I 2007 var prisen 92,12 kr. Indeksen i 2001 var 98,9 poeng. a Hva var indeksen i 2007? b Hvor mye steg indeksen i poeng og i prosent fra 2001 til 2007? Oppgave 2.25 Prisen på farin var 14,79 kr i basisåret 1998. I 2007 var prisen 13,97 kr. a Hva var indeksen i 2007? b Hvor mye sank indeksen i poeng og i prosent fra 1998 til 2007? Vi finner prisen ut fra prisindeksen Når vi skal bruke prisindeksen til å finne prisen, kan det være lurt å bytte om sidene i formelen på side 67. Formelen blir da pris 1 indeks 1 = pris 2 indeks 2 Eksempel 6 Prisen når indeksen er kjent Prisen på et grovbrød var 14,43 kr i 2003. Indeksen for denne type grovbrød var 117,4 poeng i 2003 og 134,8 poeng i 2007. Hva var prisen i 2007? Vi lar x kr være prisen i 2007 og setter opp en tabell. Indeks Pris 2003 117,4 14,43 2007 134,8 x pris i 2007 indeks i 2007 = pris i 2003 indeks i 2003 x 1348, = 14, 43 117, 4 x 14, 43 134, 8 14, 43 = 14, 43 117, 4 134, 8 14, 43 x = = 1657, 117, 4
Økonomi 2.3 71 I 2007 var prisen på grovbrødet 16,57 kr. Vi kunne ha løst oppgaven slik: Vi finner vekstfaktoren for indeksen. ny verdi Vekstfaktoren = gammel verdi = 134, 8 117 4 = 1,, 148 Da var også vekstfaktoren for prisen 1,148. Ny pris = gammel pris vekstfaktoren = 14,43 1,148 = 16,57 Oppgave 2.26 Indeksen for 1 kg nøkkelost var 106,0 poeng i 2004 og 116,2 poeng i 2007. I 2004 kostet osten 84,07 kr. Hva kostet den i 2007? Oppgave 2.27 Indeksen for en type kjeks var 122,6 poeng i 2003 og 126,8 poeng i 2007. I 2003 var prisen på en pakke kjeks 7,86 kr. a Hva var prisen i 2007? b Hvor mye steg prisen fra 2003 til 2007? c Hvor mange prosent steg prisen fra 2003 til 2007? d Hvor mange poeng steg indeksen fra 2003 til 2007? e Hvor mange prosent steg indeksen fra 2003 til 2007? Sammenlikn svaret med oppgave c. Kommenter. Vi finner prisendring i prosent ut fra indekstall Prisen på en vare øker eller minker i takt med indeksen. Vet vi for eksempel at indeksen for en vare har gått opp med 5 %, må også prisen ha gått opp med 5 %. Vi kan derfor regne ut endringen av prisen i prosent ut fra indekstallene. Eksempel 7 Hvor mange prosent sank prisen? Prisindeksen for kakao gikk ned fra 101,7 poeng i 2001 til 61,5 poeng i 2003. Indeksen sank altså med ( 101, 7 61, 5) poeng = 40, 2 poeng. Denne nedgangen skal sammenliknes med indekstallet for 2001. 40, 2 Nedgang i prosent for indeksen: = 0, 3953 = 39, 5 %. 101, 7 Da sank også prisen med 39,5 %.
72 Økonomi 2.3 2.4 Lokus NETTINNHOLD Stifinner: side 185 Oppgave 2.28 Indeksen for en vare steg med 15 poeng fra 115 poeng. Hvor mange prosent steg prisen? Oppgave 2.29 a Hvor mange prosent stiger prisen når indeksen stiger fra 110 poeng til 120 poeng? b Hvor mange prosent synker prisen når indeksen synker fra 120 poeng til 110 poeng? I 2.4 skal du lære å regne med konsumprisindeks, kroneverdi, reallønn og nominell lønn. 2.4 KONSUMPRISINDEKS. REALLØNN Til nå har vi holdt oss til priser for de enkelte varer. Men det folk flest er mest interessert i, er prisutviklingen for varer og tjenester generelt. Statistisk sentralbyrå (SSB) setter opp indekser for dette også. I tillegg til at Statistisk sentralbyrå finner gjennomsnittsprisen for den enkelte vare for hver måned, foretar byrået undersøkelser som viser hvordan forbruket fordeler seg på ulike varer og tjenester. Ut fra dette lager de en indeks som viser hvor dyrt det er å leve i forhold til basisåret. Denne indeksen heter konsumprisindeksen, kpi. Kpi er et mål for det generelle prisnivået i Norge. Konsumprisindekser (kpi) År Kpi 1996 95,3 1997 97,8 1998 100,0 1999 102,3 2000 105,5 2001 108,7 2002 110,1 2003 112,8 2004 113,3 2005 115,1 2006 117,7 2007 118,6 2008 123,1 For tiden er 1998 basisår for konsumprisindeksen. I 1998 var altså kpi lik 100. På SSBs nettsider, ssb.no, kan du finne konsumprisindekser og annet interessant stoff. I margen har vi gjengitt indekser for årene 1996 2008. Ellers kan du finne mye om indekser i Statistisk årbok på ssb.no/aarbok. I oppgavene i resten av dette kapitlet bruker du konsumprisindeksene i tabellen. Vi kan tenke oss en handlevogn med alle slags varer og tjenester en gjennomsnittshusholdning bruker: litt brød, litt klær, litt av en mobiltelefon, litt av en flybillett, osv. I basisåret kostet denne vogna 100 kr. Hvis vogna koster 120 kr i dag, er konsumprisindeksen 120 poeng. Levekostnadene har da økt med 20 % i forhold til basisåret.
Økonomi 2.4 73 Oppgave 2.30 a Hvor mange poeng og hvor mange prosent steg konsumprisindeksen fra 1998 til 2008? b Hvor mange prosent steg levekostnadene fra 1998 til 2008? Oppgave 2.31 a Hvor mange poeng og hvor mange prosent steg konsumprisindeksen fra 2000 til 2008? b Hvor mange prosent steg levekostnadene fra 2000 til 2008? Oppgave 2.32 Idrettslaget Sprint har en avtale med kommunen om at den leien som laget betaler for idrettsanlegget, skal følge konsumprisindeksen. a Hvor mange prosent steg konsumprisindeksen fra 2000 til 2004? b I 2000 var leien 35 000 kr. Hvor stor var leien i 2004? Kroneverdi Når prisene stiger, får vi mindre for hver krone når vi handler. Vi sier at kroneverdien synker. Kroneverdien henger nøye sammen med konsumprisindeksen. For å få et tall for kroneverdien sammenlikner vi med kronas verdi i basisåret. Vi setter kroneverdien i basisåret lik 1.
74 Økonomi 2.4 Ta for deg den tenkte handlevogna. I basisåret 1998 kostet denne vogna 100 kr. I 2004 var konsumprisindeksen 113,3 poeng. Da hadde den tenkte handlevogna kostet 113,30 kr. Varene som kostet 100 kr i 1998, kostet altså 113,30 kr i 2004. Det betyr at 113, 30 kr = 100 kr 2004 1998 Vi deler med 113,30 på begge sider: 113, 30 kr 100 kr = 113,30 113,30 2004 1998 100 1 kr = kr = 0, 8826 kr 113, 30 2004 1998 1998 Det vil si at én «2004-krone» er lik 0,8826 «1998-kroner» (basiskroner). Vi sier at kroneverdien i 2004 er lik 0,8826. Kroneverdien har blitt mindre. Vi får altså kroneverdien et bestemt år ved å dividere 100 med konsumprisindeksen for det samme året: 100 Kroneverdien = konsumprisindeksen = 100 kpi Eksempel 1 Vi finner kroneverdien I 2006 var konsumprisindeksen 117,7 poeng. Vi finner kroneverdien dette året. Kroneverdien 100 = =0, 8496 117,7 I 2006 var kroneverdien 0,8496 kr. Det vil si at 1 kr = 0, 8496 kr. I 2006 tjente Ibrahim 65 000 kr. Vi vil finne hvor mye dette svarte til i 1998. 65 000 kr = 65 000 0, 8496 kr = 55 224 kr 2006 1998 1998 En lønn på 65 000 kr i 2006 svarte til 55 224 kr i 1998. 2006 1998 Oppgave 2.33 a Finn kroneverdien i 2007 og 1996. b Hvorfor er kroneverdien i årene før 1998 større enn 1 og i årene etter 1998 mindre enn 1? Oppgave 2.34 En bil kostet 385 000 kr i 2007. Hva svarte denne prisen til i 1998-kroner?
Økonomi 2.4 75 Reallønn Fra 1998 til 2002 gikk Nannas årslønn opp fra 250 000 kr til 270 000 kr. Økningen i lønna var altså 20 000 kr. 20 000 Økningen i prosent var = 250 000 008, = 8 %. Nanna var fornøyd med lønnsøkningen. Men hadde hun grunn til det? Konsumprisindeksen i 2002 var 110,1 poeng. Det vil si at prisstigningen på varer og tjenester fra 1998 til 2002 var 10,1 %. I prosent steg altså Nannas lønn mindre enn prisene. Det betyr at Nanna fikk mindre igjen for en årslønn i 2002 enn det hun fikk i 1998. Nanna hadde mindre å rutte med i 2002 enn i 1998. Vi sier da at Nanna hadde gått ned i reallønn. Når lønna i prosent stiger mindre enn konsumprisindeksen, sier vi at reallønna går ned. Når lønna i prosent stiger mer enn konsumprisindeksen, sier vi at reallønna går opp. Men vi spør ikke bare om reallønna går opp eller ned. Vi kan også regne ut hvor stor reallønna er på et bestemt tidspunkt. Vi må da regne ut hva lønna svarer til i basisåret. Det vil si at vi må regne om lønna til basiskroner. Vi finner altså reallønna ved å multiplisere lønna med kroneverdien. Siden kroneverdi = 100, får vi kpi Reallønn Reallønn = lønn kroneverdi = lønn 100 kpi I basisåret er kpi = 100. Da er reallønn alltid det samme som lønn. Nannas reallønn i 1998 var derfor 250 000 kr. I 2002 var lønna 270 000 kr og kpi 110,1. Reallønna var derfor 270 000 100 kr 245 232 kr 110,1 = Reallønna i 2002 var 245 232 basiskroner. Reallønna hadde altså gått ned, fra 250 000 kr til 245 232 kr.
76 Økonomi 2.4 Nominell lønn = lønn Det vi kaller lønn, blir ofte kalt nominell lønn. Det er for å understreke forskjellen på lønn og reallønn. Når vi sammenlikner lønn uten å bry oss om prisendringer, er det nominell lønn vi har i tankene. Når vi sammenlikner lønn med tanke på hvor mye varer og tjenester vi kan få kjøpt, er det reallønn vi har i tankene. Ved lønnsforhandlinger er det nominell lønn partene forhandler om, men det er reallønna de har i tankene. Eksempel 2 Lønn og kjøpekraft Sjur tjente 290 000 kr i 2002 og 300 000 kr i 2004. Han vil undersøke om den nominelle lønna holdt tritt med prisstigningen. Han valgte da å sammenlikne reallønnene i de to årene. Konsumprisindeksen var 110,1 poeng i 2002 og 113,3 poeng i 2004. Reallønn i 2002: Reallønn i 2004: 290 000 100 kr = 263 397 kr 263 400 kr 110, 1 300 000 100 kr = 264 784 kr 264 800 kr 113, 3 Reallønna i 2004 var større enn reallønna i 2002. Lønnsøkningen var altså større enn prisstigningen. Sjur hadde derfor fått økt kjøpekraften sin. Det vil si at han fikk kjøpt mer for lønna i 2004 enn i 2002. Endring av reallønn i prosent Vi skal nå vise hvordan vi finner endringen av reallønna i prosent. Eksempel 3 Vi finner reallønnsendringen i prosent Elin tjente 250 000 kr i 1998 og 295 000 kr i 2007. Hun vil finne hvor mange prosent reallønna endret seg fra 1998 til 2007. Konsumprisindeksen i 2007 var 118,6 poeng. I 1998 var reallønna den samme som den nominelle lønna. Hvorfor? Reallønna i 2007: 295 000 100 kr = 248 735 kr 118, 6 Reallønna i 1998: 250 000 kr Nedgang i reallønn: ( 250 000 248 735 ) kr = 1265 kr Nedgangen i prosent av reallønna i 1998: 1265 = 0, 0051 = 0, 51 % 250 000 Reallønna gikk ned med ca. 0,5 % fra 1998 til 2007.