NOGES EKNISK- NAUVIENSKAPEIGE UNIVESIE INSIU FO FYSIKK Kontakt under eksamen: Per Erik Vullum lf: 93 45 7 ØSNINGSFOSAG I EKSAMEN FY3 EEKISIE OG MAGNEISME II Fredag 8. desember 6 kl 9: 3: Hjelpemidler: K. ottmann: Matematisk formelsamling (eller tilsvarende). O. Øgrim og B.E. ian eller. Angell og B.E. ian: Fysiske størrelser og enheter. ypegodkjent kalkulator, med tomt minne, i henhold til liste utarbeidet av NNU (HP3S eller liknende) Eksamen bestod av 5 oppgaver.
OPPGAVE (eller 5%) A. eder: edere har et delvis fylt ledningsbånd med stor tetthet av ladningsbærere i ledningsbåndet som alle bidrar til ledningsevnen når materialet påsettes et elektrisk felt. Det finnes for øvrig flere energibåndframstillinger som beskriver ulike typer ledere. Noen ledere kan for eks. beskrives ved at de har overlappende lednings- og valensbånd. Halvledere: Halvledere kjennetegnes ved et tomt ledningsbånd og fullt valensbånd ved det absolutte nullpunkt ( K). Ved romtemperatur vil noen elektroner fra valensbåndet være eksitert opp i ledningsbåndet. Når elektroner eksiteres opp i ledningsbåndet, vil det samtid skapes et mobilt hull i valensbåndet. Både de eksiterte elektronene og hullene vil være mobile og bidra til ledningsevnen til halvlederen. I en ren halvleder er det like mange hull som ledningsbåndelektroner. Isolatorer: Isolatorer har i likehet med halvledere et tomt ledningsbånd og fullt valensbånd ved det absolutte nullpunkt ( K). il forskjell fra halvlederne, er båndgapet i en isolator så stort at sannsynligheten for en elektroneksitasjon fra valens- til ledningsbånd er neglisjerbar ved romtemperatur. Båndgapet, E g, er typisk i området over 3 ev for isolatorer og typisk i området.5 ev for normale halvledere. B. I en leder vil ledningsevnen avta med økende temperatur. Antallet elektroner i ledningsbåndet er tilnærmet konstant som funksjon av temperatur. Men med økende temperatur vil de termiske vibrasjonene øke, gittervibrasjonene (fononene) øker, og vi får en kortere tid mellom hver kollisjon for elektronene i ledningsbåndet. esultatet er at motstanden i materialet øker med økende temperatur. I en halvleder vil sannsynligheten for en elektroneksitasjon fra valens- til ledningsbånd øke raskt etter som temperaturen øker. En får derfor flere elektroner som bidrar til ledningsevnen med økende temperatur. De samme resistive effektene som gir nedsatt ledningsevne i en god leder med økende temperatur, er også til stede i en halvleder, men disse effektene er neglisjerbare i forhold til den forbedrede ledningsevnen pga. flere elektron-hull-par.
I en isolator får vi samme effektene som i en halvleder. Dvs. bedre ledningsevne med økende temperatur. Men siden båndgapet er stort vil ledningsevnen være dårlig selv ved temperaturer godt over romtemperatur.. På figuren ser en i (a) hva som skjer i en n-dopet halvleder, og i (b) hva som skjer i en p-dopet halvleder. Et magnetfelt settes på i positiv y-retning og strømmen går i begge tilfeller i positiv x-retning. Med elektroner som mojoritetsladningsbærere vil det magnetiske feltet medføre ei magnetisk kraft som drar elektronene i positiv z-retning. Den magnetiske krafta vil etter hvert bli balansert av de elektriske kreftene som drar elektronene i negativ z-retning. Pga. av det elektriske feltet som skapes på tvers av strømretninga og i z-retninga, vil vi måle ei Hallspenning over lederen i z-retninga. Med positive hull som majoritetsladningsbærere, som vi har i en p-dopet halvleder, vil Hall-spenninga skifte fortegn siden den magnetiske krafta vil dra elektronene i negativ z-retning. 3
OPPGAVE (eller 5%) A. Når p- og n-materialet settes sammen vil vi ha en stor konsentrasjon av elektroner i ledningsbåndet på n-sida og en stor konsentrasjon av hull i valensbåndet på p-sida. Vi får da en gradient i konsentrasjonene av elektroner og hull ved overgangen mellom p- og n- materialet. Dette medfører at elektroner vil diffundere fra ledningsbåndet til n-materialet over i ledningsbåndet til p-materialet. ikedan vil hull i valensbåndet diffundere fra p-sida til n-sida. Vi skaper dermed strømmene i nr og i pr på figuren. Samtidig som elektroner og hull diffunderer hver sin vei vil vi gradvis få et netto overskudd av positiv ladning på n- sida og et netto overskudd av negativ ladning på p-sida. Dette skaper et elektrisk felt over pn-overgangen som vil trekke elektronene mot n-sida og hullene mot p-sida. Vi får da driftstrømmene i ng og i pg på figuren. Samtidig som feltet bygger seg opp, vil elektronene i ledningsbåndet oppleve en gradvis økende energibarriere når de forsøker og diffundere fra n-sida til p-sida. Hullene vil oppleve den samme økende barrieren når du forsøker å diffundere fra p- til n-sida. Ved likevekt og uten noe eksternt elektrisk felt, vil i pr i pg og i nr i ng. 4
B. p(- ) p(x) p-type n-type n(x) n( ) p(x) n(x) w depletion layer ρ( x) x E x V(x) Δ V E dx ΔV x OPPGAVE 3 (eller 5%) A. ( ) ω ω ω + ω + Zt ω i + i i i i i + ω + ω +ω ω + ω / i / i i ( ) ( ) B. ω ω ω 44 rad/s f 5 Hz ω ( + ) ( + ). Fasevinkelen vil skifte diskontinuerlig fra - 9 til + 9 ved resonansfrekvens. Dvs. at når frekvensen passerer resonansfrekvensen så vil fasen for den totale strømmen skifte fra å ligge 5
9 foran den påtrykte spenninga til å ligge 9 etter den påtrykte spenninga. Et plot av fasevinkelen som funksjon av frekvensen på den påtrykte spenninga blir som vist under: 9 6 Fasevinkel grader) 3-3 -6-9 e+ e+ e+ e+3 e+4 e+5 e+6 e+7 (rad/s) D. Hva er den maksimale spenninga over induktansen når frekvensen f 4 Hz, og, og har de samme verdiene som før? dit V dt Vt () V It e e I e Z t ω ω ( + ) α i i( ω α t ) i( ω α t ) dit i( ω α t ) iωie dt dit ωv V Vmaks, ω I dt ω ω ( + ) ω ( + ) Setter så inn V V, ω πf π 8 rad/s, mh, µf og 3µ. Får da at V,maks 7,56 V 6
OPPGAVE 4 (eller 5%) A. + + + iω Z Z Z / iω t ( ω i ) ( )( ) ( ) ( i ) Zt ω +ω i +ω i +ω i ω i +ω B. Kondensatoren er utladet ved t. Når t > vil kondensatoren lades opp til sitt fulle potensial. Når den påsatte spenninga når sitt maksimum, snur strømmen gjennom kondensatoren, og spenninga over kondensatoren starter og avta. Men siden ω vil kondensatoren lades ut veldig sakte, og spenninga over kondensatoren faller kun marginalt før strømmen igjen snur gjennom kondensatoren fordi den påsatte spenninga går mot en ny positiv topp. Ut-spenninga over motstanden er lik spenninga over kondensatoren. Spenninga over, V ut (t) vil da variere periodisk som vist på grafen under. Smal, stiplet linje er den påsatte spenninga, mens feit, heltrukken linje er spenninga V ut (t). Spenning id 7
OPPGAVE 5 (eller %) V(t) ~ il et vekselspenningssignal Vt () V cos( ωt) er det koblet en parallellkobling. I den ene greina av parallellen har vi en motstand og en kondensator i serie. I den andre greina av parallellen finner vi en spole i serie med en motstand. Følgende verdier er gitt: V 4 V, Ω, 4 Ω, mh, 3 µf A. Kaller impedansen i de to greinene for henholdsvis Z og Z. Z i og Z + iω ω De korresponderende reaktansene blir da X og X ω. Når reaktansene settes like ω får man at ω 667 rad/s; f 65 Hz B. Finner først strømmen I gjennom og strømmen I gjennom : iωt Vt () Ve V I() t e Z i + ω iωt Vt () Ve V I() t e Z +ω i + i( ωt α) i( ωt α) Hvor α og α er henholdsvis fasevinklene for strømmene I og I. Midlere effekt dissipert i kaller jeg no P og effekt utviklet i kaller jeg P. 8
V V () cos( ) ω α + + P I t dt t dt V V () cos( ) ω α + + P I t dt t dt Innsetting gir P 3.96 W og P 7.69 W.. Setter no det generelle utrykket for effekt i og lik hverandre: V V () cos( ) ω α + + P I t dt t dt ω ω V V () cos( ) ω α +ω ( ) +ω ( ) P I t dt t dt P P gir da + ( ω ) + ( ω ) ω + ( ) ( ω) ω + ( ) ω 4 ( ) øser som vanlig andregradslikning og får ω (975) (rad/s) ik effekt, avgitt som varme, i de to resistansene krever en vinkelfrekvens ω 975 rad/s 9