Fasit MAT02 juni 206. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 6 A = 2 7 Svar: λ = 8 og ( ) x = y y ( ) /2, λ = 5 og ( ) x = y y ( ) for alle y 0. (b) Finn den generelle løsningen på systemet av differensialligninger Svar: Fra forrige punkt får vi ( ) y = A y 2 y (t) = 6y (t) + y 2 (t) y 2(t) = 2y (t) + 7y 2 (t) ( ) /2 e 8t + B ( ) e 5t (c) Finn den løsningen som har startverdier y (0) = 2, y 2 (0) = 2. Hva kan du si om løsningen når t? Svar: A = 0, B = 2, så svaret blir ( y y 2 ) = ( ) 2 e 5t 2 Når t vil e 5t. Dermed går y mot minus uendelig og y 2 mot uendelig. 2. Vi skal i denne oppgaven se på ligningen cos x = x. (a) Forklar hvorfor ligningen har en løsning for x i intervallet (0, π). Svar: Løsninger er ekvivalent med nullpunkter til f(x) = /x + cos(x). Dette er en kontinuerlig funksjon med lim x 0 + f(x) = > 0 og f(π) = /π < 0, så den må ha et nullpunkt ved skjæringssetningen. (b) Hvordan kan du vite at det bare finnes en løsning i intervallet (0, π)? Svar: Den deriverte er f (x) = /x 2 sin(x) som er mindre enn null i hele intervallet, så funksjonen synker. Det går også an å løse denne oppgaven ved å henvise til de kjente grafene til cosinus og /x, men da må resonnementet være presist.
(c) Hvordan vil du bruke Newtons metode for å estimere denne løsningen med en feilgrense på 0 5? Du kan for eksempel svare på denne oppgaven ved å skrive MATLAB-kode. NB: Du trenger ikke oppgi løsningen til ligningen i svaret. Svar: MATLAB-kode. Vi velger f.eks. startpunkt x = π/2, midtpunktet i intervallet. x = pi/2; while abs(/x+cos(x)) > 0^-5 x = x - (/x+cos(x))/ (-/x^2-sin(x)) end 3. (a) Disse to vektorene danner en basis for R 2. ( ) 2 v =, u = 3 Forklar hvorfor. ( ) 4 Svar: Flere muligheter: ikke parallelle, determinant ulik null, eksplisitt finne entydig løsning for å skrive enhver vektor som lineærkombinasjon på entydig måte. ( ) 5 (b) Skriv vektoren w = som en lineærkombinasjon av v og u. 5 Svar: Vi kan skrive spørsmålet som et ligningssystem w = x v + y u. Dette kan f.eks. løses ved Gauss-eliminasjon og gir w = 3 v u. (c) Løs ligningssystemet ved å bruke Gauss-eliminasjon, og skriv løsningen på vektorform. 3x y z = 4 2x y + 4z = 3 Svar: x = 7 + 5z, y = 7 + 4z der z er en fri parameter. På vektorform: x 7 5 y = 7 + z 4 z 0 (d) Ved å bruke MATLAB-kommandoen rref på totalmatrisen til et ligningssystem i x, x 2, x 3, x 4, x 5 får vi svaret under. Skriv opp løsningene til ligningssystemet på vektorform. 2
ans = Svar: 4 0 0 3 0 0-2 0-5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 3 4 x 2 x 3 x 4 = 0 5 0 + x 2 0 0 + x 0 4 2 x 5 0 0 0 4. Se på funksjonen f = f(x, y): f(x, y) = x 2 + 2y + 2 med definisjonsmengde de (x, y) slik at x 2 + y 2 4 (a) Forklar hvordan vi kan vite at f har maksimumspunkt og minimumspunkt i sin definisjonsmengde. Forklar hvorfor f ikke har stasjonære punkt. Svar: Kontinuerlig funksjon på et lukket og begrenset område vil alltid ha maksimum og minimum. Siden f = [2x, 2] kan ikke andrekoordinaten bli null. (b) Finn kandidatene til ekstremalpunkt på randen av definisjonsmengden (der x 2 + y 2 = 4) ved å bruke Lagranges metode. Hva blir den største og den minste funksjonsverdien til f (i hele definisjonsmengden)? Svar: La g(x, y) = x 2 +y 2 4, så g = [2x, 2y]. Vi må ha f = λ g i tillegg til g. Når vi løser det får vi disse mulighetene, med tilhørende funksjonsverdier: (x, y) f(x, y) (0, 2) 2 min (0, 2) 6 ( 3, ) 7 maks ( 3, ) 7 maks Merk at vi ikke trenger å tenke på punkter i det indre siden funksjonen ikke har stasjonære punkter. 5. I denne oppgaven skal vi se på et integral: 5 0 3 e cos x dx
Denne koden finner en tilnærmet løsning ved trapesmetoden. Noen kodelinjer er ikke ferdige. - n = 00; 2- a = [fyll inn] 3- b = [fyll inn] 4- Deltax = (b-a)/n; 5- integralet = [fyll inn] 6- for x = a + Deltax:Deltax:b - Deltax 7- integralet = integralet + [fyll inn] 8- end 9- integralet = integralet + [fyll inn] 0-integralet = Deltax*integralet/2; (a) Skriv ferdig koden. Svar: - n = 00; 2- a = 0; 3- b = 5; 4- Deltax = (b-a)/n; 5- integralet = exp(-cos(a)); 6- for x = a + Deltax:Deltax:b - Deltax 7- integralet = integralet + 2*exp(-cos(x)); 8- end 9- integralet = integralet + exp(-cos(b)); 0-integralet = Deltax*integralet/2; (b) Forklar matematikken bak de tre kodelinjene 5,7 og 9. Du vil trenge kodelinje 0 i forklaringen. Svar: Formelen for arealet av et trapes med høyder h, h 2 og grunnlinje g er g(h + h 2 )/2. I vår situasjon er g/2 = x/2 en felles faktor som tas hånd om i linje 0. f(a) = e cos a og f(b) = e cos b er høyder i den første og den siste trapesen, henholdsvis. Disse to tas med i utregningen i kodelinjene 5 og 9. For alle kontrollpunktene x = a + noe x mellom a og b vil f(x) = e cos x være høyde i to trapeser, derfor er faktoren to med i linje 7. (c) Kjøring av kodesnutten i forrige punkt gir, om du har gjort det korrekt, 5 0 e cos x dx = 7,3386495. Bruk dette til å skrive opp et lite intervall som helt sikkert inneholder den rette verdien. Det er oppgitt at feilen ved trapesmetoden er begrenset av K (b a)/2n 2 om f (x) K for alle x i integrasjonsintervallet. 4
Hint: Forklar hvorfor du kan bruke K = 2e. Svar: For å begrense f regner vi ut denne: f (x) = (cos x + sin 2 x)e cos x 2 e = 2e Grensen for feilen blir derfor Intervallet blir derfor K (b a)/2n 2 5 = 2e 2,265 0 4 2 002 7,3386495 ± 2,265 0 4 [7,336, 7,332] 5