Bergen tekniske fagskole Finn Haugen (finn@techteach.no) 12.1.06 Fag: Elektroteknikk Løsningsforslag til øving 4 Oppgave 5.1.1 Figur1viserkretsen.Strømstyrkener,ihht.Ohmslov, ndre resistans R i 0,25ohm U 2V U i U k Belastningsresistans R b 0,75ohm Klemmespenning Figur 1: U R i R b Klemmespenningen er, ihht. Ohms lov, 2V 2A (1) 0, 25Ω 0, 75Ω U k R b 0, 75Ω 2A 1, 5V (2) Det indre spenningtapet er, ihht. Ohms lov, U i R i 0, 25Ω 2A 0, 5V (3) Oppgave 5.1.4 a. Belastningslinjen uttrykker sammenhengen mellom klemmespenningen U (som gjerne vises langs y-aksen) og belastningsstrømmen (som vises langs x-aksen). Denne sammenhengen er gitt ved U E R i (4) 1
der R i 0, 4Ω er den indre resistans, som er lik energikildens utgangsresistans, og E 2V kildespenningen. Figur 2 viser belastningslinjen. U E 2V Belastningslinjen U E - R i 0 0 k 5A b. Virkningsgraden er η R b R b R i Figur 2: 1, 6Ω 0, 8 80% (5) 1, 6Ω 0, 4Ω c. Arbeidspunktet på belastningslinjen har koordinatene (U, ). denne oppgaven blir 2V 1A (6) 1, 6Ω 0, 4Ω U R b 1, 6Ω 1A 1, 6V (7) Figur 3 viser arbeidspunktet. Oppgave 5.1.5 hht. læreboka (side 69) fås den maksimale effekten når belastningsresistansen er lik den indre resistansen, dvs. når R b R i 0, 2Ω (8) Vi kan beregne effekten, P max, for denne R b ut fra formelen (der U er spenningen over belastningen) P U R b R b 2 (9) Her trenger vi strømmen. Den finnes fra Ohms lov: E R b R i 1, 8V 4, 5A (10) 0, 2Ω 0, 2Ω 2
U E 2V 1,6V Arbeidspunktet (1,6V, 1A) U R b Belastningslinjen U E - R i 0 0 1A k 5A Figur 3: Dette innsatt i (9) gir P max R b 2 0, 2Ω 4, 5A 4, 5A 4, 05W (11) Virkningsgraden er da η 50% (12) Oppgave 5.1.8 Figur4viserkretsen. n er antall batterielementer. Kirchhoffs spenningslov R la 0,5ohm 1A R i n*0,35ohm U n*1,3v Last R b 4,7ohm R lb 0,5ohm (regnet i klokkeretningen): Figur 4: U R i R la R la R b 0 (13) 3
som med tallverdier innsatt, blir n 1, 3V n 0, 35Ω 1A 0, 5Ω 1A 0, 5Ω 1A 4, 7Ω 1A 0 (14) som løst mhp. n gir n 0, 5Ω 1A 0, 5Ω 1A 4, 7Ω 1A 1, 3V 0, 35Ω 1A 5, 7V 6 (15) 0, 95V Oppgave 5.2.4 Figur5viserkretsen. Knutepunkt 1 1 Sløyfe 1 2 55A R i 0,1ohm E 1 222V R i 0,1ohm E 2 223,5V Last R b U n Nettspenningen Figur 5: a. Viskalfinne 1 og 2. Prøver å sette opp to likninger som involverer 1 og 2, og deretter løses dette likningsssystemet mht. 1 og 2. Setter opp Kirchhoffs strømlov (knutepunktsloven) på knutepunkt 1 og Kirchhoffs spenningslov (sløyfeloven) på sløyfe 1: Kirchhoffs strømlov på knutepunkt 1: Kirchhoffs spenningslov på sløyfe 1: 1 2 0 (16) E 1 R 1 1 R 2 2 E 2 0 (17) disse to likningene er kun 1 og 2 ukjente. Løsning mhp. 1 og 2 gir (jeg viser ikke her de rent matematiske operasjonene): 1 E 1 E 2 R 2 R 1 R 2 222V 223, 5V 0, 1Ω 55A 0, 1Ω 0, 1Ω 20A (18) 4
2 2 55A 20A 35A (19) b. Nettspenningen kan beregnes fra Kirchhoffs spenningslov på sløyfen til høyre i figur 5: E 2 R 2 2 U n 0 (20) som gir U n E 2 R 2 2 223, 5V 0, 1Ω 35A 220V (21) c. Belastningsresistansen kan beregnes fra Ohms lov: R b U n 220V 55A 4Ω (22) Oppgave 5.3.1 Figur6viserkretsen. 1 Sløyfe 1 Sløyfe 2 2 R 1 4ohm E 1 12V R 20ohm R 2 6ohm E 2 8V Figur 6: a. Utregning vha. Kirchhoffs lover: Den ukjente strømmen er 1 2 (23) 1 og 2 kan beregnes vha. Kirchhoffs spenningslov anvendt på hver av sløyfene1og2: Sløyfe 1: E 1 R 1 1 R( 1 2 )0 (24) Sløyfe 2: E 2 R( 1 2 ) R 2 2 0 (25) Dette er to likninger for de to ukjente 1 og 2. Løsning mhp. 1 og 2 gir (jeg viser ikke her de rent matematiske operasjonene): 2 E 1 R 1 R E 2 R R R 1 R R 2R R 5 0, 2143A (26)
som gir 1 E 1 R 2 R 1 R 0, 6786A (27) 1 2 0, 6786A 0, 2143A 0, 464A (28) b. Utregning vha. Thevenins teorem: Figur 7 viser øverst kretsen for Krets for utledning av Thevenin-ekvivalentkrets : 1 Sløyfe 1 R 1 4ohm E 1 12V R 2 6ohm E 2 8V Thevenin-ekvivalentkrets: R T Tomgangsspenning R 20ohm Figur 7: utledning av Thevenin-ekvivalentkretsen, og nederst den resulterende Thevenin-ekvivalentkretsen, som den ukjente strømmen kan beregnes ut fra. Tomgangsspenningen kan beregnes som E 1 R 1 1 (29) der 1 er strømmen i sløyfe 1. Denne strømmen kan beregnes vha. Kirchhoffs spenningslov på sløyfe 1, se figur 7: E 1 R 1 1 R 2 1 E 2 0 (30) 6
som gir (29) gir da 1 E 1 E 2 12V 8V 0, 4A (31) R 1 R 2 4Ω 6Ω E 1 R 1 1 12V 4Ω 0, 4A 10, 4V (32) Vi trenger også Theveninresistansen R T. Denne finnes som motstanden sett fra klemmene (og med spenningskildene representert kun med sine interne resistanser) i øverste figur i 7. R T blir lik parallellkoplingen av R 1 og R 2 : R T R 1 R 2 R 1R 2 R 1 R 2 4Ω 6Ω 2, 4Ω (33) 4Ω 6Ω Den ukjente strømmen kan nå beregnes vha. Kirchhoffs spenningslov benyttet på sløyfen i nederste krets i figur 7: R T R 0 (34) som gir R T R 10, 4V 0, 464A (35) 2, 4Ω 20Ω c. Utregning vha. Nortons teorem: Figur 8 viser øverst kretsen for utledning av Norton-ekvivalentkretsen, og nederst den resulterende Norton-ekvivalentkretsen, som den ukjente strømmen kan beregnes ut fra. Kortslutningsstrømmen N kan beregnes som summen av de to strømmene 1 og 2 : N 1 2 (36) 1 og 2 kan beregnes vha. Ohms lov: (36) gir da 1 E 1 12V 3A (37) R 1 4Ω 2 E 2 R 2 8V 6Ω 4 3 A (38) N 1 2 3A 4 3 A 44 3 A (39) Vi trenger også Nortonresistansen R T. Denne finnes som motstanden sett fra klemmene (og med spenningskildene representert kun med sine interne resistanser) i øverste figur i 7. R T blir lik parallellkoplingen av R 1 og R 2 : R T R 1 R 2 R 1R 2 R 1 R 2 4Ω 6Ω 2, 4Ω (40) 4Ω 6Ω 7
Krets for utledning av Thevenin-ekvivalentkrets : 1 Sløyfe 1 R 1 4ohm E 1 12V R 2 6ohm E 2 8V Thevenin-ekvivalentkrets: R T Tomgangsspenning R 20ohm Figur 8: Den ukjente strømmen kan nå beregnes vha. strømdelingsloven (se innledningen til løsningen til øving 3): R T R T R N 2, 4Ω 2, 4Ω 20Ω 4 4 3A 0, 464A (41) Oppgave 5.3.2 Figur 9 viser øverst kretsen for utledning av Thevenin-ekvivalentkretsen, og nederst den resulterende Thevenin-ekvivalentkretsen, som den ukjente strømmen kan beregnes ut fra. Tomgangsspenningen er lik spenningen over R 2. Denne spenningen kan finnes fra prinsippet om spenningsdeling anvendt på sløyfe 1: R 2 5kΩ E 6V 5V (42) R 1 R 2 5kΩ 1kΩ Theveninresistansen R T er lik (erstatnings)resistansen mellom klemmene der belastningsresistansen, R, egentlig er tilkoplet, når spenningskilden er 8
Krets for utledning av Thevenin-ekvivalentkrets : Sløyfe 1 R 3 5kohm R 1 1kohm E 6V R 2 5kohm Thevenin-ekvivalentkrets : Tomgangsspenning R T R 20ohm U Figur 9: representert med sin intern resistanse, som er R 1. Fra øverste krets i figur 9 finner vi 5kΩ 1kΩ R T R 3 (R 1 R 2 )5kΩ(5kΩ 1kΩ) 5kΩ 5kΩ 1kΩ 55 6kΩ (43) Fra den resulterende Thevenin-ekvivalentkretsen vist i figur 9 finner vi vha. spenningsdeling at U R R T R 10kΩ 5 5 5V 3, 16V (44) 6kΩ 10kΩ 9